Este documento contiene 27 ejercicios sobre curvas planas y curvas en el espacio relacionados con conceptos como parametrización, recta tangente, curvatura, torsión, hélice, cisoide de Diocles y curvas de Bertrand. Los ejercicios abarcan temas como determinar si una curva es recta, circunferencia u hélice; calcular curvatura y torsión; y relacionar las propiedades geométricas de una curva con su parametrización.

1. Universidad Nacional de la Patagonia
Facultad de Ingeniería
Deparamento de Matemática
Catedra: Geometría Diferencial
o
T.P.N 1: Curvas en el Plano y en el Espacio
Ejercicios
1. Una curva parametrizada α(t) tiene la propiedad de que la derivada segunda α (t) es idénticamente
cero. ¾Qué se puede decir acerca de α(t) ?
2. Sea α(t) una curva parametrizada que no pasa por el origen. Si α(t0 ) es el punto del trazo de α(t)
mas cercano al origen y α (t) = 0 , mostrar que el vector posición α(t0 ) es ortogonal a α (t0 ) .
3. Sea α : I −→ 3 es una curva parametrizada y sea v ∈ 3 un vector jo. Asuminos que α (t) es
ortogonal a v∀t ∈ I y que α(0) es también ortogonal a v . Probar que α(t) es ortogonal a v ∀t ∈ I .
4. Sea α : I −→ 3 es una curva parametrizada, con α (t) = 0 ∀t ∈ I . Mostrar que |α(t)| es una
constante distinta de cero si y solo si α(t) es ortogonal a α (t) ∀t ∈ I .
5. Mostrar que la recta tangente a la curva parametrizada regular α(t) = (3t, 3t2 , 2t3 ) marca un ángulo
constante con la recta y = 0, z = x
6. Sea OA = 2a el diámetro del circulo S 1 y Oy, AV tangentes a S 1 en o y en A respectivamente.
Una semirrecta r dibujada de o, con intersección o corte a S 1 en C y a la recta AV en B. Sobre OB
marco el segmento Op = CB. Si nosotros rotamos r alrededor de o, el punto p describe la curva
llamada Cisoide de Diocles.
2at2 3at3
a) Probar que el trazo es α(t) = ; .
1 + t2 1 + t2
b) El origen (0,0) es el punto singular del Cisoide.
c) Para t −→ ∞ α(t) se acerca a la recta x = 2a y α (t) −→ (0, 2a). Así para t −→ ∞ la curva y
la tangente se acercan a la recta x = 2a; de donde decimos que x = 2a es asintota del cisoide.
2at 3at2
7. Sea α : (−1, +∞) −→ 2
, dada por: α(t) = ; , probar que:
1 + t3 1 + t3
a) Para t = 0,α es tangente a x.
b) Cuando t −→ ∞ α(t) −→ (0, 0) y α (t) −→ (0, 0).
c) Tomo la curva con orientación opuesta. Ahora si t −→ 1 la curva y su tangente se aproximan
a la recta tangente x + y + a = 0.
8. La curva α : −→ 2
denida por: α(t) = aebt cost ; aebt sent , con a0 y b0 es llamada la
espiral logaritmica.
a) Calcular la funcion longitud de arco, para t0 ∈ , relativa a t0 .
b) Parametrizar esta curva por longitud de arco.

2. c) Dibuje su trazo.
9. Las siguientes curvas parametrizadas tienen como trazo la circunferencia de centro el origen y
radio unidad: α(t) = (cost ; sent , con t ∈ , β(t) = (cos(−t) ; sen(−t) , con t ∈ y
π π
γ(t) = cos(t + ) ; sen(t + ) , con t ∈ .
2 2
a) ¾Cuàles son los cambios de parámetros?. ¾Que ocurre con la velocidad en cada uno de ellos?.
b) Explicar porqué δ(t) = (cos(t3 ) ; sen(t3 ) no es una reparametrización de α(t) = (cost ; sent ,
con t ∈ .
10. Sea β una reparametrizacion de una curva parametrizada diferenciable α.
a) Demuestre que β es regular si y solo si α lo es.
b) ¾Las rectas tangentes en culaquier punto coinciden?.
11. Calcular las curvaturas de una recta y de una circunferencia, parametrizadas por longitud de arco.
12. Sea α una curva plana parametrizada por longitud de arco s. Probar que α es un segmento de recta
si y solo todas sus rectas tangentes son paralelas.
13. Sea α una curva plana parametrizada por longitud de arco s. Probar que α es un arco de circun-
ferencia si y solo si todas sus rectas normales pasan por un punto en común.
14. Vericar cuales de las siguientes bases son positivas
1 4
a) ;
3 2
      
 1 2 4 
b)  3 ; 3 ; 8  .
5 7 3
 
15. El plano P contenido en 3 esta dado por la ecuación ax + by + cz + d = 0. Mostrar que el vector
√
v = (a, b, c) es perpendicular al plano y que |d| = a2 + b2 + c2 mide la distancia del plano al origen
(0,0,0).
16. Determinar al ángulo de intersección de los planos 5x + 3y + 2z − 4 = 0 y 3x + 4y − 7z = 0.
17. Dados dos planos ai x + bi y + ci z + di = 0 con i=1,2 que la condición necesaria y suciente para que
a1 b1 c1
sean paralelos es que: = = .
a2 b2 c2
s s s
18. Dada la curva parametrizada α(t) = acos ; asen ; b , con s ∈ , donde c2 = a2 + b2 .
c c c
a) Mostrar que el parámetro s es la longitud de arco.
b) Determinar la curvatura y la torsión de α.
c) Determinar el plano oscilador de α.

3. d) Mostrar que la recta que contiene a n(s) y pasa a través de α e intersecta al eje z, mide un
π
ángulo interior constante e igual a .
2
e) Mostrar que la recta tangente a α mide un ángulo constante con el eje z.
19. Sea α : I −→ 3 una curva parametrizada por longitud de arco con curvatura k 0,α es una hélice
si y solo si existe una constante c tal que τ (s) = ck(s) .
20. Consideremos la curva dada por α(t) = (t; t2 ; t3 ). Hallar su curvatura y su torsion en el origen
(0,0,0). ¾En que punto tiene la curva una torsion (en valor absoluto) máxima?
21. Consideremos la curva dada por γ(t) = (et ; e2 t; t), con t ∈∈ . Hallar su curvatura y torsion en el
punto (1,0,0).¾Es cierto que la curva tiene torsion negativa en todos sus puntos?.
22. Sea α : I −→ 3 una curva parametrizada por longitud de arco con curvatura k 0, vericando
además que k (s) = 0 y τ (s) = 0 . Demostrar que α esta contenida en una esfera de radio r 0 si
1 k (s)2
y solo si + = r2
k(s)2 k(s)4 τ (s)2
23. Consideremos α : I −→ 3 una curva parametrizada por longitud de arco con curvatura k = 0
.Asumimos que toda normal a una curva parametrizada pasa a través de un punto jo. Probar que
el trazo de la curva esta contenido en un circulo.
24. Dada la función diferenciable k(s) ,mostrar que la curva parametrizada plana, teniendo a k(s) = k
como curvatura, esta dada por: α(t) = cosθ(s) + a ds ; senθ(s) + b ds ,donde θ(s) =
k(s) + ϕ y que esta determinada por una traslación del vector (a,b) y una rotación del ángulo ϕ.
25. Consideremos α : I −→ 3
, curva parametrizada por longitud de arco con curvatura no nula .
a) Mostrar que el conocimiento del vector función b = b(s) (vector binormal) de la curva α, con
torsión no nula en todas partes, determina la curvatura k(s) y al valor absoluto de la torsión
τ (s) de α.
b) Mostrar que el conocimiento del vector función n = n(s) (vector normal) de la curva α, con
torsión no nula en todas partes, determina la curvatura de α k(s) y la torsión τ (s) de α.
26. En general una curva α es llamada hélice,si las rectas tangentes marcan en α un ángulo constante
con una dirección ja. Asumimos que τ (s) = 0 , probar que:
k
a) α es una hélice si y solo si = cte.
τ
b) α es una hélice si y solo si las recta que contienen a n(s) y pasan a través de α son paralelas
a un plano jo.
c) α es una hélice si y solo si las recta que contienen a b(s) y pasan a través de α producen un
ángulo constante con una dirección ja.

4. a a b
d) La curva α(t) = senθ(s) ds ; cosθ(s) ds ; s donde c2 = a2 + b2 es una
c c c
k a
hélice y = .
τ b
27. Sea α : I −→ 3 una curva parametrizada (no necesariamente por longitud de arco) con k(t) = 0
y τ (s) = 0, con t ∈ I . La curva es llamada curva de Bertrand si existe una α : I −→ 3 tal que las
rectas normales de α y α en t ∈ I son iguales. En este caso α, es llamada Bertrand mate de α, y
podemos escribir: α = α(t) + rn(t). Probar que:
a) r es constante
b) α es una curva de Bertrand si y solo si existe la relación lineal Ak(t) + Bτ (t) = 1, t ∈ I donde
A y B son constantes no nulas y k y τ son la curvatura y la torsión de α.
c) Si α tiene mas de una mate Bertrand esta tiene innitas mates Bertrands.Este caso ocurre si
y solo si es una hélice circular.