Capiii

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Capiii

  1. 1. Simulación Numérica de Yacimientos CAPÍTULO III: Técnicas Numéricas Elkin Rodolfo Santafé Rangel Ingeniero de Petróleos Bucaramanga – Colombia © 2008
  2. 2. La aproximación por diferencias finitas • Es ampliamente usada. • Busca aproximar el concepto de derivada. • Es una aproximación discreta. • Para ser aplicada requiere generalmente de un sistema de enmallado ortogonal. • Aproxima la solución sobre un dominio físico del tamaño de la celda que contiene al nodo de interés. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  3. 3. Serie de Taylor f '' ( xi ) 2 f ''' ( xi ) 3 f n ( xi ) n f ( xi +1 ) = f ( xi ) + f ' ( xi )h + h + h + ... + h + Rn 2! 3! n! f (n +1) (ξ ) n +1 Rn = h (n + 1)! © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  4. 4. Tipos de Diferencia Finita SERIE DE TAYLOR HACIA ADELANTE f '' ( xi ) 2 f ''' ( xi ) 3 f n ( xi ) n f ( xi +1 ) = f ( xi ) + f ' ( xi )h + h + h + ... + h + Rn 2! 3! n! SERIE DE TAYLOR HACIA ATRÁS f '' ( xi ) 2 f ''' ( xi ) 3 f n ( xi ) n f ( xi −1 ) = f ( xi ) − f ' ( xi )h + h − h + ... + h + Rn 2! 3! n! f ( xi +1 ) − f ( xi ) f ( xi ) − f ( xi −1 ) ≈ f ' ( xi ) ≈ f ' ( xi ) h h D.F. Progresiva D.F. Regresiva © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  5. 5. Tipos de Diferencia Finita SERIE DE TAYLOR HACIA ADELANTE + SERIE DE TAYLOR HACIA ATRÁS 2 f ''' ( xi ) 3 f ( xi +1 ) = f ( xi −1 ) + 2 f ' ( xi )h + h + ... 3! f ( xi +1 ) − f ( xi −1 ) f ''' ( xi ) 2 f ' ( xi ) = − h − ... 2h 3! D.F. Central © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  6. 6. Tipos de Diferencia Finita DEFINICIÓN GEOMÉTRICA © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  7. 7. Orden de Truncamiento f ( xi +1 ) − f ( xi ) f ( xi +1 ) − f ( xi ) ≈ f ' ( xi ) + O(h ) = f ' ( xi ) h h f ( xi ) − f ( xi −1 ) f ( xi ) − f ( xi −1 ) ≈ f ' ( xi ) + O(h ) = f ' ( xi ) h h f ( xi +1 ) − f ( xi −1 ) f ( xi +1 ) − f ( xi −1 ) f ( xi ) ≈ ' 2h f ( xi ) = ' 2h + O h2 ( ) © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  8. 8. EDP´s ∇ U =0 2 ELÍPTICA • Laplace ∇ U = f (x) 2 • Poisson ∂U ∇U= 2 PARABÓLICA ∂t 1∂U 2 ∇U= 2 HIPERBÓLICA (Onda) C ∂t 2 © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  9. 9. Esquemas de aproximación en 1D EXPLÍCITA – Molécula Computacional 1D ti +1 dimensión temporal Δt ti xi −1 Δx xi xi +1 dimensión espacial © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  10. 10. Esquemas de aproximación en 1D IMPLÍCITA – Molécula Computacional 1D xi −1 xi xi +1 dimensión temporal ti +1 Δx Δt ti dimensión espacial © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  11. 11. Esquemas de aproximación en 1D CASO TIPO: Modelo difusivo en 1D Aproximando numéricamente: ∂ 2 P Pi +1 − 2 Pi + Pi −1 Varían los índices asociados ≈ ∂x 2 Δx 2 al espacio. ∂P P n +1 − P n Varían los índices asociados ≈ al tiempo. ∂t Δt Índice de tiempo Esto genera una doble notación: P Índice de espacio © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  12. 12. Esquemas de aproximación en 1D CASO TIPO: Modelo difusivo en 1D Los índices dependerán del esquema: ⎛ Pi +1 − 2 Pi n + Pi −1 ⎞ Pi n +1 − Pi n n n ⎛ Pi +1 1 − 2 Pi n +1 + Pi −1 1 ⎞ Pi n +1 − Pi n n+ n+ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟= ⎝ Δx 2 ⎠ Δt ⎝ Δx 2 ⎠ Δt Explícito Implícito simple Δt Δt Δx 2 ( Pi+1 − 2Pi + Pi−1 ) = Pi − Pi Δx 2 ( Pi+n1+1 − 2Pi n+1 + Pi−n1+1 ) = Pi n+1 − Pi n n n n n +1 n λ ( Pi +1 − 2 Pi n + Pi −1 ) = Pi n +1 − Pi n n n λ ( Pi +1 1 − 2 Pi n +1 + Pi −1 1 ) = Pi n +1 − Pi n n+ n+ © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  13. 13. Esquemas de aproximación en 1D CASO TIPO: Ecuación de conducción de calor en 1D Los índices dependerán del esquema: Explícito Implícito simple λ ( Pi +1 − 2 Pi n + Pi −1 ) = Pi n +1 − Pi n n n λ ( Pi +1 1 − 2 Pi n +1 + Pi −1 1 ) = Pi n +1 − Pi n n+ n+ ? Pi n +1 1 incógnita 1 ecuación ? Pi +1 1 , Pi n +1 , Pi −1 1 n+ n+ 3 incógnitas 1 ecuación Pi n +1 = Pi + λ ( P − 2 Pi + P n n i +1 n n i −1 ) −λ Pi +1 1 + (1 + 2λ ) Pi n +1 − λ Pi −1 1 = Pi n n+ n+ Solución directa ! Sistema de ecuaciones ! © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  14. 14. Esquemas de aproximación en 1D CASO TIPO: Modelo Difusivo en 1D Aproximación de CRANK - NICHOLSON: esquema implícito alternativo, con exactitud de segundo orden para el espacio y el tiempo. Implícito simple Crank - Nicholson xi −1 xi xi +1 xi −1 xi xi +1 ti +1 ti + 1 2 Punto intermedio ti Comparación entre las moléculas computacionales asociadas a cada esquema © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  15. 15. Esquemas de aproximación en 1D CASO TIPO: Ecuación de conducción de calor en 1D Implícito simple Crank - Nicholson ⎛ Pi +1 − 2 Pi n + Pi −1 n n ⎞ ∂ 2 P Pi +1 1 − 2 Pi n +1 + Pi −1 1 n+ n+ ⎜ + ⎟ ≈ ∂ P 1 2 Δx 2 ∂x 2 Δx 2 ≈ ⎜ n +1 ⎟ ∂x 2 2 ⎜ Pi +1 − 2 Pi + Pi −1 ⎟ n +1 n +1 ► Toda la aproximación espacial se ⎜ ⎟ hace en n+1 ⎝ Δx 2 ⎠ ► Se toma por referencia el punto intermedio y se promedia la variación ∂P P n +1 − P n espacial en n+1 y en n. ≈ ∂t Δt n +1 ► Se construye con ∂P P − P n una D.F. Central ► Diferencia finita progresiva con ≈ alrededor del punto aproximación de primer orden. ∂t Δt intermedio. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  16. 16. Sistemas de ordenamiento en 1D 1 2 3 4 5 6 7 8 ► Forma general de la matriz. Esta refleja las relaciones existentes entre las celdas que componen la malla. La matriz resultante para este caso es una tridiagonal. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  17. 17. Métodos de Solución Método de Thomas Método de Ciclo reducción © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  18. 18. Problema de Frontera Punto Centrado Punto Distribuido © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  19. 19. Problema de Frontera Condiciones de primera clase Se conoce también con el nombre de condiciones tipo Dirichlet. U ( izq, t ) = f1 ( t ) U ( der , t ) = f 2 ( t ) u n izq = f1 ( t n ) n = 0,1,... © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  20. 20. Problema de Frontera Condiciones de primera clase uizq = f1 X u1 + u0 f1 = Tiene implicaciones a 2 nivel de la forma como se expresa la condición de frontera. 0 1 uizq = f1 © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  21. 21. Problema de Frontera Condiciones de segunda clase Se conoce también con el nombre de condiciones tipo Neumann. ∂U = f1 ( t ) ∂x 1 2 X 1 2 ∂u ∂u = f1 = f1 ∂x ∂x © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  22. 22. Problema de Frontera Condiciones de segunda clase f1 ( t (u n −u n ) n ) ≈ 2 Δx 1 u − u0 n n u − u0 n n f = n 1 f = n 1 Δx Δx 1 1 0 -1 0 1 © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  23. 23. Problema de Frontera Condiciones de tercera clase Se obtiene por una combinación de las dos condiciones anteriores. ∂U a + bU = f1 ( t ) ∂x II I U II u1 u2 0 © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  24. 24. Problema de Frontera Condiciones de tercera clase Considere que el reservorio I se encuentra conectado en X=0 con otro yacimiento de presión promedio conocida. Se requiere incluir la influencia del segundo yacimiento a través de la condición límite en X=0. El flujo desde el yacimiento II al I viene dado por: qII → I ( t ) = b ⎡U II ( t ) − u1 ⎤ ⎣ ⎦ donde b es una constante de proporcionalidad similar al índice de productividad. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  25. 25. Problema de Frontera Condiciones de tercera clase De otro dentro del yacimiento I, la tasa de flujo debe satisfacer la Ley Darcy: ∂U qII → I ( t ) = a ∂x Estas dos ecuaciones combinadas da la ecuación de condición límite combinada dada a continuación: ∂U a + bU = bU II ( t ) ∂x © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  26. 26. Problema de Frontera Condiciones de tercera clase Para una malla de punto distribuido se tendrá la siguiente aproximación: a ⎡u − U ⎤ ⎣ n ⎦ + bu n = bU n 2 n II 2Δx 1 II © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  27. 27. Esquemas de Aproximación en 2D Ecuaciones Elípticas ∂2P ∂2 P + 2 =0 Ecuación de Laplace ∂x 2 ∂y ∂ P ∂ P 2 2 + 2 = f ( x, y ) Ecuación de Poisson ∂x 2 ∂y Fuentes o pérdidas de calor. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  28. 28. Esquemas de Aproximación en 2D CASO TIPO: Ecuación de Laplace ∂ 2 P Pi +1 − 2 Pi + Pi −1 ∂ 2 P Pj +1 − 2 Pj + Pj −1 ≈ ≈ ∂x 2 Δx 2 ∂y 2 Δy 2 Pi +1, j − 2 Pi , j + Pi −1, j Pi , j +1 − 2 Pi , j + Pi , j −1 + =0 Δx 2 Δy 2 [ O Δ(x ) 2 ] [ O Δ( y ) 2 ] © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  29. 29. Esquemas de Aproximación en 2D Ecuaciones Parabólicas ∂ 2 P ∂ 2 P ∂P + 2 = ∂x 2 ∂y ∂t Esquema Explícito 1 8 ( Δt ≤ ( Δx ) + ( Δy ) 2 2 ) Dejan de ser tridiagonales y Esquema Implícito se pueden convertir en matrices dispersas. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  30. 30. Sistemas de ordenamiento ► En 2D, la forma de la geometría se determina con el sentido del ordenamiento. Si se escoge un ordenamiento normal, el resultado será una matriz con 5 diagonales y un somero grado de dispersión. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  31. 31. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  32. 32. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  33. 33. Métodos de solución Método de Jacobi Método de Gauss - Seidel Método SOR Método PSOR Método LSOR Método LSORC Esquema IDA © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  34. 34. Concepto de Stencil i El concepto de Stencil permite expresar los modelos de forma generalizada. Wi Ci Ei TCi , j ,k Ni , j Ei , j Ni , j ,k Wi , j ,k Ei , j ,k i, j Si , j , k Wi , j Si , j BCi , j ,k © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  35. 35. Concepto de Stencil i-1 i i+1 ► Modelo de Stencil para Wi Ci Ei un sistema unidimensional. −λ Pi −1 1 + (1 + 2λ ) Pi n +1 − λ Pi +1 1 = Pi n n+ n+ n +1 n +1 n +1 WP i i −1 + Ci Pi +EP i i +1 = Fi © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  36. 36. Concepto de Stencil ► Distribución de Stencils para un sistema unidimensional. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  37. 37. Concepto de Stencil Ni , j Pi +1, j + Pi −1, j − 4 Pi , j + Pi , j +1 + Pi , j −1 = 0 Ei , j Ei , j Pi +1, j + Wi , j Pi −1, j + Ci , j Pi , j + i, j Wi , j N i , j Pi , j +1 + Si , j Pi , j −1 = Fi , j ► Modelo de Stencil para Si , j un sistema bidimensional. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  38. 38. Concepto de Stencil • En la frontera se debe ajustar de acuerdo a la ecuación que rija el fenómeno allí. • Algunos stencils pueden anularse y otros tomar valores que carecen de sentido físico. • Dependiendo de las características del sistema se pueden dar condiciones de simetría. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  39. 39. Condición del Sistema Error de Truncamiento ► Definición para un esquema explícito © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  40. 40. Condición del Sistema Error de Truncamiento Hacen que el error tienda a cero cuando ellos tienden a cero. Se puede afirmar que el esquema es consistente. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  41. 41. Condición del Sistema Estabilidad © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  42. 42. Condición del Sistema Estabilidad Existen dos criterios muy utilizados para desarrollar el análisis de estabilidad de un sistema: • Criterio de Karplus: no tiene en cuenta el efecto de las condiciones de borde en el límite. • Análisis Armónico: se basa en series de Fourier. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  43. 43. Condición del Sistema Estabilidad Criterio de Karplus: La ecuación en diferencias finitas es reordenada de tal manera que adquiera la siguiente forma: Cambio en Cambio en Término de subíndices superíndices referencia © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  44. 44. Condición del Sistema Estabilidad Criterio de Karplus: • Si todos los coeficientes son negativos el esquema es estable. • Si solo algunos de los coeficientes son negativos, entonces la suma de os mismos debe ser menor o igual que 0. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  45. 45. Condición del Sistema Estabilidad Criterio de Karplus: Corroborar para un esquema implícito © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  46. 46. Condición del Sistema Estabilidad Análisis Armónico: Se debe aplicar la definición general al esquema numérico: La ecuación toma una forma dependiendo del esquema. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  47. 47. Condición del Sistema Estabilidad Análisis Armónico: ► Formulación para un esquema implícito © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  48. 48. Condición del Sistema Estabilidad Análisis Armónico: ► Formulación para un esquema explícito. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  49. 49. Condición del Sistema Estabilidad Análisis Armónico: © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  50. 50. Condición del Sistema Estabilidad Análisis Armónico: Se toma el n-ésimo término. Se debe analizar el cambio del error en el tiempo. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  51. 51. Condición del Sistema Estabilidad Análisis Armónico: Factor de Condición de amplificación. estabilidad. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  52. 52. Métodos de solución Método de Jacobi Método de Gauss - Seidel Método SOR Método PSOR Método LSOR Método LSORC Esquema IDA © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  53. 53. P-SOR P ( k +1) i, j = (1 − w ) P + wP k i, j *( k +1) i, j 1 P *( k +1) = ⎡ Fi , j − Wi. j Pi −1,1j − Si. j Pi ,kj+−11 − N i , j Pi ,kj +1 − Ei , j Pi +1, j ⎤ k+ k Ci , j ⎣ ⎦ i, j © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  54. 54. L-SOR Estos valores se determinan simultáneamente © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  55. 55. L-SOR ⎛ ⎡ Fi , j − Wi. j Pi −1,1j k+ ⎤⎞ ⎜ 1 ⎢ ⎥⎟ P ( k +1) i, j = (1 − w ) Pi , j + w ⎜ k k +1 ⎢ − Si. j Pi , j −1 − N i , j Pi , j +1 ⎥ ⎟ k ⎜ Ci , j ⎢ ⎥⎟ ⎜ ⎢ − Ei , j Pi +1, j k ⎥⎟ ⎝ ⎣ ⎦⎠ Fi , j Wi , j Si , j P ( k +1) i, j = (1 − w ) P + w k i, j −w P k +1 i −1, j −w P k +1 i , j −1 Ci , j Ci , j Ci , j Ni, j Ei , j −w P k i , j +1 −w P k i +1, j Ci , j Ci , j © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  56. 56. L-SOR Se hace necesario ajustar este superíndice a la iteración correspondiente Wi , j Ei , j Fi , j w P k +1 i −1, j +P ( k +1) i, j +w P k i +1, j = (1 − w ) P + w k i, j Ci , j Ci , j Ci , j Si , j k +1 Ni, j −w P i , j −1 −w P k i , j +1 Ci , j Ci , j © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  57. 57. L-SOR Wi , j Ei , j Fi , j w P k +1 i −1, j +P ( k +1) i, j +w P k +1 i +1, j = (1 − w ) P + w k i, j Ci , j Ci , j Ci , j Si , j k +1 Ni, j Esto genera como resultado un −w P i , j −1 −w P k i , j +1 sistema tridiagonal por fila Ci , j Ci , j recorrida… Se aplica el siguiente criterio de convergencia: © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  58. 58. L-SORC o WATTS SOR Lo que se busca con este método es repartir el error residual producto de la aproximación © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  59. 59. L-SORC o WATTS SOR Wi. j Pi −1, j + Si. j Pi ,kj −1 + Ci , j Pi ,kj + N i , j Pi ,kj +1 + Ei , j Pi +1, j − Fi , j = ri kj k k , © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  60. 60. L-SORC o WATTS SOR Wi. j ( Pi −1, j − Pi *1 ) + Si. j ( Pi ,kj −1 − Pi * ) + Ci , j ( Pi ,kj − Pi * ) k − + N i , j ( Pi ,kj +1 − Pi * ) + Ei , j ( Pi +1, j − Pi*1 ) − Fi , j = 0 k + Si se escribe la ecuación inicial para cada uno de los bloques de la columna i y luego se suman todas las ecuaciones se obtiene: J J J J ∑Wj =1 P k i . j i −1, j +∑S P j =1 k i . j i , j −1 + ∑C P + ∑ N P j =1 k i, j i, j j =1 k i , j i , j +1 J J J + ∑ Ei , j Pi +1, j − ∑ Fi , j = ∑ ri kj k , j =1 j =1 j =1 © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  61. 61. L-SORC o WATTS SOR J J J J ∑ Wi. j Pi −1, j + ∑ Wi. j Pi *1 + ∑ Si. j Pi ,kj −1 + ∑ Si. j Pi * j =1 k − j =1 j =1 j =1 J J J J + ∑ Ci , j Pi ,kj + ∑ Ci , j Pi * + ∑ N i , j Pi ,kj +1 + ∑ N i , j Pi * j =1 j =1 j =1 j =1 J J J +∑ E P k i , j i +1, j + ∑ E P − ∑ Fi , j = 0 * i , j i +1 j =1 j =1 j =1 © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  62. 62. L-SORC o WATTS SOR J J J J ∑ − Wi. j Pi *1 + ∑ Si. j Pi * + ∑ Ci , j Pi * + ∑ N i , j Pi * j =1 j =1 j =1 j =1 J J + ∑ Ei , j Pi *1 = −∑ ri kj + , j =1 j =1 © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  63. 63. L-SORC o WATTS SOR ⎛ J ⎞ * ⎛ J J J ⎞ * ⎜ ∑ Wi. j ⎟ Pi −1 + ⎜ ∑ Si. j + ∑ Ci , j + ∑ N i , j ⎟ Pi ⎝ j =1 ⎠ ⎝ j =1 j =1 j =1 ⎠ ⎛ J ⎞ * J + ⎜ ∑ Ei , j ⎟ Pi +1 = −∑ ri , j k ⎝ j =1 ⎠ j =1 © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  64. 64. L-SORC o WATTS SOR • Se aplica el método LSOR. • Se calcula Pi * resolviendo el sistema tridiagonal. • Se obtienen los valores corregidos. • Se evalúa el criterio de convergencia. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  65. 65. Bibliografía [1] SIERRA, Luis E. y SANTAFE, Elkin R. Simulación Numérica de Yacimientos. Curso Pregrado II Semestre 2006. Universidad Industrial de Santander. Bucaramanga-Colombia. [2] SEPÚLVEDA, Jairo A. Simulación Numérica de Yacimientos. Apuntes de Curso Pregrado. Universidad Surcolombiana. Marzo de 2002. Colombia. [3] OSORIO, Gildardo. Notas de simulación numérica de yacimientos. Universidad Nacional (Sede Medellín). [4] AZIZ, Khalid y SETTARI, Antonín. Petroleum reservoir simulation. Elsevier Appliedd Science Publishers. Londres y New York, 1979. [5] H.B. Crichlow. Modern reservoir engineering – a simulation APPROACH. Prentice Hall, 1977. © Elkin Santafé ● 2008 ● Simulación Numérica de Yacimientos Santafé Simulació Numé CAP. III: Técnicas Numéricas Numé
  66. 66. Atribución No Comercial 2.5 Colombia Usted es libre de: • Copiar, distribuir, exhibir y ejecutar la obra. • Hacer obras derivadas. Bajo las siguientes condiciones: Atribución. Usted debe atribuir la obra en la forma especificada por el autor o licenciante. No comercial. Usted no puede usar esta obra con fines comerciales. Sus usos legítimos u otros derechos no son afectados de ninguna manera por lo dispuesto precedentemente.
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