10.funciones elementales

Unidad 10. Funciones elementales
1
Página 245
REFLEXIONA Y RESUELVE
■ Asocia a cada una de las siguientes gráficas una ecuación de las de abajo:
X1
1
Y
X1
1
Y
X1
1
YI J K L
X1
1
Y
X1
Y
X1
1
Y
X
1
10
Y
5
(4, 16π)
50
80
X1
1
YA B C
D
5
(4, 16)
(5, 32)
X
2
1
YE
X10
Y
50
50
F
X1
1
YG
X
1
10
Y
40
H
1
FUNCIONES ELEMENTALES10
LINEALES
L1: y = x
3
2
L2: y = – (x – 1) + 5
2
3
L3: 3x + 2y = 0
L4: y = x + 1
3
4
CUADRÁTICAS
C1: y = x2 – 8x + 15
C2: y = (x + 3)(x + 5)
C3: y = x2, x > 0
C4: y = πx2, x > 0
DE PROPORCIONALIDAD
INVERSA
P.I.1: y =
1
x
P.I.2: y =
2
2 – x
P.I.3: y =
2
x
P.I.4: y = , x > 0
6
x
RADICALES R1: y = √2x + 4 R2: y = √x + 4 R3: y = 2√4 – x
EXPONENCIALES E1: y = 2x E2: y = 0,5x E3: y = 20 + 80 · 0,95x

A 8 L4 B 8 R3 C 8 L2 D 8 C4
E 8 P.I.2 F 8 E3 G 8 C1 H 8 E1
I 8 L1 J 8 P.I.4 K 8 P.I.3 L 8 R2
■ Cada uno de los siguientes enunciados corresponde a una gráfica de las de arri-
ba. Identifícala.
1. Superficie (cm2) de un círculo. Radio en centímetros.
2. Aumento de una lupa. Distancia al objeto, en centímetros.
3. Temperatura de un cazo de agua que se deja enfriar desde 100 °C. Tiempo en
minutos.
4. Número de amebas que se duplican cada hora. Se empieza con una.
5. Longitud de un muelle (dm). Mide 1 dm y se alarga 75 mm por cada kilo que
se le cuelga.
6. Dimensiones (largo y ancho, en centímetros) de rectángulos cuya superficie
es 6 cm2.
1. D 2. E 3. F 4. H 5. A 6. J
Página 248
1. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) y = b)y = c) y =
d)y = e) y = f) y =
g) y = x3 – 2x + 3 h)y = i) y =
j) y = k)El área de un cuadrado de lado variable, l, es A = l2.
a) Á b) [1, +@) c) (–@. 1]
d) [–2, 2] e) (–@, –2] « [2, +@) f) (–@, –1) « (1, +@)
g) Á h) Á – {0} i) Á – {0}
j) Á – {–2, 2} k) l > 0
Página 249
1. Representa esta función: f (x) =
x + 1, x é[–3, 0)
x2 – 2x + 1, x é[0, 3]
4, x é(3, 7)
°
§
¢
§
£
1
x2 – 4
1
x2
1
x
1
√x2 – 1
√x2 – 4√4 – x2
√1 – x√x – 1√x2 + 1
2

2. Haz la representación gráfica de la siguiente función:
g(x) =
Página 250
1. Representa las siguientes funciones relacionadas con la función parte entera:
a) y = Ent (x) + 2 b)y = Ent (x + 0,5)
c) y = Ent d)y = Ent (3x)
a) y = Ent (x) + 2 b) y = Ent (x + 0,5)
c) y = Ent d) y = Ent (3x)
2
2
1–1–2
4
–4
–2
Y
X
8
4
4
–4–8
8
–8
–4
Y
X
)x
4(
4
2
2
–2–4
4
–4
–2
Y
X4
2
2
–2–4
4
–4
–2
Y
X
)x
4(
4
2
2–2–4–6
–4
–2
Y
X
2x + 1, x < 1
x2 – 1, x Ó 1
°
¢
£
4
2
2 6–2–4
–4
–2
Y
X
3
10UNIDAD

2. Representa:
a) y = Mant (x) – 0,5 b) y = |Mant (x) – 0,5| c) y = 0,5 – |Mant (x) – 0,5|
Comprueba que esta última significa la distancia de cada número al entero
más próximo. Su gráfica tiene forma de sierra.
a) y = Mant (x) – 0,5 b) y = |Mant (x) – 0,5|
c) y = 0,5 – |Mant (x) – 0,5|
Página 251
1. Representa: y = |–x2 + 4x + 5|
2. Representa gráficamente: y =
ß – 3ß
4
2
4
Y
X
2 6 8 10
6
x
2
4
2
4
2 6–2
6
8
Y
X
X
Y
1–1–2–3
1
2 3
X
Y
1–1–2–3
1
2 3
X
Y
1–1–2–3
1
–1
2 3
4

1. Representa y = x2. A partir de ella, representa:
a) y = x2 + 5
b) y = x2 – 2
2. Teniendo en cuenta el ejercicio anterior, representa:
a) y = – x2
b) y = – x2 + 2
a) b)
–2 2
2
–2
4–4
–4
–6
X
Y
–2 2
2
–2
4–4
–4
–6
–8
X
Y
1
4
1
4
–2 2
2
4
4–4
–2 2
2
4
6
4–4
8
10
y = — x21
4
a) b)
–2 2
2
–2
4
6
4–4
–4
Y
X
Y Y
X
X
1
4
1
4
1
4
5
10UNIDAD

3. Representa y = x2. A partir de ella, representa:
a) y = b)y = – c) y = – + 8
4. Representa y = 1/x. A partir de ella, representa:
a) y = b)y = – c) y = – – 3
X
Y
1
1
a)
c)b)
X
Y
1
1
X
Y
1
1
X
Y
1
1
1
y = —
x
2
x
2
x
2
x
X
Y
2 4
y = x2
–2–4
2
4
6
8
X
Y
2 4–2–4
2
4
6
8
a)
X
Y
2 4–2–4
2
4
6
8
c)
X
Y
4–4
–8
–6
–4
–2
b)
2–2
x2
3
x2
3
x2
3
6

5. Representa y = – . A partir de esta gráfica, representa estas otras:
a) y = b)y =
6. Representa y = –3 . A partir de esta gráfica, representa estas otras:
a) y = –3 b)y = –3
c) y = –3 d)y = –3
a)
b)
–1–4–5
X
Y
4
–9
–6
–3
1 9
X
Y
4 5
–9
–6
–3
1 8 13
d)
X
Y
4
–9
–6
–3
–4 –1–7
X
1 2
c)
–1–4–5–9 X
Y
–9
–6
–3
Y
–9
–6
–3
y = –3√
—
x
√–(x – 2)√–x
√x – 4√x + 5
√x
a)
X
Y
–8
–8
–6
–4
–2
b)
–6 –4 –2
X
Y
4–4
–8
–6
–4
–2
2–2
x2
y = –—
2
X
Y
8
–8
–6
–4
–2
642
–(x + 4)2
2
–(x – 8)2
2
x2
2
7
10UNIDAD

7. Si y = f (x) pasa por (3, 8), di un punto de:
y = f (x) – 6, y = f (x + 4), y = f (x), y = 2f (x),
y = –f (x), y = f (–x), y = –2f (–x) + 3
y = f(x) – 6 8 (3, 2) y = f(x + 4) 8 (–1, 8) y = f(x) 8 (3, 4)
y = 2f(x) 8 (3, 16) y = –f(x) 8 (3, –8) y = f(–x) 8 (–3, 8)
y = –2f(–x) + 3 8 (–3, –13)
8. Representa:
a) y = – – 3
b)y = 3
a) y = – – 3
Representamos y = 8 y = 8 y = – 8 y = – – 3
X
Y
1 2 4
1
2
–2
–1
–4
4 4
y = —
x
4
y = – —
x + 8
4
y = —
x + 8
4
y = –— – 3
x + 8
–2–4
X–6–9 –4
Y
1
2
–2
–4
–1
4
–10 –7–12
X
–6–9 –4
Y
1
2
–2
–4
–1
4
–10 –7–12
Y
–2
–1
–5
–7
–4
1
X–6 –4
–10 –7–12
–9
4
x + 8
4
x + 8
4
x + 8
4
x
4
x + 8
√–x + 10
4
x + 8
1
2
1
2
8

b) y = 3
Representamos y = 3 8 y = 3 8 y = 3
Página 256
1. Si f (x) = x2 – 5x + 3 y g (x) = x2, obtén las expresiones de f [ g(x)] y
g [ f (x)]. Halla f [ g(4)] y g [ f (4)].
f [g(x)] = f [x2] = x4 – 5x2 + 3
g [f (x)] = g [x2 – 5x + 3] = (x2 – 5x + 3)2
f [g(4)] = 179; g [f (4)] = 1
2. Si f (x) = sen x, g (x) = x2 + 5, halla f ° g, g ° f, f ° f y g ° g. Halla el valor de
estas funciones en x = 0 y x = 2.
f ° g (x) = sen (x2 + 5); f ° g(0) = –0,96; f ° g(2) = 0,41
g ° f (x) = sen2 x + 5; g ° f (0) = 5; g ° f (2) = 5,83
f ° f (x) = sen (sen x); f ° f (0) = 0; f ° f (2) = 0,79
g ° g (x) = (x2 + 5)2 + 5; g ° g (0) = 30; g ° g (2) = 86
X
Y
1 94
3
6
9
y = 3√
—
x
y = 3√
—
–x
y = 3√
—
–x + 10
X
Y
1 9 106
3
6
9
X
Y
–9 –1–4
3
6
9
√–(x – 10)√–x√x
√–x + 10
9
10UNIDAD

1. Representa y = 2x, y = x/2 y comprueba que son inversas.
2. Comprueba que hay que descomponer y = x2 – 1 en dos ramas para hallar sus
inversas respecto de la recta y = x. Averigua cuáles son.
a) y = x2 – 1 si x ≥ 0 b) y = x2 – 1 si x < 0
y–1 = y–1 = –
3. Si f (x) = x + 1 y g(x) = x – 1, comprueba que f [g (x)] = x. ¿Son f (x) y g (x)
funciones inversas? Comprueba que el punto (a, a + 1) está en la gráfica de f y
que el punto (a + 1, a) está en la gráfica de g. Representa las dos funciones y
observa su simetría respecto de la recta y = x.
f [g(x)] = f (x – 1) = (x – 1) + 1 = x
Son funciones inversas.
y = x + 1
y = x – 1
Y
X
y = x2 – 1
y = √x + 1
y = x
y = x
Y
X
y = x2 – 1
y = –√x + 1
Y
X
√x + 1√x + 1
y = 2x
y = x
y = x/2
Y
X
10

1. La masa de madera de un bosque aumenta en un 40% cada 100 años. Si toma-
mos como unidad de masa vegetal (biomasa) la que había en el año 1800, que
consideramos instante inicial, y como unidad de tiempo 100 años, la función
M = 1,4t nos da la cantidad de masa vegetal, M, en un instante cualquiera, t
expresado en siglos a partir de 1800 (razona por qué).
a) Averigua cuándo habrá una masa de madera triple que en 1800 (1,4t = 3) y
cuándo había la tercera parte. Observa que los dos periodos de tiempo son
iguales.
b)Calcula la cantidad de madera que habrá, o había, en 1900, 1990, 2000, 1600
y 1550.
M = 1,4t
a) • Buscamos el valor de t para el cual 1,4t = 3:
1,4t = 3 8 ln (1,4)t = ln (3) 8 t ln (1,4) = ln (3) 8 t = ≈ 3,27
Cuando pasen 3,27 · 100 = 327 años, se habrá triplicado la masa de madera. Esto
es, en el año 1800 + 327 = 2127.
• Buscamos el valor de t para el cual 1,4t = = 3–1:
1,4t = 3–1 8 ln (1,4)t = ln (3)–1 8 t ln (1,4) = –ln (3) 8 t = – ≈ –3,27
Hace 3,27 · 100 = 327 años, había la tercera parte de masa de madera. Esto es, en
el año 1800 – 327 = 1473.
b) 1900 8 t = 1 8 M = 1,41 = 1,4
1990 8 t = = 1,9 8 M = 1,41,9 ≈ 1,90
2000 8 t = = 2 8 M = 1,42 = 1,96
1600 8 t = = –2 8 M = 1,4–2 ≈ 0,51
1550 8 t = = –2,5 8 M = 1,4–2,5 ≈ 0,43
1550 – 1800
100
1600 – 1800
100
2000 – 1800
100
1990 – 1800
100
ln 3
ln 1,4
1
3
ln 3
ln 1,4
11
10UNIDAD

2. Comprueba que, en el ejemplo anterior referente a la desintegración de una
cierta sustancia radiactiva, M = m · 0,76t (t expresado en miles de años), el
periodo de semidesintegración (tiempo que tarda en reducirse a la mitad la
sustancia radiactiva) es de, aproximadamente, 2 500 años.
Para ello, comprueba que una cantidad inicial cualquiera se reduce a la mitad
(aproximadamente) al cabo de 2 500 años (t = 2,5).
M = m · 0,76t
La cantidad inicial se ha reducido (aproximadamente) a la mitad en 2500 años.
°
§
¢
§
£
Si t = 0 8 M = m · 0,760 = m
m
Si t = 0,25 8 M = m · 0,762,5 ≈ m · 0,5 = —
2
12

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Dominio de definición
1 Halla el dominio de definición de estas funciones:
a) y = b) y = c) y =
d) y = e) y = f) y =
a) Á – {–1, 0} b) Á – {2} c) Á – {–1/2}
d) Á e) Á – {0, 5} f) Á – {– , }
a) y =
b) y =
c) y =
d) y =
a) (–@, 3]
b) [1/2, +@)
c) (–@, –2]
d) (–@, 0]
a) y = b) y =
c) y = d) y =
e) y = f ) y =
a) x2 – 9 Ó 0 8 (x + 3) (x – 3) Ó 0 8 Dominio = (+@, –3] « [3, +@)
b) x2 + 3x + 4 Ó 0 8 Dominio = Á
c) 12x – 2x2 Ó 0 8 2x (6 – x) Ó 0 8 Dominio = [0, 6]
d) x2 – 4x – 5 Ó 0 8 (x + 1) (x – 5) Ó 0 8 Dominio = (–@, –1] « [5, +@)
e) 4 – x > 0 8 4 > x 8 Dominio = (–@, 4)
f) x2 – 3x > 0 8 x (x – 3) > 0 8 Dominio = (–@, 0) « (3, +@)
1
√x2 – 3x
1
√4 – x
√x2 – 4x – 5√12x – 2x2
√x2 + 3x + 4√x2 – 9
√–3x
√–x – 2
√2x – 1
√3 – x
√2√2
1
x2 – 2
2
5x – x2
1
x2 + 2x + 3
x – 1
2x + 1
x
(x – 2)2
3
x2 + x
PARA PRACTICAR
13
10UNIDAD

4 Observando la gráfica de estas
funciones, indica cuál es su domi-
nio de definición y su recorrido:
Los dominios son, por orden: [–2, 2]; (–@, 2) « (2, +@) y [–1, +@).
Los recorridos son, por orden: [0, 2], (0, +@) y [0, +@).
5 De un cuadrado de 4 cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rec-
tángulos isósceles cuyos lados iguales miden x.
a) Escribe el área del octógono que resulta en función
de x.
b) ¿Cuál es el dominio de esa función? ¿Y su recorrido?
a) A (x) = 16 – 2x2
b) Dominio: (0, 2). Recorrido: (8, 16)
6 Una empresa fabrica envases con forma de prisma de dimensiones x, x/2
y 2x cm.
a) Escribe la función que da el volumen del envase en función de x.
b) Halla su dominio sabiendo que el envase más grande tiene 1 l de volu-
men. ¿Cuál es su recorrido?
a) V (x) = x3
b) Dominio: (0, 10). Recorrido: (0, 1000)
Gráfica y expresión analítica
7 Asocia a cada una de las gráficas su expresión analítica.
a) y = 1,5x
b) y = x2 – 2
c) y = –0,25x2
d) y =
a) III
b) II
c) I
d) IV
III
2
4
6
–2
2 4–4 –2
–2
–4
–6
I
2–2
1
II
2–2
2
4
2
–2
IV
–4
62 4
1
x – 4
4
x
x
2 2 2–2 –1
14

8 Asocia a cada gráfica la expresión analítica que le corresponda entre las si-
guientes:
a) y =
b) y = 0,75x
c) y = log2 x
d) y = –
a) II
b) III
c) IV
d) I
Página 268
Representación de funciones elementales
9 Representa las siguientes parábolas hallando el vértice, los puntos de corte
con los ejes de coordenadas y algún punto próximo al vértice:
a) y = x2 + 2x + 1 b) y = + 3x + 1
c) y = –x2 + 3x – 5 d) y = + 3x + 6
a)
Vértice: (–1, 0)
Cortes con los ejes: (–1, 0), (0, 1)
b)
Vértice: –3, –
Cortes con los ejes: (0, 1); (–3 – ; 0); (–3 + ; 0)
2
2–4 –2
–4
–6
–2
Y
X
√7√7
)3
2(
2
2 4–4 –2
4
Y
X
x2
3
x2
2
I
2
4
–2
–4
–4–6 –2
III
2
4
6
–2
2 4–4 –2
II
2
4
–2
–4
2 4 6–2
IV
2
4
–2
–4
2 4 6–2
√–x
√x + 2
15
10UNIDAD

c)
Vértice: , .
Cortes con los ejes: (–5, 0)
d)
Vértice: – , .
Cortes con los ejes: (0, 6); (–6, 0); (–3, 0)
10 Representa las siguientes funciones en el intervalo indicado:
a) y = 2x2 – 4, [0, 2] b) y = – , x Ó –1
a) y = 2x2 – 4, [0, 2] b) y = – , x Ó –1
11 Representa gráficamente las siguientes funciones:
a) y = b) y =
b)a)
2
2 4
–4
–2
–4 –2
2 4
–4
–2
–6
–4 –2
Y Y
X
X
–2x – 1 si x < 1
(3x – 15)/2 si x Ó 1
°
¢
£
–2 si x < 0
x – 2 si 0 Ì x < 4
2 si x Ó 4
°
§
¢
§
£
X
Y
2–1
X
Y
2
2
4
–2
–4
3x2
2
3x2
2
2
4
6
–4–6–8 –2
Y
X
)–3
4
9
2(
2 4–4 –2
–4
–6
–2
Y
X
)–11
4
3
2(
16

12 Representa:
a) y = b) y =
13 Representa las siguientes funciones:
a) y = b) y = c) y = d) y =
a) y = b) y = –
c) y = 2 + d) y = 1 –
a) b)
2
4
2 4
6
6 8
–2
–6
–4
2 4
–2
6
√x√x
√x + 3√x – 1
a)
2
4
2 4
–4
–2
–2–4
b)
2
4
2 4
–4
–2
–2–4
c)
2
2 4
d)
–4
–2
–2–4
4
2
4
2
–4
–2
–2–4
–1
x – 3
–1
x
1
x – 1
1
x + 1
a) b)
2
2 4
–2
–4 –2
2 4
–4
–2
–4 –2
Y
X
Y
X
(2x + 2)/3 si x < 2
–2x + 6 si x Ó 2
°
¢
£
(x/2) + 2 si x Ì 2
x – (3/2) si x > 2
°
¢
£
17
10UNIDAD

15 Haz una tabla de valores de la función y = 3x. A partir de ella, representa
su función inversa y = log3 x.
16 Representa gráficamente las siguientes funciones:
a) y = 0,6x
b) y = 1,2x
a)
1
2
2
y = 0,6
x
Y
X–2
3
4
1 3 4–1–3–4
x –3
y 4,63
–2
2,78
–1
1,67
0
1
1
0,6
2 3
0,36 0,22
2
4
2
(1, 0)
(0, 1)
y = 3x
y = log3 x
Y
X–4 –2
–2
6
8
4
x 1/9
log3x –2
1/3
–1
1
0
3
1
9
2
x –2
3x 1/9
–1
1/3
0
1
1
3
2
9
c) d)
2
4
2 4
6
6 8
–2
–6
–4
2 4
–2
6
18

b)
Composición y función inversa
17 Considera las funciones f y g definidas por las expresiones f (x) = x2 + 1
y g(x) = . Calcula:
a) ( f ° g) (2) b) ( g ° f ) (–3)
c) ( g ° g) (x) d) ( f ° g) (x)
a) b) c) g (g(x)) = x d) f (g(x)) =
18 Dadas las funciones f (x) = cos x y g(x) = , halla:
a) ( f ° g) (x)
b) ( g ° f ) (x)
c) ( g ° g) (x)
a) f [g(x)] = cos
b) g[ f (x)] =
c) g[g(x)] =
19 Halla la función inversa de estas funciones:
a) y = 3x
b) y = x + 7
c) y = 3x – 2
a) x = 3y 8 y = 8 f –1(x) =
b) x = y + 7 8 y = x – 7 8 f –1(x) = x – 7
c) x = 3y – 2 8 y = 8 f –1(x) =
x + 2
3
x + 2
3
x
3
x
3
4
√x
√cos x
√x
√x
1 + x2
x2
1
10
5
4
1
x
1
2
2
f(x) = 1,2
x
Y
X
–2
3
1 3–1–3
19
10UNIDAD

20 Representa la gráfica de y = log1/3 x a partir de la gráfica de y =
x
.
21 Compruebaquelasgráficasde y=3x e y=
x
son simétricas respecto al eje OY.
Transformaciones en una función
22 Representa f (x) = 4 – x2 y, a partir de ella, representa:
a) g(x) = f (x) – 3 b) h(x) = f (x + 2)
2
f (x) = 4 – x2
2 4
4
–4
–2
–4 –2
2
4
4
Y
X
6
8
2–2–4
(0, 1)
y = 3xy = (—)
x
1
3
)1
3(
y = log1/3
x
1
2
2
y = (—)
x
1
3
Y
X
–1
3
4
1 3 4 5–1–2
)1
3(
20

23 Esta es la gráfica de la función y = f (x):
Representa, a partir de ella, las funciones:
a) y = f (x – 1) b) y = f (x) + 2
24 A partir de la gráfica de f (x) = 1/x, representa:
a) g(x) = f (x) – 2 b) h(x) = f (x – 3)
c) i(x) = –f (x) d) j(x) = |f (x)|
X
Y
2 4
a) Y
–1
–1
–2
1
f (x) = —
x
g (x) = f(x) – 2
X2–1
b)
2
2
4
–4 –2
Y
X
a)
4
2
2
4
–4 –2
Y
X
2
2
Y
X
a)
2
2
4
–4
–2
–6
–4 –2
b)
2
2
4
–4
–2
–4 –2
Y Y
X
X
21
10UNIDAD

25 Representa la función f (x) = y dibuja a partir de ella:
a) g(x) = f (x + 1) b) h(x) = f (x) – 3
Y
g (x) = √
—
x + 1
f (x) = √
—
x
h(x) = √
—
x – 3
X
1 2 3 4
b)
a)
1
2
Y
X
1 2 3 4
–2
–3
–1
X
–1 1 2 3
1
2
√x
b) Y
h(x) = f (x – 3)
j(x) = |f(x)|
X2 4
d)
X2 3 41–1–2–3
c) Y
1
22
–1–1
i(x) = –f (x)
X1–1
22

26 Representa las funciones:
a) y = 2x + 1
b) y = 2x – 3
☛ Utiliza la gráfica de y = 2 x.
a) y = 2x – 1
b) y =
x + 3
c) y = 1 – 2x
d) y = 2–x
(0, —)1
8
b)
1
2
4
Y
X
3
4
62–2–4
(0, —)1
2 2
4
4
Y
X
6
8
10
12
14
16
2–2–4
a)
)1
2(
b)a)
y = 1
y = 2x
y = 2x
+ 1
2
4
4
Y
X
6
8
10
62–2–4
–2
y = –3
y = 2x
y = 2x
– 3
Y
2
4
4
X
6
8
10
62–2–4
–2
23
10UNIDAD

28 Representa estas funciones a partir de la gráfica de y = log2 x:
a) y = 1 + log2 x
b) y = log2 (x – 1)
c) y = –log2 x
d) y = log2 (–x)
a) y = 1 + log2 x
b) y = log2 (x – 1)
2
Y
X
–2
–4
3 4 5 61 2
x = 1 y = log2
x
y = log2 (x – 1)
(—, 0)1
2
y = 1 + log2
x
y = log2
x
1
2
Y
X
1
2
3
4
2
3
3 4 5 61
4
Y
X
6
8
10
12
14
2–2–4 4
2
c) d)
y = 1
4
Y
X
–5
–6
–4
–3
–2
–1
1
2–2–4
(0, 1)
24

c) y = –log2 x
d) y = log2 (–x)
29 La expresión analítica de esta función es del tipo y = + b.
Observa la gráfica y di el valor de a y b.
a = 2
b = 1
Valor absoluto de una función
30 Representa la función y = |x – 5| y comprueba que su expresión analítica
en intervalos es:
y =
2
4
2 4 6
6
8 10 12
–x + 5 si x < 5
x – 5 si x Ó 5
°
¢
£
2
–2
4
2 4 X
Y
1
x – a
2
Y
X
3 4 5 61 2
x = 1
y = log2
xy = log2
(–x)
–1–2–3–4–5–6
–4
–2
y = –log2
x
y = log2
x
1
2
Y
X
1
2
3
4
2
3
3 4 5 61
25
10UNIDAD

31 Representa las siguientes funciones y defínelas por intervalos:
a) y = |4 – x| b) y = |x – 3|
a) y =
b) y =
32 Representa y define como funciones “a trozos”:
a) y = | | b) y = |3x + 6|
c) y = | | d) y = |–x – 1|
a)
y =
– si x < 3 b) y =
si x Ó 3
c)
y =
si x < d) y =
si x Ó
2
4
2
6
–2–4–6
2
4
2
6
4–2–4
1
2
2x – 1
3
–x – 1 si x < –1
x + 1 si x Ó –1
°
¢
£
1
2
–2x + 1
3
2
4
2 4
6
6–2–4
2
4
2
6
–2–4–6
x – 3
2
–3x – 6 si x < –2
3x + 6 si x Ó –2
°
¢
£
x – 3
2
2x – 1
3
x – 3
2
2
4
2 4 6
6
8 10 12
–x + 3 si x < 3
x – 3 si x Ó 3
°
¢
£
2
4
2 4 6
6
8 10 12
4 – x si x < 4
–4 + x si x Ó 4
°
¢
£
26
°
§
§
¢
§
§
£
°
§
§
¢
§
§
£

33 Representa la función:
y =
¿Puedes definirla como valor absoluto?
Sí.
y = –|2x – 4|
34 Representa estas funciones:
a) y = |x2 – 1|
b) y = |x2 – 4x|
c) y = |x2 + 2x – 3|
d) y = |x2 – 2x + 1|
☛ Mira el ejercicio resuelto número 5.
a)
X
1
Y
2 3–1–2–3
1
2
3
4
b)
X
1 2 3 4
Y
5–1
2
1
3
4
c)
X
1
Y
2–1–2–3–4
1
2
3
4
d)
X
1 2 3 4
Y
5–1
2
1
3
4
–4
2 4 6
–2
8 10 12
2x – 4 si x < 2
–2x + 4 si x Ó 2
°
¢
£
27
10UNIDAD

35 Dibuja la gráfica de las siguientes funciones:
a) y = b) y =
c) y =
36 Utilizando la relación = cociente + podemos escribir la
función y = de esta forma: y = 2 + .
Comprueba que su gráfica coincide con la de y = 1/x trasladada 1 unidad
hacia la izquierda y 2 hacia arriba.
y = y = 2 +
1
1
2
–3
–2
–1
2 3–2 –1–3–4
Y
X 1
1
2
3
4
–1
2–2 –1–3–4–5
Y
X
1
x + 1
1
x
1
x + 1
2x + 3
x + 1
resto
divisor
dividendo
divisor
a) b)
c)
2
4
2 4
–2
–4 –2
2
2 4
–2
–4
–4 –2
YY
X
X
2
2 4
–2
–4 –2
Y
X
–x – 1 si x Ì –1
2x2 – 2 si –1 < x < 1
x – 1 si x Ó 1
°
§
¢
§
£
–x2 – 4x – 2 si x < –1
x2 si x Ó –1
°
¢
£
x2 – 2x si x Ì 2
3 si x > 2
°
¢
£
PARA RESOLVER
28

37 Representa las siguientes funciones utilizando el procedimiento del problema
anterior.
a) y =
b) y =
c) y =
d) y =
a) y = = 3 + b) y = = 1 +
c) y = = 3 + d) y = = 1 +
2
–2
–2
–4
–6
4
6
–4–6 2 4 6
Y
X
2
2
–2
–4
4
6
8
–2–4–6 4 6
Y
X
2
x – 1
x + 1
x – 1
–1
x + 1
3x + 2
x + 1
3
1
Y
X
2
2
–2
–4
–6
4
6
8
–2–4 4 6 8 10
Y
X
2
x – 4
x – 2
x – 4
3
x – 1
3x
x – 1
x + 1
x – 1
3x + 2
x + 1
x – 2
x – 4
3x
x – 1
29
10UNIDAD

38 Con las funciones:
f (x) = x – 5 g(x) = h(x) =
hemos obtenido, por composición, estas otras:
p (x) = ; q(x) = – 5; r(x) =
Explica cómo, a partir de f, g y h, se pueden obtener p, q y r.
p = g ° f q = f ° g r = h ° g
39 La gráfica de una función exponencial del tipo y = k ax pasa por los pun-
tos (0; 0,5) y (1; 1,7).
a) Calcula k y a.
b) Representa la función.
a) 8
La función es y = 0,5 · (3,4)x
b)
40 Halla la función inversa de las siguientes funciones:
a) y = 3 · 2x – 1
b) y = 1 + 3x
a) x = 3 · 2y – 1; = 2y – 1; log2 = y – 1
y = 1 + log2 8 f –1 (x) = 1 + log2
b) x = 1 + 3y
; x – 1 = 3y
; log3 (x – 1) = y 8 f –1 (x) = log3 (x – 1)
x
3
x
3
x
3
x
3
2
4
42–4 –2
k = 0,5
a = 3,4
0,5 = k
1,7 = k · a
°
¢
£
0,5 = k · a0
1,7 = k · a 1
1
√x + 2
√x√x – 5
1
x + 2
√x
30

41 Busca la expresión analítica de estas funciones:
a) f (x) = b) f (x) =
42 Utiliza la calculadora en radianes para obtener el valor de y en cada una de
estas expresiones:
a) y = arc sen 0,8 b) y = arc sen (–0,9)
c) y = arc cos 0,36 d) y = arc cos (–0,75)
e) y = arc tg 3,5 f ) y = arc tg (–7)
a) 0,93 rad 8 53° 7' 48" b) –1,12 rad 8 –64° 9' 29"
c) 1,20 rad 8 68° 53' 59" d) 2,42 rad 8 138° 35' 25"
e) 1,29 rad 8 74° 3' 17" f) –1,43 rad 8 –81° 52' 11"
43 Obtén el valor de estas expresiones en grados, sin usar la calculadora:
a) y = arc sen b) y = arc cos c) y = arc tg 1
d) y = arc sen (–1) e) y = arc cos – f ) y = arc tg
a) 60° b) 60° c) 45°
d) –90° e) 120° f) 60°
44 La factura del gas de una familia, en septiembre, ha sido de 24,82 euros por
12 m3, y en octubre, de 43,81 por 42 m3.
a) Escribe la función que da el importe de la factura según los m3 consumi-
dos y represéntala.
b) ¿Cuánto pagarán si consumen 28 m3?
a) y = 24,82 + 0,633(x – 12)
y (28) = 34,94 euros
√3)1
2(
1
2
√3
2
x2 si x Ì 2
4 si x > 2
°
¢
£
–x – 1 si x Ì 3
2 si x > 3
°
¢
£
a)
–4 –2
–2
2
4
6
–4
2 4 6
b)
–4 –2
–2
2
4
6
2 4 6
31
10UNIDAD

b) y = 24,82 + 0,633(x – 12) = 0,633x + 17,22
45 Midiendo la temperatura a diferentes alturas, se ha observado que por cada
180 m de ascenso el termómetro baja 1°C. Si en la base de una montaña de
800 m estamos a 10 °C, ¿cuál será la temperatura en la cima? Representa grá-
ficamente la función altura-temperatura y busca su expresión analítica.
T (h) = 10 – ; T (800) = 5,56 °C
46 Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio.
La altura que alcanza viene dada por la fórmula h = 80 + 64t – 16t2 (t en se-
gundos y h en metros).
a) Dibuja la gráfica en el intervalo [0, 5].
b) Halla la altura del edificio.
c) ¿En qué instante alcanza su máxima altura?
a) b) 80 metros.
c) 2 segundos.
60
80
100
40
20
1 2 3 4 5 TIEMPO (s)
ALTURA (m)
120
140
6
8
10
4
2
200 400 600 800 1000 ALTURA (m)
TEMPERATURA (°C)
h
180
10
20
10 20
30
40
50
30 40 50
IMPORTE (euros)
CONSUMO (m3)
32

47 La dosis de un medicamento es 0,25 g por cada kilo de peso del paciente, hasta un
máximo de 15 g. Representa la función peso del paciente-cantidad de medica-
mento y halla su expresión analítica.
y = 0,25x hasta un máximo de 15 g: 0,25x = 15 8 x = 60 kg
y =
48 El coste de producción de x unidades de un producto es igual a (1/4)x2 +
+ 35x + 25 euros y el precio de venta de una unidad es 50 – (x/4) euros.
a) Escribe la función que nos da el beneficio total si se venden las x uni-
dades producidas, y represéntala.
b) Halla el número de unidades que deben venderse para que el beneficio
sea máximo.
☛ Los ingresos por la venta de x unidades son x (50 – (x/4)) euros.
a) B (x) = 50x – – ( x2 + 35x + 25)= – + 15x – 25
b) El máximo se alcanza en el vértice de la parábola: x = = 15
Deben venderse 15 unidades.
49 Un fabricante vende mensualmente 100 electrodomésticos a 400 euros cada
uno y sabe que por cada 10 euros de subida venderá 2 electrodomésticos
menos.
a) ¿Cuáles serán los ingresos si sube los precios 50 euros?
b) Escribe la función que relaciona la subida de precio con los ingresos men-
suales.
c) ¿Cuál debe ser la subida para que los ingresos sean máximos?
a) En este caso vendería 90 electrodomésticos a 450 euros cada uno; luego los in-
gresos serían de 450 · 90 = 40 500 euros.
b) I (x) = (400 + 10x) (100 – 2x) = –20x2 + 200x + 40 000
(x = decenas de euros)
c) El máximo se alcanza en el vértice de la parábola:
x = = = 5 8 50 euros
–200
–40
–b
2a
–15
–1
x2
2
1
4
x2
4
DOSIS (g)
PESO (kg)
5
10
20 40
15
60 80 100
0,25x 0 < x < 60
15 x Ó 60
°
¢
£
33
10UNIDAD

50 Elena va a visitar a su amiga Ana y tarda 20 minutos en llegar a su casa, que
está a 1 km de distancia.
Está allí media hora y en el camino de vuelta emplea el mismo tiempo que
en el de ida.
a) Representa la función tiempo-distancia.
b) Busca su expresión analítica.
a)
b) f (x) =
51 Un cultivo de bacterias comienza con 100 células. Media hora después hay
435.
Si ese cultivo sigue un crecimiento exponencial del tipo y = kat
(t en minutos), calcula k y a y representa la función.
¿Cuánto tardará en llegar a 5 000 bacterias?
y = kat
t = 0, y = 100 8 100 = k · a0 8 k = 100
t = 30, y = 435 8 435 = 100 · a30 8 a30 = 4,35 8 a = 4,351/30 8 a ≈ 1,05
La función es y = 100 · 1,05x.
Si y = 5000 8 5000 = 100 · 1,05x
50 = 1,05x 8 x = ≈ 80 min
Tardará 80 minutos, aproximadamente.
10 20 30 40 50
TIEMPO (min)
N.º BACTERIAS
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
log 50
log 1,05
(1/20)x si 0 Ì x Ì 20
1 si 20 < x Ì 50
–1/20(x – 70) si 50 < x Ì 70
°
§
¢
§
£
DISTANCIA A SU CASA (km)
TIEMPO (min)20
1
50 70
34

52 Un negocio en el que invertimos 10 000 €, pierde un 4% mensual. Escribe la
función que nos da el capital que tendremos según los meses transcurridos,
y represéntala. ¿Cuánto tiempo tardará el capital inicial en reducirse a la mi-
tad?
y = 10000 · 0,96x
Si y = 5000 8 5000 = 10000 · 0,96x
0,96x = 0,5 8 x = ≈ 16,98 meses
Tardará 17 meses, aproximadamente.
Página 271
53 Si f (x) = 2x y g(x) = log2 x, ¿cuál es la función ( f ° g) (x)? ¿Y ( g ° f ) (x)?
( f ° g) (x) = (g ° f ) (x) = x
54 Dada la función f (x) = 1 + , halla f –1(x). Representa las dos funciones y
comprueba su simetría respecto de la bisectriz del 1.er cuadrante.
f –1(x) = (x – 1)2, x Ó 1
y = (x – 1)2, x ≥ 1Y
X
y = 1 + √x
y = x
2
4
6
8
2 4 6 8
√x
CUESTIONES TEÓRICAS
log 0,5
log 0,96
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
TIEMPO (meses)
CAPITAL (€)
2000
6000
10000
35
10UNIDAD

55 Dada la función y = ax, contesta:
a) ¿Puede ser negativa la y? ¿Y la x?
b) ¿Para qué valores de a es creciente?
c) ¿Cuál es el punto por el que pasan todas las funciones del tipo y = ax ?
d) ¿Para qué valores de x se verifica 0 < ax < 1 siendo a > 1?
a) La y no puede ser negativa, la x sí.
b) a > 1
c) (0, 1)
d) Para x < 0.
56 Calcula x en las siguientes expresiones:
a) arc sen x = 45° b) arc cos x = 30°
c) arc tg x = –72° d) arc sen x = 75°
e) arc cos x = rad f ) arc tg x = 1,5 rad
a) b) c) –3,078
d) 0,966 e) f) 14,101
57 Una parábola corta al eje de abscisas en x = 1 y en x = 3. La ordenada del
vértice es y = –4. ¿Cuál es la ecuación de esa parábola?
y = k (x – 1) (x – 3) = k (x2 – 4x + 3)
Vértice 8 x = = 2 8 y (2) = –k = –4 8 k = 4
La ecuación es: y = 4(x2 – 4x + 3) = 4x2 – 16x + 12
a) y = b) y =
a) Ó 0 Dominio = (–@, –3] « (2, +@)
x + 3
x – 2
√x – 9
x√x + 3
x – 2
4
2
PARA PROFUNDIZAR
1
2
√3
2
√2
2
π
3
36
x > 2
x Ì –3
°
¢
£
x + 3 Ì 0
x – 2 < 0
°
¢
£
°
¢
£
x + 3 Ó 0
x – 2 > 0
°
¢
£

b) Ó 0 Dominio = (–@, 0) « [9, +@)
59 Representa y expresa en intervalos las funciones:
a) y = 1 – |x| b) y = |x – 1| – |x|
a) y = b) y =
60 Las tarifas de una empresa de transportes son:
• 40 euros por tonelada de carga si esta es menor o igual a 20 t.
• Si la carga es mayor que 20 t, se restará, de los 40 euros, tantos euros como
toneladas sobrepasen las 20.
a) Dibuja la función ingresos de la empresa según la carga que transporte
(carga máxima: 30 t).
b) Obtén la expresión analítica.
a)
b) f (x) =
Es decir:
f (x) = 40x si 0 Ì x Ì 20
60x – x2 si 20 < x Ì 30
°
¢
£
40x si 0 Ì x Ì 20
[40 – (x – 20)]x si 20 < x Ì 30
°
¢
£
10
200
400
600
800
1000
INGRESOS
CARGA (t)
20 30
2
2
–2
4 6–2–4–6
1
–1
1 2 3–1–2–3
1 si x Ì 0
1 – 2x si 0 < x < 1
–1 si x Ó 1
°
§
¢
§
£
1 – x si x Ó 0
1 + x si x < 0
°
¢
£
x – 9
x
37
10UNIDAD
x Ó 9
x < 0
°
¢
£
x – 9 Ì 0
x < 0
°
¢
£
°
¢
£
x – 9 Ó 0
x > 0
°
¢
£

AUTOEVALUACIÓN
1. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) y = b)y =
a) La función está definida para los valores de x tales que x2 – 2x Ó 0.
Resolvemos la inecuación:
Dom = (–@, 0] « [2, +@)
b) Los valores de x que anulan el denominador no pertenecen al dominio de la
función.
x3 – x2 = 0 8 x2(x – 1) = 0
Dom = Á – {0, 1}
2. Representa gráficamente las siguientes funciones:
a) y = |2x + 3| b)y =
a) La recta y = 2x + 3 corta al eje X en x = – . Para valores menores que – ,
cambiamos el signo de la ordenada. Por ejemplo: (–2, –1) 8 (–2, 1).
b) Para valores menores que 1, la gráfica es una parábola de
vértice (0, 4). Para valores mayores que 1, es una recta.
X
Y
1
X
Y
X
Y
y = 2x + 3
1 1
y = ⎪2x + 3⎪
3
2
3
2
–x2 + 4 si x < 1
4 – x si x Ó 1
°
¢
£
x = 0
x = 1
x2 – 2x > 0 x2 – 2x > 0
0 2
2
x3 – x2√x2 – 2x
38

3. Representa y = . A partir de ella, dibuja la gráfica de y = .
–2x + 5 x – 2
2x – 4 –2 8 = –2 +
1
(*) La gráfica de y = es como la de y = trasladada 2 unidades a la dere-
cha y 2 unidades hacia abajo.
4. Ponemos al fuego un cazo con agua a 10 °C. En 5 minutos alcanza 100 °C y se
mantiene así durante media hora, hasta que el agua se evapora totalmente.
a) Representa la función que describe este fenómeno y halla su expresión
analítica.
b)Di cuál es su dominio y su recorrido.
a)
• La gráfica pasa por los puntos (0, 10) y (5, 100).
• Hallamos la ecuación de esta recta:
Pendiente: = 18 8 y = 18(x – 0) + 10
• Para valores de x mayores que 5, la temperatura se mantiene constante 8
8 y = 100
Expresión analítica: f(x) =
b) Dominio: f (x) está definida para valores de x entre 0 y 35, ambos incluidos. Por
tanto, Dom f = [0, 35].
Recorrido de f = [10, 100]
18x + 10 si 0 Ì x < 5
100 si 5 Ì x Ì 35
°
¢
£
25
40302010
50
75
100
TEMPERATURA (°C)
TIEMPO
(min)
100 – 10
5 – 0
1
x
–2x + 5
x – 2
X
Y 1
y = —
x
1
(*)
X
Y
1
1
y = –2 + —
x – 2
1
x – 2
–2x + 5
x – 2
–2x + 5
x – 2
1
x
39
10UNIDAD

5. El precio de venta de un artículo viene dado por la expresión p = 12 – 0,01x
(x = número de artículos fabricados; p = precio, en cientos de euros).
a) Si se fabrican y se venden 500 artículos, ¿cuáles serán los ingresos obteni-
dos?
b)Representa la función n°- de artículos-ingresos.
c) ¿Cuántos artículos se deben fabricar para que los ingresos sean máximos?
a) Si se venden 500 artículos, su precio será:
p(500) = 12 – 0,01 · 500 = 7 cientos de euros 8 Ingresos = 500 · 700 = 350000 €
b)
c) Hallamos el vértice de la parábola:
Deben fabricar 600 artículos para obtener unos ingresos máximos (360000 euros).
6. Depositamos en un banco 5 000 € al 6% anual.
a) Escribe la función que nos dice cómo evoluciona el capital a lo largo del
tiempo. ¿Qué tipo de función es?
b)¿En cuánto tiempo se duplicará el capital?
a) C = 5000 1 +
t
8 C = 5000(1,06)t.
Es una función exponencial creciente, por ser a > 1.
b) 10000 = 5000 · 1,06t 8 2 = 1,06t 8 log 2 = t log 1,06 8 t = = 11,9
Tardará 12 años en duplicarse.
log 2
log 1,06
)6
100(
12
x = — = 600 artículos
–0,02
y = 12 · 600 – 0,01 · 6002 = 3600 cientos de euros
°
§
¢
§
£
1000
2000
3000
4000
100 600
N.º DE
ARTÍCULOS
INGRESOS
1200
I(x) = p · x = 12x – 0,01x2
40

7. Dadas f (x) = y g (x) = , halla:
a) f [g (2)]
b) g [ f (15)]
c) f ° g
d) g ° f
a) f [g(2)] = f = f (–1) = = 0
b) g[f (15)] = g ( ) = g(4) = = 1
c) f ° g(x) = f [g(x)] = f = =
d) g ° f (x) = g[f(x)] = g( ) =
1
√x + 1 – 3
√x + 1
x – 2
√x – 3
1
√— + 1
x – 3)1
x – 3(
1
4 – 3
√15 + 1
√–1 + 1)1
2 – 3(
1
x – 3
√x + 1
41
10UNIDAD

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