1. Ideias principais
dos erros nas demonstrações dos
exemplos anteriores

2. Erros em demonstrações
• Em vez de se demonstrar a proposição
enunciada, demonstra-se apenas um caso
particular dela (ligado às peculiaridades da
figura utilizada na demonstração).
• Por exemplo, na demonstração da existência
de segmentos incomensuráveis, a sequência
do raciocínio é a seguinte:

3. Definição da medida comum entre dois
segmentos de reta;
Explicação do método para determinar essa
medida (Algoritmo de Euclides).
Definição de segmentos comensuráveis e
segmentos incomensuráveis. Mas a existência
deste último requer uma demonstração
teórica, exibindo um par de segmentos com
essa propriedade.

4. Onde está o erro?
• O fato de não se achar a medida comum pelo
método de Euclides não implica, por si só, que
essa medida comum não exista. Há outras
maneiras de chegar a esse resultado.
• Para que a demonstração seja completa, é
preciso estabelecer antes a seguinte
proposição:

5. “Se o processo de busca da medida comum
máxima de dois segmentos de reta se
prolonga indefinidamente, então esses
segmentos são incomensuráveis”.

6. Outro erro bastante frequente
• Utilizar resultados ainda não provados, e às
vezes recorre-se ao próprio teorema objeto da
demonstração. Esse erro é denominado
“demonstração em círculo” e frequentemente
se encontra camuflado.
• Exemplo: Demonstração do teorema: “Se duas
bissetrizes de um triângulo são congruentes
entre si, então o triângulo é isósceles”.

7. • O erro consiste no uso
da congruência dos
ângulos da base do
triângulo. Essa
congruência vem do
fato que o triângulo seja
isósceles e é isso o que
se pretende provar.

8. • Há também casos de demonstrações que se
baseiam em resultados ainda não
estabelecidos mas considerados evidentes,
embora não estejam no rol dos axiomas.
• Exemplo: Os três casos da posição relativa de
uma reta e uma circunferência coplanares.

9. Distância relativa entre reta e
circunferência

10. • Enquanto os dois primeiros casos são
acompanhados pelas demonstrações corretas,
mas no terceiro caso diz-se apenas: “A reta passa
por um ponto interior ao círculo e, portanto, é
evidente que corta a circunferência”. Por trás da
palavra evidente está uma proposição muito
importante:
“Todo ponto da reta que passa por um ponto
interior a um círculo, corta a circunferência desse
círculo”.

11. Condições a serem verificadas por
uma demonstração para ser
considerada correta
a) Toda demonstração deve basear-se
unicamente em proposições verdadeiras;
b) Todas as conclusões que façam parte de uma
demonstração deve ser estruturadas
corretamente;
c) É preciso não perder de vista o objetivo da
demonstração.

12. Como encontrar a demonstração
correta?
Destacar bastante claramente a ideia principal
a ser objeto de demonstração.
Ressaltar também as condições dadas
indispensáveis à demonstração.
No ensino de Geometria, geralmente são
adotadas as denominações hipótese e tese, e
após isso, começa-se a demonstrar o teorema,
utilizando os axiomas e teoremas já provados
e as correlações essenciais fornecidas.

13. Como encontrar a sequência de
raciocínios?
• Como escolher, entre tantas proposições
diferentes, aquelas que podem servir para a
demonstração de um teorema?
• Pode-se usar um método de raciocínio
científico chamado análise.

14. A análise
• Pode-se partir da proposição objeto de
demonstração e perguntar:
De que resultado pode-se obter, como
consequência, a proposição a ser demonstrada?

15. Se há resultado, então ele é consequência das
condições e teoremas anteriores; o problema
está resolvido.
Não sendo consequência direta, repete-se a
pergunta, porém com relação ao novo
resultado, e assim por diante.
Há casos em que a análise se torna mais longa e
difícil, por requerer toda uma rede de
proposições auxiliares.

16. Um exemplo complexo de análise
• Teorema: Circunscrevendo a um triângulo uma
circunferência e baixando por um ponto
qualquer desta as perpendiculares aos três
lados do triângulo, então os pés dessas
perpendiculares estão numa mesma reta (reta
Simson do triângulo).

17. A síntese
• Se tivéssemos de expor a sequência dos
raciocínios, seríamos obrigado a seguir o
caminho inverso. Esse método, inverso do
analítico, é chamado de síntese, é o que em
geral se usa nos livros-texto e nas aulas de
geometria para demonstração de teoremas.
• Por esse método, a demonstração é mais fácil
e natural, mas para busca da demonstração é
preciso recorrer à análise.

18. Análise e Síntese
• São duas fases indissoluvelmente ligadas entre
si, de um mesmo processo na demonstração
de um teorema.
• Usa-se a análise para buscar uma
demonstração e a síntese para expor a
demonstração.

19. Dificuldades
• Nem sempre é fácil achar a sequência de
conclusões, sendo necessário abandonar uma
estratégia escolhida e tentar outra.
• A habilidade na aplicação do método analítico,
facilitando a descoberta de, por meios
próprio, dos caminhos de uma demonstração,
exige bastante treinamento. É preciso fazer
muitos exercícios envolvendo demonstrações.

20. Métodos de demonstração
• Todo teorema pode ser demonstrado por dois
métodos: o direto e o inverso (indireto).
Demonstração direta: Aquela em que se
estabelece a veracidade da proposição a ser
demonstrada mediante uma ligação direta
entre ela e as que foram demonstradas
anteriormente. Os exemplos demonstrações
até aqui são pelo método direto.

21. Demonstração indireta: Aquela em que se põe
em dúvida a verdade da proposição a ser
demonstrada, supondo-a falsa, e se chega a
alguma contradição com as condições
constantes do enunciado ou com alguma
proposição já demonstrada anteriormente. É
também conhecida como demonstrações por
redução ao absurdo.

22. Exemplo de demonstração indireta
• O caso LLL (lado-lado-lado) de congruência de
triângulos, cuja demonstração se dá por
superposição dos triângulos.