Este documento resume las desigualdades de Hermite-Hadamard y Jensen para funciones convexas definidas en un intervalo, incluyendo definiciones, ejemplos y pruebas. También presenta resultados relacionados como desigualdades integrales y aplicaciones en teoría de aproximación y optimización.

1. UNIVERSIDAD DE PANAMÁ
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y
TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
II CONGRESO NACIONAL DE MATEMÁTICA
XXI SEMANA DE LA MATEMÁTICA
12 al 16 de septiembre de 2011
Prof. Eloy E. Rico R.

2. SOBRE ALGUNAS DESIGUALDADES EN LAS
FUNCIONES CONVEXAS
Desigualdad Hermite-Hadamard (H-H)
Sea una función convexa definida en el intervalo
I de ℝ, entonces para todo a,b de I, con a≠b se
tiene la siguiente doble desigualdad, conocida
como la desigualdad de Hermite-Hadamard (H-H):

3. Nuestros Personajes
Charles Hermite
(1822-1901)
Jacques Hadamard
(1865-1963)
Johan Ludwig William Valdemar Jensen
(1859-1925)
Tiberiu Popoviciu (1906-1975)

4. Sea una función definida en un intervalo I =[a,b] de los reales, se dice
que es una función convexa, si para todo , ∈ I, ∈[0,1], se tiene que :
( +(1- ) ) ≤ ( )+(1- ) ( )

5. Una definición equivalente de la convexidad de
, geométricamente observada ,es la siguiente:
Para probar la desigualdad de (H-H), integramos esta
definición de convexidad sobre [a,b], con ello obtenemos
fácilmente la parte derecha, esto es:
nos da:

6. Para la parte izquierda de la desigualdad, se consideran dos
sub-intervalos en [a,b] como: [a,(a+b)/2] y [(a+b)/2,b], de
manera tal que:
Trabajando la primera integral de la derecha, con la
sustitución:
y la segunda integral con :

7. Lo que nos daría la siguiente expresión:
o bién:

8. Por la convexidad de la función , tendremos que:
Obsérvese que la suma de los argumentos de la función en las dos
integrales esta dado por:
De esta manera, se obtiene la expresión completa de la desigualdad
(H-H).

9. Ejemplo 1: Se puede aproximar la integral de la función (convexa)
con la desigualdad (H-H), y el intervalo [0, ] de la siguiente manera:
y
la integral:
lo que tendríamos que:
Ejemplo 2: Podemos tomar ahora la función cóncava (x)= sen en el
intervalo [0,π], y nos quedaría el resultado: π/2 ≤ 2≤ π.

10. Desigualdad de Popoviciu
Sea una función continua definida en un intervalo I
de los reales. Entonces convexa si y solo si,
para todo , , ∊ I. Si es estrictamente convexa, la
desigualdad se hace estricta; se alcanza la igualdad si = = .
El caso generalizado para n valores, se expresa como:

11. Resultados colaterales de la desigualdad (H-H)
1. Sea una función doblemente diferenciable en el intervalo [a,b]
tal que existen constantes reales m y M tal que:
entonces:
y
Prueba: La estrategia inicial es considerar un par de funciones g y h
convexas como,

12. Aplicando la desigualdad (H-H) en el intervalo [a,b] para las funciones g y
h:
y
Para cada caso, la parte izquierda de ambas desigualdades nos daría:
y la parte derecha:

13. Para la función g, reemplazamos los resultados:
simplificando términos semejantes, nos queda (1):
De igual manera procedemos con la función h:
lo que nos da (2):

14. De la parte izquierda de (1), obtenemos la expresión que indicamos por (3):
De la parte derecha de (2), obtenemos la expresión que indicamos por (4):
Uniendo (3) y (4), se logra la primera parte de lo deseado:
Del miembro derecho de (1), obtenemos (5):

15. Del miembro izquierdo de (2), obtenemos (6):
Uniendo (5) y (6), obtenemos la segunda parte de lo propuesto:
2. Sea :I ⊆ ℝ→ ℝ, doblemente diferenciable en el interior de I; ´´
integrable en [a,b] del interior de I. Entonces se tiene la igualdad:

16. Prueba: Efectuamos dos veces integración por partes al miembro de la
izquierda de la igualdad; considere para la primera integral la sustitución:
=( -a)( - ) = “( )
Para la segunda integración se usa la sustitución :
=2 -( + ) = ´( )
Obteniendo lo deseado:

17. 3. Sea :I ⊆ ℝ→ ℝ, doblemente diferenciable en el interior de I; f´´
integrable en [a,b] del interior de I. Dadas las constantes y con
≤ "( ) ≤ en [a,b], se tiene la desigualdad:
Prueba: Este resultado es análogo a la segunda parte de la doble
desigualdad del resultado (1) anterior. Sin embargo, usando el
resultado (2), y la hipótesis, tendremos:
Integrando sobre [a,b], la integral del miembro izquierdo nos queda:

18. Integrando sobre [a,b], la integral de la derecha nos queda:
Usando el resultado del problema (2), tenemos:
Finalmente:

19. 4. Suponga que :[a,b]→ ℝ, es una función convexa. Aplicando
sucesivamente la desigualdad (H-H) sobre los sub-intervalos
[a,(a+b)/2] y [(a+b)/2,b] se obtiene la famosa desigualdad de
Jensen, esto es:
Prueba : Sean los sub-intervalos [a,(a+b)/2] y [(a+b)/2,b],
aplicando sucesivamente la desigualdad (H-H) en ellos, se tiene:
y

20. Sumando lado a lado de (10) y (11), reordenando la expresión, se
tiene:
Aplicando la definición de convexidad al miembro izquierdo de (12),
resulta:
finalmente, se obtiene lo deseado:

21. A manera de observación:
1. La integral en la desigualdad (H-H) puede reescribirse usando la
sustitución:
de manera tal que:
2. Existen otras extensiones y resultados interesantes con la desigualdad
(H-H) usando las medias: Aritmética (A), Geométrica (G), Harmónica (H),
Logarítmica (L), Exponencial (Idéntrica (I)) y p-Logarítmica (Lp).
3. Entre las aplicaciones de la desigualdad (H-H) tenemos: Desigualdades
Integrales, Teoría de Aproximación, Teoría de las Medias Especiales, Teoría
de Optimización, Teoría de la Información, Análisis Numérico, etc.

22. Bibliografía
1. Dragonir, Sever S. y Pearce, Charles, E. M.; “Selected Topics on
Hermite- Hadamard Inequealities and Applications”, monograph,
University of Adelaide, Australia, 1997.
2. Dragonir, Sever S. y Raïssouli, Mustapha; “Iterative refinements of
the Hermite-Hadamard Inequalities, applications to the means”,
Journal of Inequalities and Applications”, vol. 2010, pags. (1-13).
3. Niculescu, Constantin P. y Person, Lars-Erik; “Old and new on the
Hermite-Hadamard Inequality”, Real Analysis Exchange, vol. 29, No.
2, pags. (663-685), 2003/2004.
4. Niculescu, Constantin P. y Person, Lars-Erik; “Convex Functions
and their applications, a contemporary approach”, monograph
Springer, 2004.

23. Muchas Gracias…