1. 3) MECÁNICA CUÁNTICA

2.  F.CLASICA : Determinista
Y g
t=0 t=1
y Vo
X
{1900} F.CUÁNTICA : Indeterminista
1
e-
2
{1925} , W Heisenberg
Mecánica Matricial : [ ] estados
{1926} E Schroedinger
 Mecánica ondulatoria
O : y = y ( x, t ) 

E = E ( x, t )  Ψ ( r , t )
E = E (r , t ) 
{1929} CUÁNTICA - RELATIVIDAD , Dirac - Sommerfeld

3. 3.1) Experimento de la doble
rendija
1
e-
D
2
D’
pantalla
La radiación de e-s sobre las rendijas 1 y 2 produce un patrón de interferencia
por difracción en la pantalla. Esta interferencia tiene que entenderse como
producida por una “presencia” del electrón tanto en 1 como en 2.

4. Si el experimento se realiza anulando una de las rendijas se obtendrían patrones
típicos para c/u de ellos. Es más, si se superpone el experimento por una y luego por
la otra, el patrón final no mostraría interferencia.
Y’ α)
2
1 Ψ1 2 2
e- Ψ1 + Ψ2
X’
2
Y’
β) 2
1 Ψ2
e-
X’
2
Si los estados de los electrones son descritos por funciones Ψ, Ψ1:e-s por 1 y
Ψ2:e-s por 2, entonces, las probabilidades de encontrar a los electrones en Y se
2
determina con los Ψ por lo tanto, las curvas de probabilidad
,
correspondientes a α y β son solo función de los estados Ψ1 y Ψ2
correspondientes e inclusive cuando se superponen en el experimento.

5. Sin embargo el resultado original muestra interferencia, esto es, los estados e-s
deben de influirse en 1 y 2 para que el patrón se pueda explicar, por lo tanto , el
estado del e- debe de especificarse así:
Ψe= Ψ1+ Ψ2
De esta forma, al determinar la probabilidad para un e- se justifica la
interferencia,
2 2 2 2
Ψe − = Ψ1 + Ψ2 = Ψ1 + Ψ2 + 2 Ψ1 Ψ 2 cos φ
φ : desfasaje entre Ψ1 ∧ Ψ2
En este experimento el e- esta deslocalizado debido a que deberá
estar presente en 1 y 2.

6. 3.2) PRINCIPIOS DE INCERTIDUMBRE
DE HEISENBERG
i) DE LA POSICIÓN Y DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO (r y p)
∆x : incertidumbre de la posición
p
∆p : incertidumbre de la cantidad de
x movimiento lineal
 Esta relación describe una interacción con
∆∆ ≥
x p el sistema que no se puede controlar, es
2 proceso del universo.
ii) DE LA ENERGÍA Y DEL TIEMPO
∆E : incertidumbre de la energía

∆ ∆ ≥
E t
2 ∆t : incertidumbre del tiempo

7. 3.3) FUNCIÓN DE ONDA Ψ
Es la función que describe el estado del sistema. Esto es, en ella está contenida
toda la información del sistema.
r = r (t ) → v → a
r P r = r (t ) → continua
T r r
d 2r r
2da Ley : FRES = m 2 → r
dt
ur uur
" OEM : E − B "
E → E ( x, t ) E ( x, t ) = EM sen{kx − wt + φ}
E c de OEM
∂2E 1 ∂2 E
= 2 2 →v=c
∂x 2
v ∂t

8. e- = e- = Ψ
X
ψ ( x, t ) = ψ ( x, t ) = ψ ( x )
ψ ( x) → x Valores
asociados
{ PSI } v
H Ψ=E Ψ
M Ec. de Schroedinger
CF Probabilidad
La Ψ no es cuantificable, NO OBSERVABLE, sin embargo
las mediciones se efectuarán con |Ψ|2 ,el cual se interpreta como
densidad de probabilidad.

9. |Ψ|2 : densidad de probabilidad …
Indica la probabilidad de encontrar a la partícula
en cierto volumen y en cierto tiempo.
|Ψ|2dv :… en el V=dv
|Ψ(x)|2dx : probabilidad de encontrar a la partícula en dx
v
P
x
a b
x←X
b
" x": [ a, b] → Pab = ∫ Ψ( x ) dx
2
a

10. Debido a que la partícula debe encontrarse en el eje X, se establece la
condición de normalidad de Ψ,
∞
∃ de la partícula en X!
∫ ψ dx = 1
2
−∞
Las CF se describen usando sus valores esperados , CF <CF>
∞
CF = ∫ {CF } ψ 2 dx
−∞
Ψ: Describe al sistema
Ψ  Interpretar

11. Ejemplo: Problema de la partícula
en una caja
m v
x
L
La partícula de masa m se mueve en una caja de lado L con
velocidad v.
Estado Cinemático: v Discretizar
Sistema restringido: x < 0,L>

12. Este confinamiento de m es lo que producirá, en la versión cuántica del
problema, los estados discretos,
Ψ Ψn  En ; n =1,2,3,…
Debido a que la v = cte y al confinamiento, entendiendo a este último
como que m no podría estar en X=0 o L , la función de onda que
describe los estados de m es,
ψ ( x) ≡ A sen { kx}
Donde 2π se escogerá de tal manera que describa la
k=
λ probabilidad cero de encontrar a m en x=0 o L,
kx =nπ, x =0, L
kL =nπ ; n =1, 2, 3 ,...
nπ 2π
kn = =
L λ
 2π 
n
λ
→ n =
2L
,νn ≡
nv ψ n ( x) ≡ Asen  x  ; n = 1, 2,3,...
n 2L  λn 

13. Estos n estados de m tienen asociadas energías, Ek,n dadas por
{ λ}
2
h
1 pn 2 h2
Ekn = mvn =
2
= n
=
2 2m 2m 2λn 2 m
2
Ψ Ψ
  Principio de

 
 incertidumbre
 h 
  2 L 
 ÷ 0 L
=

  n 
2 2
 = h n =E =E v=cte
k ,n n
2m 8 L2 m
π  h2 2
ψ n ( x) = ASen  nx  , Ek ,n = n
L  8mL
En (E1)
n
Ψn =| Ψn |
2 2
Ψn
L/3 2L/3 9 3
L/3 2L/3
4 2
1 1
0 L/2 L 0 L/2 L

14. 3.4) LA ECUACION DE SCHROEDINGER
Es la ecuación que debe satisfacer las funciones de onda Ψ y puede
ser tan compleja como uno desee en el contexto de acercarse mejor a
la descripción del problema físico. Por ejemplo,
1. HΨ=E Ψ Estados estacionarios
H: Hamiltoneano operador de energía.
E: energía del estado estacionario.
2. Ec de Schroedinger
F. clásica Física Cuántica
2
 v
ψ ( x, t ) = Aψ ( x)Cos { wt} .......................(α )
2 2π 2
w  2πυ   λ   p 
2
=  =  = 
∂ 2ψ ( x, t ) 1 ∂ 2ψ ( x, t ) 2
v  v   v   h
= 2 ..........................( β )
∂x 2 v ∂t 2  
 ∂ 2ψ ( x, t )  1
 Cos { wt} = 2 { Aψ ( x , t )} { −w Cos { wt} }
2
A
 ∂x
2
 v
∂ 2ψ ( x, t ) w2 − p2
= − 2 , ψ ( x , t ) = 2 ψ ( x, t )
∂x 2 v h

15. …..... Ec de Schrodinger
E = Ek + E p = cte
p2
Ek = = E − E p → p 2 = 2m ( E − E p )
2m
∂2 2m
ψ ( x) = − 2 { E − E p } ψ ( x )
∂x 2 h
3. Caso general
∂ h2 2
ih ψ ( r , t ) = − ∇ ψ (r , t ) + V (r , t )ψ (r , t )
∂t 2m h2 ∂
− ψ + Ep ψ = Eψ
2m ∂ x 2
h2 2  ∂
− ∇ ψ + vψ = ih ψ
∂2 ∂2 ∂2 2m  ∂t 
ψ + 2ψ + 2ψ
∂x 2
∂y ∂z  h2 
− + v ψ = Eψ
 2m 

16. Resolviendo el ejercicio…
∂2 2m
0 − L : 2 ψ = − 2 Eψ
∂x h
..
∞ ∞ x + α x = 0 → x(t ) = ASen{wt}
Ep  2mE 
 
ψ ( x) = ASen  2
x
 h 
 
v
π 
→ ............ = ASen  nx 
x L 
0 L h2 2
En = 2
n
8mh
∞ L
A → Normalización : ∫ ψ dx = 1 = ∫ A2 Sen 2 (cx)dx
2
%
−∞ 0
2
A=
L