El documento explica conceptos básicos de transformaciones lineales como reflexiones, rotaciones y transformaciones entre espacios vectoriales. Define una transformación lineal como una función entre espacios vectoriales que preserva la suma y la multiplicación por escalares. Presenta ejemplos de reflexiones y rotaciones aplicadas a vectores en R2. También define los componentes clave de una transformación lineal como el dominio, condominio, regla de asignación, recorrido y núcleo.

1. Ing. Edward Ropero
Magister en Gestión,
Aplicación y Desarrollo de
Software

2. Son funciones entre espacios vectoriales que
preservan las cualidades de los espacios vectoriales.
Es decir, de funciones que preservan la suma y la
multiplicación por escalares.
TA: R2 R3
A =
1 0
2 -3
5 2
y V =
x
y
x
2x – 3y
5x + 2y
TA
x
y =

3. Una transformación T : Rn Rm se denomina
transformación lineales si
T(u + v) = T(u) + T(v) para todo u y v en Rn
T(cv) = c T(v) para todo v en Rn y todo escalar c

5. y
x
(x,y)(-x,y)
y
x
(x,y)
(x,-y)

6. −1 0
0 1
𝑥
𝑦 =
−𝑥
𝑦
−1 0
0 1
3
4
=
−1 3 + (0)(4)
0 3 + (1)(4)
−1 0
0 1
−3
4
=
3
4
Reflexión respecto al eje y
Ejemplo: sea v=(3,4) aplique la reflexión con
respecto al eje y
−1 0
0 1
3
4
=
−3
4
Sustituyendo y realizando operaciones
Se obtiene (ver gráfico)
Tomando ahora el vector reflejado, se
llega al vector inicial

7. 1 0
0 −1
𝑥
𝑦 =
𝑥
−𝑦
1 0
0 −1
3
4
=
3
−4
1 0
0 −1
3
−4
=
3
4
Ejemplo: sea v=(3,4) aplique la reflexión con respecto al eje
x
Sustituyendo y realizando operaciones
Se obtiene (ver gráfico)
Tomando ahora el vector reflejado, se
llega al vector inicial
1 0
0 −1
3
4
=
1 3 + (0)(4)
0 3 + (−1)(4)
Reflexión respecto al eje x

8. cos 𝜃 −𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃
𝑥
𝑦 =
𝑥′
𝑦′
Rotación en 2D
−1
2
− 3
2
3
2 −1
2
3
4
≅
−4.96
0.6
−1
2 − 3
2
3
2 −1
2
3
4
=
−
1
2 3 + (− 3
2 )(4)
3
2 3 + (−1
2)(4)
Ejemplo: sea v=(3,4) aplique la rotación para =120°
Sustituyendo y realizando operaciones
Se obtiene (ver gráfico)

9. El dominio es el espacio vectorial V al cual se le aplicará la
transformación; el condominio es el espacio W al cual pertenece el
resultado de aplicar la transformación; la regla de asignación T es
la forma en la cual se debe manipular un elemento de V para
convertirlo en un elemento de W; finalmente T(V) es el recorrido
de la transformación, y es el subconjunto de W obtenido a partir
de la aplicación de la transformada a cada elemento de V.
El núcleo es parte del dominio y es el conjunto de vectores de V
cuya transformación bajo T tiene como único resultado al vector
nulo del espacio W(condominio)