Ing. Edward Ropero
Magister en Gestión,
Aplicación y Desarrollo de
Software
Definición Geométrica: El
conjunto de todos los segmentos
de recta dirigidos equivalentes a
un segmento de recta dirigido
...
Para muchos propósitos, dos vectores y se definen como iguales si
tienen la misma magnitud y si apuntan en la misma direcc...
Para sumar el vector B al vector , primero dibuje el vector A con su
magnitud representada mediante una escala de longitud...
Ley conmutativa de la suma: Cuando
se suman dos vectores, la suma es
independiente del orden de la adición.
Ley asociativa...
El negativo del vector A se define como el vector que, cuando se suma
con A , da cero para la suma vectorial. Esto es: A +...
La operación de resta vectorial utiliza la definición del negativo de un
vector. Se define la operación A – B como el vect...
Si el vector A se multiplica por una cantidad escalar positiva c, el
producto c es un vector que tiene la misma dirección ...
α 0 π6 π4 π3 π2 π 3π2 2π
tg α 0 √33 1 √3 ∞ 0 ∞ 0
Una recta está determinada por dos puntos. Una recta también queda
determinada por un punto y una dirección, por consiguie...
Un punto P ≠ A estará en la recta l si y solo si AP es paralelo a , es
decir, AP = ʎ para cualquier ʎ ≠ 0. Observe que si ...
Empleando vectores coordenados, la ecuación puede escribirse como
P = ʎV + A
P-A = ʎV
La segunda ecuación se conoce con el...
Si P = (x, y, z), A = (a1, a2, a3) y V = (v1, v2, v3), entonces
(x, y, z) = (a1, a2, a3) + ʎ (v1, v2, v3)
(x, y, z) = (a1 ...
Si en las ecuaciones anteriores despejamos el parámetro tenemos que
Por consiguiente
Las ecuaciones anteriores se conocen ...
Teorema 1. Sean u = (a1, b1) y v = (a2, b2), entonces el producto
interno de u y v es:
u•v = a1a2 + b1b2
Al producto inter...
Teorema 3. Sean u y v dos vectores diferentes de cero. El ángulo θ
entre u y v es el ángulo no negativo más pequeño ( 0 ≤θ...
Teorema 4. Si u y v son dos vectores diferentes de cero y ϕ es el
ángulo entre ellos, entonces cos ϕ =
𝒖 .𝒗
𝒖 .| 𝒗 |
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Teorema 5. Dos vectores diferentes de cero, u y v son:
a) paralelos si el ángulo entre ellos es cero o π (180°)
b) ortogon...
Teorema 1. Sea V un espacio vectorial con producto interno definido
y u en V.
La norma de u, que se denota ||u|| está dada...
Teorema 2. Sea V un espacio vectorial con producto interno y sea u
un vector de V.
Decimos que u es vector unitario si ||u...
Sea V un espacio vectorial con producto interno. Sean u
y v elementos de V.
La distancia entre u y v se define como la nor...
Sean u y v dos vectores diferentes de cero en un espacio vectorial V
con producto interno. Entonces la proyección de u sob...
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Algebra lineal 2. Espacios vectoriales

  1. 1. Ing. Edward Ropero Magister en Gestión, Aplicación y Desarrollo de Software
  2. 2. Definición Geométrica: El conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos equivalentes a un segmento de recta dirigido dado se llama vector. Cualquier segmento de recta en ese conjunto se denomina una representación del vector. Definición Algebraica: Un vector v en el plano xy es un par ordenado de números reales (a, b). Los números a y b se denominan elementos o componentes del vector v. El vector cero es el vector (0, 0).
  3. 3. Para muchos propósitos, dos vectores y se definen como iguales si tienen la misma magnitud y si apuntan en la misma dirección. Esto es, = sólo si A = B y si y apuntan en la misma dirección a lo largo de líneas paralelas.
  4. 4. Para sumar el vector B al vector , primero dibuje el vector A con su magnitud representada mediante una escala de longitud conveniente, y luego dibuje el vector B a la misma escala, con su origen iniciando desde la punta de A . El vector resultante R = A + B es el vector que se dibuja desde el origen de A a la punta de B
  5. 5. Ley conmutativa de la suma: Cuando se suman dos vectores, la suma es independiente del orden de la adición. Ley asociativa de la suma: Cuando se suman tres o mas vectores, su suma es independiente de la forma en la cual se agrupan los vectores individuales
  6. 6. El negativo del vector A se define como el vector que, cuando se suma con A , da cero para la suma vectorial. Esto es: A + ( - A) = 0. Los vectores A y – A tienen la misma magnitud pero apuntan en direcciones opuestas.
  7. 7. La operación de resta vectorial utiliza la definición del negativo de un vector. Se define la operación A – B como el vector – B que se suma al vector A :
  8. 8. Si el vector A se multiplica por una cantidad escalar positiva c, el producto c es un vector que tiene la misma dirección que y magnitud c
  9. 9. α 0 π6 π4 π3 π2 π 3π2 2π tg α 0 √33 1 √3 ∞ 0 ∞ 0
  10. 10. Una recta está determinada por dos puntos. Una recta también queda determinada por un punto y una dirección, por consiguiente por un punto de la recta y un vector paralelo a la recta. Consideremos una recta l en el espacio, sea un A punto de l y un vector paralelo a l. l P A
  11. 11. Un punto P ≠ A estará en la recta l si y solo si AP es paralelo a , es decir, AP = ʎ para cualquier ʎ ≠ 0. Observe que si ʎ = 0, entonces A = P, si colocamos un sistema coordenado de tal forma que el origen O, coincida con el punto inicial del vector .
  12. 12. Empleando vectores coordenados, la ecuación puede escribirse como P = ʎV + A P-A = ʎV La segunda ecuación se conoce con el nombre de ecuación vectorial de la recta l que pasa por el punto A y es paralela al vector .
  13. 13. Si P = (x, y, z), A = (a1, a2, a3) y V = (v1, v2, v3), entonces (x, y, z) = (a1, a2, a3) + ʎ (v1, v2, v3) (x, y, z) = (a1 + ʎv1, a2 + ʎv2, a3 + ʎv3) de la igualdad anterior se tiene que x = a1 + ʎv1 y = a2 + ʎv2 z = a3 + ʎv3 Las ecuaciones anteriores se llaman ecuaciones paramétricas para la recta l que pasa por el punto A y es paralela al vector . Al darle valores a ʎ obtenemos un punto P = (x, y, z) específico.
  14. 14. Si en las ecuaciones anteriores despejamos el parámetro tenemos que Por consiguiente Las ecuaciones anteriores se conocen como ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto A y es paralela al vector . ʎ = 𝑥 −𝑎1 𝑣1 , 𝑣1 ≠ 0 ʎ = 𝑦 −𝑎2 𝑣2 , 𝑣2 ≠ 0 ʎ = 𝑧 −𝑎3 𝑣3 , 𝑣3 ≠ 0 𝑥 − 𝑎1 𝑣1 = 𝑦 − 𝑎2 𝑣2 = 𝑧 − 𝑎3 𝑣3
  15. 15. Teorema 1. Sean u = (a1, b1) y v = (a2, b2), entonces el producto interno de u y v es: u•v = a1a2 + b1b2 Al producto interno también se le llama producto punto. Recordemos que el producto interno es un número real al igual que la magnitud de un vector. Teorema 2. Sea v un vector de R2, entonces ||v||2 = v•v Ejemplo: Consideremos el vector v = (3,–5), entonces: usando el teorema anterior tenemos que
  16. 16. Teorema 3. Sean u y v dos vectores diferentes de cero. El ángulo θ entre u y v es el ángulo no negativo más pequeño ( 0 ≤θ ≤π ) que hay entre ellos. Si v = αu, entonces θ = 0 si α > 0 y θ = π si α< 0
  17. 17. Teorema 4. Si u y v son dos vectores diferentes de cero y ϕ es el ángulo entre ellos, entonces cos ϕ = 𝒖 .𝒗 𝒖 .| 𝒗 | Ejemplo: Sean u = (2,3) y v = (–7,1), el producto interno es u•v = (2)(–7) + (3)(1) = –14 + 3 = –11 las magnitudes son por lo tanto:
  18. 18. Teorema 5. Dos vectores diferentes de cero, u y v son: a) paralelos si el ángulo entre ellos es cero o π (180°) b) ortogonales (perpendiculares) si el ángulo entre ellos es π/2 (90°) o 3π/2 (270°). Teorema 6. Dos vectores u y v , diferentes de cero, son ortogonales, si y sólo si, su producto interno es cero, es decir u•v = 0.
  19. 19. Teorema 1. Sea V un espacio vectorial con producto interno definido y u en V. La norma de u, que se denota ||u|| está dada por ||u|| = (u.u) Ejemplo: Hallar la Norma del vector A = (6, -3, 1) ||A|| = 36 + 9 + 1 = 46
  20. 20. Teorema 2. Sea V un espacio vectorial con producto interno y sea u un vector de V. Decimos que u es vector unitario si ||u|| = 1 Teorema 3. Sea V un espacio vectorial con producto interno y una norma definida. Sea u un vector en V, entonces el vector v = 𝒖 | 𝒖 | es un vector unitario Ejemplo: Sea A = (3, 2, -1) hallar su norma y vector unitario ||A|| = 9 + 4 + 1 = 14 Hallando el vector unitario: B = 𝑨 | 𝑨 | = 𝟏 14 (3, 2, -1) = (3/ 14, 2/ 14, -1/ 14) Hallando la norma B: ||B|| = B.B = (3/ 14)2 + (2/ 14)2 +(-1/ 14)2 = 9/14 + 4/14 + 1/14 = 𝟏𝟒/14 = 1
  21. 21. Sea V un espacio vectorial con producto interno. Sean u y v elementos de V. La distancia entre u y v se define como la norma de la diferencia de los vectores u y v. d (u, v) = ||u − v|| Ejemplo: Determine la distancia entre los puntos A= (1,2) y B=(4,3) d (A, B) = ||A − B|| A − B = (1−4 , 𝟐 − 𝟑) = (-3, -1) ||A − B|| = (-3)2 + −𝟏 𝟐 = 𝟗 + 𝟏 = 𝟏𝟎
  22. 22. Sean u y v dos vectores diferentes de cero en un espacio vectorial V con producto interno. Entonces la proyección de u sobre v es un vector denotado por proyv u que se define como proyv u = (𝒖.𝒗) | 𝒗 | 𝟐 v Ejemplo: Encontrar la proyección del vector u = (2,3) sobre el vector v = (4,–1) (u, v) = 8–3 = 5 v2 = 16 +1 = 17 entonces proyv u = (𝐮.𝐯) | 𝐯 | 𝟐 v = 𝟓 𝟏𝟕 (4, -1) = (20/17, -5/17)

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