MATEMÁTICA - EDSON Números complexos

1. Números Complexos
“O Espírito Divino expressou-se sublimemente nesta maravilha da análise, neste
portento do mundo das ideias, este anfíbio entre o ser e o não ser, que chamamos de
raiz imaginária da unidade negativa”.
Leibniz
1. Breve Histórico
Os números complexos aparecem no século XVI motivados pelas resoluções
de equações de terceiro e quarto graus. Em 1545, o matemático italiano Girolamo
Cardano (1501 – 1576) publica seu famoso livro Ars Magna, no qual trata da resolução
da equação de terceiro grau do tipo x 3  ax  b  0 . O problema: “Qual é a medida x,
comum a aresta de cubo e a altura de um paralelepípedo com base 15 unidades de
área, sabendo que a diferença entre seus volumes é de 4 unidades?” corresponderia a
x 3  15 x  4 , e, aplicando-se uma fórmula deduzida por ele, apareceria a solução 4,
obtida na expressão 3 2   121  3 2   121 ! Cardano se perguntava como um
número real poderia se originar de uma expressão que continha raízes quadradas de
números negativos se estas não existiam. O mais curioso é que era possível operar com
esses números “esquisitos”, mesmo que não tivessem sentido, pois matematicamente os
problemas davam certo.
Mais tarde, um matemático Rafael Bombelli (1526 – 1572) estudou o trabalho
de Cardano e verificou que realmente esses números “funcionavam”. Sua representação
sofreu variações no decorrer do tempo, até que foram escritos na forma de produto por
 1 , como, por exemplo,
 121  11  1 . No século XVIII, Euler introduz o
símbolo i para representar a raiz quadrada de  1 . Assim,  121 passa a ser expressa
por 11i . Finalmente, a representação geométrica dos números complexos elaborada pelo
matemático, astrônomo e filosofo alemão Gauss (1777 – 1855), no final do século
XVIII, tornou-se mais significativo seu estudo e aplicabilidade.
2. O Conjunto dos Números Complexos (ℂ)
O conjunto ℂ é um conjunto cujos elementos — os números complexos —
devem ser tais que possam ser somados e multiplicados e nos quais seja possível a
extração de raiz quadrada de um número negativo. Logicamente, os números reais
precisam ser elementos desse conjunto ℂ, e as operações de adição e multiplicação
feitas sobre os números reais no conjunto ℂ devem ser as mesmas já conhecidas.
Existem muitas maneiras de definir o conjunto dos números complexos, mas a
notação preferida para definir os seus elementos é a forma algébrica.
3. A Forma Algébrica

2. Todo número complexo z pode ser escrito uma maneira única na forma
z  a  bi , onde a e b são números reais ( a é a parte real e b é a parte imaginária do
número complexo z ) e i é a unidade imaginária, tal que i 2  1 . Usa-se a notação
Rez   a e Im z   b .
Se o número complexo z possui a unidade imaginária (ou seja, b  0 ) ele é
chamado imaginário. Ademais, se b  0 temos que z é real; e se a  0 e b  0 temos
que z é imaginário puro.
Observe que, se a  bi  c  di , concluímos pela unicidade da forma algébrica
que a  c e b  d , isto é, se dois complexos são iguais então as suas partes reais e
imaginárias são iguais.
Ainda usando a forma algébrica, podemos operar com complexos de maneira
análoga à que operamos com reais, com cuidado de tomar i 2  1 . Por exemplo,
a) 2  3i    3  4i   2  3  3  4i  1  7i
b)
c)
1  i   3  2i   1  3  1  2i  2  i
1  2i   2  3i   1  2  3i   2i  2  3i   2  3i  4i  6i 2  2  i  6   1  8  i
4. O Conjugado de um número complexo
Dado um número complexo z  a  bi , se z  0 existe um único complexo
tal que
1
z
1
1
na forma algébrica.
 z  1 . Vamos determinar o complexo
z
z
Para isto, convém definir o conjugado de um número complexo z  a  bi
como o número complexo z  a  bi .
Exemplos:
a) z  2  3i  z  2  3i
c) z  5i  z  5i
b) z  3  4i  z  3  4i
d) z  2  z  2
Agora, conhecido o conjugado do número complexo z  a  bi , para
1
determinamos o complexo
na forma algébrica, basta multiplicar numerador e
z
denominador por z , que é diferente de zero, uma vez que z  0 . Assim:
z
a  bi
a  bi
a
b
z
1


 2
 2
 2
i 2
2
2
2
z z  z a  bi a  bi  a  b
a b
a b
a  b2
Logo:
1
a
b
z
 2
 2
i 2
2
2
z a b
a b
a  b2
Dessa maneira, dados dois números complexos z1 e z 2  z 2  0 definimos o
 1
z1
z z
como sendo o produto z1    , que é dado por 1 2 .
z 
z2
z2  z2
 2
Exemplo: Sendo z1  3  2i e z 2  1  5i , teremos
quociente

3. z1 3  2i 3  2i 1  5i  3  10  2i  15i 13  13i 1 1




  i
z 2 1  5i 1  5i 1  5i 
1  25
26
2 2
Propriedades do Conjugado
Sendo z  a  bi e w  c  di números complexos, temos:
P1 z   z
 P 2  z  z  2a
P3 z  z  2bi
P 4  z  z  z  
P5 z  z  a 2  b 2
 P6  z  w  z  w
 P7  z  w  z  w
5. As Potências Naturais de i
Consideremos as potências do tipo i n , onde n é natural. Vejamos alguns
exemplos:
i0  1
i4  i2 i2  1
i1  i
i5  i 4  i  i
i 2  1
i 6  i 4  i 2  1
i 3  i 2  i  i
i 7  i 4  i 3  i
Começamos então a perceber que, à medida que n cresce, os resultados de i n
vão-se repetindo periodicamente, assumindo sempre um dos valores da sequência:
1, i ,  1 ,  i
sendo, pois, de 4 unidades o período de repetição; isto nos sugere que, para calcular o
valor de i n , basta elevar i ao resto da divisão euclidiana de n por 4.
De fato, se dividindo n por 4 encontramos quociente q e resto, isto é,
n  4q  r , com r  0, 1, 2, 3 . Então:
 
i n  i 4qr  i 4q  i r  i 4
q
 i r  1  i r  i r
q
e, portanto:
in  ir
Atividades de Sala
01. Dados os números complexos z1  1  3i e z 2  2  i , calcule:
a) z1  z 2
b) z1  z 2
c) z1 2  z 2 2
d)
z1
z2

4. 02. Determine o valor de x para que o número complexo:
a) z  3  1  2 x i seja um número real.
b) z  8  x   2 x  3i seja um número imaginário puro.
03. Calcule o valor de:
a) i 49
b) i 223457
c) 3i 15  i 16
d) 1  i  i 2  i 3    2011
e) 1  i 2
f) 1  i 25
04. Determine o número complexo z tal que 2 z 1  z  i .
05. Resolva em ℂ a equação x 2  4 x  5  0 .
06. Determine os números reais x e y para que  x  yi 1  3i   13  i .
07. Qual o valor de m para que o produto 2  mi 3  i  seja um número imaginário
puro?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 10
08. Sendo n um número inteiro, quais os possíveis valores de i n  i  n ?
Atividades Propostas
01. Dados os números complexos z1  1  2i , z 2  1  3i e z 3  2  2i , calcule:
a) z1  z 2
b)  z1  z 2   z 3
c) z1  z 2  z 3
2
d) z1  z 2  z 3
2
2
e) z 2  z 3  z1
2
02. Determine o número complexo z tal que 3z  4i  z  6i 20 .

5. 3 z  w  1  i
03. Sendo z e w números complexos, resolva o sistema 
.
5 z  2w  1  3i
04. Determine o valor do número real x, para que o número complexo:
a) x 2  4 x  3   x  2i seja um número imaginário puro.




b) x  x 2  7 x  12 i seja um número real.
05. (FUVEST – SP) Seja o número complexo z  m  2i 2  i  , em que m   . Para
um determinado valor de m , o número z pode ser um imaginário puro igual a:
a)  4i
b)  i
c) 2i
d) 3i
e) 5i
06. Calculando o valor da expressão
i  i 2  i 5  i 6    i 41  i 42
obtemos:
i 3  i 4  i 7  i 8    i 43  i 44
a) 1
b)  1
c) i  1
d) i  1
e) 1  i
07. Simplificando
2  i 101  2  i 50
 2  i 100  i  249
temos:
a) 1
b) 2  i
c) 2  i
d) 5
e)  5
08. (UECE) Se i é a unidade imaginária, a expressão complexa
7  3i 3  5i
é igual

1 i
1 i
a:
a) 1 6i
b) 1  i
c) 4  i
d) 1 4i
09. (CEFET) O valor de x, para que o quociente
xi
seja um número real é:
1  2i

6. a)  2
1
b) 
2
c) 2
1
d)
2
10. Resolva em ℂ as seguintes equações:
a) x 2  6 x  10  0
b) x 2  2ix  5  0
c) 2 x 2  6 x  5  0 .
11. (ITA) O número natural n tal que 2i n  1  i 2 n  16i , em que i é a unidade
imaginária do conjunto dos números complexos, vale:
a) n  5
b) n  3
c) n  7
d) n  4
e) não existe n nestas condições.
12. (UFC) Determine o valor do número real a de modo que a expressão
1  2i
 a  i 2 seja um número real.
2  a i
13. Se x e y são números reais positivos tais que  x  3i   1  yi   6i , então x  y é
igual a:
a) 10
b) 12
c) 8
d) 9
e) 6
i, se x  
14. Se a função f  x   
em que i é a unidade imaginária, então o valor
1, se x  
de  f  f i 4 p , p   é igual a:
a) 0
b) – 1
c) 1
d) i
e)  i

7. 15. (ITA) Se z  cos t  i , em que 0  t  2 , então podemos afirmar que w 
1 z
é
1 z
dado por:
a) i  cot g
t
2
t
2
c) i  cot gt
b) i  tg
d) i  tgt
e) n.d.a.
16. Se S100 é a soma dos cem primeiros termos da P.A. de primeiro termo  99  i e a
razão 1  i , então
S100
é igual a:
 99  10i
a) 100i
b) 50
c) 1
d) 100
e) i
17. (Ufscar – SP) Sejam i a unidade imaginária e a n o n-ésimo termo de uma
progressão geométrica com
a1
i
a)
b)
c)
d)
e)
 i  i  i
9i ou  9i
 9  i ou  9  i
9  i ou 9  i
8  i ou 8  i
7  i ou 7  i
a2
a3
an
é igual a:
a 2  2  a1 . Se
a1
é um número ímpar, então