1. Palace
1. DEFINICIÓN
Es el lugar geométrico de todos los puntos P(x;y) donde la distancia de un punto cualquiera de
la circunferencia al centro C(h; k); se denomina radio (R).
2. Elementos
Centro de la circunferencia: Punto fijo “C(h;k)”
Radio de la circunferencia: distancia constante del centro a la circunferencia “R”
Cuerda: segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia “DE”
Diámetro: cuerda que pasa por el centro y cuya longitud es 2R, “AB”.
Flecha o sagita: segmento orientado comprendido entre una cuerda y el arco de circunferencia
comprendido “MN”
“Lt” recta tangente a la circunferencia.
“LN” recta normal a la circunferencia.
P(x;y) punto genérico de la circunferencia.
3. ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
I. Forma canónica
La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio R > 0, tiene por ecuación:
C: x2 + y2 = R2

2. II. Forma ordinaria
La ecuación de una circunferencia de centro el punto C(h; k) y de radio R > 0 esta dado por:
C: (x - h)2 + (y - k)2 = R2
Sabemos que d(PC)=R
C: (x – h)2 + (y – k)2 = R2
Si la circunferencia es tangente al eje x, su ecuación será: C: (x - h)2 + (y - k)2 = k2 con R=

3. Para la circunferencia tangente al eje y, su ecuación será: C: (x – h)2 + (y – k)2 = h2 con R=
III. ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
Desarrollando la formula ordinaria C: (x – h)2 + (y – k)2 = R2
Obtenemos que: x2 y2 -2hx - 2ky + (h2 + k2 - R2) = 0
Haciendo: D=-2h; E= -2k; F=h2 + k2 – R2
La Ecuación de la circunferencia sería: C: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Comprobando llevaremos la ecuación a la forma inicial:
De donde observamos que:
Centro:
Radio: R=
La ecuación de la circunferencia tangente a los ejes coordenadas viene dado por:
C(h; k) = C(h; h) = C(k; k)
C: (x – h)2 + (y – h)2 = h2
= =

4. En la ecuación α se dan los siguientes casos:
(.) Si: D2 + E2 – 4F > 0, tenemos la circunferencia de centro y
R=
(..) Si D2 + E2 – 4F = 0, representa el punto
(…) Si D2 + E2 – 4F < 0, representa una circunferencia imaginaria.
4. FAMILIAS DE CIRCUNFERENCIA
Sean:
Y si C1 intercepta a C2, se tendrá que: C1+kC2=0
Es una circunferencia C que pasa por las 2 intersecciones de C1 y C2, siempre que (1+k) ≠ 0
Ck es la ecuación de la familia de curvas o circunferencias, que pasan por las intersecciones P,
Q de C1 y C2.
Todas la circunferencias Cn, tienen sus centros sobre la recta que pasa por los cnetros C1 y C2
Si en C1 hacemos que 1 + k = 0 k = -1, se encuentra la ecuación del eje radical C1 y C2 y que
es:
L eje radical (D1 – D2) x + (E1 – E2) y + (F1 – F2) = 0
Si C1 y C2 se cortan en dos puntos diferentes su eje radical coincide con su cuerda común; si C1
y C2 son tangentes entre si, su eje radical es su tangentes común, y si C1 y C2 no tienen ningún
punto común con ninguno de ellos.
EJE RADICAL: El eje radical de C1 y C2 es perpendicular a la recta que une sus centros; es
también el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que las longitudes de las
tangentes trazadas por él a C1 y C2 son iguales. La pendiente del je radical es:
Meje radical =
Si C1 y C2 se cortan en 2 puntos diferentes, la ecuación Ck representa para todos los valores de
k≠ -1, todas las circunferencias que pasan por los puntos de intersección C1 y C2 con la única
excepción de C2 misma.
(*) Si C1 y C2 son tangentes entre si y si n ≠ -1 entonces Ck representa para todas las
circunferencias que son tangentes a ≠ en un punto común con la excepción de C2 misma.
(*) Si C1 y C2 no tienen ningún punto común la ecuación de Ck representa C(k ≠ -1), siempre
que la ecuación resultante tenga coeficientes que cumplen: D2 + e2 – 4F > 0

5. 5.CONDICIÓN DE TANGENCIA PARA ECUACIONES CUADRÁTICAS EN DOS
VARIABLES.
Sea la ecuación Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0, al interceptarlo con una recta L: ax+by+c=0, lo que se
hace es de “L” despejar x ó y, y reemplazarlo en la ecuación de 2do grado, entonces formamos
una ecuación de 2do grado ya sea en y o en x, y tenemos que calcular los x ó los y, para lo cual,
tendremos en cuenta:
CASO I: Si el discriminante es menos que cero, entonces no existe punto de intersección C L.
CASO II: Si el discriminante es cero, entonces encotramos un punto de tangencia.
CASO III: Si el discriminante es mayor que cero, entonces existen dos soluciones, significando
que hay dos puntos de intersección.
Para el análisis es más conveniente tomar para la recta L la forma y = mx + b
TEOREMA:
Si m es la pendiente de una recta a una curva plana continua C en el punto P0 (X0;Y0) entonces
para el punto P0 tenemos:
1. La ecuación de la tangente Lt a C es : Lt : y – y0 = m (x – x0)
2. Longitud de la tangente a C es igual a: ;m≠0
3. Longitud de la subtangente a C es igual a: ;m≠0
4. La ecuación de la normal: (y – y0)= - (x – x0) . m ≠ 0
5. Longitud de la normal es igual a: y0 .
6. Longitud de la subnormal es igual a: my0
L1: recta tangente L2: recta normal
= Longitud de la tangente = Longitud de la normal
QT= Subtangente; QN= Subnormal
Si las curvas C1y C2 planas se cortan en P, Lt , Ln ,son sus rectas tangentes en P se llama ángulo
de dos curvas en P (punto de intersección) a cualquiera de los dos ángulos suplementarios
formados por las dos tangentes a las curvas en dicho punto P.

6. 6. TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA
Para la determinación de la recta tangente a un circunferencia se considera tres problemas.
1. Lt en un punto P0 (xo;y0) de C es: Lt: y – y0 = m(x-x2)
2. Para hallar Lt a una C, conociendo su pendiente Lt: y = mx+b
3. Para hallar Lt a una C y que pase Lt por P0(x0;y0) Lt: y – y0 = m(x – x0)
4. Para la C: (x-h)2 = R2 su recta tangente en P0(x0;y0)viene dado por :
Lt: (x-h) (x0 – h) + (y – k) (y0 – k) = R2
Si se tiene la ecuación general de 2do grado:
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0, si se conoce un punto P0(x0; y0) sobre la curva (P0 satisface su
ecuación), entonces la ecuación de la recta tangente Lt tangente a la curva en P0(x0; y0) tiene la
forma:
Observamos que la pendiente de Lt es:
TEOREMA:
Si t es la longitud de la tangente trazada del punto exterior P0(x0 ; y0) a la
C: (x – h)2 + (y – k)2 = R2 entonces:
t=
Para hallar la ecuación (*), la ecuación general, puede escribirse (cada término) así: x2=x.x ;
xy= ; y2= y.y ; x= ; y= ; y luego se coloca el subíndice “o” a una variable en cada
término, este criterio de la tangente a la ecuación general de 2do grado, puede usarse, aún
cuando no se conozca el punto de contacto, es decir:
x2=x0.x ; xy= ; y2= y0.y ; x= ; y=

7. EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1
Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto (4;1) a la cónica:
2x2- xy + y2 + x – 3y + 2 = 0
Solución
Sea ( , ) las coordenadas de uno de los puntos de tangencia, entonces de (*) tendríamos:
Como (4;1) Lt tendríamos:
Lt:
Después de simplificar tendremos: 16 -5 + 5 = 0 ………………………………………(1)
También en la ecuación de la curva: 3x - +y + - 3 +2 = 0 ……………………….. (2)
Resolviendo el sist3ema formado por (1) y (2) obtenemos:
Entonces existen dos tangentes:
= y-1=0
=32x + 103y - 231 = 0
Problema 2
La recta Lt es tangente a x2+y2 = 1 en A = . Hallar la tangente del ángulo que forma Lt
con la cuerda que va de A al punto B = (1;0)
Sabemos que:

8. Deducimos que m = -1, donde m es la pendiente de la recta tangente.
También observamos que:
Pero sabemos que:
Problema 3
Hallar la ecuación de la familia de circunferencias que sean tangentes a: x+y=3, en (-2; 5).
Solución
Consideremos dos de las circunferencias con tales condiciones como C1 y C2, con raios
Rr= y R2 = (arbitrariamente)
LN: y – 5 = (x+2) => LN : y-5=x+2 => LN : y=x+7
Como C1 y C2 pertenecen a LNtendremos que:
Como C1: x2+y2+6x-8y+23=0
C2: x2+y2-14y+41=0
La Familia de circunferencias pedida será
Cn: C1+nC2=0 ; n ≠ -1
Cn: x2+y2+6x-8y+23+n(x2+y2-14y+41)=0
Cn: (n+1)x2+(n+1)y2+6x-(8+14n) y+(23+41n)=0; n Z – {-1}

9. PROBLEMA 4
Demuestre que C1: x2+y2-6x-3y+10=0: C2: x2+y2=5, son tangentes. Hallar la ecuación de la C
tangente a C1 y C2 en su punto común y que pasa por (2;7).
Observamos que: m => mLt = -2
Pero sabemos que:
Como Q1 = Q2 = (2;1), entonces las circunferencias son tangentes en Q = (2;1). Para calcular la
C que pasa por (2;1) (2;7), como se tiene 2 puntos hay toda una familia de Cn que pasan por
dichos puntos; entonces calculamos dos específicamente.
Cn que pasa por (a;b) (2;1) (2;7)
Si tomamos (a;b) = (1;1)

10. Problema 5
Hallar la ecuaciones de las tangentes a la circunferencia c: x2 + y2 - 2x + 4y = 0 que son
perpendiculares a la recta L: x-2y=0
Solución
La ecuación queda transformada completando cuadros en:
Finalmente las ecuaciones de las rectas serán: Lt: 2x+y-5=0 Lt: 2x+y+5=0

11. Problema 6
Desde el punto P(1;6) se han trazado tangentes a la circunferencia C: x2+y2+2x-19=0. Hallar
sus ecuaciones.
Solución
Completando cuadrados en la ecuación
C: (x2+2x+1)+y2=19+1
C: (x+1)2+y2=20
De donde: C(-1;0) y R = 2
La Ecuación de la recta tangente será:
Lt: y-6 = m(x-1)
Lt: mx-y+(6-m)=0
Pero: d(LtC)=R
36-24m+4m2=20m2+20  2m2+3m-2=0
(2m-1) (m+2)=0  m = m=-2
Finalmente las ecuaciones de las tangentes será:
(x – 1) 
(x – 1) 
Problema 7
Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto C(-1;4) y es tangente a la
recta que pasa por los puntos A(3;-2); B(-9;3).
Solución

12. Finalmente la ecuación de la circunferencia será: C: (x+1)2+(y-4)2=16
Problema 8
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1;6), B(2;-1) y es tangente al
eje y.
Solución:
La ecuación de la circunferencia es:
Tendríamos dos circunferencias:
C1: (x-5)2+(y-3)2=25 y C2: (x-145)2+(y-23)2=1452
Problema 9
Hallar las ecuaciones de la circunferencia que pasa por el punto A(1:0) y son tangentes a la
rectas:
L1: 2x+y+2 =0
L2: 2x+y-18=0
Solución
Luego tendremos

13. Pero también: 2R = 4 => R=2
Reemplazamos la relación (1) en (2) tendremos:
(h-1)2 + (8-2h)2=20
De donde:
5h2-34h+45=0 => (h – 5) (h-9) = 0 =>
Las ecuaciones de las circunferencias son: C1: (x-5)2+(y+2)2=20
C2:
Problemas 10
Hallar la suma de las coordenadas del centro con el radio de la circunferencia inscrita en el
triángulo determinado por los ejes coordenados y la recta L: 3x+4y+6=0.
Solución
Observamos del gráfico que:
d(xC)=(yC) = d(LC)
De donde tendremos:
7h+6=5h 7h+6=-5h
H = -3 h = -1/2
Para h= -3 el punto C(h;) caería fuera del triángulo, con ello queda descartado este resultado.
Para h= -1/2 el centro C(h;h)=C y el radio R=
Finalmente tendremos que: h+k+R= - - + = -

14. Problema 11
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (-1;0), (0;-1), (1;0).
Solución
Como sabemos que debe ser una circunferencia su ecuación será de la forma:
X2+y2+Dx+Ey+F=0
Los puntos mencionados deben pertenecer y satisfacer la ecuación por lo tanto sustituimos los
tres puntos:
(-1;0) C => 1-D+F=0
(0;-1) C => 1-E+F=0
(1;0) C => 1+D+F=0
Resolviendo el sistema obtenemos: F=-1; D=0; E=0
Finalmente la ecuación de la circunferencia será: C: X2+y2=1
Problema 12
Hallar la pendiente de la recta tangente a la curva: x2+y2=5 en el punto (-1;2).
Solución:
De la ecuación x2+y2 = 5
C(0;0) y R=
Observamos que:
Luego deducimos que:
Cálculo de la ecuación de Lt: y-2= (x+1)
y-2= (x+1) Lt: x-2y+5=0
Problema 13
Hallar las ecuaciones de las tangentes a loa circunferencia x2+y2+10x-2y+6=0 que son parálelas
a la recta 2x+y-7=0
Solución
Observamos que : C: x2 + y2+10x-2y+6=0
C: (x+5)2+(y-1)2=20
Donde C (-5;1) y R = 2 pero también podemos notar mL=-2 => , entonces
LN: y-1= (x+5)
LN: x-2y+7=0

15. Podemos ver que P LN C, luego resolviendo el sistema:
Para: y = 3; x =-1 y P (-1:3)
Para: y = -1; x =-9 y P(-9;1)
Finalmente las ecuaciones de las tangentes serán: = =-2
Problema 13
Desde el punto A se han trazado tangentes a la circunferencia: x2+y2=5. Hallar sus
ecuaciones.
Solución:
De la ecuación de la recta tangente que pasa por el punto A , tenemos
De la circunferencia: C:x2+y2=5 ……(2)
Reemplazando (1) en (2)
x2+
Por la condición de tangentes es necesario que =0, entonces tendremos 302m2(m+1)2-
4x9(1+m2) =0
Después de efectuar operaciones tendremos 2m2-5m+2=0 (2m-1)(m-2) = 0 m= =2
Luego las ecuaciones de las rectas serán

16. Problema 15
Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia (x+2)2+(y-3)2=25 en el punto A(-5,7)
Solución
De la ecuación de la circunferencia
Además tenemos
Finalmente la ecuación de la recta tangente será:
: 3x-4y+43=0
Problema 16
Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia x2+y2=5 en el punto A (-1;2)
Solución
En la circunferencia C: x2+y2=5 tenemos:
C(0;0), R=
También tenemos que :
Finalmente la ecuación de la recta tangente será:
Lt: y-2= (x+1) => Lt: y-2= (x+1)
Lt: x-2y+5=0
Problema 17
Hallar las tangentes comunes a las circunferencias: C1: x2+y2-6x-8y=0 ; C2: x2+y2-4x-6x=3
Solución
Analizando y llevando a la forma ordinaria las ecuaciones de la circunferencia.

17. Aplicando la distancia del centro a la recta tangente tendremos:
Dividiendo estas dos relaciones tendremos:
Donde tendremos
Analizando el discriminante:
Entonces m no existe, es decir la recta
es paralela al eje y.
Para m=0 y b= -1
tendremos

18. LA PARABOLA
1. DEFINICIÓN
Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto dado
denominado foco y de una recta dad llamada directriz (con la condición, que el foco no se
encuentre en la directriz),
Es el conjunto de puntos P(x;y) del plano, que se mueven de tal manera que equidistan de una
recta fija L (Llamada directriz) en el mismo plano de un punto fijo F (llamado foco) del plano
R2 y que no pertenece a la recta L (F L).
=> P={P(x;y) R2/d (PL)=d(PF)
Además (e = =1
2. ELEMENTOS DE LA PARABOLA
2.1 Directriz (L) Es la recta fija y perpendicular al eje principal o focal. La distancia de
cualquier punto de la parábola a ella es igual a la distancia de dicho punto al foco d(PL)=d(PF)
2.2 Foco (F) Es el punto fijo de la parábola.
2.3. Eje Focal (Vx) Es la recta que pasa por el foco, también se llama recta focal y es
perpendicular a la directriz.
2.4 Vértice (V): Es el punto medio del segmento FQ que une la directriz y el foco:
d(QV) = d(FV) = p p: parámetro de la parábola.
2.5 Cuerda (A1 A2): es el segmento que une 2 puntos cualquiera de la parábola.
2.6 Cuerda focal (B1 B2): Es la cuerda focal que es perpendicular al eje focal.
2.7 Lado recto (R1R2 ó LR): Es la cuerda focal que es perpendicular al eje focal
2.8 Excentricidad€: Es la razón constante entre la distancia de un punto al foco y la distancia de
dicho punto a la directriz.
e= =1
2.9 Radio vector: Es el segmento que une un punto de la parábola con el foco.