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Somme notevoli riguardo
ai primi N numeri naturali
Il problema
• Si vuole calcolare la somma
𝒌 𝒑
𝑛
𝑘=1
• prima, nel caso p=1
• poi, generalizzando ad altri p>1
• in particolare, per p=2 e p=3
Il caso più semplice: p=1
• In questo caso, la somma ha la forma
𝒌
𝑛
𝑘=1
• che si può risolvere in due modi:
– tramite un procedimento «ad hoc», valido solo per p=1
– tramite un procedimento generale valido per ogni p.
p=1: metodo ad hoc (1)
• La somma richiesta si può espandere come
1+2+3+4…. + (n-2) + (n-1) + n
• Notiamo che la somma di due termini equidistan-
ti dalle estremità è costante e vale sempre (n+1)
• Resta escluso, se n è dispari, l’elemento centrale
della sequenza.
p=1: metodo ad hoc (2)
• Pertanto, se n è pari (e dunque non c’è un
elemento centrale), la somma vale
S = (1+n) n/2
in quanto ci sono esattamente n/2 somme
parziali, tutte di valore (1+n).
ESEMPIO: n=4
• Calcolo diretto: 1+2+3+4 = (1+4)+(2+3) = 10
• Formula: 5 x 4/2 = 10
p=1: metodo ad hoc (3)
• Se invece n è dispari (e dunque c’è un elemento
centrale), ci sono (n-1)/2 somme parziali, a cui va
aggiunto l’elemento centrale, che vale (n+1)/2
• Pertanto la somma complessiva vale
(1+n) (n-1)/2 + (n+1)/2
ovvero, semplificando, di nuovo, S = (1+n) n/2
ESEMPIO: n=5
• Calcolo diretto: 1+2+3+4 +5 = (1+5)+(2+4)+3= 15
• Formula: 6 x 5/2 = 15
p=1: metodo ad hoc (4)
• Riassumendo, la formula in tutti i casi vale:
𝒌 =
𝒏(𝒏 + 𝟏)
𝟐
𝑛
𝑘=1
• È anche possibile dimostrarla per via geometrica:
esiste una famosa dimostrazione dovuta a Gauss
(che pare l’abbia trovata all’età di 8 anni…)
p=1: metodo generale (1)
• Il punto di partenza è il binomio (𝒌 + 𝟏) 𝟐
• che si può riscrivere come 𝒌 𝟐
+ 𝟐𝒌 + 𝟏
• Perciò, facendo la somma, si può scrivere
(𝒌 + 𝟏) 𝟐=
𝑛
𝑘=1
𝒌 𝟐 + 𝟐 𝒌
𝑛
𝑘=1
+ 𝟏
𝑛
𝑘=1
𝑛
𝑘=1
• Sfrutteremo ora questa identità per ricavare
il termine in blu.
p=1: metodo generale (2)
• Riscriviamo l’identità come segue:
(𝒌 + 𝟏) 𝟐−
𝑛
𝑘=1
𝒌 𝟐 − 𝒏 = 𝟐 𝒌
𝑛
𝑘=1
𝑛
𝑘=1
• dove si è sfruttato il fatto che la somma di
n «uni» vale ovviamente n
• Osserviamo ora che le due sommatorie a
sinistra generano entrambe dei quadrati..
che in buona parte si elidono a vicenda!
p=1: metodo generale (3)
• Infatti,
(𝒌 + 𝟏) 𝟐=
𝑛
𝑘=1
𝒌 𝟐
𝑛+1
𝑘=2
• come si può facilmente constatare notando che
essa genera i quadrati dei primi n+1 numeri,
tranne 1 perché per k=1 produce 22
ESEMPIO: n=3
• la somma, per k = 1,2,3 produce 22 + 32 + 42
p=1: metodo generale (4)
• Pertanto, si può riscrivere la somma come:
𝒌 𝟐 −
𝑛+1
𝑘=2
𝒌 𝟐 − 𝒏 = 𝟐 𝒌
𝑛
𝑘=1
𝑛
𝑘=1
– la prima somma aggiunge i quadrati dai
numeri da 2 a n+1
– la seconda somma sottrae i quadrati dei
numeri da 1 a n
• Restano perciò solo (𝑛 + 1)2
e -1.
p=1: metodo generale (5)
• In definitiva:
𝒌 𝟐 −
𝑛+1
𝑘=2
𝒌 𝟐 − 𝒏 = 𝒏 + 𝟏 𝟐 − 𝟏 − 𝒏
𝑛
𝑘=1
• da cui
𝒌 =
𝒏 + 𝟏 𝟐
− 𝟏 − 𝒏
𝟐
=
𝒏(𝒏 + 𝟏)
𝟐
𝑛
𝑘=1
Generalizzazione
• L’approccio dello sviluppo del binomio
(𝒌 + 𝟏) 𝒑
funziona per qualunque p
– a sinistra, si ottengono sempre due sommatorie
di grado p i cui termini si elidono quasi
totalmente, salvo (𝑛 + 1) 𝑝 e -1
– a destra, si ottengono vari termini con somma-
torie di grado inferiore, di cui le più semplici
sono già note  basta isolare quella desiderata
Il caso p=2 (1)
• Poiché (𝒌 + 𝟏) 𝟑
si riscrive come
𝒌 𝟑
+ 𝟑𝒌 𝟐
+ 𝟑𝒌 + 𝟏, la somma diventa
(𝒏 + 𝟏) 𝟑
−𝟏 = 𝟑 𝒌 𝟐
𝑛
𝑘=1
+ 𝟑 𝒌
𝑛
𝑘=1
+ 𝒏
• dove la seconda sommatoria a destra è nota
perché corrispondente al caso p=1.
• Si può dunque risolvere rispetto all’altra
(in blu) che è quella cercata.
Il caso p=2 (2)
• Risolvendo:
(𝒏 + 𝟏) 𝟑−𝟏 − 𝒏 − 𝟑
𝒏(𝒏 + 𝟏)
𝟐
= 𝟑 𝒌 𝟐
𝑛
𝑘=1
• ovvero, facendo i calcoli:
𝒏(𝟐 𝒏 𝟐 + 𝟑𝒏 + 𝟏)
𝟐
= 𝟑 𝒌 𝟐
𝑛
𝑘=1
Il caso p=2 (3)
• ovvero, scomponendo il trinomio:
𝒌2
=
𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝟐𝒏 + 𝟏)
𝟔
𝑛
𝑘=1
• È ovviamente anche possibile dimostrarla per via
induttiva: assumendola vera per n, con banali
calcoli si ricava che è vera anche per n+1.
Il caso p=3 (1)
• Analogamente (𝒌 + 𝟏) 𝟒
si riscrive come
𝒌 𝟒
+ 𝟒𝒌 𝟑
+𝟔𝒌 𝟐
+𝟒𝒌 + 𝟏 e perciò
(𝒏 + 𝟏) 𝟒−𝟏 = 𝟒 𝒌 𝟑
𝑛
𝑘=1
+ 𝟔 𝒌 𝟐
𝑛
𝑘=1
+ 𝟒 𝒌
𝑛
𝑘=1
+ 𝒏
• Di nuovo, due sommatorie a destra sono
note (corrispondono ai casi p=1 e p=2),
quindi si può risolvere rispetto all’altra.
Il caso p=3 (2)
• Risolvendo:
(𝒏 + 𝟏) 𝟒
−𝟏 − 𝒏 − 𝟔
𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝟐𝒏 + 𝟏)
𝟐
− 𝟒
𝒏(𝒏 + 𝟏)
𝟐
= 𝟒 𝒌 𝟑
𝑛
𝑘=1
• ovvero, facendo i calcoli:
𝒏(𝒏 𝟑 + 𝟐 𝒏 𝟐 + 𝒏)
𝟒
= 𝒌 𝟑
𝑛
𝑘=1
Il caso p=3 (3)
• ovvero, raccogliendo e risolvendo:
𝒌3
𝑛
𝑘=1
=
𝒏2
(𝒏 + 𝟏)2
𝟒
= 𝑘
𝑛
𝑘=1
2
ESEMPIO: n=3
• calcolo diretto: 13
+ 23
+ 33
= 1 + 8 + 27 = 36
• formula: 32 × 42 / 4 = 36 = (1 + 2 + 3)2

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Somme notevoli riguardo ai primi N numeri naturali

  • 1. Somme notevoli riguardo ai primi N numeri naturali
  • 2. Il problema • Si vuole calcolare la somma 𝒌 𝒑 𝑛 𝑘=1 • prima, nel caso p=1 • poi, generalizzando ad altri p>1 • in particolare, per p=2 e p=3
  • 3. Il caso più semplice: p=1 • In questo caso, la somma ha la forma 𝒌 𝑛 𝑘=1 • che si può risolvere in due modi: – tramite un procedimento «ad hoc», valido solo per p=1 – tramite un procedimento generale valido per ogni p.
  • 4. p=1: metodo ad hoc (1) • La somma richiesta si può espandere come 1+2+3+4…. + (n-2) + (n-1) + n • Notiamo che la somma di due termini equidistan- ti dalle estremità è costante e vale sempre (n+1) • Resta escluso, se n è dispari, l’elemento centrale della sequenza.
  • 5. p=1: metodo ad hoc (2) • Pertanto, se n è pari (e dunque non c’è un elemento centrale), la somma vale S = (1+n) n/2 in quanto ci sono esattamente n/2 somme parziali, tutte di valore (1+n). ESEMPIO: n=4 • Calcolo diretto: 1+2+3+4 = (1+4)+(2+3) = 10 • Formula: 5 x 4/2 = 10
  • 6. p=1: metodo ad hoc (3) • Se invece n è dispari (e dunque c’è un elemento centrale), ci sono (n-1)/2 somme parziali, a cui va aggiunto l’elemento centrale, che vale (n+1)/2 • Pertanto la somma complessiva vale (1+n) (n-1)/2 + (n+1)/2 ovvero, semplificando, di nuovo, S = (1+n) n/2 ESEMPIO: n=5 • Calcolo diretto: 1+2+3+4 +5 = (1+5)+(2+4)+3= 15 • Formula: 6 x 5/2 = 15
  • 7. p=1: metodo ad hoc (4) • Riassumendo, la formula in tutti i casi vale: 𝒌 = 𝒏(𝒏 + 𝟏) 𝟐 𝑛 𝑘=1 • È anche possibile dimostrarla per via geometrica: esiste una famosa dimostrazione dovuta a Gauss (che pare l’abbia trovata all’età di 8 anni…)
  • 8. p=1: metodo generale (1) • Il punto di partenza è il binomio (𝒌 + 𝟏) 𝟐 • che si può riscrivere come 𝒌 𝟐 + 𝟐𝒌 + 𝟏 • Perciò, facendo la somma, si può scrivere (𝒌 + 𝟏) 𝟐= 𝑛 𝑘=1 𝒌 𝟐 + 𝟐 𝒌 𝑛 𝑘=1 + 𝟏 𝑛 𝑘=1 𝑛 𝑘=1 • Sfrutteremo ora questa identità per ricavare il termine in blu.
  • 9. p=1: metodo generale (2) • Riscriviamo l’identità come segue: (𝒌 + 𝟏) 𝟐− 𝑛 𝑘=1 𝒌 𝟐 − 𝒏 = 𝟐 𝒌 𝑛 𝑘=1 𝑛 𝑘=1 • dove si è sfruttato il fatto che la somma di n «uni» vale ovviamente n • Osserviamo ora che le due sommatorie a sinistra generano entrambe dei quadrati.. che in buona parte si elidono a vicenda!
  • 10. p=1: metodo generale (3) • Infatti, (𝒌 + 𝟏) 𝟐= 𝑛 𝑘=1 𝒌 𝟐 𝑛+1 𝑘=2 • come si può facilmente constatare notando che essa genera i quadrati dei primi n+1 numeri, tranne 1 perché per k=1 produce 22 ESEMPIO: n=3 • la somma, per k = 1,2,3 produce 22 + 32 + 42
  • 11. p=1: metodo generale (4) • Pertanto, si può riscrivere la somma come: 𝒌 𝟐 − 𝑛+1 𝑘=2 𝒌 𝟐 − 𝒏 = 𝟐 𝒌 𝑛 𝑘=1 𝑛 𝑘=1 – la prima somma aggiunge i quadrati dai numeri da 2 a n+1 – la seconda somma sottrae i quadrati dei numeri da 1 a n • Restano perciò solo (𝑛 + 1)2 e -1.
  • 12. p=1: metodo generale (5) • In definitiva: 𝒌 𝟐 − 𝑛+1 𝑘=2 𝒌 𝟐 − 𝒏 = 𝒏 + 𝟏 𝟐 − 𝟏 − 𝒏 𝑛 𝑘=1 • da cui 𝒌 = 𝒏 + 𝟏 𝟐 − 𝟏 − 𝒏 𝟐 = 𝒏(𝒏 + 𝟏) 𝟐 𝑛 𝑘=1
  • 13. Generalizzazione • L’approccio dello sviluppo del binomio (𝒌 + 𝟏) 𝒑 funziona per qualunque p – a sinistra, si ottengono sempre due sommatorie di grado p i cui termini si elidono quasi totalmente, salvo (𝑛 + 1) 𝑝 e -1 – a destra, si ottengono vari termini con somma- torie di grado inferiore, di cui le più semplici sono già note  basta isolare quella desiderata
  • 14. Il caso p=2 (1) • Poiché (𝒌 + 𝟏) 𝟑 si riscrive come 𝒌 𝟑 + 𝟑𝒌 𝟐 + 𝟑𝒌 + 𝟏, la somma diventa (𝒏 + 𝟏) 𝟑 −𝟏 = 𝟑 𝒌 𝟐 𝑛 𝑘=1 + 𝟑 𝒌 𝑛 𝑘=1 + 𝒏 • dove la seconda sommatoria a destra è nota perché corrispondente al caso p=1. • Si può dunque risolvere rispetto all’altra (in blu) che è quella cercata.
  • 15. Il caso p=2 (2) • Risolvendo: (𝒏 + 𝟏) 𝟑−𝟏 − 𝒏 − 𝟑 𝒏(𝒏 + 𝟏) 𝟐 = 𝟑 𝒌 𝟐 𝑛 𝑘=1 • ovvero, facendo i calcoli: 𝒏(𝟐 𝒏 𝟐 + 𝟑𝒏 + 𝟏) 𝟐 = 𝟑 𝒌 𝟐 𝑛 𝑘=1
  • 16. Il caso p=2 (3) • ovvero, scomponendo il trinomio: 𝒌2 = 𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝟐𝒏 + 𝟏) 𝟔 𝑛 𝑘=1 • È ovviamente anche possibile dimostrarla per via induttiva: assumendola vera per n, con banali calcoli si ricava che è vera anche per n+1.
  • 17. Il caso p=3 (1) • Analogamente (𝒌 + 𝟏) 𝟒 si riscrive come 𝒌 𝟒 + 𝟒𝒌 𝟑 +𝟔𝒌 𝟐 +𝟒𝒌 + 𝟏 e perciò (𝒏 + 𝟏) 𝟒−𝟏 = 𝟒 𝒌 𝟑 𝑛 𝑘=1 + 𝟔 𝒌 𝟐 𝑛 𝑘=1 + 𝟒 𝒌 𝑛 𝑘=1 + 𝒏 • Di nuovo, due sommatorie a destra sono note (corrispondono ai casi p=1 e p=2), quindi si può risolvere rispetto all’altra.
  • 18. Il caso p=3 (2) • Risolvendo: (𝒏 + 𝟏) 𝟒 −𝟏 − 𝒏 − 𝟔 𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝟐𝒏 + 𝟏) 𝟐 − 𝟒 𝒏(𝒏 + 𝟏) 𝟐 = 𝟒 𝒌 𝟑 𝑛 𝑘=1 • ovvero, facendo i calcoli: 𝒏(𝒏 𝟑 + 𝟐 𝒏 𝟐 + 𝒏) 𝟒 = 𝒌 𝟑 𝑛 𝑘=1
  • 19. Il caso p=3 (3) • ovvero, raccogliendo e risolvendo: 𝒌3 𝑛 𝑘=1 = 𝒏2 (𝒏 + 𝟏)2 𝟒 = 𝑘 𝑛 𝑘=1 2 ESEMPIO: n=3 • calcolo diretto: 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36 • formula: 32 × 42 / 4 = 36 = (1 + 2 + 3)2