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UNIDAD 3:
TRIGONOMETRÍA

      CLASE DE HOY:

 “Razones Trigonométricas
de un Triángulo Rectángulo”

                Trigonometría   1
OBJETIVOS

Que     conozcas      las              Razones
           Trigonométricas.

Que   resuelvas Triángulos Rectángulos
en algunos problemas sencillos.



                        Trigonometría             2
REPASO
¿Qué eran los ángulos
complementarios?

¿Cómo   era el Teorema de Pitágoras?




                      Trigonometría     3
Me  acuerdo, ¿qué es un triángulo
rectángulo?
            a
¿Cómo se llaman sus lados?

                   α
                         Hipotenusa
      Cateto


                                       β
               c                                b
                       Cateto

                                Trigonometría       4
RAZONES
                    TRIGONOMÉTRICAS




       DIRECTAS                           INVERSAS




SENO   COSENO     TANGENTE   COSECANTE     SECANTE       COTANGENTE




                                         Trigonometría            5
RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
Se llaman razones trigonométricas a
aquellas que relacionan las longitudes
de los lados de un triángulo rectángulo
con los ángulos agudos del mismo.




                       Trigonometría      6
RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
Para cada uno de los ángulos agudos de
un triángulo rectángulo, uno de los catetos
es el adyacente y el otro es el opuesto.
                 a

                     α
Cateto opuesto a α
Cateto adyacente a
β
                                    β
                c                              b
                     Cateto adyacente a
                     α
                     Cateto opuesto a β
                               Trigonometría       7
Las razones trigonométricas se definen
de la siguiente manera:

 Seno de un ángulo:
Es la razón entre el cateto opuesto y la
hipotenusa.


          sen α = cateto opuesto
                    hipotenusa


                         Trigonometría     8
 Coseno de un ángulo:
Es la razón entre el cateto adyacente y la
hipotenusa.
          cos α = cateto adyacente
                     hipotenusa


Tangente  de un ángulo:
Es la razón entre el cateto opuesto y el cateto
adyacente.
          tan α = cateto opuesto
                 cateto adyacente

                           Trigonometría          9
Las siguientes razones trigonométricas
son las inversas de las anteriores:

   Cosecante α = 1          = hipotenusa
                 sen α       cateto opuesto

   Secante α = 1       = hipotenusa
              cos α     cateto adyacente

   Cotangente α =     1     = cateto
    adyacente
                     tan α       cateto opuesto
                             Trigonometría        10
Veamos algunos ejemplos
sencillos…
   Ejemplo 1: Halle y en el siguiente
    cuadrado.

                                y


sen α = C.O. ⇒ sen 45º = y 00
         H              10 cm
                        y ≅ 7,07 cm
⇒ y = 10 cm ∙ sen 45º ⇒
                             Trigonometría   11
   Ejemplo 2: encuentre β:


                   15 cm



                         β
                 12 cm

cos β = C.A ⇒ cos β = 12 cm ⇒ cos β =
  0,8
        H             15 cm
      β ≅ 36º 52’ 12”
⇒
                              Trigonometría   12
RESOLUCIÓN DE
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Resolver un triángulo rectángulo
significa conocer el valor de sus tres
ángulos y sus tres lados. Para ello se
deben conocer:

Un ángulo agudo y un lado, o
Dos lados.
                      Trigonometría      13
Para resolver un triángulo rectángulo se siguen
los siguientes pasos:

 1)   Se dibuja un triángulo rectángulo y se
      designa con letras a sus elementos.
 2)   Los datos se escriben sobre el propio
      triángulo.
 3)   ¿Qué fórmulas o razones trigonométricas
      relacionan los datos e incógnitas?
 4)   Se escriben tales relaciones de las que
      resultarán las incógnitas.
 5)   Se calcula el valor de las incógnitas.
 6)   Se discute la solución.
 7)   Se comprueban los resultados.
                                 Trigonometría 14
Ejemplo 3: resolver el siguiente triángulo
  rectángulo:            a
 α = 37º 20’
                      α
                          20 cm
                                                α + γ = 90º
                                                γ = 90º - α
                                          γ = 90º - 37º 20’
            c             b
                                                γ = 52º 40’

tan α = C.O                   ab2 + bc2 = ac2
        C.A                   ac = √ab2 + bc2
tan 37º 20’ = cb   0          ac = √(20cm)2 +
            20cm              (15,25cm)2
                              ac ≅ 25, 15 cm
cb = 20cm ∙ tan 37º 20’
cb ≅ 15,25 cm                      Trigonometría              15
PARA TENER EN CUENTA!




            Trigonometría   16
¡A RESOLVER
PROBLEMAS!
1)   ¿Cuál es el ángulo de elevación del sol
     cuando un mástil de 24 metros proyecta una
     sombra de 16 metros?

2)   ¿Cuál es el área de un triángulo isósceles,
     cuya base mide 18 cm y el ángulo opuesto a
     ella mide 34º 50’?

3)   El perímetro de un triángulo isósceles es de
     26 cm y su base mide 10 cm. ¿Cuál es el
     valor de sus ángulos interiores?
                               Trigonometría        17
Trigonometría   18
PARA MÁS CONSULTAS
PUEDES VISITAR …

http://www.sectormatematica.cl/proyectos/agudo.htm

http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4eso
  matematicasB/trigonometria/index_quincena7.htm




                                Trigonometría          19
MUCHAS GRACIAS!!!




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  • 1. UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA CLASE DE HOY: “Razones Trigonométricas de un Triángulo Rectángulo” Trigonometría 1
  • 2. OBJETIVOS Que conozcas las Razones Trigonométricas. Que resuelvas Triángulos Rectángulos en algunos problemas sencillos. Trigonometría 2
  • 3. REPASO ¿Qué eran los ángulos complementarios? ¿Cómo era el Teorema de Pitágoras? Trigonometría 3
  • 4. Me acuerdo, ¿qué es un triángulo rectángulo? a ¿Cómo se llaman sus lados? α Hipotenusa Cateto β c b Cateto Trigonometría 4
  • 5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS INVERSAS SENO COSENO TANGENTE COSECANTE SECANTE COTANGENTE Trigonometría 5
  • 6. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Se llaman razones trigonométricas a aquellas que relacionan las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo con los ángulos agudos del mismo. Trigonometría 6
  • 7. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Para cada uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, uno de los catetos es el adyacente y el otro es el opuesto. a α Cateto opuesto a α Cateto adyacente a β β c b Cateto adyacente a α Cateto opuesto a β Trigonometría 7
  • 8. Las razones trigonométricas se definen de la siguiente manera:  Seno de un ángulo: Es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. sen α = cateto opuesto hipotenusa Trigonometría 8
  • 9.  Coseno de un ángulo: Es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. cos α = cateto adyacente hipotenusa Tangente de un ángulo: Es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. tan α = cateto opuesto cateto adyacente Trigonometría 9
  • 10. Las siguientes razones trigonométricas son las inversas de las anteriores:  Cosecante α = 1 = hipotenusa sen α cateto opuesto  Secante α = 1 = hipotenusa cos α cateto adyacente  Cotangente α = 1 = cateto adyacente tan α cateto opuesto Trigonometría 10
  • 11. Veamos algunos ejemplos sencillos…  Ejemplo 1: Halle y en el siguiente cuadrado. y sen α = C.O. ⇒ sen 45º = y 00 H 10 cm y ≅ 7,07 cm ⇒ y = 10 cm ∙ sen 45º ⇒ Trigonometría 11
  • 12. Ejemplo 2: encuentre β: 15 cm β 12 cm cos β = C.A ⇒ cos β = 12 cm ⇒ cos β = 0,8 H 15 cm β ≅ 36º 52’ 12” ⇒ Trigonometría 12
  • 13. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Resolver un triángulo rectángulo significa conocer el valor de sus tres ángulos y sus tres lados. Para ello se deben conocer: Un ángulo agudo y un lado, o Dos lados. Trigonometría 13
  • 14. Para resolver un triángulo rectángulo se siguen los siguientes pasos: 1) Se dibuja un triángulo rectángulo y se designa con letras a sus elementos. 2) Los datos se escriben sobre el propio triángulo. 3) ¿Qué fórmulas o razones trigonométricas relacionan los datos e incógnitas? 4) Se escriben tales relaciones de las que resultarán las incógnitas. 5) Se calcula el valor de las incógnitas. 6) Se discute la solución. 7) Se comprueban los resultados. Trigonometría 14
  • 15. Ejemplo 3: resolver el siguiente triángulo rectángulo: a  α = 37º 20’ α 20 cm α + γ = 90º γ = 90º - α γ = 90º - 37º 20’ c b γ = 52º 40’ tan α = C.O ab2 + bc2 = ac2 C.A ac = √ab2 + bc2 tan 37º 20’ = cb 0 ac = √(20cm)2 + 20cm (15,25cm)2 ac ≅ 25, 15 cm cb = 20cm ∙ tan 37º 20’ cb ≅ 15,25 cm Trigonometría 15
  • 16. PARA TENER EN CUENTA! Trigonometría 16
  • 17. ¡A RESOLVER PROBLEMAS! 1) ¿Cuál es el ángulo de elevación del sol cuando un mástil de 24 metros proyecta una sombra de 16 metros? 2) ¿Cuál es el área de un triángulo isósceles, cuya base mide 18 cm y el ángulo opuesto a ella mide 34º 50’? 3) El perímetro de un triángulo isósceles es de 26 cm y su base mide 10 cm. ¿Cuál es el valor de sus ángulos interiores? Trigonometría 17
  • 19. PARA MÁS CONSULTAS PUEDES VISITAR … http://www.sectormatematica.cl/proyectos/agudo.htm http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4eso matematicasB/trigonometria/index_quincena7.htm Trigonometría 19
  • 20. MUCHAS GRACIAS!!! Trigonometría 20