1. INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE ALAGOAS – IFAL
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
FERNANDO ANTÔNIO CAVALCANTE MENDONÇA
COMPREENDENDO A NOÇÃO DE LIMITES A PARTIR DA ARITMÉTICA:
UMA ABORDAGEM NA ARITMÉTICA DA EDUCAÇÃO BÁSICA AO
PARADOXO DA DICOTOMIA
Maceió/AL
2012

2. FERNANDO ANTÔNIO CAVALCANTE MENDONÇA
COMPREENDENDO A NOÇÃO DE LIMITES A PARTIR DA ARITMÉTICA:
UMA ABORDAGEM NA ARITMÉTICA DA EDUCAÇÃO BÁSICA AO
PARADOXO DA DICOTOMIA
Artigo apresentado à disciplina História da Matemática, para
cumprimento de atividade proposta no curso de Licenciatura
em Matemática, do Instituto Federal de Alagoas – IFAL, sob
orientação do Profº Msc. Luiz Galdino.
Maceió/AL
2012

3. COMPREENDENDO A NOÇÃO DE LIMITES A PARTIR DA
ARITMÉTICA: UMA ABORDAGEM NA EDUCAÇÃO BÁSICA AO
PARADOXO DA DICOTOMIA
UNDERSTANDING THE CONCEPT OF LIMITS BASED ON THE ARITHMETIC: AN
APPROACH IN THE BASIC EDUCATION TO THE DICHOTOMY PARADOX
Fernando Antônio Cavalcante MENDONÇA1
Luiz Galdino da SILVA2
Resumo
Este estudo realiza uma investigação da possibilidade de abordagem das
noções de limites na Educação Básica, utilizando a aritmética, e tendo por base o Paradoxo
da Dicotomia. Os alunos da Educação Básica vivenciam situações onde fazem-se
presentes noções e conceitos relacionados aos limites, mas no currículo do Ensino Básico
não há previsão para esse conhecimento. Assim, a partir da regressão e progressão de
pontos num intervalo unitário, o intervalo 0-1, é apresentada a possibilidade de discussão
dos limites, isto é, para que valor a sequência está tendendo, utilizando conceitos relativos
às frações. Tendo como “público-alvo” dessas noções de limites alunos do 9º ano do
Ensino Fundamental, e do 1º ano do Ensino Médio, aponta-se que é através de operações
básicas, já bem administradas por esses discentes, que se inicia facilmente a noção de
limites: quando numeradores crescem “infinitamente mais” do que denominadores, ou
numeradores e denominadores crescem (ou regridem) a uma dada proporção, são
calculados, numericamente, os valores de tendência da sequência, envolvendo os limites a
essas representações, auxiliando na formação mais completa e abrangente desse alunado.
Palavras-chaves: Educação Básica. Aritmética. Limites. Paradoxo da Dicotomia.
Abstract
This study conducts an investigation of the possibility of addressing the notions
of limits in basic education, using the arithmetic, and based on the Dichotomy
Paradox. Students of Basic Education experience situations where they were present ideas
and concepts related to limits, but the curriculum of basic education there is no provision for
that knowledge. Thus, from the regression and progression of points in the unit interval, the
interval 0-1, is shown for discussion of the limits, that is, to the sequence value is
tending, using concepts relating to the fractions. With the "target audience" these notions
of limits students in 9th grade in elementary school, and the 1st year of high school, points
out that it is through basic operations, as well managed by these students, which
starts easily the notion limits: when the numerators grow "infinitely more" than
denominators or numerators and denominators grow (or regress) to a given ratio, is
calculated numerically, the trend values of the sequence, involving the limits on these
representations, assisting in training most complete and comprehensive of these students.
Key-words: Basic Education. Arithmetic. Limits. Dichotomy Paradox.
1
Licenciando em Matemática – Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Alagoas – IFAL.
2
Professor do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Alagoas – IFAL, Mestre em
Educação Matemática pela Universidade Federal de Alagoas – UFAL.
3

4. 1 - INTRODUÇÃO
Os limites são elementos da área da matemática, e fazem-se presentes
no cotidiano dos seres humanos em geral. Um exemplo dessa afirmação é a
questão climática: quando uma chuva forte, ou tempestade, aproxima-se, os
moradores, ainda que com a mínima instrução, conseguem perceber empiricamente
que as nuvens estão carregadas demais, e vão “rasgar”. O conhecimento por trás
deste fato envolve intimamente o conceito de limites, pois existe uma umidade tal
que a nuvem não suporta mais com o peso das gotículas d’água, isto é, a umidade
no interior da nuvem aumenta até alcançar (ou se aproximar, pois provavelmente
antes disso, choverá) de uma valor-limite, quando acontecerá a precipitação com
alto índice pluviométrico.
No entanto, a compreensão desses conceitos é legada somente ao
público constituinte da Educação de Nível Superior: os cursos de ciências exatas,
juntamente com outros cursos cujas grades curriculares prevejam noções de cálculo
infinitesimal, (como Economia e algumas Ciências Naturais, a exemplo da Geografia,
Geologia, etc.), estando sem cogitação ministrar alguns conceitos nocionais de
limites na Educação Básica, principalmente no Ensino Fundamental.
Nesse contexto, vê-se, através desse trabalho, a possibilidade de discutir
a noção de limites com alunos do 9º ano do Ensino Fundamental II, e aprofundá-la
um pouco mais com alunos do 1º ano do Ensino Médio, tomando como fundamentos
os conceitos básicos de aritmética no conjunto dos números racionais.
A importância desse estudo anteriormente mencionado reside no fato de
que o mesmo procura expandir a compreensão da ideia de limites para além da
Educação Superior, desmistificando esse conceito considerado complexo para ser
abordado na Educação Básica.
2 – REVISÃO CONTEUDÍSTICA
2.1 – PARADOXO DA DICOTOMIA
Esse paradoxo remonta a Grécia Antiga, onde o filósofo Zenão de Eléia
argumentava existir uma inconsistência nos conceitos relacionados ao movimento.
4

5. Kirk e Raven (1977, p. 291-297) afirmam que Zenão percebeu que para
percorrer uma distância, é necessário passar por um número infinito de pontos; mas
como na prática o percurso consegue ser vencido, então o infinito passa a ter um
fim, gerando o paradoxo, que é, basicamente, uma contradição.
O filósofo, ainda segundo os autores, respaldou a existência de infinitos
pontos fazendo uma progressão “fracionária” do movimento: o móvel passa pelo
ponto que corresponde a 1 2 do percurso, depois pelo ponto que corresponde a 2 3
do percurso, etc. Vai chegar, em algum instante, a 199 200 do percurso, a 5647 5648
do percurso, mas nunca vai chegar ao final (número infinito de pontos, com frações
tendendo à unidade, mas não a alcançando “plenamente”).
O paradoxo da dicotomia vem levantar a contradição que existe em
percorrer infinitos pontos em um tempo finito, ou a partir de infinitos números
convergir para um número finito.
Porém, pode-se considerar que o erro neste paradoxo é o de confundir
uma distância infinita com uma distância finita infinitamente indivisível, como é o
caso, pois entre dois pontos não temos uma distância infinita, mas uma distância
que poderíamos dividir infinitamente.
2.2 – A NOÇÃO DE LIMITES A PARTIR DA REGRESSÃO
O conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma
situação quando a mesma tende a um determinado estado. Em outras palavras,
quando uma situação se altera constantemente e vai ficando cada vez mais próxima
de um determinado estado, ao serem realizadas infinitas alterações, a situação terá
esse determinado estado. Quando essa alteração está no sentido da diminuição, e a
situação-limite é inferior às situações anteriores, dizemos que é atingido o limite a
partir de uma regressão.
Um exemplo de como essa ideia está presente intuitivamente no ser
humano é o seguinte: supondo-se que um indivíduo dirige seu carro a uma dada
velocidade, em área urbana, em um determinado dia. Ao dobrar sempre sua
velocidade no próximo dia, e assim sucessivamente, o estado limite da situação de
aumento da velocidade é o acidente automobilístico. Outra situação: o congelamento
5

6. da água, cuja temperatura diminui constantemente, mas ainda é água “líquida”, até o
valor-limite de 0ºC, quando congelará.
No campo da matemática, essas noções ficam ainda mais visíveis, isto é,
quando a situação é numérica, como nesses casos de resfriamento (como quando é
colocado um refrigerante na geladeira: sua temperatura regredirá até se aproximar
muito do valor-limite para essa situação, que é a temperatura do interior da
geladeira; de fato, alcança esse valor, num dado instante).
2.3 – A NOÇÃO DE LIMITES A PARTIR DA PROGRESSÃO
Em situação similar a anteriormente descrita, se um fenômeno ou uma
situação se altera, aumentando, em direção a uma situação-limite, superior às
situações anteriores, dizemos que o limite foi atingido a partir de uma progressão.
Então, analogamente, tem-se o caso de fervura da água, cuja
temperatura aumenta constantemente (porém inferior a 100ºC, que é o valor-limite),
mas continua sendo água “líquida”. A temperatura progride, até encontrar o seu
limite, de 100ºC, quando o líquido é transformado em vapor.
3 – MATERIAIS E MÉTODOS
3.1 – REGRESSÃO
Considerando-se o intervalo de 0 a 1, marcar-se-á nele o ponto
correspondente a 1 3 ; posteriormente, será marcado o ponto correspondente a 1 9 ,
seguido de 1 27, 1 81, 1 243, e assim sucessivamente, ou seja, o novo ponto será
1 3 do ponto anterior.
1
81
0 1 27 19 13 1
1
243
Com isso, alcançamos um limite no valor numérico de 0 a partir de uma
regressão do intervalo, a partir de pontos que diminuem entre si no fator 1 3 .
6

7. A sequência de pontos é a seguinte (até a utilização do décimo ponto):
Ponto Valor Valor aprox. Ponto Valor Valor aprox.
1 1/3 0,3333333333 6 1/729 0,0013717421
2 1/9 0,1111111111 7 1/2187 0,0004572474
3 1/27 0,0370370370 8 1/6561 0,0001524158
4 1/81 0,0123456790 9 1/19683 0,0000508053
5 1/243 0,0041152263 10 1/59049 0,0000169351
Observa-se que, tanto pela representação gráfica quanto pelos valores,
há uma aproximação do número 0, através de uma regressão. Assim, quando
1
tivermos infinitos pontos, o seu valor será 0, sendo assim representado: lim 0
n 3n
3.2 – PROGRESSÃO
Considerando o mesmo intervalo, marcar-se-á o ponto 1 3 ; partindo
desse ponto, caminha-se 1 9 e marca-se um novo ponto, e sucessivamente,
caminham-se 1 27, 1 81, e 1 243, e marcam-se novos pontos. Representando
40
graficamente a situação, tem-se: 81
0 13 49 1/2 1
13
27
Com isso, alcançamos um limite no valor numérico de 1 2 , a partir de
uma progressão do intervalo, a partir de pontos cuja distância ao ponto anterior é
1 3 da distância do ponto ao anterior ao ponto anterior do anterior. Em outras
palavras, a distância de um ponto i+1 a um ponto i vale 1 3 da distância do ponto i a
um ponto i-1, sendo o ponto i+1 > ponto i > ponto i-1.
A sequência de pontos é a seguinte (até a utilização do décimo ponto):
Ponto Valor Fração Valor aprox. Ponto Valor Fração Valor aprox.
Ponto 5
1 1/3 = 1/3 0,3333333333 6 = 364/729 0,4993141289
+ 1/729
Ponto 1 Ponto 6
2 = 4/9 0,4444444444 7 = 1093/2187 0,4997713763
+ 1/9 + 1/2187
Ponto 2 Ponto 7
3 = 13/27 0,4814814815 8 = 3280/6561 0,4999237921
+ 1/27 + 1/6561
Ponto 3 Ponto 8
4 = 40/81 0,4938271605 9 = 9841/19683 0,4999745974
+ 1/81 + 1/19683
Ponto 4 Ponto 9
5 = 0,4979423868 10 = 29524/59049 0,4999915325
+ 1/243 121/243 + 1/59049
7

8. Observa-se que, tanto pela representação gráfica quanto pelos valores,
há uma aproximação do número 1 2 , através de uma progressão. Analisando os
pontos em relação aos seus valores (as frações obtidas), tem-se:
Ponto Fração Numerador*2 Ponto Fração Numerador*2
1 1/3 2 6 364/729 728
2 4/9 8 7 1093/2187 2186
3 13/27 26 8 3280/6561 6560
4 40/81 80 9 9841/19683 19682
5 121/243 242 10 29524/59049 59048
É possível perceber que o dobro do numerador é próximo do
denominador, sendo-lhe menor em uma unidade. Ou seja, o denominador é o dobro
i
do numerador, acrescido de 1. Então, o i-ésimo ponto teria o seguinte valor: 2i  1 .
i
Após muitos pontos, a posição dele será: lim . Ora, como o valor de i é muito
i   2i  1
grande, é razoável afirmar que o número 1, no denominador, não interfere muito no
valor de 2i; então, temos a divisão de uma quantidade (grande) por outra que lhe é o
dobro (praticamente), resultando em 1 2 . Assim, quando tivermos infinitos pontos, o
n
1 1
seu valor será 1 2 , sendo assim representado: lim   .
i 2
i 1 3
n 
Foram apresentadas as ferramentas gráficas e numéricas; contudo, o
discente do 1º ano do Ensino Médio possui ferramenta algébrica para calcular o
valor-limite assumido pelos pontos em questão. Observe-se:
Ponto Fração
1 1/3
2 1/3 + 1/9
3 1/3 + 1/9 + 1/27
4 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81
5 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243
Assim, sucessivamente. Então, um ponto que “deixa muitos pontos pra
trás”, isto é, um ponto de posição muito grande, possuirá o seguinte valor: 1/3 + 1/9
+ 1/27 + 1/81 + 1/243 + 1/729 +... Logo, percebe-se que o ponto em questão possui
um valor dado pela soma de uma progressão geométrica (P.G.) decrescente infinita,
de razão q=1/3, e primeiro termo a1 = 1/3.
8

9. Não sendo interesse desse estudo provar a fórmula a ser utilizada, mas
sim mostrar noções de limites, temos que o valor desse ponto, chamado agora de P,
1 1
a 3  P  3  P  3  P  1 . Então, o valor-limite
corresponde a: P  1 P 
1 q 1 2 6 2
1
3 3
para os pontos em progressão adotados é de 1 2 .
4. CONCLUSÃO
As noções de limites abordadas neste estudo não possuem complexidade
tal que não possam ser compreendidas na Educação Básica, pois se usa mais o
raciocínio e a lógica matemática, bem como boa dose de aritmética, para chegar-se
aos resultados apresentados.
Assim, abordar o conteúdo apresentado fornece uma maior consistência
na formação matemática básica, pois proporciona um entendimento de muitas
situações simplesmente relegadas aos alunos desse nível educacional.
Naturalmente, o docente que apresente essa temática aqui abordada,
inclusive utilizando esses exemplos, necessita detalhar melhor algumas operações e
passagens, para que possa ser assimilado pelos alunos “secundaristas”,
principalmente quando não há ferramentas algébricas para confrontar os resultados
aritméticos e algébricos; claro que é intuitivo que uma fração unitária (possui
numerador igual a 1) de denominador muito alto tende a 0, ao passo que a razão
entre um número e outro que praticamente o dobra tende a 1/2, mas no
conhecimento de mundo e de conteúdo do discente do Ensino Básico isso não é tão
imediato, sendo-lhes necessários maiores esclarecimentos acerca do tema.
Portanto, é válida e totalmente possível a apresentação de noções de
limites aos alunos do 9º ano do Ensino Fundamental e aos alunos do 1º ano do
Ensino Médio, uma vez que já existe uma maturidade maior que alunos de séries
anteriores, e suficiente, para que seja trabalhado o universo dos números racionais,
como feito no estudo em tela.
5. REFERÊNCIA
 http://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxos_de_Zeno#Dicotomia
 http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm25/paradoxosd.htm
9

10. ÍNDICE
1 - INTRODUÇÃO ......................................................................................................................... 3
2 – REVISÃO CONTEUDÍSTICA ................................................................................................. 4
2.1 – PARADOXO DA DICOTOMIA ........................................................................................ 4
2.2 – A NOÇÃO DE LIMITES A PARTIR DA REGRESSÃO ................................................... 5
2.3 – A NOÇÃO DE LIMITES A PARTIR DA PROGRESSÃO ................................................ 6
3 – MATERIAIS E MÉTODOS...................................................................................................... 6
3.1 – REGRESSÃO .................................................................................................................... 6
3.2 – PROGRESSÃO.................................................................................................................. 7
4. CONCLUSÃO ............................................................................................................................ 9
5. REFERÊNCIA............................................................................................................................ 9