Espacios vectoriales

1. Ing. Edward Ropero
Magister en Gestión,
Aplicación y Desarrollo de
Software

2. Definición Geométrica: El
conjunto de todos los segmentos
de recta dirigidos equivalentes a
un segmento de recta dirigido
dado se llama vector. Cualquier
segmento de recta en ese
conjunto se denomina una
representación del vector.
Definición Algebraica: Un vector
v en el plano xy es un par
ordenado de números reales (a,
b). Los números a y b se
denominan elementos o
componentes del vector v. El
vector cero es el vector (0, 0).

3. Para muchos propósitos, dos vectores y se definen como iguales si
tienen la misma magnitud y si apuntan en la misma dirección.
Esto es, = sólo si A = B y si y apuntan en la misma dirección a
lo largo de líneas paralelas.

4. Para sumar el vector B al vector , primero dibuje el vector A con su
magnitud representada mediante una escala de longitud conveniente, y
luego dibuje el vector B a la misma escala, con su origen iniciando
desde la punta de A . El vector resultante R = A + B es el vector que se
dibuja desde el origen de A a la punta de B

5. Ley conmutativa de la suma: Cuando
se suman dos vectores, la suma es
independiente del orden de la adición.
Ley asociativa de la suma: Cuando se suman tres o mas
vectores, su suma es independiente de la forma en la cual
se agrupan los vectores individuales

6. El negativo del vector A se define como el vector que, cuando se suma
con A , da cero para la suma vectorial. Esto es: A + ( - A) = 0. Los
vectores A y – A tienen la misma magnitud pero apuntan en
direcciones opuestas.

7. La operación de resta vectorial utiliza la definición del negativo de un
vector. Se define la operación A – B como el vector – B que se suma al
vector A :

8. Si el vector A se multiplica por una cantidad escalar positiva c, el
producto c es un vector que tiene la misma dirección que
y magnitud c

9. α 0 π6 π4 π3 π2 π 3π2 2π
tg α 0 √33 1 √3 ∞ 0 ∞ 0

10. Una recta está determinada por dos puntos. Una recta también queda
determinada por un punto y una dirección, por consiguiente por un
punto de la recta y un vector paralelo a la recta.
Consideremos una recta l en el espacio, sea un A punto de l y un
vector paralelo a l.
l
P
A

11. Un punto P ≠ A estará en la recta l si y solo si AP es paralelo a , es
decir, AP = ʎ para cualquier ʎ ≠ 0. Observe que si ʎ = 0,
entonces A = P, si colocamos un sistema coordenado de tal forma que
el origen O, coincida con el punto inicial del vector .

12. Empleando vectores coordenados, la ecuación puede escribirse como
P = ʎV + A
P-A = ʎV
La segunda ecuación se conoce con el nombre de ecuación vectorial de la
recta l que pasa por el punto A y es paralela al vector .

13. Si P = (x, y, z), A = (a1, a2, a3) y V = (v1, v2, v3), entonces
(x, y, z) = (a1, a2, a3) + ʎ (v1, v2, v3)
(x, y, z) = (a1 + ʎv1, a2 + ʎv2, a3 + ʎv3)
de la igualdad anterior se tiene que
x = a1 + ʎv1
y = a2 + ʎv2
z = a3 + ʎv3
Las ecuaciones anteriores se llaman ecuaciones paramétricas para la recta l que
pasa por el punto A y es paralela al vector . Al darle valores a ʎ obtenemos un
punto P = (x, y, z) específico.

14. Si en las ecuaciones anteriores despejamos el parámetro tenemos que
Por consiguiente
Las ecuaciones anteriores se conocen como ecuaciones simétricas de la recta
que pasa por el punto A y es paralela al vector .
ʎ =
𝑥 −𝑎1
𝑣1
, 𝑣1 ≠ 0
ʎ =
𝑦 −𝑎2
𝑣2
, 𝑣2 ≠ 0
ʎ =
𝑧 −𝑎3
𝑣3
, 𝑣3 ≠ 0
𝑥 − 𝑎1
𝑣1
=
𝑦 − 𝑎2
𝑣2
=
𝑧 − 𝑎3
𝑣3

15. Teorema 1. Sean u = (a1, b1) y v = (a2, b2), entonces el producto
interno de u y v es:
u•v = a1a2 + b1b2
Al producto interno también se le llama producto punto.
Recordemos que el producto interno es un número real al igual que la
magnitud de un vector.
Teorema 2. Sea v un vector de R2, entonces ||v||2 = v•v
Ejemplo: Consideremos el vector v = (3,–5), entonces:
usando el teorema anterior tenemos que

16. Teorema 3. Sean u y v dos vectores diferentes de cero. El ángulo θ
entre u y v es el ángulo no negativo más pequeño ( 0 ≤θ ≤π ) que
hay entre ellos.
Si v = αu, entonces θ = 0 si α > 0 y θ = π si α< 0

17. Teorema 4. Si u y v son dos vectores diferentes de cero y ϕ es el
ángulo entre ellos, entonces cos ϕ =
𝒖 .𝒗
𝒖 .| 𝒗 |
Ejemplo:
Sean u = (2,3) y v = (–7,1), el producto interno es
u•v = (2)(–7) + (3)(1) = –14 + 3 = –11
las magnitudes son
por lo tanto:

18. Teorema 5. Dos vectores diferentes de cero, u y v son:
a) paralelos si el ángulo entre ellos es cero o π (180°)
b) ortogonales (perpendiculares) si el ángulo entre ellos es
π/2 (90°) o 3π/2 (270°).
Teorema 6. Dos vectores u y v , diferentes de cero, son ortogonales,
si y sólo si, su producto interno es cero, es decir u•v = 0.

19. Teorema 1. Sea V un espacio vectorial con producto interno definido
y u en V.
La norma de u, que se denota ||u|| está dada por ||u|| = (u.u)
Ejemplo:
Hallar la Norma del vector A = (6, -3, 1)
||A|| = 36 + 9 + 1 = 46

20. Teorema 2. Sea V un espacio vectorial con producto interno y sea u
un vector de V.
Decimos que u es vector unitario si ||u|| = 1
Teorema 3. Sea V un espacio vectorial con producto interno y una
norma definida.
Sea u un vector en V, entonces el vector v =
𝒖
| 𝒖 |
es un vector unitario
Ejemplo: Sea A = (3, 2, -1) hallar su norma y vector unitario
||A|| = 9 + 4 + 1 = 14
Hallando el vector unitario:
B =
𝑨
| 𝑨 |
=
𝟏
14
(3, 2, -1) = (3/ 14, 2/ 14, -1/ 14)
Hallando la norma B:
||B|| = B.B = (3/ 14)2 + (2/ 14)2 +(-1/ 14)2
= 9/14 + 4/14 + 1/14 = 𝟏𝟒/14 = 1

21. Sea V un espacio vectorial con producto interno. Sean u
y v elementos de V.
La distancia entre u y v se define como la norma de la diferencia de
los vectores u y v.
d (u, v) = ||u − v||
Ejemplo:
Determine la distancia entre los puntos A= (1,2) y B=(4,3)
d (A, B) = ||A − B||
A − B = (1−4 , 𝟐 − 𝟑) = (-3, -1)
||A − B|| = (-3)2 + −𝟏 𝟐 = 𝟗 + 𝟏 = 𝟏𝟎

22. Sean u y v dos vectores diferentes de cero en un espacio vectorial V
con producto interno. Entonces la proyección de u sobre v es un
vector denotado por proyv u que se define como proyv u =
(𝒖.𝒗)
| 𝒗 | 𝟐 v
Ejemplo:
Encontrar la proyección del vector u = (2,3) sobre el vector v = (4,–1)
(u, v) = 8–3 = 5
v2 = 16 +1 = 17 entonces
proyv u =
(𝐮.𝐯)
| 𝐯 | 𝟐 v =
𝟓
𝟏𝟕
(4, -1)
= (20/17, -5/17)