Benemérita Universidad Autónoma
de Puebla
Facultad de Ingeniería
Colegio Ingeniería Mecánica Eléctrica
Materia: Electricid...
INTRODUCCIÓN
La conductancia (G) es el reciproco a la resistencia, la susceptancia (B) es el
reciproco de la reactancia, y...
Circuito RC
Se llama circuito RC a la combinación en serie de un capacitor y un resistor. Dicho
circuito puede representar...
Circuito serie RL
La diferencia principal es que las respuestas de fase son opuestas: la reactancia
inductiva se increment...
Circuitos Serie y Paralelo RC, RL y RCL
IMPEDANCIA Y ADMITANCIA DE CIRCUITOS RC EN PARALELO
La impedancia se compone de un...
Ahora se introducen dos términos nuevos que son utilizados circuitos RC en
paralelo. La susceptancia capacitiva (Bc) es el...
𝑌 =
𝐼
𝑉
RELACIONES DE FASE DE CORRIENTE Y VOLTAJE.
CONVERSIÓN DE LA FORMA EN PARALELO A LA FORMA EN SERIE.
Para cada circu...
IMPEDANCIA Y ADMITANCIA DE CIRCUITOS RL EN PARALELO
La expresión para la impedancia total de un circuito RL en paralelo de...
ANÁLISIS DE CIRCUITOS RL EN SERIE-PARALELO
La impedancia de componentes en serie se expresa con más facilidad en forma
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IMPEDANCIA DE CIRCUITOS RLC EN PARALELO
La impedancia total se calcula utilizando el método del recíproco de la suma de
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ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC EN PARALELO
En un circuito en paralelo domina la reactancia más pequeña porque produce la
mayor ...
Es conveniente ver al
circuito en serie-paralelo
en una forma
equivalente en paralelo
Las fórmulas siguientes proporcionan...
Circuitos con entrada cero.
CIRCUITOS CON ENTREDA CERO
En circuitos sin fuentes de excitación pueden existir corrientes y ...
El producto RC que caracteriza la respuesta exponencial de ambas variables tiene
dimensión de tiempo y recibe el nombre de...
Para fijar ideas, considere de nuevo el circuito de la figura 11.5 pero asignando los
siguientes valores a los diferentes ...
Nótese que, si existe un solo elemento almacenador de energía, la ecuación
diferencial que caracteriza el circuito es de p...
Circuitos con entradas distintos a cero.
En el caso de un condensador su ecuación de definición, considerando condiciones
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Al cambiar el interruptor a la posición b, el condensador mantendrá la tensión de 6V.
En la figura 11.17 se ha representad...
La representación gráfica se da en la figura 11.18.
En el circuito de la figura 11.19 el interruptor S1 a la posición b y ...
Valores iniciales: inicialmente la bobina mantiene su corriente, luego:
Valores finales: En régimen permanente, la bobina ...
Obsérvese que al estar en paralelo la resistencia de 1Ω con la fuente de tensión su
valor no influye en el resto del circu...
CIRCUITOS RCL SOBREAMOTIGUADOS, SUBAMORTIGUADOS Y
CRÍTICAMENTEAMORTIGUADOS.
Es posible partir de un circuito RCL conectado...
Como ya se tiene la ED para la corriente, el objetivo ahora es hallarle solución de
forma general para la corriente para c...
resonancia. En cada uno de estos tres casos, el circuito recibe tres disti ntos
nombres: sobre-amortiguado, sub-amortiguad...
Asimismo, es posible representar el comportamiento dela corriente en función del
tiempo a través de una gráfica:
figura2. ...
En la gráfica anterior, se observa que la corriente comienza a aumentar en los
primeros instantes de tiempo y en cierto va...
Por lo tanto, su representación gráfica de forma generales la siguiente:
Como se observa en la figura 3, la corriente, des...
𝑎2
> ω0
2
2. Dos raíces reales iguales cuando:
𝑎2
= ω0
2
3. Dos raíces complejas conjugadas cuando:
𝑎2
< ω0
2
• Cuando las...
RESPUESTAS COMPLETAS DE CIRCUITOS RLC
Considerar ahora los circuitos RLC en los que las fuentes de cd se conmutan en la
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Bibliografía
Fernández Moreno José, Teoría De Circuitos (1999), Editorial Paraninfo, Pág.
Consultadas 401-459.
R.E Thomas ...
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Unidad 5 electricidad

  1. 1. Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Facultad de Ingeniería Colegio Ingeniería Mecánica Eléctrica Materia: Electricidad y Magnetismo Circuitos de primer y segundo orden Alumno: Palafox Aguilera Esmeralda Sarahí Profesor: Pinto Iguanero Bernardina Ciclo escolar: primavera 2015
  2. 2. INTRODUCCIÓN La conductancia (G) es el reciproco a la resistencia, la susceptancia (B) es el reciproco de la reactancia, y la admitancia es el reciproco de impedancia. Los circuitos que tienen tanto inductancia como capacitancia exhiben la propiedad de resonancia, la cual es importante en muchos tipos de aplicaciones. La resonancia es la base de la selectividad de frecuencia en sistemas de comunicaciones. Por ejemplo, la capacidad de un receptor de radio o de televisión para seleccionar cierta frecuencia transmitida por una estación particular y, al mismo tiempo, eliminar las frecuencias de otras estaciones está basada en el principio de resonancia. Circuitos de primer orden se consideran circuitos que contienen diversas combinaciones de dos o tres elementos pasivos (R,L, C) Circuitos de segundo orden tienen dos elementos de almacenamiento. Un circuito RLC es un circuito lineal que contiene una resistencia eléctrica, una boina (inductancia) y un condensador (capacidad). Existen dos tipos de circuitos RLC, en serie o en paralelo, según la interconexión de los tres tipos de componentes.
  3. 3. Circuito RC Se llama circuito RC a la combinación en serie de un capacitor y un resistor. Dicho circuito puede representar cualquier conexión de resistores y capacitores cuyo equivalente sea un solo resistor en serie con un solo capacitor. Circuito Serie RC En un circuito RC en serie la corriente (corriente alterna) que pasa por la resistor y por el capacitor es la misma El voltaje entregado VS es igual a la suma fasorial de la caída de voltaje en el resistor (Vr) y de la caída de voltaje en el capacitor (Vc). Vs = Vr + Vc (suma fasorial) Circuito RC serie en corriente alterna Esto significa que cuando la corriente está en su punto más alto (corriente pico), será así tanto en el resistor como en el capacitor. Pero algo diferente pasa con los voltajes. En el resistor, el voltaje y la corriente están en fase (sus valores máximos y mínimos coinciden en el tiempo). Pero el voltaje en el capacitor no es así. Como el capacitor se opone a cambios bruscos de voltaje, el voltaje en el capacitor está retrasado con respecto a la corriente que pasa por él. (El valor máximo de voltaje en el capacitor sucede después del valor máximo de corriente en 90o). Estos 90º equivalen a ¼ de la longitud de onda dada por la frecuencia de la corriente que está pasando por el circuito. El voltaje total que alimenta el circuito RC en serie es igual a la suma fasorial del voltaje 0en el resistor y el voltaje en el capacitor.
  4. 4. Circuito serie RL La diferencia principal es que las respuestas de fase son opuestas: la reactancia inductiva se incrementa con frecuencia, en tanto que la reactancia capacitiva disminuye con la frecuencia. Un circuito RL contiene tanto resistencia como inductancia RESPUESTA SINUSOIDAL DE CIRCUITOS RL EN SERIE Todas las corrientes y todos los voltajes son sinusoidales cuando el voltaje de entrada es sinusoidal. La inductancia provoca un desplazamiento de fase entre el voltaje y la corriente que depende de los valores relativos de la resistencia y la reactancia inductiva. En un circuito RL, el voltaje en el resistor y la corriente se retrasan con respecto al voltaje de la fuente. El voltaje en el inductor se adelanta al voltaje de fuente. Idealmente, el ángulo de fase entre la corriente y el voltaje en el inductor siempre es de 90°. Estas relaciones de fase generalizadas. Las amplitudes y las relaciones de fase de los voltajes y de la corriente dependen de los valores de la resistencia y la reactancia inductiva. Cuando un circuito es puramente inductivo, el ángulo de fase entre el voltaje aplicado y la corriente total es de 90°, y la corriente va retrasada con respecto al voltaje. Cuando existe una combinación tanto de resistencia como de reactancia inductiva en un circuito, el ángulo de fase se encuentra entre 0° y 90°, según sean los valores relativos de la resistencia y la reactancia inductiva. Recordemos que los inductores prácticos tienen resistencia de devanado, capacitancia entre los devanados, y otros factores que impiden se comporten como un componente ideal. En circuitos prácticos, estos efectos pueden resultar significativos; sin embargo, para el propósito de aislar los efectos inductivos, los inductores serán tratados como ideales.
  5. 5. Circuitos Serie y Paralelo RC, RL y RCL IMPEDANCIA Y ADMITANCIA DE CIRCUITOS RC EN PARALELO La impedancia se compone de un componente de magnitud y un componente de ángulo de fase. (Imagen del circuito básico) La expresión para la impedancia total se desarrolla como sigue, por medio de números complejos. Como sólo existen dos componentes R y C, la impedancia total se encuentra con la regla del producto sobre la suma Al multiplicar las magnitudes, sumar los ángulos presentes en el numerador, y convertir el denominador a forma polar, se obtiene: Ahora dividiendo la expresión para la magnitud presente en el numerador, y convertir el denominador en forma polar se obtiene De manera equivalente, esta expresión se escribe como: Conductancia, susceptancia y admitancia La expresión fasorial para la conductancia se establece como
  6. 6. Ahora se introducen dos términos nuevos que son utilizados circuitos RC en paralelo. La susceptancia capacitiva (Bc) es el recíproco de la reactancia capacitiva. La expresión fasorial para. Susceptancia es La admitancia es el reciproco de la impedancia. La expresión fasorial para admitancia es La unidad de cada uno de estos términos es el Siemens(S), el cual es el reciproco del Ohm, cuando se trabaja circuitos en paralelo, a menudo es más fácil utilizar la conductancia (G), la susceptancia capacitiva (Bc), y la admitancia (Y) en lugar de la resistencia (R), la reactancia capacitiva (Xc), y la impedancia (Z). En un circuito RC en paralelo, la admitancia total es simplemente la suma fasorial de la conductancia y la susceptancia capacitiva. ANÁLISIS DE CIRCUITOS RC EN PARALELO La ley de ohm y la ley de las corrientes de Kirchhoff se utilizan en el análisis de circuitos RC. Se examinan las relaciones de corriente y voltaje en un circuito RC dispuesto en paralelo Por conveniencia, en el análisis de circuitos en paralelo, las formas de la ley de. Ohm utilizan impedancia pueden ser reescritas como admitancia valiéndonos de la relación. 𝑌 = 1 𝑍 𝑉 = 𝐼 𝑌 𝐼 = 𝑉𝑌
  7. 7. 𝑌 = 𝐼 𝑉 RELACIONES DE FASE DE CORRIENTE Y VOLTAJE. CONVERSIÓN DE LA FORMA EN PARALELO A LA FORMA EN SERIE. Para cada circuito RC dispuesto en paralelo, existe un circuito RC equivalente en serie para una frecuencia dada. Dos circuitos se consideran equivalentes cuando ambos presentan una impedancia igual en sus terminales; es decir que la magnitud de la impedancia y el ángulo de fase son idénticos. Lo primero que se debe realizar para la conversión es: determinar la impedancia y el ángulo de fase del circuito en paralelo luego se utilizan los valores de Z y Ƀ para construir un triángulo de impedancia. Los lados verticales y horizontales del triángulo representan la resistencia equivalente en serie y la reactancia capacitiva como se indica, estos valores se calculan aplicando las siguientes relaciones trigonométricas. ANÁLISIS DE CIRCUITOS RC EN SERIE-PARALELO La impedancia de componentes dispuestos en serie es más fácil de expresar en forma rectangular, y la impedancia de componentes dispuestos en paralelo se encuentra mejor utilizando la forma polar. Primero se expresa la impedancia de la parte en serie del circuito En forma rectangular y la impedancia de la parte en paralelo en forma polar. A continuación, se convierte la impedancia de la parte en paralelo a forma rectangular y se le suma a la impedancia de la parte en serie. Una vez determinada la forma rectangular de la impedancia total, puede ser convertida a forma polar para conocer la magnitud y el ángulo de fase y calcular la corriente. EL TRIÁNGULO DE POTENCIA PARA CIRCUITOS RC
  8. 8. IMPEDANCIA Y ADMITANCIA DE CIRCUITOS RL EN PARALELO La expresión para la impedancia total de un circuito RL en paralelo de dos componentes se desarrolla como sigue De manera equivalente, esta ecuación se expresa como CONDUCTANCIA, SUSCEPTANCIA Y ADMITANCIA En circuitos RL dispuestos en paralelo, la expresión fasorial para susceptancia inductiva (Bc) es 𝐵𝑐 = 1 𝑋 𝐿 < 90° = 𝐵𝑐 < −90° = −𝑗𝐵𝑐 Y la expresión fasorial para admitancia es 𝑌 = 1 𝑍 < ± 0 = 𝑌 < ∓𝜕 En el circuito RL básico en paralelo, la admitancia total es la suma fasorial dela conductancia y la susceptancia inductiva 𝑌 = 𝐺 − 𝑗𝐵 𝐿 Tal como para el circuito RC; la unidad es el siemens (S)
  9. 9. ANÁLISIS DE CIRCUITOS RL EN SERIE-PARALELO La impedancia de componentes en serie se expresa con más facilidad en forma rectangular, y que la impedancia de componentes en paralelo es más fácil de calcular utilizando la forma polar. Los pasos para analizar un circuito que tenga componentes en serie y en paralelo, primero se expresa la impedancia de la parte dispuesta en serie del circuito en forma rectangular y la impedancia de la parte en paralelo en forma polar. Después se convierte la impedancia de la parte en paralelo a forma rectangular y se le suma a la impedancia de la parte en serie. Una vez que se determina la forma rectangular de la impedancia total, se puede convertir a forma polar para ver la magnitud y el ángulo de fase y calcular la corriente. El método es expresar primero cada impedancia de rama en forma rectangular y convertir luego cada una de estas impedancias a forma polar. A continuación, se calcula cada corriente de rama mediante notación polar. Una vez que se conocen las corrientes de rama, es posible encontrar la corriente total sumando las dos corrientes de rama en forma rectangular. EL TRIÁNGULO DE POTENCIA PARA CIRCUITOS RL El factor de potencia es igual al coseno de β (FP =cos β)
  10. 10. IMPEDANCIA DE CIRCUITOS RLC EN PARALELO La impedancia total se calcula utilizando el método del recíproco de la suma de recíprocos, exactamente como se hizo para circuitos con resistores en paralelo. CONDUCTANCIA, SUSCEPTANCIA Y ADMITANCIA Las formulas fasorial se vuelven a establecer
  11. 11. ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC EN PARALELO En un circuito en paralelo domina la reactancia más pequeña porque produce la mayor corriente de rama. La reactancia capacitiva varía inversamente con la frecuencia, y que la reactancia inductiva varía directamente con la frecuencia. En circuitos RLC en paralelo a frecuencias bajas, la reactancia inductiva es menor que la reactancia capacitiva; por consiguiente, el circuito Es inductivo. Conforme se incrementa la frecuencia, XL aumenta y XC disminuye hasta alcanzar un valor donde XL = XC. Éste es el punto de resonancia en paralelo. A medida que la frecuencia aumenta un poco más, XC se vuelve más pequeña que XL, y el circuito se vuelve capacitivo. Relaciones de corriente En un circuito RLC dispuesto en paralelo, las corrientes que circulan por las ramas capacitiva e Inductiva siempre están desfasadas en 180° entre sí Como IC e IL se suman algebraicamente, la corriente total es en realidad la diferencia de sus magnitudes. Por tanto, la corriente total que entra a las ramas de L y C en paralelo siempre es menor que la corriente de rama individual más grande Desde luego, la corriente que circula en la rama resistiva siempre está desfasada en 90° con respecto a ambas corrientes reactivas, según muestra el diagrama fasorial Conversión de en serie-paralelo a paralelo La configuración particular en serie-paralelo es importante porque representa un circuito que tiene ramas L y C en paralelo, con la resistencia de devanado de la bobina tomada en cuenta como resistencia en serie en la rama L.
  12. 12. Es conveniente ver al circuito en serie-paralelo en una forma equivalente en paralelo Las fórmulas siguientes proporcionan la inductancia equivalente, Leq, y la resistencia en paralelo equivalente, Rp (eq): La equivalencia de los circuitos significa que, a una frecuencia dada, cuando se aplica el mismo valor de voltaje a ambos circuitos, la misma corriente total fluye en ambos circuitos y los ángulos de fase son los mismos. De manera básica, un circuito equivalente sólo propicia que el análisis de circuitos sea más conveniente
  13. 13. Circuitos con entrada cero. CIRCUITOS CON ENTREDA CERO En circuitos sin fuentes de excitación pueden existir corrientes y tensiones debido a la energía almacenada en las inductancias o en los condensadores. Se llamara “respuesta a entrada cero” a la obtenida en un circuito sobre el que no actúa ninguna fuente independiente, estando únicamente sometido a la excitación divida a la carga inicial de sus elementos almacenadores de energía. En la figura 11.5. El interruptor S2 está abierto y mientras que S1 está cerrado existiendo una tensión E en bornes del condensador. Si en el instante t=0 se abre S1 y se cierra S2, el condensador se descargara a través de la resistencia R, de acuerdo con el circuito de la figura 11.5 b) A partir de t=0 s el comportamiento del circuito de la figura 11.5 b viene definido por:
  14. 14. El producto RC que caracteriza la respuesta exponencial de ambas variables tiene dimensión de tiempo y recibe el nombre de “constante de tiempo del circuito” T=RC Si R viene dada en ohmios y C en faradios, t viene expresada en segundos. La inversa de dicho termino tiene la dimensión de una frecuencia y se denomina” frecuencia natural del circuito”. El hecho de que se le llame “frecuencia” no debe inducir a confusión pensando que da lugar a oscilaciones de tipo senoidal en la respuesta. Este nombre proviene de la dimensión del término. En cuanto al calificativo de “natural” se debe al hecho de que caracteriza la respuesta del sistema cuando no existen fuentes de excitación externas. Es decir, caracteriza la que podemos llamar respuesta propia, libre o natural del circuito. En este caso particular, La no existencia de fuentes de excitación implica el que, transcurrido un tiempo infinito, todas las tensiones e intensidades son nulas. Esto es lógico, ya que la energía almacenada inicialmente en el condensador acaba por disiparse totalmente en la resistencia. El tiempo necesario para cualquier variable pase de su valor inicial a cero es infinito. Sin embargo, transcurrido un tiempo t se ha producido por un 63.2% de esta variación, pasado un tiempo 2t el 86.5% y pasado un tiempo de 3t el 95%. Es decir, cuanto menor es la constante de tiempo, mayor es la rapidez con que el circuito tiende a su estado final, pudiendo considerarse que se ha alcanzado estado final al cabo de un tiempo igual a tres o cuatro veces el valor de t. Muchos autores prefieren valores más conservadores y consideran que el estado final se alcanza después de un tiempo igual o superior a cinco veces la constante de tiempo, pero lo verdaderamente importante es que esta constante es un buen referente de la rapidez de respuesta de un circuito.
  15. 15. Para fijar ideas, considere de nuevo el circuito de la figura 11.5 pero asignando los siguientes valores a los diferentes componentes: La constante de tiempo de circuito es: Es decir, ha sufrido una variación de 63.2% .Del mismo modo, al cabo de un tiempo 3t la tensión en el condensador es: u (3t) = 100 e-3 = 4.98V y al cabo de un tiempo 4t: u (4t)=100/e4=1.83V. Es decir al cabo de 4.02 ms =0.8 ms ya se ha producido un 98.12% de la variación total de la tensión en el condensador. Derivando la expresión (11.20) con respecto a t, y haciendo t=0, se tiene la pendiente en el origen de la tensión. Es decir, la pendiente en el origen corta al eje de tiempos en el punto t=t. Esto confirma la idea de cuanto menor es t (mayor pendiente en el origen) mayor es la rapidez con la que el circuito tiende a su estado final. Por último, se hará notar que la respuesta del circuito a entrada cero es proporcional a la carga inicial del elemento almacenador de energía. A partir de las expresiones (11.20) y (11.21) se aprecia fácilmente que la tensión u y la intensidad i son proporcionales a la tensión inicial en el condensador, E. Los resultados obtenidos para el circuito RC de la figura 11.5 son aplicables a cualquier circuito que contenga cualquier número de resistencias y un solo elemento almacenador de energía, inicialmente cargado.
  16. 16. Nótese que, si existe un solo elemento almacenador de energía, la ecuación diferencial que caracteriza el circuito es de primer orden, ya que ese elemento define una sola condición, su carga inicial. Se resumen a continuación las propiedades más importantes de estos circuitos de primer orden sin fuentes de excitación. 1) La repuesta a entrada cero viene definida por una ecuación diferencial lineal y homogénea del tipo: 2) La solución a la ecuación es: 3) De acuerdo con lo anterior, todas las variables del circuito vienen caracterizadas por la misma variación de tipo exponencial, difiriendo unas de otras en su valor inicial. 4) El coeficiente 1/t en la expresión exponencial es llamada frecuencia natural que, se expresa en s-1. 5) t es la constante de tiempo del circuito que se expresa en segundos. Para un circuito formado por una resistencia y un condensador se ha visto que dicha constantes: t = RC. Del mismo modo para un circuito formado por una resistencia y una bobina se verá que dicha constante es L/R, siendo l la inductancia de la bobina. 6) Cuanto menor es la constante de tiempo del circuito, mayor es la velocidad con la que las variables se aproximan a su estado final. 7) La respuesta del circuito es proporcional a la carga inicial del elemento almacenador de energía.
  17. 17. Circuitos con entradas distintos a cero. En el caso de un condensador su ecuación de definición, considerando condiciones iniciales no nula o diferente de cero, es: El interruptor S del circuito de la figura 11.5 lleva en la posición a un tiempo que puede considerarse infinito. Para t=0 se pasa a la posición b. calcularemos las expresiones de la tensión en el condensador y la intensidad en cada resistencia a partir de dicho instante. Como el interruptor lleva colocado en la posición a un tiempo infinito, se habrá establecido el régimen permanente en el circuito. Al ser la fuente de 12V de tensión continua, el condensador se comporta en régimen permanente como un circuito abierto y para calcular la tensión a que está cargado se utiliza el circuito de la figura 11.16 resultando U=6V.
  18. 18. Al cambiar el interruptor a la posición b, el condensador mantendrá la tensión de 6V. En la figura 11.17 se ha representado el circuito después del cambio del interruptor. La tensión inicial en el condensador del circuito de la figura 11.17 es de 6V. La tensión inicial entre A y B es, por tanto, 6V. Inicialmente, se puede escribir el sistema de ecuaciones: Luego: t = Req C= 4 10-2 s, y teniendo en cuenta la expresión (11.16), se escribirá:
  19. 19. La representación gráfica se da en la figura 11.18. En el circuito de la figura 11.19 el interruptor S1 a la posición b y simultáneamente se cierra S2. Calcular las expresiones de i1 e i2 e iL para t>0. Antes de cerrar S2, como S1 lleva cerrado tiempo suficiente para que se halle establecido el régimen permanente, la bobina se está comportando como un cortocircuito, luego: Al cambiar de posición S1 y cerrar S2, la intensidad por la bobina ha de seguir teniendo este valor. El circuito a estudiar se representa en la figura 11.20.
  20. 20. Valores iniciales: inicialmente la bobina mantiene su corriente, luego: Valores finales: En régimen permanente, la bobina se comporta como un cortocircuito, luego: La resistencia equivalente vista desde los terminales de la bobina es: Req= 2Ω, de donde:
  21. 21. Obsérvese que al estar en paralelo la resistencia de 1Ω con la fuente de tensión su valor no influye en el resto del circuito, no interviniendo en la constante de tiempo del mismo. La intensidad en esta resistencia se mantiene constante.
  22. 22. CIRCUITOS RCL SOBREAMOTIGUADOS, SUBAMORTIGUADOS Y CRÍTICAMENTEAMORTIGUADOS. Es posible partir de un circuito RCL conectado en paralelo o de un circuito RCL conectado en serie. Si se toma el caso del circuito en paralelo, es preferente obtener una ecuación para el voltaje y si es el caso de un circuito en serie, una ecuación para la corriente en función del tiempo. Aquí, se tomará el caso de un circuito conectado en serie: Ahora hay que obtener una ecuación diferencial de segundo orden, debido a que se tienen dos elementos que almacenan energía. De forma rápida, es posible conocer la ecuación diferencial para la corriente del circuito (de antemano se sabe que la corriente es la misma para todos los elementos conectados). Aplicando LVK alrededor de la malla y sustituyendo las condiciones de corriente del capacitor y voltaje del inductor: Si se sabe que existe una entrada constante de E (t), entonces, diferenciando a (2) con respecto del tiempo, se obtiene una ecuación de segundo orden homogéneo:
  23. 23. Como ya se tiene la ED para la corriente, el objetivo ahora es hallarle solución de forma general para la corriente para cualquier valor dado de un inductor, resistencia y capacitor. Con ayuda de una ecuación auxiliar y como constantes a R, C y L: Del álgebra, es posible conocer de (4) las raíces que le dan solución, nombradas m1 y m2. Empleando la fórmula general: Es posible representar de otra forma a la estructura de cada solución de la ecuación diferencial. Ahora, se propone lo siguiente: Donde α es llamado coeficiente de amortiguamiento y ω0 Es llamado frecuencia de resonancia. Reescribiéndola ecuación (5) se obtiene: Ahora, la naturaleza de la corriente dependerá de los valores de la resistencia, el capacitor y el inductor dentro del resultado de m1 y m2. Por ello, existen tres casos en los que se involucra al coeficiente de amortiguamiento ya frecuencia de
  24. 24. resonancia. En cada uno de estos tres casos, el circuito recibe tres disti ntos nombres: sobre-amortiguado, sub-amortiguado y críticamente amortiguado. El coeficiente de amortiguamiento, que interviene en los tres casos posibles, es una expresión que determina la medida de la rapidez con la decae o se amortigua la respuesta natural (cuando la solución de la ED se obtuvo igualando está a cero) hacia su estado final permanente. 1.- CIRCUITO SOBREAMORTIGUADO. El caso de sobre amortiguamiento se da cuando la siguiente expresión se cumple dentro de las raíces de la ecuación: Con esta condición, las raíces m1 y m2 serán reales y distintas. Con ello, existirá una solución general deforma:
  25. 25. Asimismo, es posible representar el comportamiento dela corriente en función del tiempo a través de una gráfica: figura2. Corriente en un circuito sobre-amortiguado Como se puede observar en la gráfica anterior, la corriente no presenta un comportamiento oscilatorio, tendiendo hacia el equilibrio al transcurso del tiempo debido a su naturaleza exponencial decreciente. 2.- CIRCUITO CRITICAMENTE AMORTIGUADO Un circuito RLC está críticamente amortiguado cuando la siguiente expresión se cumple dentro de las raíces dela ecuación: En la práctica, la expresión (8) no es posible, debido a que no se puede conseguir valores para la constante de amortiguamiento y la frecuencia de resonancia iguales, por lo tanto, siempre se tendrán como resultado circuitos sub-amortiguados o sobre- amortiguados en la realidad. Volviendo a la teoría, con esta condición, las raíces m1 ym2 serán reales e iguales. Por lo tanto, existirá una solución para la corriente en función del tiempo de la forma: Representando el comportamiento general de la corriente a través del tiempo de un circuito críticamente amortiguado:
  26. 26. En la gráfica anterior, se observa que la corriente comienza a aumentar en los primeros instantes de tiempo y en cierto valor comienza a decrecer (un tiempo mínimo) hasta alcanzar el punto de equilibrio. Por ello se le llama amortiguamiento crítico, debido a que se deja pasar un cierto tiempo y de forma crítica se amortigua para prevenir una oscilación de, en este caso, la corriente que existe en el circuito. 3.- CIRCUITO SUB-AMORTIGUADO El caso de sub-amortiguamiento se da cuando la siguiente expresión se cumple dentro de las raíces de la ecuación: Esta condición se cumple en varias ocasiones al elegir, en el caso de los circuitos RLC en serie, valores de resistencia y capacitancia muy pequeños. Con esta condición, las raíces m1 y m2 serán números complejos. La solución de forma general a la corriente es:
  27. 27. Por lo tanto, su representación gráfica de forma generales la siguiente: Como se observa en la figura 3, la corriente, desde el inicio y en un intervalo de tiempo, posee un comportamiento oscilatorio senoidal y cosenoidal, cuya amplitud va decrementándose exponencialmente, hasta alcanzar el equilibrio, gracias a la constante de amortiguamiento existente en el argumento exponencial. Así como se presentaron los casos de amortiguamiento en un circuito RLC en serie, son los mismos en un circuito RLC en paralelo, solamente que se involucra como incógnita el voltaje en la ecuación diferencial, siendo las gráficas que representan el comportamiento del voltaje a través del tiempo en un elemento de almacenamiento de energía también de la misma forma. El circuito RLC en paralelo sin fuente Sobre amortiguado ( > w) La respuesta para un circuito RLC en paralelo sin fuente donde el valor de a es mayor que w se conoce como respuesta RLC Sobre amortiguado. Este tipo de circuito obedece a un comportamiento tal que: Donde, Y el valor de las condiciones iniciales se calcula CIRCUITO RLC EN PARALELO SOBREAMORTIGUADO 1. Dos raíces reales y diferentes cuando:
  28. 28. 𝑎2 > ω0 2 2. Dos raíces reales iguales cuando: 𝑎2 = ω0 2 3. Dos raíces complejas conjugadas cuando: 𝑎2 < ω0 2 • Cuando las dos raíces son reales y distintas se dice que el circuito es sobre amortiguado. • Cuando son reales e iguales, se dice que el circuito es críticamente amortiguado • Cuando las dos raíces son complejas conjugadas, se dice que el circuito es su amortiguado.
  29. 29. RESPUESTAS COMPLETAS DE CIRCUITOS RLC Considerar ahora los circuitos RLC en los que las fuentes de cd se conmutan en la red y producen respuestas forzadas que no necesariamente se anulan cuando el tiempo se vuelve infinito. La solución general se obtiene mediante el mismo procedimiento que se siguió en los circuitos RL y RC la respuesta forzada se determina por completo; la respuesta natural se obtiene como una forma funcional adecuada que contiene el número apropiado de constantes arbitrarias; la respuesta completa se escribe como la suma de las respuestas forzada y natural; además, las condiciones iniciales se determinan y se aplican a la respuesta completa a fin de calcular los valores de las constantes. Con frecuencia, este último paso resulta el más complicado para los estudiantes. En consecuencia, aunque la determinación de las condiciones iniciales no difiere en lo básico en el caso de un circuito que contiene fuentes de cd, de la correspondiente a los circuitos sin fuente que ya se estudiaron con cierto detalle, este tema recibirá un tratamiento destacado en los ejemplos que siguen. La mayor parte de la confusión al determinar y aplicar las condiciones iniciales surge por la simple razón de que no se cuenta con un conjunto de reglas rigurosas dispuestas, que sea viable seguir. En cierto punto de cada análisis suele surgir una situación en la que se ve involucrada alguna idea que resulta más o menos única para ese problema particular, lo cual es casi siempre la fuente de la dificultad. La parte fácil La respuesta completa (supuesta de manera arbitraria como la respuesta de tensión) de un sistema de segundo orden consiste en una respuesta natural: Vf (t) = Vf Que es una constante de la excitación de cd, y una respuesta natural: Vn (t) = Aes1t + Bes2t En consecuencia se supone que s1, s2, y Vf ya se determinaron en el circuito y en las funciones forzadas que se indican; queda por conocer A y B, v y t, de modo que la sustitución del valor conocido de v en t=0+ nos da entonces una sola ecuación relacionada A y B, Esta es la parte fácil. La otra parte Desafortunadamente, se requiere otra relación entre A y B la cual se obtiene casi siempre al tomar la derivada de la respuesta: Y al sustituir el valor conocido de dv/dt en t = 0+. Así, se tienen dos ecuaciones que relacionan a A y B y que se resolverían de manera simultánea para evaluar las dos constantes. El único problema que resta es determinar los valores de v y dv/dt en t = 0+. Suponga que v es una tensión en el capacitor, vC. Puesto que iC = C dvC/dt, se debe reconocer la relación entre el valor inicial de dv/dt y el valor inicial de alguna corriente en el capacitor. Si se pudiera establecer un valor de dicha corriente inicial en el capacitor, entonces se establecería de manera automática el valor de dv/dt.
  30. 30. Bibliografía Fernández Moreno José, Teoría De Circuitos (1999), Editorial Paraninfo, Pág. Consultadas 401-459. R.E Thomas Y A.J Rosa, Circuitos Y Señales: Introducción A Los Circuitos Lineales Y De Acoplamiento (2002) Pág. Consultadas 368-680 C.K . Alexander, Mno Sadiku”Fundamentos De Circuitos Eléctricos” 3ra Edición Mc Graw Hill R, C.Dorf J. A Svodoba “Introducción De Circuitos Eléctricos” 6ta Edición (2005) Editorial Alfa omega Nilson. James De W., Susana A. “Circuitos Electricos-2 6ta Edición, Pearson Educación, México, 2001 William H Hyte Jr. (Análisis De Circuitos En Ingeniería) 7ma Edición Editorial Mc Graw Hill

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