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TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014

17 de febrero de 2014

Inecuaciones

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INTERVALOS
def.Se les llama intervalos a ciertos conjuntos que satisfacen ciertas
desigualdades.
Se tienen tres tipos de i...
INTERVALOS
Intervalos cerrados: [a,b], a, b ∈ R. Este tipo de intervalo contiene
todos los n´meros reales comprendidos ent...
INECUACIONES LINEALES
def. Una inecuaci´n en una variable real x es la comparaci´n de dos
o
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SOLUCIONES
El conjunto soluci´n de una inecuaci´n es el conjunto que contiene a
o
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todos los elementos que satisfacen la ...
Resolvamos m´s inecuaciones lineales
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INECUACIONES DE LA FORMA a < b < c
En ocasiones se nos pueden presentar inecuaciones que tengan la forma
a < b < c, donde ...
La segunda manera de abordar estas inecuaciones es sencillamente
separ´ndolas como dos inecuaciones, obtener los conjuntos...
Realicemos m´s ejemplos...
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INECUACIONES CUADRATICAS
Para resolver inecuaciones cuadr´ticas debemos factorizar el polinomio
a
dado con alguno de los...
Ejercicios
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y 2 + 16y − 36 > 0

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x2 − 8x − 9 < 0

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a2 + 6a + 6

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TALLER DE...
INECUACIONES DE GRADO MAYOR A 2
Para resolver este tipo de inecuaciones debemos factorizar el polinomio
dado por medio de ...
Ejercicios:
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2x3 < −2x − x2 − 1

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x4 − 6x2 + 5 < 0

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(2x2 + 1)2 − (x2 − 3)2

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TALLER DE NIVE...
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A¡A practicar!

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  1. 1. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 17 de febrero de 2014 Inecuaciones ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014de febrero de 2014 17 1 / 14
  2. 2. INTERVALOS def.Se les llama intervalos a ciertos conjuntos que satisfacen ciertas desigualdades. Se tienen tres tipos de intervalos: los abiertos, cerrados y semiabiertos. Intervalos abiertos:Son de la forma ]a, b[ donde a, b ∈ R. Este intervalo est´ compuesto por todos los n´meros reales comprendidos a u entre a y b sin contenerlos a ellos. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014de febrero de 2014 17 2 / 14
  3. 3. INTERVALOS Intervalos cerrados: [a,b], a, b ∈ R. Este tipo de intervalo contiene todos los n´meros reales comprendidos entre a y b incluyendo a estos. u Intervalos semicerrados: 1 [a, b[ contiene a todos los n´meros reales que est´n comprendidos u a entre a y b, incluye a a pero no a b. 2 ]a, b] contiene a todos los n´meros reales que est´n comprendidos u a entre a y b, incluye b a pero no a a. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014de febrero de 2014 17 3 / 14
  4. 4. INECUACIONES LINEALES def. Una inecuaci´n en una variable real x es la comparaci´n de dos o o expresiones algebraicas en la variable x por medio de los s´ ımbolos ≤, ≥, <, > Ejemplos: 1 x−4>6 2 2x + 3 ≤ 8 − 9x ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014de febrero de 2014 17 4 / 14
  5. 5. SOLUCIONES El conjunto soluci´n de una inecuaci´n es el conjunto que contiene a o o todos los elementos que satisfacen la desigualdad dada. En el caso de las inecuaciones, el conjunto soluci´n ser´ expresado como un intervalo. o a Tomemos por ejemplo la inecuaci´n x − 4 > 6: o x − 4 > 6 ⇔ x − 4 + 4 > 6 + 4 ⇔ x > 10 El conjunto soluci´n est´ compuesto en este caso por todos los n´meros o a u reales mayores estrictos a 10. ∴ S =]10, +∞[ ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014de febrero de 2014 17 5 / 14
  6. 6. Resolvamos m´s inecuaciones lineales a 1 3x − 5 > 16 2 −2 − 3x 3 5x + 6 < 8 1 1 x+3 x−2 4 5 x + 3 < 5x − 4(x − 2) 4 5 6 7 2 2x(6x − 5) < (3x + 1)(4x − 2) 3x + 5 −3 > 4 ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014de febrero de 2014 17 6 / 14
  7. 7. INECUACIONES DE LA FORMA a < b < c En ocasiones se nos pueden presentar inecuaciones que tengan la forma a < b < c, donde a, b ´ c corresponden a expresiones algebraicas. Hay o dos maneras en las que podemos resolver este tipo de inecuaci´n, o veamos la primera con el siguiente ejemplo: 1 48 < 2x + 5 x 3 48 < 11 x 3 5 240 < 11x 15 15 240 11 < x 11 En este caso tenemos dos intervalos: 240 < x del que obtenemos 11 ] 240 , +∞[ y x 15 del que obtenemos ] − ∞, 15 ]. Haciendo la 11 11 11 intersecci´n de ambos intervalos obtenemos que la soluci´n de la o o inecuaci´n es vac´ o sea S = ∅ o ıa, ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014de febrero de 2014 17 7 / 14
  8. 8. La segunda manera de abordar estas inecuaciones es sencillamente separ´ndolas como dos inecuaciones, obtener los conjuntos soluci´n de a o cada una y luego intersecarlos para obtener un conjunto soluci´n global. o 48 < 2x + 1 x 5 48 < 11 x 5 240 < 11x 240 11 < x 2x + 1 x 3 5 11 x 3 5 11x 15 x 15 11 15 De igual manera obtenemos dos intervalos, ] 240 , +∞[ y ] − ∞, 11 ], al 11 intersecarlos obtenemos que la soluci´n de la inecuaci´n es vac´ o o ıa. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014de febrero de 2014 17 8 / 14
  9. 9. Realicemos m´s ejemplos... a 1 3 < 3x − 5 < 7 2 2 > −3 − 3x 3 5 4 19 > 4 − 3x > 10 5 8 6 11 7 2x − 3 < 13 2−x 6 3x − 5 > 2 ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014de febrero de 2014 17 9 / 14
  10. 10. ´ INECUACIONES CUADRATICAS Para resolver inecuaciones cuadr´ticas debemos factorizar el polinomio a dado con alguno de los m´todos ya conocidos. Lo nuevo que vamos a e encontrar en el proceso es que vamos a necesitar de una tabla de signos para estudiar las soluciones. Ejemplo: x2 − x − 6 ⇔ (x − 3)(x + 2) < 0 Ahora construimos una tabla de signos para estudiar las soluciones: ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 febrero de 2014 17 de 10 / 14
  11. 11. Ejercicios 1 y 2 + 16y − 36 > 0 2 x2 − 8x − 9 < 0 3 a2 + 6a + 6 4 z2 5 (3z − 4)2 < 5 − 24z 40 −144 ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 febrero de 2014 17 de 11 / 14
  12. 12. INECUACIONES DE GRADO MAYOR A 2 Para resolver este tipo de inecuaciones debemos factorizar el polinomio dado por medio de alguno de los m´todos de factorizaci´n ya e o estudiados. Veamos el siguiente ejemplo: x3 + x2 − 2x > 0 ⇔ x(x + 2)(x − 1) > 0 Una vez m´s construimos una tabla de signos para estudiar las a soluciones de la inecuaci´n: o ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 febrero de 2014 17 de 12 / 14
  13. 13. Ejercicios: 1 2x3 < −2x − x2 − 1 2 x4 − 1 3 x4 − 6x2 + 5 < 0 4 (2x2 + 1)2 − (x2 − 3)2 −x4 + 1 80 ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 febrero de 2014 17 de 13 / 14
  14. 14. ˆ A¡A practicar! ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 febrero de 2014 17 de 14 / 14

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