Mengenal Trigonometri

1. TRIGONOMETRI
1-1UKURAN SUDUT
A. Ukuran Sudut dalam Derajat
Definisi:
Satu derajat (ditulis = 1˚) didefinisikan sebagai ukuran besar sudut yang disapu oleh jari-
jari lingkaran dalam jarak putar sejauh
1
360
putaran.
Definisi: 1˚=
1
360
a. 1 derajat = 60 menit atau 1 menit =
1
60
derajat
Ditulis: 1˚ = 60’ atau 1’ =
1
60
˚
b. 1 menit = 60 detik atau 1 detik
1
60
menit
Ditulis: 1’ = 60” atau 1” =
1
60
’
Contoh:
 Diketahui besar sudut 𝛼 = 127˚24’
Untuk menyatakan sudut 𝛼 dalam bentuk decimal, maka bagian yang berukuran
menit diubah ke dalam ukuran derajat
24’ = 24 × (
1
60
˚) = 0,4˚
Jadi, 127˚+0,4˚= 127,4˚
𝛼 = 127,4˚
B. Ukuran Sudut dalam Radian
Definisi:
Satu radian (ditulis 1 rad) didefinisikan sebagai ukuran sudut pada bidang datar yang
berada di antara dua jari-jari lingkaran dengan panjang busur sama dengan panjang jari-
jari lingkaran itu
Mengubah Ukuran Sudut dari Derajat ke Radian dan Sebaliknya
a) 1˚ =
𝜋
180
radian
b) 1 radian =
180˚
𝜋
Nilai pendekatan untuk 𝜋 ≅ 3,14159
a) 1˚ =
3,14159
180
radian = 0,017453 radian atau
b) 1 radian =
180˚
3,14159
= 57,296˚
Contoh:
 100˚
Untuk mengubah ukuran sudut dari derajat kedalam radian,adalah
100˚ = 100 × (
𝜋
180
radian) =
5𝜋
9
radian
Jadi, 100˚=
5𝜋
9
radian

2. 1-2PERBANDINGAN- PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
A. Perbandingan- Perbandingan Trigonometri dalam Segitiga Siku-Siku
Definisi:
a. sin 𝛼˚ =
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑖ℎ𝑎𝑑𝑎𝑝𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑎
𝑐
b. cos 𝛼˚ =
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑖𝑑𝑒𝑘𝑎𝑡 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑏
𝑐
c. tan 𝛼˚ =
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑖ℎ𝑎𝑑𝑎𝑝𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑖𝑑𝑒𝑘𝑎𝑡 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼
=
𝑎
𝑏
d. cot 𝛼˚ =
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑖𝑑𝑒𝑘𝑎𝑡 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑖ℎ𝑎𝑑𝑎𝑝𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼
=
𝑏
𝑎
e. sec 𝛼˚ =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑖𝑑𝑒𝑘𝑎𝑡 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼
=
𝑐
𝑏
f. cossec 𝛼˚ =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑖ℎ𝑎𝑑𝑎𝑝𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼
=
𝑐
𝑎
catatan:
- istilah lain bagi perbandingan trigonometri adalah nisbah trigonometri.
- Hipotenusa sering disebut sisi miring.
- Tangent dan kotangen sering disingkat dengan tg dan ctg. Sedang kosekan disingkat
dengan csc.
Contoh:
 Segitiga siku-siku ABC mempunyai panjang sisi 𝛼 = √3 dan b = 1
Nilai c dihitung terlebih dahulu
c = √ 𝑎2 + 𝑏² = √(√3)2 + (1)2 = √4 = 2
jadi, nilai-nilai perbandingan trigonometrinya
sin 𝛼˚ =
𝑎
𝑐
=
√3
2
=
1
2
√3 cot 𝛼˚ =
𝑏
𝑎
=
1
√3
=
1
3
√3
cos 𝛼˚ =
𝑏
𝑐
=
1
2
sec 𝛼˚ =
𝑐
𝑏
=
2
1
= 2
tan 𝛼˚ =
𝑎
𝑏
=
√3
1
= √3 cossec 𝛼˚ =
𝑐
𝑎
=
2
√3
=
2
3
√3
B. Menentukan Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut Khusus
Besar Sudut 𝛼˚
0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚
sin 𝛼˚ 0 1
2
1
2
1
2
√3 1
cos 𝛼˚ 1 1
2
√3
1
2
1
2
0
tan 𝛼˚ 0 1
3
√3 1 √3 -
cot 𝛼˚ - √3 1 1
3
√3 0
sec 𝛼˚ 1 2
3
√3 √2 2 -
cossec 𝛼˚ - 2 √2 2
3
√3 1

3. C. Menggunakan Kalkulator untuk menentukan Nilai Pendekatan Perbandingan
Trigonometri dan Besar Sudutnya
Pastikan kalkulator dalam keadaan “ON” dan mode ukuran sudut diatur “DEG”
1. Tekan tombol 1 dan 9 ( pada layar muncul 19 )
2. Tekan tombol fungsi: sin ( pada layar muncul 0,325568154 )
Jadi nilai pendekatan sin 19˚ = 0,325568154 teliti sampai 9 tempat desimal. Nilai
pendekatan sin 19˚ dapat dibulatkan,misalnya:
 sin 19˚ = 0,325568 ( teliti sampai 6 tempat desimal )
 sin 19˚ = 0,32557 ( teliti sampai 5 tempat desimal )
1-3PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT-SUDUT DI SEMUA KUADRAN
Sudut-sudut dikelompokan menjadi 4 kuadran berdasarkan besarnya sudut yaitu:
1. Sudut – sudut di kuadran I, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 0˚ - 90˚ atau
0˚< 𝛼₁˚ < 90˚
2. Sudut – sudut di kuadran I, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 90˚ - 180˚ atau
90˚< 𝛼₂˚ < 180˚
3. Sudut – sudut di kuadran I, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 180˚ - 270˚ atau
180˚< 𝛼₃˚ < 270˚
4. Sudut – sudut di kuadran I, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 270˚ - 360˚ atau
270˚< 𝛼₃˚ < 360˚
Definisi: Perbandingan Trigonometri Berdasarlan Tinjauan Geometri Analitis
a) sin 𝛼˚ =
𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡
𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘
=
𝑦
𝑟
d) cot 𝛼˚ =
𝑎𝑏𝑠𝑖𝑠
𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡
=
𝑥
𝑦
b) cos 𝛼˚ =
𝑎𝑏𝑠𝑖𝑠
𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘
=
𝑥
𝑟
e) sec 𝛼˚ =
𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘
𝑎𝑏𝑠𝑖𝑠
=
𝑟
𝑥
c) tan 𝛼˚ =
𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡
𝑎𝑏𝑠𝑖𝑠
=
𝑦
𝑥
f) cossec 𝛼˚ =
𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘
𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡
=
𝑟
𝑦
Tanda- Tanda Perbandingan Trigonometri
Perbandingan
Trigonometri
Sudut – Sudut di Kuadran
I II III IV
sin + + - -
cos + - - +
tan + - + -
cot + - + -
sec + - - +
cosec + + - -
Contoh:
 Diketahui tan 𝛼˚ = -
5
12
, 𝛼˚ sudut di kuadran IV
tan 𝛼˚ = -
5
12
, maka y = -5 dan x = 12
r = √𝑥2 + 𝑦2 = √(−12)2 + (5)2 = 13

4. a. sin 𝛼˚ =
𝑦
𝑟
= -
5
13
d. sec 𝛼˚ =
𝑟
𝑥
=
13
12
b. cos 𝛼˚ =
𝑥
𝑟
=
12
13
e. cossec 𝛼˚ =
𝑟
𝑦
= -
13
5
c. cot 𝛼˚ =
𝑥
𝑦
- -
12
5
1-4RUMUS PERBANDINGAN TRIGONOMETRI UNTUK SUDUT-SUDUT BERELASI
Definisi: Sudut-Sudut Berelasi
Misalkan suatu sudut besarnya 𝛼˚
Sudut lain yang besarnya ( 90˚- 𝛼) dikatakan berelasi dengan sudut 𝛼 dan sebaliknya.
Sudut-sudut lain yang berelasi dengan sudut 𝛼 adalah sudut-sudut yang besarnya
(90˚ ± 𝛼˚), (180˚± 𝛼˚), (270˚± 𝛼˚), (360˚± 𝛼˚), dan - 𝛼˚.
A. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (90˚ - 𝛼˚)
a. sin (90˚ - 𝛼˚) = cos 𝛼˚ d. cot (90˚ - 𝛼˚) = tan 𝛼˚
b. cos (90˚ - 𝛼˚) = sin 𝛼˚ e. sec (90˚ - 𝛼˚) = cossec 𝛼˚
c. tan (90˚ - 𝛼˚) = cot 𝛼˚ f. cosec (90˚ - 𝛼˚) = sec 𝛼˚
sinus sebuah sudut = kosinus sudut komplemennya, dan sebaliknya
tangent sebuah sudut = kotangen sudut komplemennya, dan sebaliknya
sekan sebuah sudut = kosekan sudut komplemennya, dan sebaliknya
Contoh:
 sin 36˚ = sin (90˚ - 54˚) = cos 54˚
Jadi, sin 36˚ = cos 54˚
B. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (90˚ + 𝛼˚)
a. sin (90˚ + 𝛼˚) = cos 𝛼˚ d. cot (90˚ + 𝛼˚) = -tan 𝛼˚
b. cos (90˚ + 𝛼˚) = -sin 𝛼˚ e. sec (90˚ + 𝛼˚) = -cossec 𝛼˚
c. tan (90˚ + 𝛼˚) = -cot 𝛼˚ f. cosec (90˚ + 𝛼˚) = sec 𝛼˚
Contoh:
 sin 120˚ = sin (90˚ + 30˚) = cos 30˚ =
1
2
√3
Jadi, sin 120˚ =
1
2
√3
C. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (180˚− 𝛼˚)
a. sin (180˚ - 𝛼˚) = sin 𝛼˚ d. cot (180˚ - 𝛼˚) = -cot 𝛼˚
b. cos (180˚ - 𝛼˚) = -cos 𝛼˚ e. sec (180˚ - 𝛼˚) = -sec 𝛼˚
c. tan (180˚ - 𝛼˚) = -tan 𝛼˚ f. cosec (180˚ - 𝛼˚) = cosec 𝛼˚
sinus sebuah sudut = sinus sudut pelurusnya, dan sebaliknya
kosinus sebuah sudut = negatif kosinus sudut pelurusnya, dan sebaliknya

5. tangen sebuah sudut = negatif tangent sudut pelurusnya, dan sebaliknya
Contoh:
 sin 120˚ = sin (180˚ + 60˚) = sin 60˚ =
1
2
√3
Jadi, sin 120˚ =
1
2
√3
D. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (180˚+ 𝛼˚)
a. sin (180˚ + 𝛼˚) = -sin 𝛼˚ d. cot (180˚ + 𝛼˚) = cot 𝛼˚
b. cos (180˚ + 𝛼˚) = -cos 𝛼˚ e. sec (180˚ + 𝛼˚) = -sec 𝛼˚
c. tan (180˚ + 𝛼˚) = tan 𝛼˚ f. cosec (180˚ + 𝛼˚) = -cosec 𝛼˚
Contoh:
 tan 210˚ = tan (180˚ + 30˚) = tan 30˚ =
1
3
√3
Jadi, tan 210˚ =
1
3
√3
E. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (270˚± 𝛼˚)
a. sin (270˚ - 𝛼˚) = -cos 𝛼˚ d. cot (270˚ - 𝛼˚) = tan 𝛼˚
b. cos (270˚ - 𝛼˚) = -sin 𝛼˚ e. sec (270˚ - 𝛼˚) = -cossec 𝛼˚
c. tan (270˚ - 𝛼˚) = cot 𝛼˚ f. cosec (270˚ - 𝛼˚) = -sec 𝛼˚
a. sin (270˚ + 𝛼˚) = -cos 𝛼˚ d. cot (270˚ + 𝛼˚) = -tan 𝛼˚
b. cos (270˚ + 𝛼˚) = sin 𝛼˚ e. sec (270˚ + 𝛼˚) = cossec 𝛼˚
c. tan (270˚ + 𝛼˚) = -cot 𝛼˚ f. cosec (270˚ + 𝛼˚) = -sec 𝛼˚
Contoh:
 tan 210˚ = tan (270˚ + 60˚) = cot 60˚ =
1
3
√3
Jadi, tan 210˚ =
1
3
√3
 cosec 279˚ = cosec ( 270˚+9˚) = -sec 9˚
Jadi, cosec 279˚ = -sec 9˚
F. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut Negatif (-𝛼˚)
a. sin (−𝛼˚) = -sin 𝛼˚ d. cot (−𝛼˚) = -cot 𝛼˚
b. cos (−𝛼˚) = cos 𝛼˚ e. sec (−𝛼˚) = sec 𝛼˚
c. tan (−𝛼˚) = -tan 𝛼˚ f. cosec (−𝛼˚) = -cosec 𝛼˚
Contoh:
 sin (-40˚) = -sin 40˚
Jadi, sin (-40˚) = -sin 40˚
G. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut ( n . 360˚ − 𝛼˚ ) dan ( n . 360˚ + 𝛼˚ )

6. a. sin ( n . 360˚ − 𝛼˚ ) = sin (−𝛼˚) = -sin 𝛼˚
b. cos ( n . 360˚ − 𝛼˚ ) = cos (−𝛼˚) = cos 𝛼˚
c. tan ( n . 360˚ − 𝛼˚ ) = tan (−𝛼˚) = -tan 𝛼˚
d. cot ( n . 360˚ − 𝛼˚ ) = cot (−𝛼˚) = -cot 𝛼˚
e. sec ( n . 360˚ − 𝛼˚ ) = sec (−𝛼˚) = sec 𝛼˚
f. cossec ( n . 360˚ − 𝛼˚ ) = cosec (−𝛼˚) = -cosec 𝛼˚
a. sin ( n . 360˚ + 𝛼˚ ) = sin 𝛼˚
b. cos ( n . 360˚ + 𝛼˚ ) = cos 𝛼˚
c. tan ( n . 360˚ + 𝛼˚ ) = tan 𝛼˚
d. cot ( n . 360˚ + 𝛼˚ ) = cot 𝛼˚
e. sec ( n . 360˚ + 𝛼˚ ) = sec 𝛼˚
f. cossec ( n . 360˚ + 𝛼˚ ) = cosec 𝛼˚
Contoh:
 tan 300˚ = tan (360˚-60˚) = -tan 60˚= −√3
Jadi, tan 300˚ = −√3
1-5IDENTITAS TRIGONOMETRI
A. Identitad Trigonometri Dasar
1. Identitas trigonometri dasar, merupakan hubungan kebalikan
a. sin 𝛼˚ =
1
cosec 𝛼˚
atau cosec 𝛼˚ =
1
sin 𝛼˚
g. cos 𝛼˚ =
1
sec 𝛼˚
atau sec 𝛼˚ =
1
cos 𝛼˚
b. tan 𝛼˚ =
1
cot 𝛼˚
atau cot 𝛼˚ =
1
tan 𝛼˚
2. Identitas trigonometri dasar, merupakan hubungan perbandingan (kuosien)
a. tan 𝛼˚ =
sin 𝛼˚
cos 𝛼˚
b. cot 𝛼˚ =
cos 𝛼˚
sin 𝛼˚
3. Identitas trigonometri dasar yang dpieroleh dari hubungan teorema Pythagoras
a. sin² 𝛼˚+ cos² 𝛼˚ = 1
b. 1 + tan² 𝛼˚ = sec² 𝛼˚
c. 1 + cot² 𝛼˚ = cosec² 𝛼˚
Contoh:
 Diketahui cosec 𝛽 = 2 dan 𝛽 sudut di kuaran II
Hitunglah sin 𝛽
Dengan rumus kebalikan
sin 𝛽 =
1
cosec 𝛽
=
1
2
Jadi, sin 𝛽 =
1
2
B. Identitas Trigonometri yang Lain
Cara menyederhanakan suatu bentuk trigonometri :

7. 1. Sederhanakan salah satu bentuk ruas (biasanya dipilih ruas yang memiliki bentuk
rumit) sehingga diperoleh bentuk yang sama dengan ruas lain.
2. Sederhanakan masing-masing ruas sehingga deperoleh hasil yang sama untuk
masing-masing ruas tersebut.
Contoh:
1. Buktikan: (sin 𝛼 −cos 𝛼)² + 2 sin 𝛼 cos 𝛼 = 1
Kita ubah bentuk ruas kiri:
(sin 𝛼 −cos 𝛼)² + 2 sin 𝛼 cos 𝛼 = sin² 𝛼 −2 sin 𝛼 cos 𝛼 + cos² 𝛼 + 2 sin 𝛼 cos 𝛼
= (sin² 𝛼 + cos² 𝛼) + (2 sin 𝛼 cos 𝛼 −2 sin 𝛼 cos 𝛼
= 1 + 0
= 1
Ruas kiri = ruas kanan
Jadi, terbukti bahwa (sin 𝛼 −cos 𝛼)² + 2 sin 𝛼 cos 𝛼 = 1
1-6GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI
Langkah – langkah membuat tabel :
1. Buatlah tabel yang menyatakan hubungan antara x dengan y = f(x˚). pilihlah nilai sudut x
sehingga nilai y = f(x˚) dengan mudah dapat ditentukan.
2. Titik – titik (x,y) yang diperoleh pada langkah 1 digambar pada bidang Cartesius. Agar
skala pada sumbu X dan Y sama, maka nilai 360 pada sumbu X dibuat mendekati nilai
6,28 satuan (mengapa)
Misalkan skala pada sumbu Y ditetapkan 1 cm maka maka nilai 360 pada sumbu X
dibuat kira-kira mendekati nilai 6,28 cm
3. Hubungkan titik-titik yang telah digambar pada bidang cartesius dengan kurva yang
mulus sehingga diperoleh sketsa grafik fungsi trigonometri y = f(x˚).
I. Grafik Fungsi y = sin x˚ (0 ≤ 𝑥 ≤ 360)
x 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
y=sin x˚ 0 1
2
1
2
√3
1 1
2
√3
1
2
0
−
1
2
−
1
2
√3
1
−
1
2
√3 −
1
2
0
Catatan : Untuk selanjutnya diadakan pendekatan nil𝑙𝑎𝑖
1
2
√3 dengan 0,87
II. Grafik Fungsi y = cos x˚ (0 ≤ 𝑥 ≤ 360)
x 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
y=cos x˚ 1 1
2
√3
1
2
0
−
1
2
−
1
2
√3
-1
−
1
2
√3 −
1
2
0 1
2
1
2
√3
1
III. Grafik Fungsi y = tan x˚ (0 ≤ 𝑥 ≤ 360)
x 0 45 90 135 180 225 270 315 360
y = tan x˚ 0 1 - -1 0 1 - -1 0
Catatan : x = 90 dan x = 270, nilat y = tan x˚ tidak didefinisikan
Kesimpulan :
1 Fungsi-fungsi trigonometri sinus, kosinus, dan tangent merupakan fungsi periodik/fungsi
berkala.
a. Fungsi sinus y = sin x˚ dan fungsi kosinus y = cos x˚ mempunyai periode 360˚

8. b. Fungsi tangen y = tan x˚ mempunyai periode 180˚
2 Fungsi sinus y = sin x˚ dan fungsi kosinus y = cos x˚ mempunyai nilai minimum -1 dan
nilai maksimum 1, sedangkan fungsi tangen y = tan x˚ tidak mempunyai nilai minimum
maupun nilai maksimum.
3 Khusus untuk fungsi tangen y = tan x˚.
a. Untuk x mendekati 90 atau 270 dari arah kanan, nilai tan x˚ menuju ke negatif tak-
berhingga
b. Untuk x mendekati 90 atau 270 dari arah kiri, nilai tan x˚ menuju ke positif tak-
berhingga
c. Garis-garis x=90 dan x=270 disebut garis asimtot.
d. Fungsi tangen y = tan x˚ dikatakan diskontinu atau tak-sinambung di x=90 dan
x=270
1-7 ATURAN SINUS DAN ATURAN KOSINUS
A. Aturan Sinus
Aturan sinus pada segitiga sebarang dapat dinyatakan sebagai berikut :
Dalam tiap segitiga ABC, perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut yang berhadapan
dengan sisi itu mempunyai nilai yang sama.
Ditulis:
𝑎
sin 𝐴
=
𝑏
sin 𝐵
=
𝑐
sin 𝐶
Penggunaan Aturan Sinus
Secara umum aturan sinus digunakan untuk menentukan unsur-unsur dalam segitiga
apabila unsur-unsur yang lain telah diketahui. Unsur-unsur yang diketahui :
1. Sisi, sudut, sudut didingkat ss.sd.sd
2. Sudut, sisi, sudut disingkat sd.ss.sd
3. Sisi, sisi, sudut disingkat ss.ss.sd
Contoh :
 Diketahui segitiga ABC dengan ⎳𝐴 = 38˚, ⎳B = 64˚, panjang sisi b = 5
Hitunglah besar ⎳C
Unsur-unsur yang diketahui : sisi, sudut, sudut (ss.sd.sd)
⎳C = 180˚ - (⎳𝐴 +⎳B)
⎳C = 180˚ - (38˚ + 64˚)
⎳C = 78˚
Jadi, besar ⎳C = 78˚
B. Aturan Kosinus
Pada segitiga ABC berlaku aturan kosinus yang dapat dinyatakan dengan persamaan
𝑎² = 𝑏² + 𝑐² − 2𝑏𝑐 cos 𝐴
𝑏² = 𝑎² + 𝑐² − 2𝑎𝑐 cos 𝐵
𝑐² = 𝑎² + 𝑏² − 2𝑎𝑏 cos 𝐶
Penggunaan Aturan Kosinus

9. Salah satu dari pemakaian aturan kosinus adalah untuk menentukan panjang sisi dari
suatu segitiga, apabila dua sisi yang lain dan besar sudut yang diapit oleh kedua sisi itu
diketahui. Unsur-unsur yang diketahui adalah sisi, sudut, sisi (ss.sd.ss)
Contoh :
Dalam ABC diketahui panjang sisi b = 5, sisi 𝑐 = 6 dan besar ⎳𝐴 = 52˚
Hiting panjang sisi 𝑎
𝑎² = 𝑏² + 𝑐² − 2𝑏𝑐 cos 𝐴
𝑎² = (5)2
+ (6)² − 2(5)(6)cos52˚
𝑎² = 25 + 36 − 60 (0,6157)
𝑎2
= 24,1
𝑎 = √24,1 = 4,91
Jadi, panjang sisi 𝑎 = 4,91
Penggunaan Lain dari Aturan Kosinus
Jika dalam ABC diketahui sisi-sisi 𝑎, 𝑏, 𝑑𝑎𝑛 𝑐 (ss.ss.ss), maka besar sudut-sudut A, B
dan C dapat ditentukan melalui persamaan :
cos A =
𝑏² + 𝑐²−𝑎²
2𝑏𝑐
cos B =
𝑎²+𝑐²−𝑏²
2𝑎𝑐
cos C =
𝑎² + 𝑏²−𝑐²
2𝑎𝑏
Contoh :
Dalam ABC diketahui panjang sisi 𝛼 = 7, sisi 𝑏 = 8, dan sisi 𝑐 = 9
Hitung besar ⎳𝐴, ⎳B, dan ⎳C
cos A =
𝑏² + 𝑐²−𝑎²
2𝑏𝑐
cos B =
𝑎²+𝑐²−𝑏²
2𝑎𝑐
cos A =
8²+9²−7²
2×8×9
cos B =
7²+9²−8²
2 ×7 ×9
cos A =
64+81−49
144
cos B =
49+81−64
126
cos A =
96
144
cos B =
66
126
cos A = 0,6666 cos B = 0,5238
⎳𝐴 = 48,2˚ ⎳B = 58,4˚
Sudut C
⎳C = 180˚ - (⎳𝐴 +⎳B)
⎳C = 180˚ - (48,2˚ + 58,4˚)
⎳C = 73,4˚
Jadi, besar ⎳𝐴 = 48,2˚, ⎳B = 58,4˚, dan ⎳C = 73,4˚
1-8 LUAS SEGITIGA
Rumus : L =
1
2
𝑎𝑡

10. Kemungkinan dari tiga unsure yang diketahui dalam menghitung luas segitiga adalah
1. Panjang dua sisi dan besar satu sudut yang diapit oleh kedua sisi itu (ss.sd.ss)
2. Besar dua sudut dan panjang satu sisi yang terletak di antara kedua sudut itu (sd.ss.sd)
3. Panjang dua sisi dan besar satu sudut yang berhadapan dengan salah satu sisi itu (ss.ss.sd)
4. Panjang ketiga sisinya (ss.ss.ss)
A. Luas Segitiga dengan Dua Sisi dan Satu Sudut Diketahui
Rumus :
L =
1
2
𝑏𝑐 sin A …(5-22a)
L =
1
2
𝑎𝑐 sin B …(5-22b)
L =
1
2
𝑎𝑏 sin C …(5-22c)
Contoh :
Dalam PQR diketahui panjang PQ = 10cm dan PR = 8 cm. jika luas PQR itu sama
dengan 30 cm², hitunglah besar ⎳P
Luas PQR =
1
2
PQ . PR sin P
=
1
2
(10)(8) sin P
= 40 sin P
Karena luas PQR diketahui = 30 cm²,maka
40 sin P = 30
sin P =
3
4
- 0,75
P = 48,6˚ atau P = 180˚ - 48,6˚ = 131,4˚
Jadi, besar ⎳P = 48,6˚ atau 131,4˚
B. Luas Segitiga Dengan Dua Sisi dan Sebuah Sudut di Hadapan Sisi Diketahui
Luas segitiga itu dapat ditentukan melalui langkah-langkah sebagai berikut :
1. Tentukan besar sudut-sudut yang belum diketahui dengan memakai aturan sinus.
2. Setelah semua sudut diketahui, hitunglah luas segitiga dengan menggunakan salah
satu dari rumus 5-22a, 5-22b, atau 5-22c
Contoh :
Dalam ABC diketahui panjang sisi b= 4cm, sisi c = 6 cm, dan besar ⎳B = 40˚.
Hitunglah luas ABC
Gunakan aturan sinus
𝑏
sin 𝐵
=
𝑐
sin 𝐶
=sin C =
𝑐
𝑏
sin B
sin C =
6
4
sin 40˚ =
3
2
(0,6428)
sin C = 0,9642
C = 74,6˚ atau C = (180 – 74,6)˚ = 105,4˚
Untuk ⎳C = 74,6˚, diperoleh ⎳A = 180˚ - (40˚ + 74,6˚) = 65,4˚
Untuk ⎳C = 105,4˚, diperoleh ⎳A = 180˚ - (40˚ + 105,4˚) = 34,6˚
Luas ABC dihitung dengan rumus 5-22a : L =
1
2
𝑏𝑐 sin A
Untuk ⎳A = 65,4˚, diperoleh :
L =
1
2
(4)(6) sin 65,4˚ = 12 (0,9092) = 10,9

11. Untuk ⎳A = 34,6˚, diperoleh :
L =
1
2
(4)(6) sin 34,6˚ = 12(0,5678) = 6,8
Jadi, Luas ABC = 10,9 cm² atau 6,8 cm²
C. Luas Segitiga dengan Dua Sudut dan Satu Sisi Diketahui
L =
𝑎² .sin 𝐵 .𝑠𝑖𝑛𝐶
2sin 𝐴
L =
𝑏².sin 𝐴 .sin 𝐶
2 sin 𝐵
L =
𝑐².sin 𝐴 .sin 𝐵
2sin 𝐶
Contoh :
Dalam ABC diketahui besar ⎳A = 37˚, besar ⎳C = 62˚, dan panjang sisi b =
6cm. hitunglah luas ABC
Dicari dulu besar ⎳ B
⎳ B = 180˚ - (⎳A + ⎳C) = 180˚ - (37˚ + 62˚) = 81˚
Luas ABC =
L =
𝑏².sin 𝐴 .sin 𝐶
2 sin 𝐵
L =
36 𝑠𝑖𝑛 37˚ 𝑠𝑖𝑛 62˚
2sin 81˚
log L = log (
36 𝑠𝑖𝑛 37˚ 𝑠𝑖𝑛 62˚
2 sin 81˚
)
log L = log 36 + log sin 37˚ + log sin 62˚ - log 2 – log sin 81˚
log L = 1,5563 + (9,7795 – 10) + (9,9459 – 10) – 0,3010 – (9,9946 – 10)
log L = 0,9861
L = 9,69
Jadi, luas ABC = 9,69 cm²
D. Luas Segitiga dengan Ketiga Sisinya Diketahui
L = √ 𝑠( 𝑠 − 𝑎)( 𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)
Contoh :
Dalam ABC diketahui panjang sisi 𝛼= 5 cm, sisi b = 6 cm, dan panjang sisi c = 7 cm.
Hitunglah luas ABC
Setengah keliling ABC adalah s =
1
2
( 𝑎 + 𝑏 + 𝑐) =
1
2
(5 + 6 + 7) = 9
(s – 𝛼) = ( 9 – 5) = 4; (s – b) = ( 9 – 6) = 3; dan (s – c) = (9 – 7) = 2
Luas ABC
L = √ 𝑠( 𝑠 − 𝑎)( 𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)
L = √9(4)(3)(2)
L = 6√6
Jadi, luas ABC = 6√6 cm²

12. 1-9 MERANCANG MODEL MATEMATIKA YANG BERKAITAN DENGAN PERBANDINGAN
TRIGONOMETRI, ATURAN SINUS, DAN ATURAN KOSINUS
Untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan model matematika yang memuat
ekspresi trigonometri, maka pemecahannya dapat diselesaikan sebagai berikut :
1. Tetapkan besaran yang ada dalam masalah seperti variabei yang berkaitan dengan
ekspresi trigonometri.
2. Rumuskan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan
trigonometri, aturan sinus, atau aturan kosinus.
3. Tentukan penyelesaian dari model matematika.
4. Berikan tafsiran terhadap hasil-hasil yang diperoleh.
Contoh :
Ali, Badu, dan Carli sedang bermain di sebuah lapangan yang mendatar. Dalam situasi
tertentu, posisi Ali, Badu, dan Carli membentuk sebuah segitiga. Jarak Badu dari Ali 10
m, jarak Carli dari Badu 12 m. berapakah besar sudut yang dibentuk oleh Badu, Ali, dan
Carli dalam posisi-posisi itu?
Jawab :
1. Sudut yang dibentuk oleh Badu, Ali, dan Carli adalah BAC, dimisalkan besar ⎳BAC
= 𝛼˚
2. Dalam ABC pada gambar berlaku aturan kosinus, sehingga diperoleh:
BC² = AB²+AC²-2AB . AC cos ⎳BAC
BC² = AB²+AC²-2AB . AC cos 𝛼˚
cos 𝛼˚ =
𝐴𝐵²+𝐴𝐶²−𝐵𝐶²
2𝐴𝐵 .𝐴𝐶
3. Subtitusi nilai-nilai AB = 10, BC = 12, dan AC = 15, diperoleh:
cos 𝛼˚ =
(10)2
+(15)2
−(12)²
2(10)(15)
cos 𝛼˚ = 0,6033
Dengan menggunakan kalkulator diperoleh: 𝛼˚ = 52,9˚
4. Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh Badu, Ali, dan Carli adalah ⎳BAC = 52,9˚