Dokumen ini membahas tentang integral tak tentu dan integral tentu, termasuk konsep dasar integral, sifat-sifat integral tak tentu dan integral tentu, penggunaan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar, serta metode-metode penyelesaian integral seperti substitusi dan integral parsial.

1. BAB 5 INTEGRAL
Penerbit Erlangga

2. KOMPETENSI DASAR
 Memahami konsep integral tak tentu dan integral
tentu.
 Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari
fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang
sederhana.
 Menggunakan integral untuk menghitung luas
daerah di bawah kurva dan volume benda putar.

3. A. INTEGRAL TAK TENTU
 Limit, diferensial, dan integral merupakan bagian yang
tidak dapat dipisahkan dan saling berhubungan.
 Pengertian limit digunakan dalam pengertian dasar
hitung diferensial dan integral.
 Berkaitan dengan pengertian limit, integral dapat
diartikan sebagai limit dari jumlah luas bagian-bagian
yang sangat kecil di bawah kurva.
 Pengertian integral seperti ini akan dijelaskan pada
pembahasan dalam menentukan luas daerah di bawah
kurva.
 integral jika dikaitkan dengan diferensial, maka
pengintegralan merupakan invers (kebalikan) dari
pendiferensialan. Karena itu integral disebut pula anti
diferensial (anti turunan).

4. CONTOH
Carilah anti turunan dari fungsi f(x) = 3x2.
Jawab:
Suatu fungsi F yang memenuhi F′(x) = 3x2 berlaku
untuk semua x ∈ R. Dengan mendiferensialkan F(x)
= x3 kita memperoleh F′(x) = f(x) = 3x2. Dengan
demikian, dengan mendiferensialkan fungsi
F, didapat fungsi turunannya yaitu f, begitu pula
sebaliknya dengan operasi anti turunan, jika
diketahui f maka dapat diketahui F.

5.  Karena turunan konstanta adalah nol, maka setiap bentuk
F(x) + C dengan C sembarang konstanta, juga merupakan
anti turunan dari f(x).
 Hasil pengintegralan f(x) dengan berbentuk F(x) + C
dinamakan integral sembarang (integral tak tentu), ditulis
sebagai berikut.

6. Dengan mengamati tabel di atas, diperoleh:
dengan n bilangan rasional dan n ≠ –1

7. CONTOH

8. SIFAT-SIFAT INTEGRAL TAK TENTU
 Beberapa sifat integral tak tentu adalah sebagai
berikut.
1. ∫ a dx = ax + C; a adalah konstanta
2. ∫ a f(x) dx = a ∫ f(x) dx; a adalah konstanta
3. ∫ ((f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
4. ∫ ((f(x) – g(x)) dx = ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx

9. CONTOH

10. B. INTEGRAL TENTU
 Integral tentu adalah integral dari suatu fungsi
kontinu untuk nilai-nilai x tertentu dalam sebuah
interval yang mempunyai batas atas dan batas
bawah.
 Jika F(x) anti turunan dari f(x) dengan nilai-nilai x
pada sebuah interval yang memiliki batas bawah a
dan batas atas b, maka bentuk
f(x) dx disebut integral tentu untuk fungsi f(x)
dari a sampai b.
 Andaikan f kontinu pada [a, b] dan andaikan F
sembarang anti turunandari f , maka pada interval
tersebut berlaku sebagai berikut.

11. Selain sifat integral tak tentu yang juga berlaku pada
integral tertentu, terdapat sifat- sifat integral tertentu
yang lain sebagai berikut.

12. CONTOH

13. C. INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI
TRIGONOMETRI
 Hubungan antara anti turunan (integral) dengan
turunan

14.  Turunan dan integral fungsi trigonometri berbentuk
sin (ax + b), cos (ax + b), tan (ax + b), cot (ax +
b), sec (ax + b), dan cosec (ax + b).

15. CONTOH

16. D. INTEGRAL TENTU FUNGSI
TRIGONOMETRI
Untuk menghitung nilai integral tertentu kita
menggunakan rumus
di mana F(x) adalah hasil pengintegralan dari f(x)
atau disebut juga anti turunan, a dan b masing
masing adalah bilangan real, a disebut batas
bawah dan b disebut batas atas. Rumus di atas
juga dapat digunakan untuk menentukan nilai
integral dari fungsi trigonometri.

17. E. MENYELESAIKAN INTEGRAL
DENGAN METODE SUBSTITUSI
Perhatikan contoh berikut :
Contoh :

18. Jika u = g(x) maka u′ = g′(x) dx dengan g adalah
suatu fungsi yang
dapat diturunkan dan F adalah anti turunan dari
f, maka:

19. CONTOH

20. F. INTEGRAL PARSIAL
 Pada diferensial (turunan) dikenal rumus turunan
hasil kali fungsi-fungsi.
 Rumus tersebut digunakan sebagai dasar
memperoleh integral parsial atau integral sebagian.
 Metode integral parsial digunakan karena tidak
semua integral dapat diselesaikan dengan metode
substitusi.

21. CONTOH

22. G. MENENTUKAN LUAS DAERAH
 Luas daerah di atas kurva y = f(x), sumbu X, garis x
= a, dan garis x = b, a ≤ b, serta y = f(x) >
0, dirumuskan sebagai berikut :
 Luas daerah dibawah kurva y = f(x), sumbu X, garis
x = a, dan garis x = b, a < b, serta y = f(x) <
0, dirumuskan sebagai berikut.

23. CONTOH

24.  Jika y1 = f(x) dan y2 = g(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b
maka luas daerah yang dibatasi oleh y1 dan y2
untuk y ≥ y1 (y2 diatas y1) ditentukan oleh
 Jika x1 = f(y) dan x2 = g(y) dua fungsi kontinu pada
a ≤ y ≤ b maka luas daerah yang dibatasi oleh x1
dan x2 untuk x2 ≥ x1 (x2 di bawah x1) ditentukan oleh

25. CONTOH

26. H. MENENTUKAN VOLUME BENDA PUTAR
 Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y =
f(x), sumbu X, garis x = a, x = b diputar mengelilingi
sumbu X adalah:
 Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva x =
f(y), sumbu Y, garis y = a, y = b diputar mengelilingi
sumbu Y adalah

27. CONTOH

28.  Jika y1 = f(x) dan y2 = g(x) kontinu pada a ≤ x ≤
b, maka volume benda putar yang dibatasi oleh y1
dan y2 apabila diputar mengelilingi sumbu X
adalah:
 Jika x1 = f(y) dan y2 = g(y) kontinu pada a ≤ y ≤
b, maka volume benda putar yang dibatasi oleh x1
dan x2 apabila diputar mengelilingi sumbu Y
adalah:

29. CONTOH