Simulación Numérica de
     Yacimientos
 CAPÍTULO III: Técnicas Numéricas


       Elkin Rodolfo Santafé Rangel
          ...
La aproximación por diferencias finitas

             • Es ampliamente usada.
             • Busca aproximar el concepto d...
Serie de Taylor
                                              f '' ( xi ) 2 f ''' ( xi ) 3        f n ( xi ) n
       f ( ...
Tipos de Diferencia Finita
                                         SERIE DE TAYLOR HACIA ADELANTE

                      ...
Tipos de Diferencia Finita

                                          SERIE DE TAYLOR HACIA ADELANTE

                    ...
Tipos de Diferencia Finita

                                               DEFINICIÓN GEOMÉTRICA




© Elkin Santafé ● 200...
Orden de Truncamiento


           f ( xi +1 ) − f ( xi )                             f ( xi +1 ) − f ( xi )
             ...
EDP´s

                     ∇ U =0 2
                                                                  ELÍPTICA
          ...
Esquemas de aproximación en 1D

                                             EXPLÍCITA – Molécula Computacional 1D

      ...
Esquemas de aproximación en 1D

                                             IMPLÍCITA – Molécula Computacional 1D
       ...
Esquemas de aproximación en 1D

         CASO TIPO: Modelo difusivo en 1D

          Aproximando numéricamente:


        ...
Esquemas de aproximación en 1D

         CASO TIPO: Modelo difusivo en 1D

          Los índices dependerán del esquema:

...
Esquemas de aproximación en 1D

          CASO TIPO: Ecuación de conducción de calor en 1D

           Los índices depende...
Esquemas de aproximación en 1D
         CASO TIPO: Modelo Difusivo en 1D

     Aproximación de CRANK - NICHOLSON: esquema ...
Esquemas de aproximación en 1D
         CASO TIPO: Ecuación de conducción de calor en 1D

        Implícito simple        ...
Sistemas de ordenamiento en 1D
           1               2                3                 4   5          6           7 ...
Métodos de Solución


                       Método de Thomas




                       Método de Ciclo reducción




© E...
Problema de Frontera

                                                                 Punto
                             ...
Problema de Frontera


         Condiciones de primera clase
         Se conoce también con el nombre de condiciones tipo
...
Problema de Frontera


         Condiciones de primera clase


               uizq = f1 X
                                ...
Problema de Frontera


         Condiciones de segunda clase
         Se conoce también con el nombre de condiciones tipo
...
Problema de Frontera


         Condiciones de segunda clase


                                             f1 ( t
       ...
Problema de Frontera


         Condiciones de tercera clase
         Se obtiene por una combinación de las dos condicione...
Problema de Frontera


         Condiciones de tercera clase
      Considere que el reservorio I se encuentra conectado en...
Problema de Frontera


         Condiciones de tercera clase
      De otro dentro del yacimiento I, la tasa de flujo debe
...
Problema de Frontera


         Condiciones de tercera clase
      Para una malla de punto distribuido se tendrá la siguie...
Esquemas de Aproximación en 2D

                                                    Ecuaciones Elípticas


               ...
Esquemas de Aproximación en 2D
         CASO TIPO: Ecuación de Laplace


             ∂ 2 P Pi +1 − 2 Pi + Pi −1          ...
Esquemas de Aproximación en 2D

                                                 Ecuaciones Parabólicas


                ...
Sistemas de ordenamiento




                                                              ► En 2D, la forma de la geometr...
© Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos
        Santafé          Simulació Numé                       ...
© Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos
        Santafé          Simulació Numé                       ...
Métodos de solución

                       Método de Jacobi
                       Método de Gauss - Seidel
             ...
Concepto de Stencil
                              i
                                                              El conce...
Concepto de Stencil

                            i-1              i           i+1



                                     ...
Concepto de Stencil




                    ► Distribución de Stencils para un sistema unidimensional.




© Elkin Santafé...
Concepto de Stencil

                         Ni , j
                                                        Pi +1, j + Pi...
Concepto de Stencil

        • En la frontera se debe ajustar de acuerdo a la ecuación
        que rija el fenómeno allí.
...
Condición del Sistema
         Error de Truncamiento




                                                              ► D...
Condición del Sistema
         Error de Truncamiento




           Hacen que el error tienda a cero
           cuando ell...
Condición del Sistema
         Estabilidad




© Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos
        Santafé...
Condición del Sistema
         Estabilidad


        Existen dos criterios muy utilizados para desarrollar el
        anál...
Condición del Sistema
         Estabilidad


        Criterio de Karplus:
       La ecuación en diferencias finitas es reo...
Condición del Sistema
         Estabilidad


        Criterio de Karplus:
       • Si todos los coeficientes son negativos...
Condición del Sistema
         Estabilidad


        Criterio de Karplus:




                                            ...
Condición del Sistema
         Estabilidad


        Análisis Armónico:
       Se debe aplicar la definición general al es...
Condición del Sistema
         Estabilidad


        Análisis Armónico:




         ► Formulación                 para   ...
Condición del Sistema
         Estabilidad


        Análisis Armónico:




         ► Formulación                 para   ...
Condición del Sistema
         Estabilidad


        Análisis Armónico:




© Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica d...
Condición del Sistema
         Estabilidad


        Análisis Armónico:



                                               ...
Condición del Sistema
         Estabilidad


        Análisis Armónico:




                Factor      de                ...
Métodos de solución

                       Método de Jacobi
                       Método de Gauss - Seidel
             ...
P-SOR

                                  P   ( k +1)
                                     i, j         = (1 − w ) P + wP
 ...
L-SOR




                                                              Estos valores se
                                 ...
L-SOR
                                        ⎛                               ⎡ Fi , j − Wi. j Pi −1,1j
                  ...
L-SOR
                                                          Se hace necesario ajustar este superíndice
               ...
L-SOR

       Wi , j                                                   Ei , j                                        Fi , ...
L-SORC o WATTS SOR




               Lo que se busca con este método es repartir el error residual
               product...
L-SORC o WATTS SOR


 Wi. j Pi −1, j + Si. j Pi ,kj −1 + Ci , j Pi ,kj + N i , j Pi ,kj +1 + Ei , j Pi +1, j − Fi , j = ri...
L-SORC o WATTS SOR

             Wi. j ( Pi −1, j − Pi *1 ) + Si. j ( Pi ,kj −1 − Pi * ) + Ci , j ( Pi ,kj − Pi * )
      ...
L-SORC o WATTS SOR

                  J                              J                             J           J

        ...
L-SORC o WATTS SOR



                     J                           J            J      J

                   ∑ −
     ...
L-SORC o WATTS SOR



                 ⎛ J       ⎞ * ⎛ J                J          J        ⎞ *
                 ⎜ ∑ Wi. j...
L-SORC o WATTS SOR

        • Se aplica el método LSOR.
        • Se calcula Pi * resolviendo el sistema tridiagonal.
    ...
Bibliografía

    [1] SIERRA, Luis E. y SANTAFE, Elkin R. Simulación Numérica de Yacimientos.
    Curso Pregrado II Semest...
Atribución No Comercial 2.5 Colombia

        Usted es libre de:

        • Copiar, distribuir, exhibir y ejecutar la obra...
Este es un resumen legible-por-humanos del Código Legal (Licencia Completa).


http://creativecommons.org/licenses/by-nc/2...
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Capiii

  1. 1. Simulación Numérica de Yacimientos CAPÍTULO III: Técnicas Numéricas Elkin Rodolfo Santafé Rangel Ingeniero de Petróleos Bucaramanga – Colombia © 2008
  2. 2. La aproximación por diferencias finitas • Es ampliamente usada. • Busca aproximar el concepto de derivada. • Es una aproximación discreta. • Para ser aplicada requiere generalmente de un sistema de enmallado ortogonal. • Aproxima la solución sobre un dominio físico del tamaño de la celda que contiene al nodo de interés. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  3. 3. Serie de Taylor f '' ( xi ) 2 f ''' ( xi ) 3 f n ( xi ) n f ( xi +1 ) = f ( xi ) + f ' ( xi )h + h + h + ... + h + Rn 2! 3! n! f (n +1) (ξ ) n +1 Rn = h (n + 1)! © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  4. 4. Tipos de Diferencia Finita SERIE DE TAYLOR HACIA ADELANTE f '' ( xi ) 2 f ''' ( xi ) 3 f n ( xi ) n f ( xi +1 ) = f ( xi ) + f ' ( xi )h + h + h + ... + h + Rn 2! 3! n! SERIE DE TAYLOR HACIA ATRÁS f '' ( xi ) 2 f ''' ( xi ) 3 f n ( xi ) n f ( xi −1 ) = f ( xi ) − f ' ( xi )h + h − h + ... + h + Rn 2! 3! n! f ( xi +1 ) − f ( xi ) f ( xi ) − f ( xi −1 ) ≈ f ' ( xi ) ≈ f ' ( xi ) h h D.F. Progresiva D.F. Regresiva © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  5. 5. Tipos de Diferencia Finita SERIE DE TAYLOR HACIA ADELANTE + SERIE DE TAYLOR HACIA ATRÁS 2 f ''' ( xi ) 3 f ( xi +1 ) = f ( xi −1 ) + 2 f ' ( xi )h + h + ... 3! f ( xi +1 ) − f ( xi −1 ) f ''' ( xi ) 2 f ' ( xi ) = − h − ... 2h 3! D.F. Central © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  6. 6. Tipos de Diferencia Finita DEFINICIÓN GEOMÉTRICA © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  7. 7. Orden de Truncamiento f ( xi +1 ) − f ( xi ) f ( xi +1 ) − f ( xi ) ≈ f ' ( xi ) + O(h ) = f ' ( xi ) h h f ( xi ) − f ( xi −1 ) f ( xi ) − f ( xi −1 ) ≈ f ' ( xi ) + O(h ) = f ' ( xi ) h h f ( xi +1 ) − f ( xi −1 ) f ( xi +1 ) − f ( xi −1 ) f ( xi ) ≈ ' 2h f ( xi ) = ' 2h + O h2 ( ) © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  8. 8. EDP´s ∇ U =0 2 ELÍPTICA • Laplace ∇ U = f (x) 2 • Poisson ∂U ∇U= 2 PARABÓLICA ∂t 1∂U 2 ∇U= 2 HIPERBÓLICA (Onda) C ∂t 2 © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  9. 9. Esquemas de aproximación en 1D EXPLÍCITA – Molécula Computacional 1D ti +1 dimensión temporal Δt ti xi −1 Δx xi xi +1 dimensión espacial © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  10. 10. Esquemas de aproximación en 1D IMPLÍCITA – Molécula Computacional 1D xi −1 xi xi +1 dimensión temporal ti +1 Δx Δt ti dimensión espacial © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  11. 11. Esquemas de aproximación en 1D CASO TIPO: Modelo difusivo en 1D Aproximando numéricamente: ∂ 2 P Pi +1 − 2 Pi + Pi −1 Varían los índices asociados ≈ ∂x 2 Δx 2 al espacio. ∂P P n +1 − P n Varían los índices asociados ≈ al tiempo. ∂t Δt Índice de tiempo Esto genera una doble notación: P Índice de espacio © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  12. 12. Esquemas de aproximación en 1D CASO TIPO: Modelo difusivo en 1D Los índices dependerán del esquema: ⎛ Pi +1 − 2 Pi n + Pi −1 ⎞ Pi n +1 − Pi n n n ⎛ Pi +1 1 − 2 Pi n +1 + Pi −1 1 ⎞ Pi n +1 − Pi n n+ n+ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟= ⎝ Δx 2 ⎠ Δt ⎝ Δx 2 ⎠ Δt Explícito Implícito simple Δt Δt Δx 2 ( Pi+1 − 2Pi + Pi−1 ) = Pi − Pi Δx 2 ( Pi+n1+1 − 2Pi n+1 + Pi−n1+1 ) = Pi n+1 − Pi n n n n n +1 n λ ( Pi +1 − 2 Pi n + Pi −1 ) = Pi n +1 − Pi n n n λ ( Pi +1 1 − 2 Pi n +1 + Pi −1 1 ) = Pi n +1 − Pi n n+ n+ © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  13. 13. Esquemas de aproximación en 1D CASO TIPO: Ecuación de conducción de calor en 1D Los índices dependerán del esquema: Explícito Implícito simple λ ( Pi +1 − 2 Pi n + Pi −1 ) = Pi n +1 − Pi n n n λ ( Pi +1 1 − 2 Pi n +1 + Pi −1 1 ) = Pi n +1 − Pi n n+ n+ ? Pi n +1 1 incógnita 1 ecuación ? Pi +1 1 , Pi n +1 , Pi −1 1 n+ n+ 3 incógnitas 1 ecuación Pi n +1 = Pi + λ ( P − 2 Pi + P n n i +1 n n i −1 ) −λ Pi +1 1 + (1 + 2λ ) Pi n +1 − λ Pi −1 1 = Pi n n+ n+ Solución directa ! Sistema de ecuaciones ! © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  14. 14. Esquemas de aproximación en 1D CASO TIPO: Modelo Difusivo en 1D Aproximación de CRANK - NICHOLSON: esquema implícito alternativo, con exactitud de segundo orden para el espacio y el tiempo. Implícito simple Crank - Nicholson xi −1 xi xi +1 xi −1 xi xi +1 ti +1 ti + 1 2 Punto intermedio ti Comparación entre las moléculas computacionales asociadas a cada esquema © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  15. 15. Esquemas de aproximación en 1D CASO TIPO: Ecuación de conducción de calor en 1D Implícito simple Crank - Nicholson ⎛ Pi +1 − 2 Pi n + Pi −1 n n ⎞ ∂ 2 P Pi +1 1 − 2 Pi n +1 + Pi −1 1 n+ n+ ⎜ + ⎟ ≈ ∂ P 1 2 Δx 2 ∂x 2 Δx 2 ≈ ⎜ n +1 ⎟ ∂x 2 2 ⎜ Pi +1 − 2 Pi + Pi −1 ⎟ n +1 n +1 ► Toda la aproximación espacial se ⎜ ⎟ hace en n+1 ⎝ Δx 2 ⎠ ► Se toma por referencia el punto intermedio y se promedia la variación ∂P P n +1 − P n espacial en n+1 y en n. ≈ ∂t Δt n +1 ► Se construye con ∂P P − P n una D.F. Central ► Diferencia finita progresiva con ≈ alrededor del punto aproximación de primer orden. ∂t Δt intermedio. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  16. 16. Sistemas de ordenamiento en 1D 1 2 3 4 5 6 7 8 ► Forma general de la matriz. Esta refleja las relaciones existentes entre las celdas que componen la malla. La matriz resultante para este caso es una tridiagonal. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  17. 17. Métodos de Solución Método de Thomas Método de Ciclo reducción © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  18. 18. Problema de Frontera Punto Centrado Punto Distribuido © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  19. 19. Problema de Frontera Condiciones de primera clase Se conoce también con el nombre de condiciones tipo Dirichlet. U ( izq, t ) = f1 ( t ) U ( der , t ) = f 2 ( t ) u n izq = f1 ( t n ) n = 0,1,... © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  20. 20. Problema de Frontera Condiciones de primera clase uizq = f1 X u1 + u0 f1 = Tiene implicaciones a 2 nivel de la forma como se expresa la condición de frontera. 0 1 uizq = f1 © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  21. 21. Problema de Frontera Condiciones de segunda clase Se conoce también con el nombre de condiciones tipo Neumann. ∂U = f1 ( t ) ∂x 1 2 X 1 2 ∂u ∂u = f1 = f1 ∂x ∂x © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  22. 22. Problema de Frontera Condiciones de segunda clase f1 ( t (u n −u n ) n ) ≈ 2 Δx 1 u − u0 n n u − u0 n n f = n 1 f = n 1 Δx Δx 1 1 0 -1 0 1 © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  23. 23. Problema de Frontera Condiciones de tercera clase Se obtiene por una combinación de las dos condiciones anteriores. ∂U a + bU = f1 ( t ) ∂x II I U II u1 u2 0 © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  24. 24. Problema de Frontera Condiciones de tercera clase Considere que el reservorio I se encuentra conectado en X=0 con otro yacimiento de presión promedio conocida. Se requiere incluir la influencia del segundo yacimiento a través de la condición límite en X=0. El flujo desde el yacimiento II al I viene dado por: qII → I ( t ) = b ⎡U II ( t ) − u1 ⎤ ⎣ ⎦ donde b es una constante de proporcionalidad similar al índice de productividad. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  25. 25. Problema de Frontera Condiciones de tercera clase De otro dentro del yacimiento I, la tasa de flujo debe satisfacer la Ley Darcy: ∂U qII → I ( t ) = a ∂x Estas dos ecuaciones combinadas da la ecuación de condición límite combinada dada a continuación: ∂U a + bU = bU II ( t ) ∂x © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  26. 26. Problema de Frontera Condiciones de tercera clase Para una malla de punto distribuido se tendrá la siguiente aproximación: a ⎡u − U ⎤ ⎣ n ⎦ + bu n = bU n 2 n II 2Δx 1 II © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  27. 27. Esquemas de Aproximación en 2D Ecuaciones Elípticas ∂2P ∂2 P + 2 =0 Ecuación de Laplace ∂x 2 ∂y ∂ P ∂ P 2 2 + 2 = f ( x, y ) Ecuación de Poisson ∂x 2 ∂y Fuentes o pérdidas de calor. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  28. 28. Esquemas de Aproximación en 2D CASO TIPO: Ecuación de Laplace ∂ 2 P Pi +1 − 2 Pi + Pi −1 ∂ 2 P Pj +1 − 2 Pj + Pj −1 ≈ ≈ ∂x 2 Δx 2 ∂y 2 Δy 2 Pi +1, j − 2 Pi , j + Pi −1, j Pi , j +1 − 2 Pi , j + Pi , j −1 + =0 Δx 2 Δy 2 [ O Δ(x ) 2 ] [ O Δ( y ) 2 ] © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  29. 29. Esquemas de Aproximación en 2D Ecuaciones Parabólicas ∂ 2 P ∂ 2 P ∂P + 2 = ∂x 2 ∂y ∂t Esquema Explícito 1 8 ( Δt ≤ ( Δx ) + ( Δy ) 2 2 ) Dejan de ser tridiagonales y Esquema Implícito se pueden convertir en matrices dispersas. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  30. 30. Sistemas de ordenamiento ► En 2D, la forma de la geometría se determina con el sentido del ordenamiento. Si se escoge un ordenamiento normal, el resultado será una matriz con 5 diagonales y un somero grado de dispersión. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  31. 31. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  32. 32. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  33. 33. Métodos de solución Método de Jacobi Método de Gauss - Seidel Método SOR Método PSOR Método LSOR Método LSORC Esquema IDA © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  34. 34. Concepto de Stencil i El concepto de Stencil permite expresar los modelos de forma generalizada. Wi Ci Ei TCi , j ,k Ni , j Ei , j Ni , j ,k Wi , j ,k Ei , j ,k i, j Si , j , k Wi , j Si , j BCi , j ,k © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  35. 35. Concepto de Stencil i-1 i i+1 ► Modelo de Stencil para Wi Ci Ei un sistema unidimensional. −λ Pi −1 1 + (1 + 2λ ) Pi n +1 − λ Pi +1 1 = Pi n n+ n+ n +1 n +1 n +1 WP i i −1 + Ci Pi +EP i i +1 = Fi © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  36. 36. Concepto de Stencil ► Distribución de Stencils para un sistema unidimensional. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  37. 37. Concepto de Stencil Ni , j Pi +1, j + Pi −1, j − 4 Pi , j + Pi , j +1 + Pi , j −1 = 0 Ei , j Ei , j Pi +1, j + Wi , j Pi −1, j + Ci , j Pi , j + i, j Wi , j N i , j Pi , j +1 + Si , j Pi , j −1 = Fi , j ► Modelo de Stencil para Si , j un sistema bidimensional. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  38. 38. Concepto de Stencil • En la frontera se debe ajustar de acuerdo a la ecuación que rija el fenómeno allí. • Algunos stencils pueden anularse y otros tomar valores que carecen de sentido físico. • Dependiendo de las características del sistema se pueden dar condiciones de simetría. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  39. 39. Condición del Sistema Error de Truncamiento ► Definición para un esquema explícito © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  40. 40. Condición del Sistema Error de Truncamiento Hacen que el error tienda a cero cuando ellos tienden a cero. Se puede afirmar que el esquema es consistente. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  41. 41. Condición del Sistema Estabilidad © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  42. 42. Condición del Sistema Estabilidad Existen dos criterios muy utilizados para desarrollar el análisis de estabilidad de un sistema: • Criterio de Karplus: no tiene en cuenta el efecto de las condiciones de borde en el límite. • Análisis Armónico: se basa en series de Fourier. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  43. 43. Condición del Sistema Estabilidad Criterio de Karplus: La ecuación en diferencias finitas es reordenada de tal manera que adquiera la siguiente forma: Cambio en Cambio en Término de subíndices superíndices referencia © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  44. 44. Condición del Sistema Estabilidad Criterio de Karplus: • Si todos los coeficientes son negativos el esquema es estable. • Si solo algunos de los coeficientes son negativos, entonces la suma de os mismos debe ser menor o igual que 0. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  45. 45. Condición del Sistema Estabilidad Criterio de Karplus: Corroborar para un esquema implícito © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  46. 46. Condición del Sistema Estabilidad Análisis Armónico: Se debe aplicar la definición general al esquema numérico: La ecuación toma una forma dependiendo del esquema. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  47. 47. Condición del Sistema Estabilidad Análisis Armónico: ► Formulación para un esquema implícito © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  48. 48. Condición del Sistema Estabilidad Análisis Armónico: ► Formulación para un esquema explícito. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  49. 49. Condición del Sistema Estabilidad Análisis Armónico: © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  50. 50. Condición del Sistema Estabilidad Análisis Armónico: Se toma el n-ésimo término. Se debe analizar el cambio del error en el tiempo. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  51. 51. Condición del Sistema Estabilidad Análisis Armónico: Factor de Condición de amplificación. estabilidad. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  52. 52. Métodos de solución Método de Jacobi Método de Gauss - Seidel Método SOR Método PSOR Método LSOR Método LSORC Esquema IDA © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  53. 53. P-SOR P ( k +1) i, j = (1 − w ) P + wP k i, j *( k +1) i, j 1 P *( k +1) = ⎡ Fi , j − Wi. j Pi −1,1j − Si. j Pi ,kj+−11 − N i , j Pi ,kj +1 − Ei , j Pi +1, j ⎤ k+ k Ci , j ⎣ ⎦ i, j © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  54. 54. L-SOR Estos valores se determinan simultáneamente © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  55. 55. L-SOR ⎛ ⎡ Fi , j − Wi. j Pi −1,1j k+ ⎤⎞ ⎜ 1 ⎢ ⎥⎟ P ( k +1) i, j = (1 − w ) Pi , j + w ⎜ k k +1 ⎢ − Si. j Pi , j −1 − N i , j Pi , j +1 ⎥ ⎟ k ⎜ Ci , j ⎢ ⎥⎟ ⎜ ⎢ − Ei , j Pi +1, j k ⎥⎟ ⎝ ⎣ ⎦⎠ Fi , j Wi , j Si , j P ( k +1) i, j = (1 − w ) P + w k i, j −w P k +1 i −1, j −w P k +1 i , j −1 Ci , j Ci , j Ci , j Ni, j Ei , j −w P k i , j +1 −w P k i +1, j Ci , j Ci , j © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  56. 56. L-SOR Se hace necesario ajustar este superíndice a la iteración correspondiente Wi , j Ei , j Fi , j w P k +1 i −1, j +P ( k +1) i, j +w P k i +1, j = (1 − w ) P + w k i, j Ci , j Ci , j Ci , j Si , j k +1 Ni, j −w P i , j −1 −w P k i , j +1 Ci , j Ci , j © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  57. 57. L-SOR Wi , j Ei , j Fi , j w P k +1 i −1, j +P ( k +1) i, j +w P k +1 i +1, j = (1 − w ) P + w k i, j Ci , j Ci , j Ci , j Si , j k +1 Ni, j Esto genera como resultado un −w P i , j −1 −w P k i , j +1 sistema tridiagonal por fila Ci , j Ci , j recorrida… Se aplica el siguiente criterio de convergencia: © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  58. 58. L-SORC o WATTS SOR Lo que se busca con este método es repartir el error residual producto de la aproximación © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  59. 59. L-SORC o WATTS SOR Wi. j Pi −1, j + Si. j Pi ,kj −1 + Ci , j Pi ,kj + N i , j Pi ,kj +1 + Ei , j Pi +1, j − Fi , j = ri kj k k , © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  60. 60. L-SORC o WATTS SOR Wi. j ( Pi −1, j − Pi *1 ) + Si. j ( Pi ,kj −1 − Pi * ) + Ci , j ( Pi ,kj − Pi * ) k − + N i , j ( Pi ,kj +1 − Pi * ) + Ei , j ( Pi +1, j − Pi*1 ) − Fi , j = 0 k + Si se escribe la ecuación inicial para cada uno de los bloques de la columna i y luego se suman todas las ecuaciones se obtiene: J J J J ∑Wj =1 P k i . j i −1, j +∑S P j =1 k i . j i , j −1 + ∑C P + ∑ N P j =1 k i, j i, j j =1 k i , j i , j +1 J J J + ∑ Ei , j Pi +1, j − ∑ Fi , j = ∑ ri kj k , j =1 j =1 j =1 © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  61. 61. L-SORC o WATTS SOR J J J J ∑ Wi. j Pi −1, j + ∑ Wi. j Pi *1 + ∑ Si. j Pi ,kj −1 + ∑ Si. j Pi * j =1 k − j =1 j =1 j =1 J J J J + ∑ Ci , j Pi ,kj + ∑ Ci , j Pi * + ∑ N i , j Pi ,kj +1 + ∑ N i , j Pi * j =1 j =1 j =1 j =1 J J J +∑ E P k i , j i +1, j + ∑ E P − ∑ Fi , j = 0 * i , j i +1 j =1 j =1 j =1 © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  62. 62. L-SORC o WATTS SOR J J J J ∑ − Wi. j Pi *1 + ∑ Si. j Pi * + ∑ Ci , j Pi * + ∑ N i , j Pi * j =1 j =1 j =1 j =1 J J + ∑ Ei , j Pi *1 = −∑ ri kj + , j =1 j =1 © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  63. 63. L-SORC o WATTS SOR ⎛ J ⎞ * ⎛ J J J ⎞ * ⎜ ∑ Wi. j ⎟ Pi −1 + ⎜ ∑ Si. j + ∑ Ci , j + ∑ N i , j ⎟ Pi ⎝ j =1 ⎠ ⎝ j =1 j =1 j =1 ⎠ ⎛ J ⎞ * J + ⎜ ∑ Ei , j ⎟ Pi +1 = −∑ ri , j k ⎝ j =1 ⎠ j =1 © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  64. 64. L-SORC o WATTS SOR • Se aplica el método LSOR. • Se calcula Pi * resolviendo el sistema tridiagonal. • Se obtienen los valores corregidos. • Se evalúa el criterio de convergencia. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  65. 65. Bibliografía [1] SIERRA, Luis E. y SANTAFE, Elkin R. Simulación Numérica de Yacimientos. Curso Pregrado II Semestre 2006. Universidad Industrial de Santander. Bucaramanga-Colombia. [2] SEPÚLVEDA, Jairo A. Simulación Numérica de Yacimientos. Apuntes de Curso Pregrado. Universidad Surcolombiana. Marzo de 2002. Colombia. [3] OSORIO, Gildardo. Notas de simulación numérica de yacimientos. Universidad Nacional (Sede Medellín). [4] AZIZ, Khalid y SETTARI, Antonín. Petroleum reservoir simulation. Elsevier Appliedd Science Publishers. Londres y New York, 1979. [5] H.B. Crichlow. Modern reservoir engineering – a simulation APPROACH. Prentice Hall, 1977. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  66. 66. Atribución No Comercial 2.5 Colombia Usted es libre de: • Copiar, distribuir, exhibir y ejecutar la obra. • Hacer obras derivadas. Bajo las siguientes condiciones: Atribución. Usted debe atribuir la obra en la forma especificada por el autor o licenciante. No comercial. Usted no puede usar esta obra con fines comerciales. Sus usos legítimos u otros derechos no son afectados de ninguna manera por lo dispuesto precedentemente.
  67. 67. Este es un resumen legible-por-humanos del Código Legal (Licencia Completa). http://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.5/co/legalcode

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