Lunes 17

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Lunes 17

  1. 1. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 16 de febrero de 2014 Ecuaciones
  2. 2. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 ´ ECUACION def. Una igualdad en la cual al menos una de las expresiones es algebraica recibe el nombre de ecuaci´n. o Ejemplo: 3x = 1 9x + 2 = 5 − 3x
  3. 3. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 ´ ECUACION LINEAL Este tipo de ecuaciones son las que contienen una s´la inc´gnita o o de grado 1, se escriben generalmente de la siguiente forma: ax + c = 0; a, c ∈ R
  4. 4. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 ´ ´ SOLUCION DE UNA ECUACION Es el valor ´ valores de la inc´gnita que al ser sustituidos en la o o ecuaci´n la transforman en una igualdad num´rica verdadera. o e Resolvamos el siguiente ejemplo: x − (2x + 1) = 8 − (3x + 3) x − 2x − 1 = 8 − 3x − 3 −x − 1 = 5 − 3x −x − 1 + 3x = 5 − 3x + 3x −1 + 2x = 5 −1 + 1 + 2x = 5 + 1 2x = 6 x= 6 2 x=3
  5. 5. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 ´ CONJUNTO SOLUCION Al conjunto S de todas las soluciones de la ecuaci´n se le llama o conjunto soluci´n. En el ejemplo anterior tenemos que el valor o de x que es soluci´n es 3 o ∴ S = {3}
  6. 6. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 ´ CONJUNTO SOLUCION Podemos verificar f´cilmente que el valor obtenido es, a efectivamente, una soluci´n: o 2(3)=6 6=6 Obtenemos una igualdad num´rica verdadera. Tomemos 5 y e problemos si es soluci´n: o 2(5)=6 ; 10=6 Se obtiene una igualdad falsa, por lo tanto 5 no pertenece a S
  7. 7. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 NOTAS: 1 Las ecuaciones de primer grado con una inc´gnita tienen o una o ninguna soluci´n. o 2 A las soluciones de una ecuaci´n se les llama tambi´n o e ra´ ıces de la ecuaci´n. o
  8. 8. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 Resolvamos m´s ecuaciones lineales a 1 15x − 10 = 6x − (x + 2) + (−x + 3) 2 (5 − 3x) − (−4x + 6) = (8x + 11) − 3x − 6 3 30x − (−x + 6) + (−5 + 4) = 5x + 6 − 8 + 3x 4 −3(2x + 7) + (−5x + 6) − 8(1 − 2x) − (x − 3) = 0 5 (x − 2)2 − (3 − x)2 = 1
  9. 9. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 ´ ECUACIONES CUADRATICAS Unas ni˜as muy precoces, n al cuadrado se elevaron. Y como eran muy audaces por dos se multiplicaron. Que ya eran muchas sintieron y por eso se restaron doce veces lo que fueron. Las que al principio empezaron con esto se contentaron y treinta y dos ahora son. Ahora quiero que me digas sin miedo y sin compasi´n o ˆ A¿Cu´ntas eran al principio a de este juego juguet´n?. o Alejandro Bravo, Margarita Espinosa.
  10. 10. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 ´ ECUACIONES CUADRATICAS def. Una ecuaci´n cuadr´tica o de segundo grado en una o a variable con coeficientes reales es una ecuaci´n que puede o escribirse como: ax2 + bx + c = 0; a, b, c ∈ R, a = 0 Ejemplo: x2 − 6x − 3 = 0 donde a=1 , b=-6 , c=-3
  11. 11. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 ´ ECUACIONES CUADRATICAS Para resolver una ecuaci´n de este tipo requeriremos de los o m´todos de factorizaci´n estudiados previamente, e o principalmente inspecci´n, completar cuadrados ´ la f´rmula o o o general que veremos a continuaci´n: o √ −b ± F´rmula General: o 2a Discriminante: = b2 − 4ac donde : 1 Si > 0, ecuaci´n tiene dos soluciones reales. o 2 Si = 0, ecuaci´n tiene una soluci´n real. o o 3 Si < 0, ecuaci´n no tiene soluciones reales. o
  12. 12. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 Resolvamos las siguientes ecuaciones: 1 x2 − x − 6 = 0 2 x2 + 7x = 18 3 2x2 = 2x − 4 5 6 1 2 5(x2 + 1) = 8x √ 3t2 − 15t + 2 = 0 √ 3x2 + 3 2x = 4
  13. 13. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 ECUACIONES DE GRADO MAYOR A 2 Para hallar las soluciones de este tipo de ecuaciones podemos utilizar los siguientes m´todos de factorizaci´n principalmente: e o factor com´n, agrupamiento y divisi´n sint´tica. Ve´mos el u o e a siguiente ejemplo: x3 − 7x + 6 = 0
  14. 14. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 Resolvamos m´s ejemplos: a 1 x4 − 10x2 + 9 = 0 2 x2 (3x2 + 2) = 4(x2 − 3) + 13 3 x6 = x3 + 12 4 x5 + 2x4 − 10x3 − 20x2 + 9x + 18 = 0
  15. 15. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 ECUACIONES RACIONALES En este tipo de ecuaciones encontramos expresiones algebraicas racionales, utilicemos el siguiente ejemplo para comprender como se resuelven: x−1 x−2 x + =1+ 2 4 3 4(x − 1) + 2(x − 2) 3+x = 8 3 6x − 8 3+x = 8 3 3(6x − 8) = 8(3 + x) 18x − 24 = 24 + 8x 10x = 48 24 x= 5 24 S= 5
  16. 16. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 SISTEMAS DE ECUACIONES Un sistemas de ecuaciones lineales en las inc´gnitas x, y o o sistema 2X2 es una expresi´n de la forma: ´ o ax − by = e cx − dy = f donde a, b, c, d, e, f ∈ R. Una soluci´n del sistema es una par ordenado (x0 , y0 ); o x0 , y0 ∈ R, que satisface ambas ecuaciones simultaneamente. Estudiaremos cuatro m´todos para resolver sistemas de e ecuaciones: igualaci´n, suma y resta, sustituci´n y o o mediante una gr´fica. a
  17. 17. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 ´ IGUALACION Resuelva el siguiente sistema: 2x + 3y = 1 5x + 4y = 2 1) Se despeja la variable x en ambas ecuaciones: 1 − 3y 2 2 − 4y x= 5 x=
  18. 18. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 ´ IGUALACION 2)Luego, igualamos ambas expresiones: 1 − 3y 2 − 4y = 2 5 5(1 − 3y) = 2(2 − 4y) 5 − 15y = 4 − 8y 5 − 4 = −8x + 15y 1 = 7y 1 y= 7
  19. 19. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 ´ IGUALACION 3)Luego se sustituye el valor de y en cualquiera de las expresiones anteriores: 5x + 4( 1 ) = 2 7 5x + 4 = 2 7 4 5x = 2 − 7 5x = 10 7 2 x= 7 2 1 S= , 7 7
  20. 20. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 Sustituci´n o 2x + 3y = 1 5x + 4y = 2( ) 1)Se despeja X en cualquiera de las dos expresiones. x= 1 − 3y (♠) 2 2)Sustituimos el valor de x en ( ) 5 1 − 3y 2 y= + 4y = 2 1 7
  21. 21. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 Sustituci´n o 3)Sustituimos el valor de y en (♠): 1 − 31 2 7 = 2 7 2 1 , ∴S= 7 7 y=
  22. 22. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 SUMA Y RESTA 2x + 3y = 1 5x + 4y = 2 (2x + 3y = 1)5 (5x + 4y = 2) − 2 10x + 15y = 5 −10x − 8y = −4 7y = 1 1 y= 7
  23. 23. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 SUMA Y RESTA Sustituimos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones del sistema inicial: 1 =1 7 2 x= 7 2 1 ∴S= , 7 7 2x + 3
  24. 24. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 ´ LENGUAJE MATEMATICO La suma de 10 y x: 10 + x x La mitad de un n´mero: u 2 2 m´s que a: a + 2 a La diferencia de dos n´meros: x − y u El producto de dos n´meros: xy u x El cociente de dos n´meros: u y El doble de un n´mero: 2a u El triple de un n´mero: 3a u
  25. 25. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 ´ LENGUAJE MATEMATICO Traduzcamos las siguientes frases: 1 Un n´mero disminuido en 16: u 2 Un tercio de w: 3 El cociente de 25 entre un n´mero: u 4 Luis tiene 4 helados m´s que Mar´ a ıa: 5 El total de d´ en x horas ıas 6 Dos veces t menos nueve: 7 La suma de dos n´meros es 81: u
  26. 26. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 ´ LENGUAJE MATEMATICO Saber realizar este tipo de traducci´n nos ayuda a la resoluci´n o o de problemas. Ejemplo: El padre tiene 51 a˜os, el hijo tiene 9 a˜os.A¿Al cabo de n n ˆ cu´ntos a˜os ser´ la edad del padre 8 veces la edad del hijo? a n a
  27. 27. ´ TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014 EJERCICIOS

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