Tema de álgebra Relaciones binarias.

1. Relaciones Binarias: LlamamosrelaciónbinariaalarelaciónR existenteentre doselementos
a y b, de dos conjuntosA y B respectivamente.Indicandoque el elementoa estárelacionadocon
b.
Esta relaciónse puede denotarde diversasformas:
1- Como paresordenados(a,b).
2- Indicandoque a R b.
3- Como unamezclaentralos dosanterioresR(a,b).
Al conjuntode todosloselementosrelacionadosmediante larelaciónRenun conjuntolo
denotamoscomoR(M)
Nota:Usaremos lasletrasR, S,T, etc.,para representarrelaciones.
Ejemplos
1. Si X = {a, b, c, d} e Y = {1, 2, 3, 4, 5}, unarelaciónde X enY esR = {(a,2), (b,1), (b,4), (c,5)}
2. La siguiente relaciónSde Ren R S = { (X,Y) Î R x R / X £ Y } esla relación"menoroigual"enR. En
este caso X S Y Û X £ Y
3. Sea U el conjuntoreferencial.Larelaciónde inclusiónenP(U) eslarelación
R = { (A,B) Î P(U) x P(U) / A Ì B }
Dominio y Rango:
Definición:SeaRuna relaciónde Xen Y
El Dominiode Res el conjunto
Dom(R) = { xÎ X / (x,y) ÎR,para algúny Î Y}
El Rango o imagende R esel conjunto
Rang(R) = { y Î Y / (x,y) Î R, para algúnx Î X }
En otros términos,el dominioylaimagende unarelaciónestánconstituidosporlosprimerosy
segundoscomponentesrespectivamente de los paresordenadosque constituyenlarelación.
Ejemplo:
La relaciónR={ (a, 2) , (b,1) , (b,4) , (c, 5) } tiene comodominioel conjuntoDom(R) = { a, b,c} y
rango a rang (R) = { 1, 2, 4, 5 }, ya que a,by c estánenel primercomponente de lospares
ordenadosy1,2,4,5 estánenel segundocomponente de cadapar.

2. Representación gráficade relaciones
Existenvariasformasde representargráficamente unarelación.Lasmásusualessonlas
siguientes:RepresentaciónCartesiana,Matricial ySagitaria.
RepresentaciónCartesiana
Para obtenerunarepresentacióncartesianade unarelación,se tomancomoabscisaslos
elementosdel conjuntode partida;ycomoordenadas,el conjuntode llegada.Enel planose
marcan lospares ordenadosque conformalarelación.Estarepresentaciónalcanzasumayor
importanciacuandoel conjuntode partiday el de llegadasonsubconjuntosde R.
Ejemplo 1
si X={ a, b, c, d} e Y={ 1, 2, 3, 4, 5} una relaciónde XenY
R={ (a, 2), (b,1), (b,4), (c,5) }
La representacióncartesiana esel diagramaadjunto.
RepresentaciónSagital
La representaciónsagital se usacuandolosconjuntosde partidayllegadasonfinitos.La
representaciónsagitalse obtiene representandomediante diagramasde Vennel conjuntode
partiday el de llegada;uniendoluego,conflechas,loselementosrelacionados.Así,la
representaciónsagitalde larelacióndel ejemplo1esel siguiente diagrama:
Si el conjuntode partiday el de llegadacoinciden,se usaunsolodiagramade Venny lasflechasse
representaninteriormente.Así,el diagramasiguienterepresentaala siguiente relaciónenX={ a,
b, c, d }
S= { (a, b),(b,b),(a, d),(b,c), ( d, d) }
Matriz Binaria
La representaciónmatricial se usacuandolosconjuntosde partidayde llegadade larelaciónson
conjuntosfinitosconpocoselementos.Paraobtenertal representación,se asignaacada
elementodelconjuntode llegadaunacolumna;ya cada elementodel conjuntode partida,una
fila.
Si (x,y) estáenla relación,enlaintersecciónde lafilaque correspondeax con la columnaque
corresponde aY, escribimos 1;y escribiremos0encaso contrario.La configuraciónrectangularde
cerosy unos que se obtiene se llamamatrizbinariade larelación.
Así, lamatriz de la relación.R={(a,2),(b,1), (b,4), (c,5)}

3. Relación Inversa
SeaR unarelaciónde X enY. Se llamarelacióninversade Ra la relaciónR-1de Y enX dada por:
R-1 = { (y,x) Î Y x X / (x,y) Î R}
O sea,Y R-1 X Û X R Y
Es evidente que se verificaque:
dom(R-1)=rang(R) 2. Rang( R-1)= dom( R)
Ejemplo
Si X= { a, b,c } Y= { 1, 2, 3, 4 } y R Ì X x Y esdado por
R= { (a,3) , (a, 1) , (b,1) , (c, 4) }
R-1= { (3, a) , ( 1, a) , (1, b) , (4, c) }
AdemásdomR-1={ 1, 3, 4 } = rang( R)
Rang(R-1)={ a, b, c } = dom( R)
El siguienteteoremanosdice que lainversade lainversade unarelacióneslamismarelación.
Teorema:SeaR una relaciónde Xen Y. Entonces(R-1)-1= R
Demostración
X(R-1)-1Y Û Y R-1 Xdefiniciónde relacióninversa
Û X R Y
Luego,(R-1)-1= R
Composición de Relaciones
SeaR unarelaciónde X a Y y S unarelaciónde Y en Z. Se llamacomposiciónde Rcon S a la
siguiente relaciónde XenZ:
X(So R) Z Û $ YÎ Y, X R Y Ù Y S Z

4. Observación
En la composiciónde Rcon S, esnecesarioque el conjuntode llegadade Rseaigual al conjuntode
partidade S.
Observartambiénque el ordenenque se escribenRyS en lacomposiciónSo R es inversoal
ordenenque se danR y S.
Ejemplo
SeanX={ 2, 3, 5 } , Y= { a, b, c, d } y Z= { 1, 4, 9 }
Si R y S sonlas relacionesde XenY y de Y enZ respectivamente,dadaspor
R= { (2,a) , (2, d) ,(3, c) , (5, a) } ,
S= { (a, 9) , (b,1) , (d,4) }
Entonces:
SoR = { (2, 9) , (2, 4) , (5, 9) }
Teorema:Si R es unarelaciónde X enY, S es unarelaciónde Y en Z y T es una relaciónde ZenW,
entonces:
T o ( S o R ) = ( T o S ) o R
Demostración
X( T o ( S o R ) W Û $ z Î Z , x(So R)zÙ z T w Û $ z Î Z, ( $ y Î Y, x R y Ù y S z) Ù z T w
Û $ y Î Y, x R y Ù ($ z Î Z,y S z Ù z T w )$ y Î Y, x R y Ù y(To S) w
Û x ( ( T o S ) o R )w
Luego,T o ( S o R ) = ( T o S ) o R
Teorema:Si R es unarelaciónde X enY y S enuna relaciónde Y enZ, entonces(SoR)-1 = R-1 o S-1
Demostración
z ( S o R )-1 x Û x ( S o R )z
Û $ y Î Y , x R y Ù y S z
Û $ y Î Y , y R-1 x Ù z S-1 y
Û $ y Î Y, z S-1 y Ù y R-1 x
Û z( R-1 o S-1)x

5. Luego,( S o R )-1 = R-1 o S-1