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- 1. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Sistemas de Soporte a la Decisión Sistemas de Soporte a la Decisión basados en modelos Javier Prieto1 1 Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid, España franciscojavier.prieto@uc3m.es Máster en Gestión y Tecnología del Conocimiento Universidad de Panamá, Julio de 2010 Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 2. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias SSDs basados en modelos Suponen decisiones racionales Existencia de una función de utilidad que ordena las decisiones Presencia de incertidumbre Posibilidad de estimar las probabilidades de ocurrencia de sucesos Modelos matemáticos que recojan consecuencias de decisiones De forma cuantificable Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 3. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Proceso de toma de decisiones en modelos formales Etapas Identificación de alternativas Determinación del criterio/criterios de selección Evaluación de las alternativas Con respecto al criterio de selección Respecto a su viabilidad técnica Implantación Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 4. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Técnicas para toma de decisiones en modelos formales Investigación de Operaciones Problemas complejos Complejidad asociada a: Incertidumbre Número de alternativas Interacciones entre decisiones Técnicas adaptadas a la complejidad de los problemas Problemas simples vs. problemas complejos Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 5. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Construccion de modelos Estructura formal de los modelos Basada en manipulación de variables Representan alternativas cuantificables Variables combinadas mediante expresiones matemáticas Relaciones que han de cumplirse Medida del interés de unas alternativas frente a otras Lenguaje matemático Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 6. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Tipos de modelos (i) Predicción Estimación de la evolución futura del sistema Bajo incertidumbre Simulación Estimación del comportamiento del sistema bajo condiciones alternativas También bajo incertidumbre (normalmente) Optimización Selección de alternativas mejores Normalmente sin incertidumbre (complejidad) Heurísticos Selección de alternativas próximas a las mejores Con coste computacional reducido Normalmente sin incertidumbre Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 7. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Tipos de modelos (ii) Por su estructura temporal Modelos estáticos Decisiones a tomar en un momento en el tiempo Modelos más sencillos Modelos dinámicos Decisiones a tomar a lo largo del tiempo Modelos deben incluir dependencias temporales Debe considerarse un mayor número de decisiones (tamaño del modelo) Por su complejidad Modelos con pocas alternativas Modelos muy simples (árboles de decisión, enumeración de alternativas) Modelos con muchas alternativas Modelos complejos requieren técnicas matemáticas sofisticadas Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 8. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Simulación estocástica (i) Métodos de simulación estocástica Tratamiento cuantitativo de la incertidumbre en problemas reales Estimación de medidas de comportamiento del sistema Bajo situaciones futuras posibles Ponderadas con una estimación de su probabilidad Objetivo: comparar dichas estimaciones Con referencias conocidas Con otras decisiones posibles bajo incertidumbre Mejora en el proceso de toma de decisiones En situaciones suficientemente complejas Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 9. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Simulación estocástica (ii) Modelos descriptivos Estudio de características de un sistema bajo condiciones inciertas Se busca información estocástica: Estimación de valores de interés (valor medio, varianza, percentiles) Estimación del error cometido Medidas de riesgo Ejemplos: Estudio comparativo de beneficios asociados a distintas ofertas Probabilidad de que beneficios sean inferiores a una cierta cantidad Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 10. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Importancia de la modelización de la incertidumbre En la gran mayoría de las decisiones la incertidumbre es fundamental Las situaciones futuras son desconocidas Se desconocen los cambios en el entorno Se desconocen también los posibles cambios en la organización Importancia del estudio de posibles alternativas Selección de alternativas relevantes (escenarios) Combinación de los resultados para las diferentes alternativas (decisiones, riesgos) Siempre hace falta partir de un modelo de la incertidumbre Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 11. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias El método de Montecarlo. Motivación Dificultades Se quieren calcular valores de variables no observadas Relaciones con variables cuyos valores tampoco son conocidos con certeza Pero se pueden hacer hipótesis sobre las distribuciones de esas variables Utilizar relaciones entre variables (potencialmente complejas) Procedimento Se supone que dado un valor de las variables iniciales es sencillo de calcular un valor de las variables de interés Se construye una muestra de valores iniciales Se genera una muestra de valores de interés Se aplican técnicas estadísticas a la muestra Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 12. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias El método de Montecarlo. Descripción Procedimiento de simulación Definir variables entrada/salida y características Definir relaciones Generar valores variables de entrada Obtener valores variables de salida Repetir un número suficiente de veces Estimar valores deseados Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 13. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Ejemplo I (i) Expansión de capacidad Inversión a 3 años Datos Coste de la expansión (aleatorio) Capacidad Demanda (aleatoria) Beneficios (aleatorios) La información se descuenta al presente Información para la decisión Estimaciones y errores en el valor actualizado neto Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 14. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Ejemplo I (ii) Expansión de capacidad. Datos disponibles Expansión Coste medio 4500 Desv. Típica 700 Capacidad 100 Demanda Valores medios Periodo 1 75 Periodo 2 90 Periodo 3 92,5 Desv. típica 10 Beneficio unitario Media inicial 20 Desv. típica inicial 2 Incremento mínimo 0,97 Incremento máximo 1,05 Descuento Factor 0,05 Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 15. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Generación de variables de entrada Datos de entrada Aspecto más complejo del procedimiento Datos de entrada han de recoger la incertidumbre presente en la realidad Y la que pueda existir en el futuro de interés Deben preservar la distribución que se supone para los datos Y las relaciones de dependencia/independencia de los mismos Generación Dependiente de la distribución Casos sencillos soportados por software Otros casos: técnicas matemáticas Un ejemplo sencillo: distribución exponencial con parámetro λ − log U/λ, U ∼ Unif[0, 1] Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 16. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Tratamiento de resultados Resultados de interés Valores promedio e intervalos de confianza Fórmulas estadísticas clásicas » – zs zs 1 s2 = 1 2 P P m= n i xi , n−1 i (xi − m) , m − √ ,m + √ n n Podemos seleccionar el número de repeticiones n Cuanto mayor sea n, más coste computacional Cuanto mayor sea n, menor error Parar cuando el error sea suficientemente pequeño Error proporcional a la inversa de la raíz cuadrada del número de repeticiones Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 17. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Temas avanzados Datos dependientes En muchos casos las muestras generadas no son independientes Inventarios, colas, etc. Son necesarias técnicas de estimación más sofisticadas Medias agrupadas, método regenerativo Reducción de varianza Coste computacional asociado a repeticiones, elevado para errores bajos Técnicas sofisticadas de reducción del número de repeticiones Muestreo estratificado, muestreo de importancia Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 18. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Ventajas e inconvenientes Ventajas Procedimiento muy flexible Planteamiento común a situaciones muy diferentes Excepto generación de variables de entrada Poco costoso de implementar Fácil de aplicar con programas de propósito general (hojas de cálculo) Inconvenientes Computacionalmente poco eficiente No proporciona relaciones causales Requiere hipótesis sobre datos de entrada Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 19. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Ejemplo II (i) Gestión de ventas de billetes de avión Decisiones sobre la cantidad de plazas a ofertar En varios estados posibles (5) Incertidumbre en relación con los cambios de estados Datos Probabilidades de paso de un estado a otro Coste de renovación y de avería Información para la decisión Porcentajes de equipos a renovar y averiados Coste promedio de gestión del sistema Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 20. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Ejemplo II (ii) Gestión de ventas de billetes. Datos disponibles Capacidad Capacidad asientos 650 Limite ventas 715 Demanda Promedio 620 Desv. Estandar 65 Pasajeros no aparecen Probabilidad 0,05 Costes Beneficio unidad 50 Coste overbooking 150 Beneficio no aparecen 75 Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 21. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Optimización Técnicas formales (matemáticas) de optimización Procedimientos formales para calcular la mejor alternativa ¿Es necesario considerar todas las alternativas? Ineficiente en casos complejos Se basan en resultados teóricos sofisticados Consideran un número reducido de alternativas Escogidas para que las conclusiones sean válidas para todas ellas Proceso dependiente de la forma del problema Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 22. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Conceptos generales Objetivo Encontrar el mejor conjunto de valores de las variables para un criterio determinado Valores a calcular: representados por variables Variables de decisión (estado y control) Variables auxiliares Criterio a optimizar: función objetivo Uno o varios criterios Ordenación de alternativas Condiciones sobre los valores aceptables de las variables: restricciones Estructura básica del problema Variables Función objetivo Restricciones Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 23. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Formulación de problemas (i) Formato estandarizado Identificación de variables Variables contínuas o discretas Expresión matemática de la función objetivo Función que tome un valor o múltiples valores Maximización o minimización Funciones que definan las restricciones, como Igualdades Desigualdades Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 24. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Formulación de problemas (ii) Formalismo matemático minx f (x) s.a c(x) ≥ 0 d(x) = 0 Debemos saber cómo calcular f , c y d Al menos poder escribir código para hacerlo Las funciones han de ser contínuas Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 25. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Procedimiento de solución (i) Dependiente de propiedades de problemas Propiedades relevantes: Todas las variables toman valores contínuos O algunas variables toman valores discretos Las funciones del problema son todas lineales O algunas son no lineales Procedimientos de solución Programación lineal (método simplex, puntos interiores) Programación entera (branch and bound, branch and cut) Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 26. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Procedimiento de solución (ii) Resolución en Excel Uso del Solver Todas las diferentes partes del problema definidas en celdas Variables, función objetivo, restricciones Problemas que se pueden resolver Problemas lineales contínuos Problemas lineales enteros Problemas no lineales contínuos Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 27. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Ejemplo III (i) Problema de planificación de la producción Datos Capacidades disponibles Uso de capacidad Para dos tipos de capacidad necesarios Beneficios por unidad Límites a la producción Información para la decisión Valores óptimos de la producción Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 28. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Ejemplo III (ii) Datos producción Capacidad Mano de obra 320 Maquinaria 320 Uso de capacidad Producto A 0,5 0,6 Producto B 0,7 0,5 Producto C 0,9 1,0 Beneficios por unidad Producto A 14 Producto B 17 Producto C 22 Límite de ventas 300 Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 29. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Procedimiento de solución (iii) Casos especiales Problemas con varias funciones objetivo Dificultad: comparar diferentes alternativas entre diferentes criterios Solución habitual: buscar una combinación de criterios que represente las preferencias del usuario Alternativamente: construir todas las soluciones para cualquier combinación (razonable) de los criterios (frontera eficiente) Problemas con incertidumbre Dificultad: falta de expresiones explícitas para criterios de interés Solución habitual: construir un equivalente sin incertidumbre considerando un número reducido de escenarios Dificultad: los problemas resultantes son muy grandes Empleo de técnicas especiales, descomposición Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 30. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Ventajas e inconvenientes Ventajas Procedimiento muy potente Herramientas fácilmente disponibles Para problemas de tipos habituales Inconvenientes Costoso de implementar Computacionalmente costoso de resolver Requiere modelos matemáticos detallados Dificultad para incorporar la incertidumbre Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 31. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Ejemplo IV (i) Producción de aceros Tres tipos de acero a producir a partir de chatarra Datos Diferentes costes de producción, precios de venta, uso de chatarra Demandas máximas previstas Chatarra Costes Capacidad de procesamiento Información para la decisión Cantidades óptimas a producir Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 32. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Ejemplo IV (ii) Producción de aceros. Datos disponibles Datos aceros Consumos Costes Precios Demanda Barras 1,5 40 75 1200 Láminas 1,4 25 60 1600 Especiales 2,5 65 110 900 Chatarra Costes 15 Capacidad 5000 Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 33. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Ejemplo V (i) Planificación de la generación eléctrica Ofertas de una central de generación para 24 horas. Cantidades (y precios) Datos Estimaciones de los precios Costes de generación y arranque Restricciones técnicas de la central Capacidad Arranques Rampas Información para la decisión Cantidades óptimas a producir Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 34. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Ejemplo V (ii) Planificación de la generación. Precios 12,000 10,000 8,000 31/10/08 30/10/08 29/10/08 6,000 28/10/08 27/10/08 26/10/08 25/10/08 4,000 Promedio 2,000 0,000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 35. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Ejemplo V (iii) Planificación de la generación. Restricciones técnicas Generación Capacidad Mínimo técnico Tiempo Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 36. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Ejemplo V (iv) Planificación de la generación eléctrica. Modelo matemático Función objetivo P P P t (pt − c)xt − ca t at − cp t pt Restricciones de capacidad respecto del estado encendido gm yt ≤ xt ≤ gx yt Restricciones que relacionan encendido con arranque yt − yt−1 ≤ at , yt−1 − yt ≤ pt Restricciones de rampa xt − xt−1 ≤ ru , xt−1 − xt ≤ rd Variables binarias, yt , at , pt Caso más interesante: Cuando existe incertidumbre en los precios Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 37. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Ejemplo V (v) Planificación de la generación eléctrica. Datos disponibles Datos técnicos Generación máxima 250 Generación mínima 50 Rampa subida 50 Rampa bajada 25 Datos de costes Coste generación 5.6 Coste arranque 25 Coste parada 5 Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 38. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Ejemplo VI (i) Evaluación del riesgo en préstamos personales Banco debe decidir que préstamos a que clientes suponen un riesgo excesivo Datos Información sobre cada cliente Cualitativa (sexo, empleo, región, etc) Cuantitativa (edad, años empleado, saldo de cuenta, devoluciones de préstamos, etc) Datos sobre clientes anteriores calificados como aceptables y no aceptables Información para la decisión Regla que asigne a un nuevo cliente al grupo aceptable o al no aceptable Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 39. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Ejemplo VI (ii) Evaluación del riesgo en préstamos personales Metodología a aplicar: SVM Encontrar hiperplano óptimo que separe los grupos GRÁFICA 3 6,2 5,2 w’x-b=-1 4,2 w’x-b=1 3,2 2,2 1,2 1,20 1,56 1,92 2,28 2,64 3,00 Datos 1 Datos 1I Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 40. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Ejemplo VI (iii) Evaluación del riesgo en préstamos personales SVMs: formalización matemática Dadas observaciones xi y valores ci ∈ −1, 1 Encontrar un vector w solución de m« w,b ın ww s.a ci (w xi − b) ≥ 1 En la práctica es más sencillo resolver el problema equivalente 1 P P m«xa a i ai − 2 aaccx x P ij i j i j i j s.a i ai ci = 0 ai ≥ 0 P de manera que w = i ai ci xi Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 41. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Lecturas Contenidos recomendados de las referencias [Evans & Olson] Capítulos 6 y 10 [Power] Capítulos 4 y 10 [Savage] Capítulos 4 y 7 [Turban] Capítulos 2 y 5 Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión
- 42. Toma de decisiones basada en modelos Modelos de simulación Modelos de optimización Referencias Referencias I Evans, J.R. & Olson, D.L. Introduction to Simulation and Risk Analysis Prentice-Hall, 2002 Power, D.J. Decision Support Systems: Concepts and Resources for Managers Quorum Books, 2002 Savage, S.L. Decision Making with Insight Thomson, 2003 Turban, E. Decision Support and Expert Systems: Management Support Systems Prentice Hall, 1995 Javier Prieto Sistemas de Soporte a la Decisión