TRANSFORMACIONESGEOMÉTRICAS EN EL     PLANO  DIBUJO TÉCNICO 1º BACHILLERATO
Dos figuras se relacionan mediante una transformacióngeométrica cuando sus elementos se corresponden entre        sí siguie...
Las cuatro transformaciones geométricas que vamosa estudiar son:                  •Traslación                  •Giro      ...
1. TRASLACIÓN
En una traslación, una figura se desplaza en el plano hasta una nuevaposición. Los elementos que determinan la traslación s...
Los puntos correspondientes de dos figuras trasladadas se relacionansegún rectas paralelas a la dirección de traslación, y ...
Las figuras trasladadas resultarán iguales y los elementoscorrespondientes de cada figura serán paralelos.                  ...
Ejercicio: Traslada un cuadrado de 45 mm de lado. Dirección detraslación 30º, magnitud de traslación 35 mm.           A   ...
1: Construimos un ángulo de 30º en uno de los vértices del cuadrado.            A                        D                ...
2: De esta forma determinamos la dirección de traslación.            A                        D                         0 ...
3: Trazamos paralelas por cada vértice a la dirección de traslación.            A                         D               ...
4: A partir del vértice B medimos sobre la dirección de traslación los35mm correspondientes a la magnitud de traslación.  ...
5: Llevamos la magnitud de traslación a partir de cada vértice paraobtener los nuevos vértices trasladados.            A  ...
6: Por último unimos los nuevos vértices para dibujar el cuadradotransformado.                              A’            ...
Ejercicio: Dibuja un triángulo cuyos lados miden a=40, b=55 y c=30 deforma que cada uno de sus vértices se sitúe en una de...
1: Situamos el lado a de forma que sus extremos, B y C, se encuentrenen cualquier parte de las rectas r y s respectivament...
2: Situado el lado a, dibujamos el triángulo sin preocuparnos por lasituación del vértice A.        a        b        c   ...
3: Vamos a transformar al triángulo mediante una traslación. Dibujamosuna paralela a r y s por el vértice A hasta cortar a...
4: Trasladamos los vértices B y C. Como la dirección es paralela a r y s,los vértices transformados B’, C’ seguirán estand...
5: Unimos los tres vértices trasladados para obtener el triángulo solución.        a        b        c                    ...
2. GIRO
Los elementos que intervienen en un giro son:  •Centro de giro  •Ángulo de giro  •Sentido de giro (Positivo en sentido ant...
El punto A gira alrededor del punto O (Centro de giro) un ángulo α(Ángulo de giro) en sentido negativo (Sentido de giro) h...
Al girar una figura, todos sus elementos describen arcos de circunfe-rencia concéntricos, con un mismo ángulo y el mismo se...
El triángulo ABC ha girado alrededor del punto O 90 grados en sentidoantihorario hasta transformarse en el triángulo A’B’C...
Para girar una recta basta con girar el pie de la perpendicular trazadadesde el centro de giro. Para girar r trazamos una ...
Como los elementos girados se mantienen iguales, para girar unacircunferencia es suficiente girar su centro y trazar otra c...
Ejercicio: Gira la figura dada -120º alrededor del punto O.                                    O
1: Trazamos por O una perpendicular a los lados de la figura y obtene-mos los puntos 1, 2, 3 y 4.     4    3        2   1  ...
2: Giramos el punto 1 construyendo un ángulo de -120º con vértice en O.                                           1’      ...
3: Giramos los puntos 2, 3 y 4.                                                         4’                                ...
4: Trazamos perpendiculares al lado del ángulo por los puntos girados. Enestas rectas estarán los lados de la figura.      ...
5: Transportamos las medidas de los lados de la figura.                                                          4’        ...
6: Giramos también el punto 5, correspondiente al centro del arco.                                                        ...
7: Por último trazamos la figura uniendo todos los puntos girados.                                                         ...
3. SIMETRÍA
Podemos distinguir dos tipos de simetrías:                •Simetría central                •Simetría axial
En la simetría central los puntos simétricos están alineados con otropunto llamado centro de simetría, y se encuentran a i...
Las figuras simétricas tendrán magnitudes iguales y los ladoscorrespondientes serán paralelos. La simetría central equivale...
En la simetría axial los puntos simétricos estarán en perpendiculares auna recta llamada eje de simetría, y a igual distan...
Las figuras simétricas tendrán el mismo tamaño y estarán reflejadasuna respecto de la otra.                                 ...
4. HOMOTECIA
La homotecia es una transformación geométrica en la que se cumplendos condiciones: 1. Los puntos homotéticos están alinead...
2. El cociente de las distancias de los puntos correspondientes al   centro de homotecia es constante y se llama razón de ...
Las figuras homotéticas son semejantes con razón de semejanza iguala la razón de homotecia. Las magnitudes angulares no var...
Si la razón de homotecia es positiva, la figura original y su homotéticase encontrarán en la misma región del plano respect...
Si el valor de la razón de homotecia es menor que la unidad (k<1), lafigura homotética resultante será menor que la origina...
Si el valor de la razón de homotecia es igual que la unidad (k=1), lafigura homotética resultante será igual que la origina...
Si la razón de homotecia es negativa, las figuras homotéticas sesituarán una a cada lado del centro de homotecia. Si el val...
Una homotecia queda definida cuando conocemos: 1.El centro y la razón de homotecia. 2.El centro y un par de puntos homotéti...
Si conocemos el centro (O) y la razón de homotecia (k=-2), lahomotecia que perfectamente definida y podremos hallar latrans...
Así, para hallar el homotético del segmento AB dado, unimos cadapunto con el centro y aplicamos la razón de homotecia, en ...
Si conociésemos el centro (O) y un par de puntos homotéticos (AA’), lahomotecia también queda completamente definida.      ...
Para obtener el punto homotético de B, trazamos por el punto yaconocido A’ una paralela al segmento AB, unimos B con O y d...
Ejercicio: Dibuja la figura homotética a la dada conociendo el centro dehomotecia y la razón de homotecia.            A    ...
1: Unimos uno de los vértices (A) con el centro de homotecia (O) y apartir del centro, puesto que la razón de homotecia es...
2: Dividimos ON en tres partes iguales, y a dos tercios a partir de O seencontrará el punto homotético A’.             A  ...
3: Por A’ dibujamos una paralela a AB. Unimos B con O y dónde secorte con la paralela estará el segundo punto homotético B...
4: Trazamos ahora una paralela al lado BC por el punto B’, unimos Ccon O y donde corte a la paralela estará C’.           ...
5: Procedemos igual con el resto de vértices hasta completar la figura.                               C’                   ...
Ejercicio: Dibuja la circunferencia homotética a la dada conociendo elcentro de homotecia y la razón de homotecia.        ...
1: Unimos el centro de la circunferencia (O1) con el centro de homotecia(O) y dividimos el segmento O1O en tres partes igu...
2: Llevamos dos tercios de la distancia O1O a partir de O1 sobre al rectaque une los centros y así obtenemos el centro de ...
3: Tomamos un punto cualquiera de la circunferencia (A) y lo unimos consu centro (O1) para obtener el radio O1A.          ...
4: Trazamos por O’1 una paralela al radio anterior. Unimos A con O ydonde esta recta corte a la paralela estará el punto A...
5: Dibujamos por último la circunferencia.                 A’                                   A                         ...
Ejercicio: Dado el triángulo ABC, inscribe en él un triángulo equiláterocon uno de sus lados perpendicular a BC.          ...
1: Trazamos un segmento cualquiera 12 perpendicular a BC y dibujamosun triángulo equilátero con ese lado.                 ...
2: Construimos una homotecia haciendo coincidir el centro de homoteciacon el vértice B y dibujamos la recta que pasa por O...
3: Dibujamos por 3’ paralelas a los lados del triángulo 123 para obtenerel resto de los vértices.                         ...
Ejercicio: Dibuja una cuerda de la circunferencia O que quede divididapor los radio r1 y r2 en tres partes iguales.       ...
1: Dibujamos una recta que pase por los extremos de los radios A y B.                         A                           ...
2: Sobre dicha recta marcamos distancias iguales a AB a un lado y aotro, y así obtenemos los puntos C y D.         C      ...
3: Tomamos el centro de la circunferencia como centro de unahomotecia y unimos C y D con el centro. Donde estas rectas cor...
4: La cuerda C’D’ es la solución. Queda dividida por los radios r1 y r2 entres partes que por la construcción realizada se...
F, MOHEDANO       DIBUJO TÉCNICO 1º BACH.IES LOS MANANTIALES (TORREMOLINOS)
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Transformaciones geométricas en el plano

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Presentación sobre las 4 transformaciones geométricas en el plano: Traslación, giro, simetría y homotecia. Preparada para la clase de Dibujo Técnico de 1º de Bachillerato.

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  • Transformaciones geométricas en el plano

    1. 1. TRANSFORMACIONESGEOMÉTRICAS EN EL PLANO DIBUJO TÉCNICO 1º BACHILLERATO
    2. 2. Dos figuras se relacionan mediante una transformacióngeométrica cuando sus elementos se corresponden entre sí siguiendo unas determinadas reglas. A A’
    3. 3. Las cuatro transformaciones geométricas que vamosa estudiar son: •Traslación •Giro •Simetría •Homotecia
    4. 4. 1. TRASLACIÓN
    5. 5. En una traslación, una figura se desplaza en el plano hasta una nuevaposición. Los elementos que determinan la traslación son dos: •Dirección y sentido de la traslación •Magnitud de traslación n lació A’ de tras o ntid n y se cció Dire A B’ C’ n lació de tras B C nitu d Mag
    6. 6. Los puntos correspondientes de dos figuras trasladadas se relacionansegún rectas paralelas a la dirección de traslación, y estarán separadosa una distancia igual a la magnitud de traslación. n lació A’ de tras o ntid n y se cció Dire A B’ C’ n lació de tras B C nitu d Mag
    7. 7. Las figuras trasladadas resultarán iguales y los elementoscorrespondientes de cada figura serán paralelos. n lació A’ de tras o ntid n y se cció Dire A B’ C’ n lació de tras B C nitu d Mag
    8. 8. Ejercicio: Traslada un cuadrado de 45 mm de lado. Dirección detraslación 30º, magnitud de traslación 35 mm. A D B C
    9. 9. 1: Construimos un ángulo de 30º en uno de los vértices del cuadrado. A D 30º B C
    10. 10. 2: De esta forma determinamos la dirección de traslación. A D 0 º d=3 30º B C
    11. 11. 3: Trazamos paralelas por cada vértice a la dirección de traslación. A D 0 º d=3 30º B C
    12. 12. 4: A partir del vértice B medimos sobre la dirección de traslación los35mm correspondientes a la magnitud de traslación. A D º 30 d= 35 m= 30º B C
    13. 13. 5: Llevamos la magnitud de traslación a partir de cada vértice paraobtener los nuevos vértices trasladados. A D º 30 d= 35 m= 30º B C
    14. 14. 6: Por último unimos los nuevos vértices para dibujar el cuadradotransformado. A’ D’ A D B’ C’ º 30 d= 35 m= 30º B C
    15. 15. Ejercicio: Dibuja un triángulo cuyos lados miden a=40, b=55 y c=30 deforma que cada uno de sus vértices se sitúe en una de las rectas dadas. a b c r s t
    16. 16. 1: Situamos el lado a de forma que sus extremos, B y C, se encuentrenen cualquier parte de las rectas r y s respectivamente. a b c B r a s C t
    17. 17. 2: Situado el lado a, dibujamos el triángulo sin preocuparnos por lasituación del vértice A. a b c A c B b r a s C t
    18. 18. 3: Vamos a transformar al triángulo mediante una traslación. Dibujamosuna paralela a r y s por el vértice A hasta cortar a t en A’. El segmentoAA’ nos marca la dirección y la magnitud de traslación. a b c A d A’ m c B b r a s C t
    19. 19. 4: Trasladamos los vértices B y C. Como la dirección es paralela a r y s,los vértices transformados B’, C’ seguirán estando en las rectas. a b c A d A’ m c B b B’ r a s C C’ t
    20. 20. 5: Unimos los tres vértices trasladados para obtener el triángulo solución. a b c A d A’ m c B b B’ r a s C C’ t
    21. 21. 2. GIRO
    22. 22. Los elementos que intervienen en un giro son: •Centro de giro •Ángulo de giro •Sentido de giro (Positivo en sentido antihorario) A A’ α O
    23. 23. El punto A gira alrededor del punto O (Centro de giro) un ángulo α(Ángulo de giro) en sentido negativo (Sentido de giro) hastatransformarse en el punto A’. A A’ α O
    24. 24. Al girar una figura, todos sus elementos describen arcos de circunfe-rencia concéntricos, con un mismo ángulo y el mismo sentido, concentro el centro de giro. A O C’ B C A’ B’
    25. 25. El triángulo ABC ha girado alrededor del punto O 90 grados en sentidoantihorario hasta transformarse en el triángulo A’B’C’. Las figurasgiradas son iguales. A O C’ B C A’ B’
    26. 26. Para girar una recta basta con girar el pie de la perpendicular trazadadesde el centro de giro. Para girar r trazamos una perpendicular desdeO y obtenemos A. Giramos el punto A para transformarlo en A’. Larecta transformada r’ será perpendicular a OA’. A A’ O r r’
    27. 27. Como los elementos girados se mantienen iguales, para girar unacircunferencia es suficiente girar su centro y trazar otra circunferenciaigual a la anterior. O1 O’1 O
    28. 28. Ejercicio: Gira la figura dada -120º alrededor del punto O. O
    29. 29. 1: Trazamos por O una perpendicular a los lados de la figura y obtene-mos los puntos 1, 2, 3 y 4. 4 3 2 1 O
    30. 30. 2: Giramos el punto 1 construyendo un ángulo de -120º con vértice en O. 1’ -120º 4 3 2 1 O
    31. 31. 3: Giramos los puntos 2, 3 y 4. 4’ 3’ 2’ 1’ -120º 4 3 2 1 O
    32. 32. 4: Trazamos perpendiculares al lado del ángulo por los puntos girados. Enestas rectas estarán los lados de la figura. 4’ 3’ 2’ 1’ -120º 4 3 2 1 O
    33. 33. 5: Transportamos las medidas de los lados de la figura. 4’ 3’ 2’ 1’ -120º 4 3 2 1 O
    34. 34. 6: Giramos también el punto 5, correspondiente al centro del arco. 4’ 3’ 5’ 2’ 1’ 5 -120º 4 3 2 1 O
    35. 35. 7: Por último trazamos la figura uniendo todos los puntos girados. 4’ 3’ 5’ 2’ 1’ 5 -120º 4 3 2 1 O
    36. 36. 3. SIMETRÍA
    37. 37. Podemos distinguir dos tipos de simetrías: •Simetría central •Simetría axial
    38. 38. En la simetría central los puntos simétricos están alineados con otropunto llamado centro de simetría, y se encuentran a igual distancia dedicho punto. 3’ 2’ 1 4’ 5’ 6 6’ O 5 4 1’ 2 3
    39. 39. Las figuras simétricas tendrán magnitudes iguales y los ladoscorrespondientes serán paralelos. La simetría central equivale a un girode 180º de centro de giro el centro de simetría. 3’ 2’ 1 4’ 5’ 6 6’ O 5 4 1’ 2 3
    40. 40. En la simetría axial los puntos simétricos estarán en perpendiculares auna recta llamada eje de simetría, y a igual distancia respecto al eje. eje 1 1’ 3 2 2’ 3’ 4 4’ 5 5’ 6 6’ 7 8 8’ 7’
    41. 41. Las figuras simétricas tendrán el mismo tamaño y estarán reflejadasuna respecto de la otra. eje 1 1’ 3 2 2’ 3’ 4 4’ 5 5’ 6 6’ 7 8 8’ 7’
    42. 42. 4. HOMOTECIA
    43. 43. La homotecia es una transformación geométrica en la que se cumplendos condiciones: 1. Los puntos homotéticos están alineados con otro punto llamado centro de homotecia. A’ A B’ B O C C’
    44. 44. 2. El cociente de las distancias de los puntos correspondientes al centro de homotecia es constante y se llama razón de homotecia (k). OA’ = OB’ = OC’ =k A’ OA OB OC A B’ B O C C’
    45. 45. Las figuras homotéticas son semejantes con razón de semejanza iguala la razón de homotecia. Las magnitudes angulares no varían, y lasrectas o segmentos homotéticos serán paralelos. A’B’= B’C’= C’D’=k A’ AB BC CD A B’ B O C C’
    46. 46. Si la razón de homotecia es positiva, la figura original y su homotéticase encontrarán en la misma región del plano respecto al centro dehomotecia. Si el valor de la razón de homotecia es mayor que la unidad(k>1), la figura homotética resultante será mayor que la original. A’ k>1 A B B’ O C C’
    47. 47. Si el valor de la razón de homotecia es menor que la unidad (k<1), lafigura homotética resultante será menor que la original. k<1 A A’ B’ B O C’ C
    48. 48. Si el valor de la razón de homotecia es igual que la unidad (k=1), lafigura homotética resultante será igual que la original, la homotecia setransforma en una identidad, las dos figuras coinciden. k=1 A≡A’ B≡B’ O C≡C’
    49. 49. Si la razón de homotecia es negativa, las figuras homotéticas sesituarán una a cada lado del centro de homotecia. Si el valor de k=-1, lahomotecia se transforma en una simetría central. C’ k= - 1 2 A B’ B O A’ C
    50. 50. Una homotecia queda definida cuando conocemos: 1.El centro y la razón de homotecia. 2.El centro y un par de puntos homotéticos.
    51. 51. Si conocemos el centro (O) y la razón de homotecia (k=-2), lahomotecia que perfectamente definida y podremos hallar latransformación de cualquier elemento. A k= -2 O B
    52. 52. Así, para hallar el homotético del segmento AB dado, unimos cadapunto con el centro y aplicamos la razón de homotecia, en este caso eldoble de la distancia de cada punto a O, situándose cada punto y suhomotético a cada lado de O por ser negativa la razón de homotecia. B’ A k= -2 O B A’
    53. 53. Si conociésemos el centro (O) y un par de puntos homotéticos (AA’), lahomotecia también queda completamente definida. A O B A’
    54. 54. Para obtener el punto homotético de B, trazamos por el punto yaconocido A’ una paralela al segmento AB, unimos B con O y dondecorte a la paralela se encontrará B’. B’ A O B A’
    55. 55. Ejercicio: Dibuja la figura homotética a la dada conociendo el centro dehomotecia y la razón de homotecia. A O E D k= - 2 3 B C
    56. 56. 1: Unimos uno de los vértices (A) con el centro de homotecia (O) y apartir del centro, puesto que la razón de homotecia es negativa,tomamos una medida igual a AO para obtener el punto N. A O N E D k= - 2 3 B C
    57. 57. 2: Dividimos ON en tres partes iguales, y a dos tercios a partir de O seencontrará el punto homotético A’. A O A’ N E D k= - 2 3 B C
    58. 58. 3: Por A’ dibujamos una paralela a AB. Unimos B con O y dónde secorte con la paralela estará el segundo punto homotético B’. B’ A O A’ N E D k= - 2 3 B C
    59. 59. 4: Trazamos ahora una paralela al lado BC por el punto B’, unimos Ccon O y donde corte a la paralela estará C’. C’ B’ A O A’ N E D k= - 2 3 B C
    60. 60. 5: Procedemos igual con el resto de vértices hasta completar la figura. C’ B’ D’ E’ A O A’ N E D k= - 2 3 B C
    61. 61. Ejercicio: Dibuja la circunferencia homotética a la dada conociendo elcentro de homotecia y la razón de homotecia. O O1 k= 5 3
    62. 62. 1: Unimos el centro de la circunferencia (O1) con el centro de homotecia(O) y dividimos el segmento O1O en tres partes iguales. O O1 k= 5 3
    63. 63. 2: Llevamos dos tercios de la distancia O1O a partir de O1 sobre al rectaque une los centros y así obtenemos el centro de la circunferenciahomotética O’1. (O1 se encuentra a 3 unidades de O y O’1 a 5) O O1 O’1 k= 5 3
    64. 64. 3: Tomamos un punto cualquiera de la circunferencia (A) y lo unimos consu centro (O1) para obtener el radio O1A. A O O1 O’1 k= 5 3
    65. 65. 4: Trazamos por O’1 una paralela al radio anterior. Unimos A con O ydonde esta recta corte a la paralela estará el punto A’ que pertenecerá ala circunferencia homotética. A’ A O O1 O’1 k= 5 3
    66. 66. 5: Dibujamos por último la circunferencia. A’ A O O1 O’1 k= 5 3
    67. 67. Ejercicio: Dado el triángulo ABC, inscribe en él un triángulo equiláterocon uno de sus lados perpendicular a BC. A B C
    68. 68. 1: Trazamos un segmento cualquiera 12 perpendicular a BC y dibujamosun triángulo equilátero con ese lado. A 2 3 B 1 C
    69. 69. 2: Construimos una homotecia haciendo coincidir el centro de homoteciacon el vértice B y dibujamos la recta que pasa por O y por 3 hasta cortaral lado AC en el punto 3’ que será homotético de 3. A 2 3’ 3 B≡O 1 C
    70. 70. 3: Dibujamos por 3’ paralelas a los lados del triángulo 123 para obtenerel resto de los vértices. A 2’ 2 3’ 3 B≡O 1 1’ C
    71. 71. Ejercicio: Dibuja una cuerda de la circunferencia O que quede divididapor los radio r1 y r2 en tres partes iguales. r1 r2 O
    72. 72. 1: Dibujamos una recta que pase por los extremos de los radios A y B. A B r1 r2 O
    73. 73. 2: Sobre dicha recta marcamos distancias iguales a AB a un lado y aotro, y así obtenemos los puntos C y D. C A B D r1 r2 O
    74. 74. 3: Tomamos el centro de la circunferencia como centro de unahomotecia y unimos C y D con el centro. Donde estas rectas corten a lacircunferencia estarán los puntos homotéticos C’ y D’. C A B D C’ D’ r1 r2 O
    75. 75. 4: La cuerda C’D’ es la solución. Queda dividida por los radios r1 y r2 entres partes que por la construcción realizada serán iguales. C A B D C’ A’ B’ D’ r1 r2 O
    76. 76. F, MOHEDANO DIBUJO TÉCNICO 1º BACH.IES LOS MANANTIALES (TORREMOLINOS)

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