Livro aprender mais_matematica_ens_medio3

aprender mais

ENSINO MÉDIO
MATEMÁTICA

9
A
5
B
3
W

Eduardo Henrique Accioly Campos
GOVERNADOR DO ESTADO DE PERNAMBUCO

Danilo Jorge de Barros Cabral
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO DO ESTADO

Nilton da Mota Silveira Filho
CHEFE DE GABINETE

Margareth Costa Zaponi
SECRETÁRIA EXECUTIVA DE GESTÃO DE REDE

Aída Maria Monteiro da Silva
SECRETÁRIA EXECUTIVA DE DESENVOLVIMENTO DA EDUCAÇÃO

Cantaluce Lima
GERENTE DE POLÍTICAS EDUCACIONAIS DO ENSINO MÉDIO

Rosinete Salviano
CHEFE DE UNIDADE

Maria Epifânia de França Galvão Valença
GERENTE DE AVALIAÇÃO E MONITORAMENTO DE POLÍTICAS EDUCACIONAIS

Elisângela Bastos de Melo Espíndola
José de Arimatheia de Santana
Regina Celi de Melo André
ELABORAÇÃO - EQUIPE TÉCNICA DE ENSINO

APRESENTAÇÃO

A Secretaria de Educação, ao assumir o compromisso de assegurar a todos(as) os(as)
estudantes o direito à educação pública de qualidade social, vem desenvolvendo um conjunto
de ações com vistas à melhoria da qualidade do ensino na rede pública, de forma a garantir o
acesso, a permanência e a terminalidade nos diversos níveis e modalidades de ensino aos que
neles ingressem, com resultados bem sucedidos.
Nessa direção, uma das prioridades da Secretaria de Educação de Pernambuco é
oferecer aos(as) estudantes novas oportunidades de ensino e aprendizagens para os que
encontram dificuldades nesse processo.
É com essa compreensão que essa Secretaria elaborou o PROJETO APRENDER MAIS,
em consonância com a LDB – 9394/96 – Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, que
estabelece como dever do Estado garantir padrões mínimos de qualidade do ensino e a
obrigatoriedade de estudos de recuperação, de preferência paralelos ao período letivo, para
casos de baixo rendimento escolar, como política educacional.
O PROJETO APRENDER MAIS visa atender aos (as) estudantes da 4ª série/5º ano, 8ª
série/9º ano do Ensino Fundamental e do 3º ano do Ensino Médio das escolas estaduais que
apresentam defasagem e/ou dificuldades de aprendizagens em relação aos conteúdos
ministrados e prescritos no currículo escolar. Serão desenvolvidas ações de reensino, em
horários regulares e em horários complementares, de forma concomitante aos estudos
realizados no cotidiano da escola.
Este Caderno contém um conjunto de ORIENTAÇÕES TEÓRICO METODOLÓGICAS
visando contribuir com as práticas de docência, com foco nos descritores/conteúdos
curriculares estabelecidos pela Secretaria de Educação.
É importante que você professor (a), ao identificar as dificuldades e possibilidades dos
estudantes, organize as atividades pedagógicas desenvolvendo dinâmicas de sala de aula que
possibilitem ao (a) estudante construir o seu próprio conhecimento. A problematização de
situações didáticas que estimulem a compreensão, interpretação, análise e síntese das novas
aprendizagens, priorizando as diferentes linguagens devem ser desenvolvidas com dinâmicas
diversificadas, utilizando materiais existentes na escola – jogos didáticos, revista, livros, DVD e
CD, entre outros.
Considerando a complexidade desse processo, sabemos que os resultados em um grupo
de estudantes não são homogêneos. Essa realidade requer trabalhos e atendimentos
pedagógicos específicos aos que apresentam dificuldades, de modo a possibilitar o
aperfeiçoamento do desempenho escolar. Há estudantes que necessitam de mais tempo ou de
outras formas e metodologia para aprender.
A Escola tem o papel social de promover todas as formas de ensino para que o (a)
estudante desenvolva aprendizagens bem sucedidas, e você professor (a) desempenha papel
primordial como mediador no processo de construção do conhecimento junto ao estudante.
É importante envolver a família do (a) estudante nesse processo uma vez que a
educação é tarefa de todos.
Bom trabalho!
DANILO CABRAL
Secretário de Educação do Estado

MATEMÁTICA | PROJETO APRENDER MAIS

ORIENTAÇÕES

Neste Guia de Atividades, o professor encontrará um conjunto de sugestões
que possibilitem um fazer pedagógico dinâmico e interativo, através da utilização de vários
instrumentos e estratégias de ensino. Este material deve auxiliar o trabalho docente, no
sentido de levar o estudante do ensino médio a perceber relações intertextuais por meio de
diferentes linguagens, a compreender como os conteúdos estudados se manifestam no seu
cotidiano, na sociedade e no mundo contemporâneo, além de interpretar e vivenciar
situações que envolvem decisões e resoluções de problemas.
Nosso objetivo com a elaboração deste material é subsidiar o professor para
trabalhar novas oportunidades de aprendizagens e consolidação dos conhecimentos, nas
disciplinas de Língua Portuguesa e Matemática à luz da Matriz de Referências do Sistema
de Avaliação Educacional de Pernambuco (SAEPE).
Dentre as sugestões encontram-se filmes, sites, livros, jogos e atividades didáticas
com foco na leitura verbal e imagética, em métodos específicos de investigação
matemática, na pesquisa interativa que dialogue com as áreas de conhecimentos de forma
contextualizada e interdisciplinar. Sugerimos também, a consulta aos documentos oficiais
do currículo escolar, como as Orientações Teórico-Metodológicas e a Base Curricular
Comum, disponibilizados no site desta Secretaria, www.educacao.pe.gov.br no Espaço
Professor, observando o que estes documentos propõem em relação ao ensino de
Matemática e Língua Portuguesa para o Ensino Médio.
O Projeto APRENDER MAIS reflete a compreensão de que os conhecimentos são
apreendidos em processos contínuos, sistemáticos e de forma orgânica. E a cada nova
oportunidade que a escola oferece o docente e o/a estudante ampliam e fortalecem
conhecimentos em uma relação dialética e dialógica dos/as atores/as nele envolvidos/as.
Pretendemos, portanto, que o estudante do ensino médio tenha novas oportunidades
de estudos para superar dificuldades de aprendizagens, consolide conhecimentos previstos
nas unidades didáticas do 3º ano, assegurando a sua permanência na escola e conclusão
da etapa final da Educação Básica, e vislumbre o prosseguimento nos estudos e
possibilidades de inserção no mundo do trabalho.

03

MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS

SUMÁRIO

EIXO TEMÁTICO: GRANDEZAS E MEDIDAS 07

Avião e velocidade média 08
A matemática na Culinária 09
Que peso? 10
A produção de uma máquina 11
Correndo no autódromo 12
A piscina 13
Densidade demográfica 14
Torneira com vazamento 15
A construção do cercado 16
Área de figuras geométricas planas 17
Piff geométrico 19

EIXO TEMÁTICO: ESTATÍSTICA, PROBABILIDADE E COMBINATÓRIA 29

A conta de energia elétrica 30
Planeta água 31
Jogo com dados 35
Contando pela ordem e natureza 37

EIXO TEMÁTICO: GEOMETRIA 39

Bingo trigonométrico 39
Encontre o par 56
Descubra o gráfico 60
Ponto de intersecção 61
Capturando pontos 62
É circunferência? 64

EIXO TEMÁTICO: NÚMEROS E OPERAÇÕES/ ÁLGEBRA E FUNÇÕES 65

As camisas penduradas 66
Os triângulos com palitos 67
Os pães 69
O campeonato de futebol 69
O peso da penca de bananas 70
O preço do livro 72
Seqüências e funções 74
Para recordar funções 78
Progressão geométrica e função exponencial 85
Juros e Funções 86
Logaritmonencial 87
Sistemas lineares 93

05


EIXO TEMÁTICO: GRANDEZAS E MEDIDAS

As atividades sugeridas a seguir buscam favorecer o aprofundamento dos estudos
que possibilitem os alunos do Ensino Médio a articular o ensino da matemática com outras
disciplinas como Física e Química. Desta forma, são propostas atividades, de forma que os
alunos possam resolver problemas que envolvam variações proporcionais, diretas ou
inversas, entre grandezas.
Em relação às grandezas geométricas recomendamos atividades em que os alunos
possam resolver problemas envolvendo a área total e/ou volume de um sólido (prisma,
pirâmide, cilindro, cone, esfera), relacionem diferentes poliedros ou corpos redondos com
suas planificações ou vistas, identifiquem a relação entre o número de vértices, faces e/ou
arestas de poliedros expressa em um problema, resolvam problemas envolvendo perímetro e
área de figuras planas.
Entendemos ser necessário o aprofundamento da compreensão do uso de fórmulas,
assim como sobre conceitos relacionados às grandezas geométricas. Propomos que o
professor utilize diversos recursos didáticos como jogos ou uso de material concreto
(palitos, canudinhos, massa de modelar, embalagens), na composição e decomposição de
sólidos geométricos.
É importante que seja oferecido aos alunos a oportunidade de identificar e fazer uso
de diferentes formas para realizar medidas.

07

ENSINO MÉDIO

AVIÃO E VELOCIDADE MÉDIA
Objetivo
Relacionar conceitos como velocidade média e discutir grandezas diretas e inversas.

Sugestões para o professor

Pode ser discutido com os alunos:

a) Qual (is) a(s) grandeza(s) envolvidas nesta atividade? Quais as unidades de medida
utilizadas na atividade? Quais poderiam ser as unidades de medida não convencionais
para estas grandezas?

b) Quais outros conceitos matemáticos ou de outras disciplinas estão envolvidos nesta
atividade?

c) As relações entre estas grandezas são diretas ou inversas?

A velocidade média do avião é calculada dividindo-se
a distância percorrida pelo tempo de viagem:

3h15min = 3,25h

1
de hora ou 0,25h
4

1 996 ~
Vm = 3,25
= 614 km/h

Tempo (h) Distância
1 614 O avião percorre 614 km em 1 hora.
A tabela ilustra como a distância
2 1 228 percorrida é função do tempo:
3 1 842

A lei de formação dessa função é s = 614 t
distância tempo

Se esse avião fosse para uma cidade distante 921 quilômetros do Rio de Janeiro, em quanto
tempo faria a viagem?

FONTE: VASCONCELOS, Maria José C. V. SCORDAMAGLIO, Maria Terezinha e CÂNDIDO, Suzana Laino. Projeto
Escola e Cidadania para todos: Matemática. Volume 1.São Paulo: Editora do Brasil, 2004. Pág. 35

08


A MATEMÁTICA NA CULINÁRIA
Objetivo
Conhecer a equivalência de pesos e medidas e discutir grandezas diretas e inversas.



atividade?


Algumas receitas têm as quantidades expressas em xícaras, colheres, copos etc.
Outras têm as quantidades em gramas, mililitros etc. Como adaptar essas medidas
de uma forma para a outra?
As xícaras variam de tamanho; as colheres e os copos também. Para isso, estima-se
um valor médio que padronize essas medidas, de modo que as xícaras de açúcar
possam ser transformadas em gramas, colheres de suco possam ser transformadas
em mililitros e vice-versa.
A tabela abaixo é uma exemplo disso. Observe as equivalências que ela apresenta e
faça o exercício a seguir.
Estúdio Sepia

Equivalência de pesos e medidas
Colheres
Ingredientes Xícaras
Sopa Chá
1 ½ 1/4 3/4 1/3 2/3 1 1
Líquidos ml 250 125 63 188 83 166 16 5
Farinha g 120 60 30 90 40 80 7 2
Açúcar g 170 85 43 128 57 113 10 3
Manteiga g 220 110 55 165 73 146 14 5
Fermento em pó g 10 3
Fermento seco g 10 3
Sal g 12 4
Leite em pó g 100 50 25 75 33 66 6 2

a) Aproximadamente, quantas xícaras de farinha correspondem a 500g de farinha?

b) 8 colheres de sopa de óleo são mais ou menos que 1 copo de óleo (200mL)?

c) 1kg de açúcar tem aproximadamente quantas xícaras de chá?

FONTE: VASCONCELOS, Maria José C. V. ZAMPIROLO, Maria Terezinha e CÂNDIDO, Suzana Laino. Projeto Escola
e Cidadania: Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 2000. Volume: Mais ou menos quanto? Pág. 17

09

ENSINO MÉDIO

QUE PESO?
Objetivo
Discutir grandezas diretas e inversas a partir do conceito de peso.



atividade?


No caso de uma mola feita de certo material, quando acoplamos a ela um peso P,
ela sofre um alongamento x, que depende de P.
Quando o peso P varia, o alongamento apresentado por essa mola também varia,
como mostra a tabela abaixo.

ALONGAMENTO x (cm) PESO P (kgf)

10 0,10

15 0,15
X

20 0,20

25 0,25 P

30 0,30

Os resultados obtidos nessa experiência nos levam a representar essa variação do
alongamento da mola de acordo com o peso por um gráfico como o que está abaixo.
Nesse caso, observamos que, para um acréscimo de 0,05 kg no peso, há sempre
um acréscimo de 5 cm no alongamento da mola.

Construa um gráfico que represente as variações entre o peso e o alongamento desta mola.

FONTE: VASCONCELOS, Maria José C. V. ZAMPIROLO, Maria Terezinha e CÂNDIDO, Suzana Laino. Projeto Escola e
Cidadania: Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 2000. Volume: Quando a álgebra e geometria se encontram. Pág. 18

10


A PRODUÇÃO DE UMA MÁQUINA
Objetivo
Discutir o conceito de função crescente e de grandezas diretas e inversas.



atividade?


Uma máquina produz 4 metros de fio elétrico a cada minuto. Em seu caderno, faça
uma tabela conforme o modelo, completando com valores de 30,40 e 50 minutos
na coluna do tempo e calcule o comprimento respectivo a cada valor.
Construa o gráfico e, a partir dele, responda:

a) Como essas grandezas se
relacionam? Escreva a sentença
matemática que mostra essa Tempo (t) Comprimento (c)
situação. (minutos) (metros)

10 40
b) Quantos metros de fio a
máquina produz em 35 minutos 20 80
de funcionamento?

c) Essa função é crescente?

Cidadania: Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 2000. Volume: Gráficos: ler e interpretar. Pág. 3

11

ENSINO MÉDIO

CORRENDO NO AUTÓDROMO
Objetivo
Aprofundar o conceito de velocidade média e a relação entre grandezas.



atividade?


O desenho ao lado é da pista do Autódromo de Interlagos, em São Paulo, onde é
disputado o Grande Prêmio do Brasil de Fórmula 1. São 72 voltas de emoção, em
que os pilotos percorrem 390 quilômetros num tempo máximo de 2 horas.

a) Se a corrida tiver duração máxima, qual será a velocidade média do primeiro
colocado?

b) Que distância o primeiro colocado terá percorrido depois de 30 minutos de prova?

FONTE: VASCONCELOS, Maria José C. V. SCORDAMAGLIO, Maria Terezinha e CÂNDIDO, Suzana Laino. Projeto Escola e
Cidadania para todos: Matemática. Volume 1.São Paulo: Editora do Brasil, 2004. Pág. 37

12


A PISCINA
Objetivo
Observar o volume de um paralelepípedo e a relação entre grandezas.



atividade?


A figura abaixo é um paralelepípedo. O volume de um paralelepípedo é dado por

V = comprimento X largura X altura

altura

largura
comprimento

Uma empresa fabrica piscinas no formato de paralelepípedo, variando o
comprimento e a largura conforme a figura abaixo.

3
(Medidas em metros)

x

x+2

O volume y de água que cabe na piscina é função da medida x indicada na figura.

a) Escreva y em função de x.

b) Quantos metros cúbicos de água serão necessários para encher a piscina se x
for igual a 4m?

Cidadania para todos: Matemática. Volume 1.São Paulo: Editora do Brasil, 2004. Pág. 65

13

ENSINO MÉDIO

DENSIDADE DEMOGRÁFICA
Objetivo
Aprofundar o conceito de densidade demográfica e discutir a relação entre grandezas.


utilizadas na atividade? Quais poderiam ser as unidades de medida não
convencionais para estas grandezas?

atividade?


A densidade demográfica é um dos instrumentos utilizados em geografia para
estudar como se distribui uma população. Ela relaciona o número de habitantes de
um país, Estado ou região com sua área, por meio de uma razão.

número de habitantes
Densidade demográfica =
área em km 2

A densidade demográfica do Estado de Minas Gerais, por exemplo, era de 26,76
habitantes por quilômetro quadrado, de acordo com o Censo do IBGE (1996).

a) Considerando que, neste mesmo Censo, a população de Minas era de 16,5
milhões de habitantes, calcule a área aproximada desse Estado.

b) Aproveite o conceito de densidade demográfica para calcular a densidade
populacional de sua classe, em número de alunos por metro quadrado. (Basta dividir
o número de alunos pela área da classe em m 2 .)

Cidadania para todos: Matemática. Volume 1.São Paulo: Editora do Brasil, 2004. Pág. 184 e 185

14


TORNEIRA COM VAZAMENTO
Objetivo
Discutir grandezas direta e inversamente proporcionais a partir do desperdício de
água.


a) Qual (is) a(s) grandeza(s) envolvidas nesta atividade? Quais as unidades de
medida utilizadas na atividade? Quais poderiam ser as unidades de medida não
convencionais para estas grandezas?

b) Quais outros conceitos matemáticos ou de outras disciplinas estão envolvidos
nesta atividade?


Um vazamento de água a) Usando o exemplo anterior, calcule
quantos litros de água serão
Uma torneira lá em casa está com desperdiçados se o vazamento durar 30
vazamento - ela pinga sem parar. dias (1L = 1 000 mL). Verifique se em
Coloquei um copo para recolher a água sua casa não há vazamento de água!
desperdiçada, e, em uma hora, o copo Evite sempre o desperdício!
estava cheio. A capacidade desse copo é
de 200 ml. Então, fiz a tabela a seguir. b) Um cientista observou durante 3 dias
o crescimento de uma população de
micróbios. Anotou seus dados como se
Tempo Quantidade de água segue.
(horas) desperdiçada (mL)

1 200 Tempo Número de
(dias) micróbios
2 400
1 3
24 4 800
2 9
Como as grandezas são diretamente
proporcionais, determinei que em 1 dia 3 27
(24 horas) a torneira desperdiça 4 800
ml ou 4,8 litros de água.
O tempo e o número de micróbios são
Achei um absurdo! A torneira tem que grandezas proporcionais? Justifique sua
ser consertada! resposta.

Cidadania: Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 2000. Volume: O que é o que é? Pág. 12

15

ENSINO MÉDIO

CONSTRUÇÃO DO CERCADO
Objetivo
Envolver os conceitos de área, perímetro e função do 2º grau.



atividade?


O dono de uma granja quer construir um cercado retangular aproveitando um muro
já existente. as dimensões do cercado podem variar, desde que seu ‘‘perímetro’’ seja
36 m de tela.

Dois cercados possíveis com 36 m de tela.

a) Determine o comprimento da tela do
cercado da planta ao lado.
muro

b) Determine a área A desse cercado.

c) A é uma função de x, do 2º grau. x x
Esboce o gráfico dessa função.

d) O granjeiro quer o cercado que
tenha maior área. Qual é essa área?
Quanto medem os lados do cercado 36 - 2x
nesse caso?

FONTE: IMENES, Luiz Márcio Pereira e LELLIS, Marcelo. Matemática. São Paulo: Scipione, 1997. 8ª série, pág. 239.

16


ÁREA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS
Objetivo
Promover o entendimento do uso de fórmulas para o cálculo de área de figuras planas e
discutir o conceito de perímetro.

Área do círculo

O professor pode solicitar aos alunos que:

• Utilizando o compasso desenhe um círculo com um diâmetro
qualquer;
• Recorte a figura;
• Dobre o círculo ao meio, pinte cada metade de uma cor diferente ,
depois dobre ao meio novamente, novamente ao meio; outra vez ao
meio, isto é, divida o círculo em 16 partes iguais, ou seja, 16
setores circulares.
• Recorte cada uma das partes;
• Cole numa fileira as partes da primeira metade do círculo; depois
encaixe a outra metade formando um retângulo;
• Escolha uma das dimensões da nova figura para base do retângulo.
Qual a medida da altura correspondente a este lado tomado como
base? Qual a medida da base do retângulo? Que expressão dará a
medida da área do retângulo formado pelos setores circulares?

Área de uma região retangular


• Numa malha quadriculada desenhe uma figura retangular qualquer;
• Conte quantos quadrados a figura possui no comprimento e quantos
na largura;
• Quantos quadradinhos no total?
• Que resultado que você obtém ao multiplicar a quantidade de
quadradinhos da largura pela quantidade de quadradinhos do
comprimento da figura?
• Observar a distinção entre área e perímetro.

17

ENSINO MÉDIO

Área de uma região triangular


• Desenhe um retângulo qualquer, escolha um lado para base e a
altura corresponde a este lado; contorne com cores diferentes as
dimensões. Recorte a figura;
• Que expressão representa a medida da área desta figura? Trace uma
diagonal; divida o retângulo em duas partes iguais utilizando a
diagonal traçada;
• Quantas e quais figuras você obteve? As figuras são congruentes?
Que expressão representa a medida da área destas figuras?
• Discuta como determinar a fórmula que expressa a área de uma
região triangular qualquer.

Área de um paralelogramo


• Desenhe um paralelogramo não retângulo qualquer, escolha um
lado para base e a altura corresponde a este lado; contorne com
cores diferentes as dimensões. Pinte de cores diferentes as figuras
que compõem o paralelogramo. Recorte a figura na altura traçada;
Quais figuras você obteve?
• Construa uma nova figura com as partes recortadas. Que expressão
representa a medida da área desta figura?
• Observe se os alunos relacionam o paralelogramo a uma região
retangular.

SUGESTÕES

O Tangram é um quebra-cabeça de origem chinesa. O desafio do jogo
consiste em compor as sete peças para formar uma região quadrada.
Este jogo pode ser utilizado para o aprofundamento do conceito de área,
através do uso de sobreposição das figuras.
A série da TV Escola “Mão na Forma” também pode ser utilizada como
recurso didático para o estudo de poliedros.

18


PIFF GEOMÉTRICO
Esta atividade visa proporcionar uma visão mais ampla com relação à geometria
espacial reconhecendo as formas geométricas espaciais, suas fórmulas e aplicações no dia-a-
dia.

Objetivo
Identificar a forma geométrica dos sólidos em objetos do cotidiano, desenvolvendo a
compreensão de propriedades relacionadas a estes.

Material necessário
? • 108 cartas sendo distribuídas em 4 coringas.
• 18 cartas com o desenho de sólidos geométricos (carta-figura).
• 86 cartas contendo características ou exemplos destes sólidos (carta-característica).

Sugestão de trabalho
O professor deverá organizar os alunos em 3 ou 4 grupos.
Distribuir 9 cartas para cada jogador. Este deverá ter como objetivo formar 3 trios, sendo que
uma das cartas do trio, obrigatoriamente, é a carta-desenho e as outras duas contendo
características ou exemplos do mesmo (carta característica). O coringa substitui qualquer carta
com exceção dos desenhos. Em cada trio poderá ter somente um coringa. O jogador pega uma
carta do “monte” e verifica se esta serve para seu jogo. Em caso afirmativo, troca por uma carta
que está em sua mão; caso contrário, joga-a fora e o próximo jogador faz sua jornada. O
ganhador do jogo é aquele que primeiro formar os 3 trios.
Durante a aplicação do jogo o professor deverá estar atento para as dificuldades dos
alunos.
As dificuldades apresentadas deverão sofrer intervenções, no sentido de serem
superadas.
Após a aplicação do jogo propomos que sejam realizadas atividades de aprofundamento
sobre os conceitos envolvidos, através do uso de material concreto para montagem de
planificações dos sólidos ou desmontagem.
Salientamos também a necessidade do cálculo do volume de sólidos que devem ser propostas
na forma de situações-problema.

LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA. Jogos matemáticos para o ensino médio. RS: UNIVATES, 2004.

19

ENSINO MÉDIO

Jogo 1: Piff Geométrico

Objetivo
Proporcionar uma visão mais ampla com relação a geometria espacial reconhecendo as
formas geométricas espaciais, suas fórmulas e aplicações.

Material
108 cartas sendo distribuídas em 4 coringas, 18 cartas com o desenho de sólidos
geométricos (carta-figura) e 86 cartas contendo características ou exemplos destes sólidos
(carta-característica).

Número de jogadores
2 ou mais.

Regras
Distribuir 9 cartas para cada jogador. Este deverá ter como objetivo formar 3 trios, sendo
que uma das cartas do trio, obrigatoriamente, é a carta-desenho e as outras duas contendo
características ou exemplos do mesmo (carta-característica). O coringa substitui qualquer
carta com exceção dos desenhos. Em cada trio poderá ter somente um coringa. O jogador pega
uma carta do “monte” e verifica se esta serve para o seu jogo. Em caso afirmativo, troca por
uma carta que está em sua mão; caso contrário, joga-a fora e o próximo jogador faz sua jogada.
O ganhador do jogo é aquele que primeiro formar os 3 trios.

Exemplos de cartas com desenho (carta-figura):

Exemplo da carta- coringa:

20


Exemplos de cartas contendo características dos sólidos (carta-característica):

Faces laterais Copo plástico é usado para
Cano de água.
são trapézios. descartável. calcular colume.

Sugestão de atividades que podem ser realizadas após o jogo:

a) Qual a carta-figura que é mais fácil de combinar com as cartas-características?

b) Se você tiver a seguinte carta-figura:

Quais as cartas-características que podem ser combinadas com ela?

21

ENSINO MÉDIO

c) João tem as seguintes cartas:

Faces
laterais são
triangulares.

Relação Pode ter base
Tem apótema
de Euler quadrada, D=a 3
lateral.
F+V=A+2 hexagonal,...

Ele pegou a seguinte carta do “monte”:

A1 = 2ab + 2bc + 2ac

Citar algumas opções de jogo.

22


Pode ter base Faces
Sólido de Faces opostas
quadrada, laterais são
revolução. iguais.
hexagonal,... retangulares.

Tem apótema
V = Ab . h 8 vértices. 12 arestas.
da base.

2 Apresenta
Lata de azeite dado Ab = r
8 faces.

23

ENSINO MÉDIO

3
D=a 3 V=a d=a 2 At = r (g + r)

2 2 2
At = rg Casquinha de 2 2 2
D= a +b +c g =h +r
sorvete

Número de Faces
faces é sempre Tem apótema Chocolate
laterais são
igual ao número lateral. Toblerone
triangulares.
de vértices.

24


Ab . h 2
bola V= Al = 4 r Al = 2 rh
3

é usado
Faces laterais
Cano de água Copo plástico para calcular
são trapézio.
descartável. volume.

Relação de
Euler Cesta de lixo At = 2ab + 2bc + 2ac 6 faces
F+V=A+2

25


Apresenta
Caixa Chapéu Podem ser
faces, arestas
de fósforo. de bruxa. equiláteros.
e vértices.

2
At = 2 r (h + r) 4 r3
At = 6a V=
3

27


EIXO TEMÁTICO: ESTATÍSTICA, PROBABILIDADE E COMBINATÓRIA
As atividades sugeridas buscam favorecer o aprofundamento dos estudos que
possibilitem os alunos do Ensino Médio resolver problemas envolvendo informações
apresentadas em tabelas e/ou gráficos. Assim como associar informações apresentadas em
listas e/ou tabelas simples aos gráficos que as representam, e vice-versa.
Também esperamos que os alunos possam ser capazes de resolver problemas que
envolva probabilidade de um evento. Para tanto propomos atividades experimentais para a
construção deste conceito.
A resolução de problemas de contagem utilizando o princípio multiplicativo ou noções
de permutação simples, arranjo simples e/ou combinação simples devem favorecer o devido
reconhecimento por parte dos alunos sobre a forma mais adequada de organizar números e
informações com o objetivo de simplificar cálculos em situações reais envolvendo grande
quantidade de dados e eventos.
Ressaltamos a importância do trabalho sobre a busca por formas adequadas para
descrever e representar dados numéricos e informações de natureza social, econômica,
política, científico-pedagógica ou abstrata.

29

ENSINO MÉDIO

A CONTA DE ENERGIA ELÉTRICA
Esta proposta de atividade foi elaborada para ser aplicada no Ensino Médio, permitindo
uma oportunidade de rever temas de estatística, em especial para aqueles alunos que, por
algum motivo, não foram apresentados a esses conteúdos. Deve ser explorada uma conta de
energia elétrica, sendo sugeridas atividades que enfatizem gráficos, tabelas, médias e
operações numéricas.

Objetivo
Ler e interpretar os dados de um gráfico ou tabela e realizar operações numéricas
utilizando uma conta de energia elétrica

Conteúdos Matemáticos
Estatística: gráficos, tabelas de freqüência, porcentagem, média aritmética.

Material
Conta de energia elétrica de vários meses de um ano. Manchetes de jornais ou revistas
contendo gráficos.

Sugestões para a atividade

? a turma em grupos de quatro a cinco alunos.
Organizar
? de uma tabela com as médias de consumo diário nas contas de energia elétrica
?Construção
dos meses do ano observado.
?entre o número de moradores da residência e o consumo de energia em kWh
?Relação
(Quilowatts hora).
? sobre qual foi a média diária do consumo de energia elétrica nos meses de um
?Discussão
período.
? gráfico da média diária de consumo de energia elétrica dos meses de um período
?Fazer um
? sobre em que mês houve o maior consumo de energia? E o menor?
?Discussão
?Em que mês houve o maior consumo diário médio de energia? E o menor?
?
? médio diário é o mesmo do dia-a-dia? O que faz a média do consumo diário
?O consumo
variar?
?Com os dados da conta, solicitar o cálculo da média de consumo anual desta conta nos
?
meses de _________ de ______ a ________________ de ________.
? do ICMS, se a alíquota fosse de 20%?
Qual o valor
? de luz tem uma data de vencimento. Houve atraso no pagamento? Em caso
A conta
afirmativo, de quantos dias? Quanto se pagou de multa?
? no pagamento fosse de dez dias, qual seria o valor a ser pago?
Se o atraso
? em jornais ou revistas os vários tipos de gráficos utilizados e o poder de
Verificar
visualização desses gráficos e a adequação para representação das informações.

Referência: REORIENTAÇÃO CURRICULAR Matemática Materiais Didáticos Ensino Médio - Volume III- RJ, 2006.

30


PLANETA ÁGUA
Objetivo
Discutir a importância da estatística na apresentação adequada das informações
utilizando tabelas ou gráficos, bem como ferramenta que está a serviço de qualquer área do
conhecimento, possibilitando um trabalho interdisciplinar.

TABELAS DE TRABALHO

Nº 1 | distribuição da água no mundo.
Nº 2 | evolução do uso da água no mundo
Nº 3 | consumo médio de água no mundo por faixa de renda
Nº 4 | disponibilidade de água por habitante/região (100m3)
Nº 5 | disponibilidade anual de água de água por pessoa.
Nº 6 | distribuição dos recursos hídricos, da superfície e da população no Brasil.
Nº 7 | desperdício evitável de água.

1. ATIVIDADES

Quais os dados das tabelas citadas não seriam bem apresentados em gráficos? Justifique.
Qual da tabela pode apresentar seus dados em um gráfico de linhas? Execute esta tarefa.
Qual da tabela pode apresentar seus dados em um gráfico de barras superpostas ou
empilhadas? Execute esta tarefa.
Apresentar os dados da tabela 10 em um gráfico de barras.

2. TRABALHANDO COM A CONTA DE ÁGUA

Observe a tabela com o consumo de água dos últimos 12 meses e o consumo médio em metros
cúbitos do Senhor COMPESA.

Média

23 23 18 31 32 30 24 24 25 21 20 31 26

• Calcular o consumo anual familiar
• Calcular o consumo anual per capita
• Calcular o consumo médio mensal familiar
• Calcular o consumo médio familiar diário
• Calcular o consumo médio diário por pessoa
• Construir o gráfico de barras do consumo
• Calcular as variações dos valores do consumo mensal em relação a média.

Obs: atividade adaptada do livro Tratamento da Informação para o ensino Fundamental e Médio de
CAZORLA, Irene Maurício.

31

ENSINO MÉDIO

TABELA Nº 1 - distribuição da água no mundo em trilhões de toneladas e porcentagem

DIVISÃO DA ÁGUA NO MUNDO QUANTIDADE PORCENTAGEM

Água salgada e está nos mares e oceanos 1.235.000 97,300

Água doce e está dividida em: 41.000 2,7000

• congeladas nas calotas polares e geleiras 30.750 75,000

• sub-solo entre 3.750m e 750m (lençóis profundos) 5.652 13,000

• sub-solo acima de 750m (lençóis superficiais) 4.424 10,800

• lagos e lagoas 123 0,300

• rios 12 0,30

• umidade do solo 25 0,060

• atmosfera na forma de vapor de água 14 0,035
(*) utilizam-se três casas decimais para poder representar os valores pequenos

TABELA Nº 2 - evolução do uso da água no mundo

ANO HABITANTES USO DE ÁGUA M3 / HAB / ANO

1940 2,3 X 109 400

1990 5,3 X 109 800

TABELA Nº 3 - consumo médio de água no mundo por faixa de renda

GRUPO DE RENDA USO DE ÁGUA M3 / HAB / ANO

baixa 386

média 453

alta 1.167

32


TABELA Nº 4 - disponibilidade de água por habitante / região (1000 m3)

REGIÃO 1950 1960 1970 1980 2000

África 20,6 16,5 12,7 9,4 5,1

Ásia 9,6 7,9 6,1 5,1 3,3

América Latina 105,0 80,2 61,7 48,8 28,3

Europa 5,9 5,4 4,9 4,4 4,1

América do Norte 37,2 30,2 25,2 21,3 17,5

TOTAL 178,3 140,2 110,6 89,0 58,3

TABELA Nº 5 - disponibilidade anual de água por pessoa (água renovável em m3 / ano)

MELHORES PAÍSES PIORES PAÍSES
3 3
POSIÇÃO PAÍS M / ANO POSIÇÃO PAÍS M / ANO

1º Groelândia 10.767.857 171º Cingapura 149

2º E.U.A 1.563.168 172º Malla 129

3º G. Francesa 812.121 173º Arábia Saudita 118

4º Islândia 609.319 174º Líbia 113

5º Goiana 316.689 175º Ilha Maldivas 103

6º Suriname 292.566 176º Qatar 94

7º Congo 275.679 177º Bahamas 66

8º Papua Nova Guiné 166.563 178º Emirado Árabe 58

9º Gabão 133.333 179º Faixa de Gaza 52

10º Ilhas Salomão 100.000 180º Kuwat 10

25º Brasil 48.314
fonte: http//www.universiabrasil.com.br

33

ENSINO MÉDIO

TABELA Nº 6 - distribuição dos recursos hídricos, da superfície e da população no Brasil

(em % do total do país)

REGIÃO RECURSOS HÍDRICOS SUPERFÍCIE POPULAÇÃO

Norte 68,50 45,30 6,98

Centro-Oeste 15,70 18,80 6,41

Sul 6,50 6,80 15,05

Sudeste 6,00 10,80 42,65

Nordeste 3,30 18,30 28,91

TOTAL 100 100 100

fonte: http//www.moderna.com.br

TABELA Nº 7 - desperdício evitável de água

ATIVIDADE LITROS

Descarga 10

Escovar os dentes 12

Deixar a torneira gotejando durante um dia 46

Ficar 15 minutos no chuveiro 135

Regar o jardim durante 10 minutos 186

Lavar o carro com mangueira durante 30 minutos 216

Um buraco de 2 milímetros no encanamento durante um dia 3.200

34


JOGO COM DADOS
Apresentamos uma proposta para o ensino de probabilidade, utilizando-se um jogo de
dados e a metodologia da resolução de problemas. O jogo proposto foi formulado por Game of
Kasje, citado por Schuh (1968, p.181), através da utilização desse jogo, são formulados
vários problemas, cujas soluções e a adequada intervenção do professor, induzem os alunos a
construção/ reconstrução de todos os conceitos básicos de probabilidade.

Objetivo
Introduzir o conteúdo de probabilidade a partir da utilização de um jogo, explorando a
resolução de problemas.

O Jogo
Este jogo utiliza dois dados e é disputado por dois jogadores, João e Maria. Os resultados
abaixo valem os pontos indicados e resultados diferentes não são pontuados.
(4; 1) ou (1; 4) – 1 ponto (4; 2) ou (2; 4) – 2 pontos (4; 3) ou (3; 4) – 3 pontos
(4; 4) – 4 pontos (4; 5) ou (5; 4) – 5 pontos (4; 6) ou (6; 4) – 6 pontos

Cada jogador poderá efetuar até dois lançamentos. Se não conseguir nenhuma face 4 no
primeiro lançamento, efetua o segundo lançamento com os dois dados. Se conseguiu pelo
menos uma face 4 no primeiro lançamento, reserva este dado e decide se lança ou não o outro
dado mais uma vez. Vence o jogo quem obtiver a maior pontuação. Caso os dois jogadores
obtenham a mesma pontuação o procedimento dado é repetido.

Comentários sobre o jogo
Num primeiro momento todos os alunos deverão jogar. Depois de realizado o jogo, o
professor pode fazer os questionamentos abaixo.
O jogador deverá sempre aproveitar o segundo lançamento?
O segundo jogador possui maior possibilidade de vencer o jogo?
Estamos supondo a utilização de dados com faces equiprováveis. Se o jogador conseguir
(4; 1) ou (1; 4) – 1 ponto no primeiro lançamento, é conveniente lançar o segundo dado mais
uma vez, não existe neste caso possibilidade de piorar sua pontuação.
Se o jogador obteve 3 pontos, (4; 3) ou (3; 4) no primeiro lançamento e decidir lançar o
segundo dado mais uma vez, então ele terá uma chance em 6 de permanecer com a mesma
pontuação, duas chances em 6 de piorar sua pontuação; ou seja; obter a face 1 ou face 2 no
lançamento do segundo dado e possui três chances em 6 (faces 4, 5 ou 6) de melhorar sua
pontuação.
O jogador poderá não marcar pontos ou ter pontuação zero, isto ocorre se nos seus dois
possíveis lançamentos ele não conseguir nenhuma face 4.
João é o primeiro jogador e efetua um ou dois lançamentos. Maria joga posteriormente e
está numa posição melhor de decidir se aproveita ou não o seu segundo lançamento, pois já
conhece a pontuação obtida por João. Para tornar o jogo mais justo deve existir uma alternância
entre João e Maria para ser o primeiro a jogar.
Para a resolução dos problemas, o trabalho deve ser realizado em grupo. Após a solução
de cada problema, um grupo é escolhido para apresentar o resultado. No final, uma pequena
plenária pode ser realizada para discutir a solução apresentada, bem como outras soluções
alternativas.

35

ENSINO MÉDIO

2. EXPERIMENTO ALEATÓRIO, ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO

Os conceitos de Experimento Aleatório, espaço Amostral e Evento serão sistematizados
através das soluções dos problemas a seguir.

Problema 1
Considerando-se apenas o primeiro lançamento dos dois dados, João terá maior
chance em conseguir 1 ponto ou 6 pontos? Justifique sua resposta.

Problema 2
Considerando-se apenas o primeiro lançamento dos dois dados, João terá maior
chance em conseguir 5 ou 4 pontos? Justifique sua resposta.

3. DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE

Até o presente momento o termo probabilidade não foi mencionado, este conceito será
sistematizado nesta seção. Entretanto, os conceitos de Espaço Amostral e Evento, já
sistematizados anteriormente, podem e devem ser utilizados pelo professor.

Problema 3
Se João obteve 1 ponto no primeiro lançamento ele deverá utilizar o segundo
lançamento para melhorar sua pontuação? Justificar sua resposta.

Problema 4
Se João obteve 3 pontos no primeiro lançamento, quais são suas chances em
melhorar, piorar ou manter inalterada sua pontuação se utilizar o segundo lançamento?

Problema 5
Qual a probabilidade de João não obter a face no primeiro lançamento?

Problema 6
Se não obteve 4 pontos no primeiro lançamento, qual a probabilidade de aumentar,
diminuir ou permanecer com esta pontuação se utilizar o segundo lançamento?

1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6

36


CONTANDO PELA ORDEM E PELA NATUREZA

Objetivo
Favorecer que os alunos identifiquem os problemas que são de permutação, arranjo ou
combinação.

Através dos problemas sugeridos abaixo, discuta a resolução destes sem/com o uso de
fórmulas.

1) O professor de desenho pediu a seus alunos que pintassem os quatros abaixo, usando as
cores rosas ou verde. Quantas são as possibilidades diferentes de pintá-los?

1º 2º

3º 4º

2) De quantas formas podemos compor uma comissão de 6 pessoas, sendo três escolhidas de
um conjunto de 5 homens e as outras três escolhidas de um conjunto de 6 mulheres?

3) Tem-se 5 pontos sobre uma reta r e 10 pontos sobre uma reta s paralela a r. Calcule:
a) Quantos triângulos com vértices em 3 desses 15 pontos existem?

b) Quantos quadriláteros com vértices em 4 desses 15 pontos existem?

4) Suponha-se que tenham entrado em cartaz 3 filmes e 2 peças de teatro e que Carlos tenha
dinheiro para assistir a apenas um evento. Quantos são os programas que Carlos pode fazer no
sábado se os programas nunca são simultâneos?

5) Se o exemplo anterior Carlos tiver dinheiro para assistir a um filme e a uma peça de teatro,
quantos são os programas que ele pode fazer no Sábado?

6) Cinco atletas participaram de uma corrida. Quantos resultados existem para o 1ª, 2ª e 3ª
lugar se dois ou mais atletas não podem chegar simultaneamente?

7) Os sanduíches da padaria Regência são famosos, entre os três tipos de pão: pão forma, pão
francês ou pão italiano. Para o recheio há quatro opções: salame, queijo, presunto ou
mortadela. Quantos tipos de sanduíches a padaria oferece usando:
a) Um tipo de pão e um tipo de recheio?

b) Um tipo de pão e dois tipos de recheio?

37

ENSINO MÉDIO

8) O diagrama abaixo ilustra o mapa de uma cidade onde existem 5 avenidas na direção norte-
sul e 4 avenidas na direção leste-oeste (avenidas adjacentes são paralelas e equidistantes). De
quantas formas pode uma pessoa ir do ponto A e dirigir-se ao ponto B, usando o menos caminho
possível?

N B
NO NE

O L

SO SE

S

A

38


EIXO TEMÁTICO: GEOMETRIA
possibilitem os alunos do Ensino Médio a resolver problema que envolva razões trigonométricas
no triângulo retângulo (seno, cosseno, tangente). Propomos que além dos jogos sugeridos, o
professor aprofunde os conceitos envolvidos em que possa se utilizar e interpretar modelos para
resolução de situações-problema que envolvam medições, em especial o cálculo de distâncias
inacessíveis, e para construir modelos que correspondem a fenômenos periódicos.
O trabalho com a interpretação geométrica dos coeficientes da equação de uma reta,
A identificação da equação de uma reta apresentada a partir de dois pontos dados ou de um
ponto e sua inclinação, a determinação do ponto de interseção de duas ou mais retas com a
resolução de um sistema de equações com duas incógnitas e o reconhecimento dentre as
equações do 2º grau com duas incógnitas, as que representam circunferências, são aspectos a
serem aprofundados em geometria analítica.
Destacamos a importância da articulação entre geometria e álgebra. Para que esta
articulação seja significativa para o aluno, o professor deve trabalhar o entendimento de figuras
geométricas, via equações, e o entendimento de equações, via figuras geométricas.

BINGO TRIGONOMÉTRICO
Objetivo
Recordar cálculos relacionados a seno e cosseno e aprofundar com a resolução de
problemas.

Participantes
O número máximo de participantes é 36, correspondente ao número de cartelas por
assuntos. Caso sejam constituídos grupos de dois ou mais alunos, o número de participantes
poderá ser definido pelo professor.

Material
• 25 peças com questões envolvendo seno;
• 25 peças com questões envolvendo cosseno;
• 36 cartelas com resultados de questões envolvendo senos;
• 36 cartelas com resultados de questões envolvendo cosseno.

Regras
As regras do jogo são as mesmas de um bingo tradicional. Cada participante recebe uma
ou mais cartelas e vai preenchendo os números que nelas aparecem, a partir da chamada feita
por uma pessoa que os sorteia. Especificamente para o Bingo Trigonométrico:
- as peças sorteadas contém as questões propostas sobre cada assunto.
- na cartela do aluno aparecem os resultados das questões propostas. O aluno deve
resolver a questões sorteada, descobrir a resposta correta e procurá-la em sua cartela.
Encontrando-a, deve marcá- la com uma pequena peça (grão de milho,feijão ou
botão);
- a pessoa que sorteia deve respeitar um tempo de resolução para cada questão. Cabe ao
professor decidir o tempo mínimo e o máximo.

39

ENSINO MÉDIO

5
QUESTÕES COSSENO cos ð

4 3 2 1
cos ð cos 780° cos 540° cos 480°

6 7 8 9
cos ð cos ð cos ð cos 100 ð

cos x = 0
10 11 12 13
cos x = - cos x = - cos x = -

x x x

14 15 16 17
cos x = -1 cos x = - cos x = 0
cos x =

x x

18 19 20 21
cos x = cos x = cos x = 1 cos x =

x x

cos x =
22 23 24 cos x =
25
cos x = cos x =

x x

40


5
RESPOSTAS COSSENO

4 3 2 1
-1 -

6 7 8 9
- 0 1

10 11 12 13

14 15 16 17

18 19 20 21

22 23 24 25

41

ENSINO MÉDIO

5
QUESTÕES SENO sen

4 3 2 1
sen 3330° sen 1485° sen 330°

6 7 8 9
sen sen sen 40 ð sen

sen x = -1
10 sen x =
11 sen x =
12 sen x = 1 13

sen x = 0 14 sen x = -
15 sen x =
16 sen x = -
17
x

sen x = 0 18 sen x = 19 sen x =
20 sen x =
21
x x x x

sen x =
22 sen x = -
23 sen x = -
24 sen x = -
25
x x x x

42


5
RESPOSTAS SENO -

4 3 2 1
- 1 -

6 7 8 9
-1 0

10 11 12 13

14 15 16 17

18 19 20 21

22 23 24 25

43

ENSINO MÉDIO

1
1
COSSENO
-

0 -
2
COSSENO

-
3
COSSENO
-1

-
4
COSSENO
1

-1
5
COSSENO
-

0
6
COSSENO
-

44


-1 1
7
COSSENO
-

8
COSSENO

-
9
COSSENO
-

0
10
COSSENO

1 - -
11
COSSENO

0
12
COSSENO

45

ENSINO MÉDIO

-
13
COSSENO
-1 -

-1 0
14
COSSENO
-

15
COSSENO

-
16
COSSENO

1
17
COSSENO

18
COSSENO
0 -

46


1
19
COSSENO
-

20
COSSENO
-

- 1
21
COSSENO
0

22
COSSENO

- -1
23
COSSENO
- 1

24
COSSENO
0 -

47

ENSINO MÉDIO

25
COSSENO
-

-1 1
26
COSSENO
0

-
27
COSSENO
-

28
COSSENO
1

-
29
COSSENO
-1 -

30
COSSENO
0

48


-
31
COSSENO

-1 - -
32
COSSENO

0
33
COSSENO

1
34
COSSENO

0
35
COSSENO
-

-1
36
COSSENO
-

49

ENSINO MÉDIO

-
1
SENO
1 -

-1
2
SENO
-

0
3
SENO

-
4
SENO

5
SENO
-

1 0 -1
6
SENO

50


-1
7
SENO
1

-
8
SENO
-

9
SENO
0

0
10
SENO

-
11
SENO
-

-1 - 1
12
SENO

51

ENSINO MÉDIO

-
13
SENO
-1

0
14
SENO
-

-
15
SENO
1

16
SENO
-

- -
17
SENO
-1 1

18
SENO
0

52


- 0
19
SENO
1

20
SENO

21
SENO
- - -1

-
22
SENO

23
SENO
- -1

- 0 1
24
SENO

53

ENSINO MÉDIO

0
25
SENO
1

-
26
SENO
-1

-
27
SENO
-

- -
28
SENO
0

29
SENO
-1 -

1
30
SENO

54


31
SENO
0 -

32
SENO
- -

33
SENO
-1 1

-1
34
SENO
-

35
SENO
0 -

36
SENO
1 -

55

ENSINO MÉDIO

ENCONTRE O PAR
Objetivo
Aprimorar no aluno a compreensão das relações trigonométricas e desenvolver o cálculo
mental com expressões trigonométricas simples.

Participantes
Dois ou três

Material
Uma cópia de baralho de cartas (ver páginas seguintes) e do dado abaixo, montado, com os
valores dos ângulos em graus (0°, 15° E 30°), papel e lápis para registrar os cálculos.atões
envolvendo cosseno.

Regras
• As cartas são embaralhadas e colocadas no centro de uma mesa (ou carteira) com as
faces voltadas para baixo.
• Os participantes decidem a ordem em que cada um irá jogar.
• Em cada jogada, cada um dos participantes retira duas cartas do mente e joga o dado
duas vezes, anotando os valores obtidos.
• Cada jogador deve substituir os valores de x em suas cartas pelos valores dos ângulos
obtidos no dado, escolhendo qual valor, entre os dois sorteados por ele, que colocar em
cada carta.
• Se o jogador, ao calcular o que se pede nas cartas, conseguir dois valores
numericamente iguais, ele permanece com o par de cartas; caso contrário, ele devolve
as cartas para um segundo monte sobre a mesa. Essas cartas não poderão mais ser
utilizadas nas jogadas seguintes.
• Após cada jogador conferir os cálculos dos demais, nova jogada é feita.
• Quando acabarem as cartas do monte inicial, o jogo termina e ganha aquele que tiver o
maior número de cartas.

DADO 0°

15° 30° 15° 30°

0°

56


O valor de AB no triângulo O valor de AC no triângulo A área do triângulo
retângulo ABC retângulo ABC retângulo ABC

B B B

x + 30º
3

60º - x 60º - x
C 3 A C A C 2 A

O valor de AB no triângulo O valor de AC no triângulo O valor de BC no triângulo
retângulo ABC de altura retângulo ABC de altura retângulo ABC, sendo que
AD = 1 AD = 1 AB mede 2 e é um
diâmetro do semicírculo

A A C

1 1

x + 30º x + 30º A 60º - x B
B D C B D C 2

O valor de AC no triângulo A altura BH do triângulo A área BH do triângulo
retângulo ABC, sendo que ABC ABC
AB mede 2 e é um
diâmetro do semicírculo B

B

C
2
1

x + 30º x + 30º
A x + 30º B A C A C
2 H 4
4

57

ENSINO MÉDIO

O valor de O valor de O valor de
sen 3x + cos 3x sen (2x + 60) 2cos (45 - 3x)

O valor de O valor de O valor de
2sen (30 + 2x) 3 - tg 2x 3tg (60º - x)

A altura BH do triângulo A base do triângulo A altura BH do triângulo
ABC isósceles ABC isósceles ABC
B B

B 60º + 2x

60º - x
3
2 2
2
6

60º - x

A H C A C A C

58


O valor da função O valor da função O valor da função
f(x) = 2 - 3 sen2 3x f(x) = 2 cos 2x f(x) = 2 cos2 3x

59

ENSINO MÉDIO

DESCUBRA O GRÁFICO
Objetivo
Discutir a relação algébrica e gráfica de funções polinomiais do 1º e 2º graus.

y=x y = -x y=x+1 y=x-1


a) Que semelhança(s) e que diferença(s) você observa entre os gráficos representados nos
quadros M, N, e O?
b) Que semelhança(s) e que diferença(s) você observa entre os gráficos representados nos
quadros P, Q e R?
c) A análise dos gráficos e a relação com uma das funções abaixo indicadas
d) Ampliar a identificação algébrica dos gráficos.

A) y B) y
C) y

x -2 +2 x
2 x

-4

D) y E) y y
F)

9

x

-8 4 x
x

( ) y = x²- 4 ( ) y = x² + 4x + 4 ( ) y = (1/2) x2 + 9
( ) y = 2x² ( ) y = - 2x² + 8x ( ) y = -x + 4

60


PONTO DE INTERSECÇÃO
Objetivo
Relacionar a determinação do ponto de intersecção de duas ou mais retas coma
resolução de um sistema de equações com duas incógnitas.

Sugestão
Discutir com os alunos qual sistema de equações corresponde cada gráfico abaixo.
Depois solicitar que determine a solução dos sistemas algebricamente.

{ { { {
x
x+y=4 x + y = -2 y = 2 +2 x+y=0
a) b) c) d)
y-x=1 y = 2x + 1 x + y = -1 y-x=2

I. y II. y III. y

x x x

IV. y V. y

x

x

61

ENSINO MÉDIO

CAPTURANDO PONTOS
Objetivo
Aprimorar a compreensão dos intervalos numéricos, identificar as propriedades da
circunferência, apropriar-se de sua equação e representar pontos no plano cartesiano, Tendo
como base um intervalo determinado, são os objetivos deste jogo.

Organização
Dividir os alunos em duplas.

Material
• moeda
• lápis
• compasso
• um tabuleiro para cada jogador, feito com papel quadriculado conforme indicado.

Regras
1. Cada jogador marca em seu tabuleiro 10 pontos sem que o seu adversário veja. Esses
pontos podem ficar em qualquer posição desde que dentro dos limites do tabuleiro, ou seja,
pontos (x,y) com -10 ¡Ü ¡Ü e -10 ¡Ü ¡Ü e X º Y º Z.
x 10 Z 10

2. Decide-se quem começa e os participantes jogam alternadamente

3. Na sua vez, o jogador lança a moeda e diz a equação de uma circunferência da
seguinte forma: “(x-a)2 + (y – b )2 = r2 , onde r é 1 se a moeda tiver caído em cara e r é 2 se a
moeda tiver caído coroa “.As coordenadas do centro (a,b) são escolhidos pelo jogador

4. O Adversário traça, então, a circunferência correspondente em seu tabuleiro e
anuncia quantos de seus pontos o outro jogador capturou.

5. Os pontos serão capturados quando estiverem no interior da circunferência ou
pertencerem ela.

6. Ganha o jogo aquele que conseguir capturar primeiro os 10 pontos de seu oponente.

EXPLORANDO O JOGO

Está na vez de Júlio jogar. Ele diz a César a equação ( x – 1 )2 + ( y – 5 )2 = 4 . Este traça
a circunferência e anuncia que Júlio fez 5 pontos dos quais 3 pertencem á circunferência.

Quais os possíveis pontos, atingidos por Júlio, que pertencem á circunferência?

• Até quantos pontos podem ser capturados se a circunferência possuir raio 1 ?E se o
raio for 2?
• Liste todos os pontos que a circunferência de raio 2 e centro (-5;-5) pode atingir.

62


• Quero atingir o ponto (10;10). Tirei cara na moeda. Escreva alguns possíveis centros
que posso escolher?
• Lúcio obteve coroa ao lançar a moeda. Quer atingir o ponto (-10; 4). Escreva três
centros que Lúcio pode escolher?

IMPORTANTE

Os alunos podem produzir uma lista de dicas para vencer o jogo, ou resolver problemas a
partir do jogo, como, por exemplo:

Das equações a seguir, qual(ais) delas atinge o ponto(9;-6)?

a) (x-9)2+(y+4)2=4
b) (x-9)2+(y-4)2=1
c) (x+11)2+(y+6)2=4
d) (x-9)2+(y+5)2=1
e) (x-7)2+(y-6)2=4

Criar uma lista de exercício para serem resolvidos a partir do jogo e depois trocar com um
colega para que resolva a lista do outro.

y

10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10

63

ENSINO MÉDIO

É CIRCUNFERÊNCIA?
Objetivo

Reconhecer dentre as equações do 2º grau com duas incógnitas, as que representam
circunferências.

a) x²+y²-8x+6y+1=0

b) x²+y²+xy+4x+6y-3=0

c) 2x²+y²+4x-2y+1=0

d) 3x²+3y²-12x-15y-6=0

e) 4x²-4y²=0

f) (x-5)²+(y-3)²=-5

g) x²-10x+25+y²=0

Escreva uma equação para cada circunferência de centro O:

y y
A) B)

0 0 x 0 x
0

y
C)
0 x

0

64


EIXO TEMÁTICO: NÚMEROS E OPERAÇÕES / ÁLGEBRA E FUNÇÕES
possibilitem os alunos do Ensino Médio a resolver problemas envolvendo equação do 1º e 2º
grau, reconhecer a expressão algébrica que representa uma função a partir de uma tabela,
possam analisar crescimento/decrescimento, zeros de funções reais apresentadas em gráficos.
Esperamos que os alunos possam reconhecer a representação algébrica de uma função
do 1º e 2º graus dado o seu gráfico, reconheçam o gráfico de uma função polinomial por meio de
seus coeficientes ou vice-versa e resolvam problemas que envolvam os pontos de máximo ou de
mínimo de uma função polinomial do 2º grau.
O ensino de funções, não deve descuidar de mostrar que o que está sendo aprendido
permite um olhar mais crítico e analítico sobre as situações descritas.
As funções exponencial e logarítmica, por exemplo, são usadas para descrever a
variação de duas grandezas em que o crescimento da variável independente é muito rápido,
sendo aplicada em áreas do conhecimento como matemática financeira, crescimento de
populações, intensidade sonora, pH de substâncias e outras.
Relembramos que a origem do conceito de função está intimamente ligado à
necessidade do homem de registrar regularidades observadas em fenômenos e generalizar leis
e padrões.
As idéias essenciais envolvidas no conceito de função devem ser trabalhadas ao mesmo
tempo que as formas de representar funções.
Nas atividades que se seguem, são trabalhadas as representações gráfica e analítica de
uma função, a partir da discussão de uma função real, descrita verbalmente. O uso da
linguagem oral e escrita deverá auxiliar a passagem de uma dessas formas de representação
para a outra e a explicitação de noções como: dependência, domínio, variável e generalização.
Todas as atividades propostas podem ser usadas como introdução à linguagem algébrica, de
uma maneira mais significativa.
A resolução de problemas envolvendo P.A./P.G. pode ser articulado com outros
conceitos matemáticos, a exemplo, com o ensino de funções
A identificação da representação algébrica e/ou gráfica de uma função logarítmica,
reconhecendo-a como inversa da função exponencial deve ser aprofundado. Assim como,
identificar gráficos de funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente) deve ser trabalhado
no reconhecimento de propriedades.
Entendemos que o estudo sobre os sistemas lineares necessitam de uma revisão sobre a
resolução de sistemas de duas equações e duas incógnitas para sistemas lineares 3 por 3.

65

ENSINO MÉDIO

AS CAMISAS PENDURADAS
Objetivo
Representar a lei geral de uma expressão a partir da análise de situações, ao menos em
palavras, sem a necessidade do uso de tabelas.

Organização
Trabalhar em duplas.

D. Lourdes lavou as camisas do time de futebol de seu neto Cacá e vai colocá-las para
secar da seguinte maneira:

- cada camisa é presa por dois pregadores;
- cada camisa é ligada à seguinte por um pregador.

a) Tente fazer um desenho que represente essa situação.

b) Quantos pregadores D. Lourdes usará para pendurar 8 camisas?

c) E 10 camisas?

d) E 11 camisas?

e) D. Lourdes comprou duas cartelas de 12 pregadores cada. Esse número de
pregadores é suficiente para prender as camisas de 22 pregadores?

f) Escreva uma expressão que represente o número de pregadores necessários para
pendurar um número qualquer de camisas. Se precisar, construa uma tabela.

Observação
Os alunos que já possuem uma experiência com álgebra concluem facilmente toda a
atividade, chegando à abstração. Porém, os que não possuem esta vivência demonstram uma
certa dificuldade em generalizar. Neste caso, sugere-se ao professor o uso da tabela par
facilitar a abstração

66


OS TRIÂNGULOS COM PALITOS
Com os palitos de fósforo, construa um triângulo.

a) Quantos palitos você usou?

Continue a formar outros triângulos como na figura:

b) Ao formar três triângulos, quantos palitos você usou?

E se você formar cinco?

E se formar dez?

E se formar 65?

c) Se alguém quiser saber quantos palitos serão usados para formar um número n
qualquer de triângulos, você saberia escrever uma expressão para ajudá-lo?

d) Verifique se essa expressão dá o número de palitos que você usou para fazer 5
triângulos. O mesmo para 3 triângulos.

e) Descubra agora quantos palitos são necessários par formar 58 palitos.

f) Tendo 85 palitos, quantos triângulos pode-se formar? E tendo 168? Explique as suas
respostas.

g) Para qualquer número ímpar p de palitos, é possível encontrar n? Experimente alguns
números.

h) Você saberia escrever uma expressão que desde o número n de triângulos formados
com qualquer número ímpar p de palitos?

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