Bab 5 dokumen tersebut membahas program linear yang merupakan metode untuk menyelesaikan masalah optimasi seperti memaksimalkan keuntungan perusahaan. Terdapat penjelasan tentang grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear satu dan dua variabel serta cara menentukan nilai optimum menggunakan metode uji titik pojok dan garis selidik.

1. BAB 5
PROGRAM LINEAR
PENERBIT ERLANGGA

2. KOMPETENSI DASAR
 Membuat grafi k himpunan penyelesaian sistem
pertidaksamaan linear.
 Menentukan model matematika dari soal cerita
(kalimat verbal).
 Menentukan nilai optimum dari sistem
pertidaksamaan linear.
 Menerapkan garis selidik.

3. A. PENGERTIAN PROGRAM LINEAR
 Program linear adalah suatu cara atau metode
yang digunakan untuk menyelesaikan masalah
optimasi.
 Aplikasi Program Linear dalam Kehidupan sehari
hari :
1. Memaksimalkan keuntungan sebuah perusahaan
2. Meminimumkan pengeluaran suatu perusahaan

4. B. GRAFIK HIMPUNAN PENYELESAIAN SISTEM
PERTIDAKSAMAAN LINEAR
 Pertidaksamaan Linear yang akan dibahas pada
Bab ini terbagi menjadi 2 yaitu :
a. Pertidaksamaan linear satu variabel
b. Pertidaksamaan linear dua variabel

5. Grafik pertidaksamaan linear satu variabel ialah
pertidaksamaan yang hanya mengandung 1
variabel sehingga representasi dalam grafik tidak
terbatas

6.  Grafik pertidaksamaan 2 variabel
Y
Perhatikan garis 3x + 5y = 15 di
samping.
Nampak bahwa daerah pada 3
diagram kartesius terbagi
menjadi 2, yaitu daerah di atas X
garis dan daerah di bawah garis.
5
Jika kita substitusikan sembarang titik di bawah garis 3x + 5y
= 15 ke ruas kiri persamaan tersebut (yaitu 3x + 5y), maka
ternyata hasilnya kurang dari 15.
Contoh diambil titik O(0,0).
O(0,0)  3.0 + 5.0 = 0 < 15
Ini berarti, daerah di bawah garis 3x + 5y = 15 merupakan
daerah penyelesaian pertidaksamaan 3x + 5y < 15 dan
sebaliknya daerah di atas garis 3x + 5y = 15 merupakan
daerah penyelesaian pertidaksamaan 3x + 5y 15.

7. Sistem Pertidaksamaan Linear
Contoh :
Tunjukkan daerah penyelesaian (DP) pertidaksamaan 2x +
3y 6
sebagai daerah yang bersih (tanpa arsiran)!
Jawab : Y
2x + 3y = 6 Daerah
x 0 3 Himpunan
Penyelesaian
y 2 0 2
(0, 2) (3, 0)
X
3
Garis 2x + 3y = 6 melalui
titik (3, 0) dan (0, 2)

8. Sistem Pertidaksamaan Linear
Contoh :
Tunjukkan daerah penyelesaian (DP) pertidaksamaan 2x -
3y 6
sebagai daerah yang bersih (tanpa arsiran)!
Jawab : Y
X
2x - 3y = 6 3
X 0 3
y -2 0
Daerah
-2
Himpunan
(0, -2) (3, 0)
Penyelesaian
Garis 2x + 3y = 6 melalui
titik (3, 0) dan (0, -2)

9. C. MODEL MATEMATIKA
 Model matematika ialah kalimat matematika yang
menunjukkan masalah pada kehidupan sehari hari .
 Fungsi Objektif : Fungsi linear yang dicari
optimumnya

10. Contoh :
Anton ingin membeli dua jenis Apel, Apel A dengan harga
Rp 6.000,00 per kg dan Apel B dengan harga Rp
4.000,00 per kg. Ia hanya mempunyai uang Rp
50.000,00, sedangkan kapasitas keranjang yang ia bawa
hanya 10 kg. Buatlah model matematika dari masalah
ini!

11.  Jawab :
Model matematika dari permasalahan diatas ialah
6.000 x + 4.000 y < 50.000 atau 3x + 2y < 25
x + y < 10
x > 0; y > 0

12. D. NILAI OPTIMUM SUATU FUNGSI
 Nilai Optimum suatu Fungsi ialah Nilai yang ingin
dicari untuk memecahkan model matematika yang
ada
 Ada 3 cara untuk mecari Nilai Optimum suatu
Fungsi :
 Metode Uji titik Pojok
 Metode Garis Selidik

13. 1. Metode Uji titik
Langkah langkah yang ditempuh ialah :
a. Ubah persoalan verbal (Kalimat matematika) ke dalam
model matematika(sistem pertidaksamaan) dan
tentukan fungsi objektifnya
b. Gambar daerah penyelesaian (daerah feasible) sistem
pertidaksamaan yang diperoleh pada langkah a.
c. Identifikasikan dan tentukan titik Koordinat dari setiap
titik pojok pada daerah penyelesaian
d. Hitung nilai dari bentuk objektif yang bersesuaian
dengan titik pojok yang diperoleh sebelumnya
sehingga didapatkan nilai optimum (maksimum atau
minimum)

14. Contoh
Seorang pedagang di ITC akan membeli baju dan celana. Harga
sepasang baju Rp 15.000,00 dan harga sepasang celana Rp
30.000,00. Modal yang ia miliki Rp 600.000,00. Kiosnya
hanya cukup menampung 30 pasang baju dan celana. Jika
keuntungan sepasang baju Rp 4.000,00 dan celana Rp
Y
5.000,00 maka tentukan keuntungan maksimum yang
diperoleh pedagang tersebut.
 Jawab :
Model matematika
x + 2y < 40 30 (20, 10)
x + y < 30 20
X
x > 0, y > 0
HP
Fungsi obyektif f(x,y) = 4.000x + 5.000y
30 40

15. Titik (x, y) f(x, y)= 4.000x +
5.000y
(0, 0) 0
(30, 0) 120.000
(20, 10) 130.000
(0, 20) 100.000
Maka dapat dilihat dari tabel bahwa Pedagang mendapatkan
keuntungan maksimum ketika dia menjual 20 baju dan 10 celana

16. 2. Metode Garis Selidik
Langkah langkah yang dilakukan untuk mencari nilai
optimum dari fungsi objektif menggunakan garis selidik
adalah sebagai berikut.
a. Buatlah garis acuan ax+by=k
b. Buatlah gari garis sejajar ax+by=k dengan cara
mengambil nilai k yang berbeda atau menggeser garis
ax+by=k ke kiri atau ke kanan
(i) jika ax+by=k1 adalah garis paling kiri yang
melalui titik (x1,y1) pada daerah penyelesaian maka
k1=ax1+by1 merupakan nilai minimum
(ii) Jika ax+by=k2 adalah garis yang paling kanan
yang melalui titik (x2,y2) pada daerah penyelesaian
maka k2=ax2+by2 merupakan nilai maksimum fungsi
objektif

17. Nilai Optimum Fungsi Obyektif
Contoh :
Tentukan nilai maksimum dari z = x + 3y pada daerah yang diarsir berikut
Y Garis selidik x + 3y = 0
melalui titik (0, 0) dan (3, -1)
y=x+1
Maksimum
y=x+1
2x - 5y = 0 x+y=7
Diperoleh x = 3 dan y = 4
X Sehingga nilai maksimum
Z = 3 + 3(4) = 15
7x + 2y = 14 x+y=7

18. SUMBER
 Kasmina, Suhendra,dkk (2008). Matematika
Program Keahlian Teknologi, Kesehatan, dan
Pertanian untuk SMK dan MAK kelas X, Jakarta:
Penerbit Erlangga.
 Program Linear oleh Santosa S.P
Dibuat Oleh : Wilsan Wijaya