1. Phasor (Fasor) Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri dari bagian Real (nyata) dan bagian Imaginair (khayal). Bilangan kompleks A dituliskan sebagai : A = a + j b Bentuk sudut siku bilangan kompleks Im Re a b θ A = a + j b

2. Dan dalam bentuk yang lebih umum : v = V m e j( ω t + θ ) = V m cos ( ω t + θ ) + j V m sin ( ω t + θ ) = a + j b v = V m e j ω t = V m (cos ω t + j sin ω t) v = V m e j ω t = V m cos ω t + j V m sin ω t = a + j b V m = amplitudo θ = sudut fase Persamaan Euler : bilangan kompleks cos θ = bagian nyata = Re e j θ , j sin θ = bagian imaginer (khayal) = Im e j θ Re e j ω t = cos ω t Im e j ω t = sin ω t Bila θ = ω t, maka Bila dikalikan dengan V m , maka

3. Bila ditinjau dalam frekuensi ω yang telah ditetapkan, yaitu v = V m e j θ , maka dapat ditulis dalam bentuk polar sebagai : Hanya ditulis dalam besaran amplitudo dan sudut fasa. Fungsi cosinus dalam fungsi waktu yang hanya dituliskan dalam besaran amplitudo dan sudut fasa disebut Phasor (Fasor) dan merupakan vektor-waktu Jadi v = V m cos ( ω t + θ ) adalah bagian nyata dari bilangan kompleks, yaitu Re V m e j( ω t + θ ) = Re V m e j θ e j ω t Dapat ditulis tanpa Re, v = V m cos ( ω t + θ ) = V m e j θ e j ω t Phasor (Fasor)

4. Penggambaran fasor dalam sistem koordinat sudut siku disebut diagram fasor Fasor negatif Fasor conjugate θ Re I m θ Re I m - θ θ

5. Fasor negatif KEMBALI θ Re I m θ

6. Fasor conjugate KEMBALI θ Re - θ I m

7. Fasor pada sumbu khayal KEMBALI 90 0 Re I m

8. Fasor pada sumbu nyata KEMBALI Re I m

10. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan komplek harus dalam bentuk sudut siku agar supaya dapat dijumlahkan (dikurangkan) Jumlahkan (Kurangkan) bagian nyata dari setiap beilangan komplek dan jumlahkan (kurangkan) setiap bagian khayal j bilangan komplek . A = a + j b B = c + j d A ± B = (a ± c) + j (b ± d) Misal : Operasi matematika dari bilangan komplek Bilangan komplek dapat dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan, dan dibagi. Pengalian dan Pembagian Pengalian (pembagian) bilangan komplek lebih mudah bila keduanya dalam bentuk polar. Kalikan (bagilah) besarnya kedua bilangan komplek dan jumlahkan sudut kedua bilangan komplek tersebut.

11. Menurut HTK dan Hk Ohm : Misal Arus yang mengalir pada mesh adalah (cara I) : i f = A cos ω t + B sin ω t masuk ke pers. a), diperoleh : L(- ω A sin ω t + ω B cos ω t) + R(A cos ω t + B sin ω t) = V m cos ω t (RA + ω L B) cos ω t + (- ω LA + RB) sin ω t = V m cos ω t Jadi RA + ω LB = V m - ω LA + RB = 0 Rangkaian RL Seri dalam tegangan dan arus bolak balik i v = V m cos ω t R L

12. Sehingga arus yang mengalir adalah : Jadi I m < V m dan fase arus ketinggalan sebesar θ dari tegangan DIAGRAM FASOR Untuk melihat bukti kliklah tombol ini - θ Re Im

13. Pembuktian : R ω L θ

14. Jadi : i f = Re i 1 Tinjau lagi persamaan a) : ……… .a) Misal arusnya adalah (cara II = cara dengan bil kompleks) : i 1 = A e j ω t masukkan ke pers. a) diperoleh R + j ω L = Z Z = impedansi ω L = X L = reaktansi induktif Klik tombol ini

15. Pembuktian untuk nilai A :

16. IMPEDANSI, RESISTANSI, REAKTANSI, ADMITANSI, KONDUKTANSI, SUSEPTANSI v = V m cos ( ω t + θ ) i = I m cos ( ω t +  ) Dalam besaran fasor : V = V m  θ I = I m  Didefinisikan perbandingan antara fasor tegangan, V dan fasor arus, I disebut impedansi , Z RANGKAIAN FASOR V I

17. Impedansi Z dapat dinyatakan dalam bentuk sudut siku : Z = R + jX R = Re Z : komponen resistif atau resistansi X = Im Z : komponen reaktif atau reaktansi Z = Z (j ω ) : fungsi bilangan komplek dari j ω . R = R( ω ) dan X = X( ω ) : fungsi bilangan nyata dari ω . R, X, dan Z dinyatakan dalam Ohm ( Ω ) θ Z X R | Z |

18. mengalir melalui tahanan R, maka tegangan antara ujung tahanan adalah : . Hub. fasor tegangan dan fasor arus : V R = I R R hanya mengandung tahanan saja dan diukur dalam satuan ohm (  ). Kesimpulan : tegangan antara ujung tahanan adalah sefasa dengan arus yang melewatinya. Impedansi dari elemen adalah : Bentuk waktu : Bentuk fasor : TAHANAN, R Arus dinyatakan dalam fasor bentuk polar

19. Reaktansi induktif, X L ditulis dalam fasor bentuk polar : mengalir melewati induktor L, tegangannya diperoleh dari : Impedansinya Besar dari impedansi disebut reaktansi induktif X L =  L dan diukur dalam ohm (  ). Bila arus : Hubungan fasor tegangan dan fasor arus : V L = j  L I L

20. Kesimpulan : tegangan pada induktor L mendahului 90 0 dari arus yang melewatinya. Bentuk waktu : 90 0 ω t v, i i L (t) v L (t) Bentuk Fasor : Bila arus dinyatakan dalam bentuk fasor mengalir melewati induktor L, tegangannya adalah : v L I θ v L I

21. Reaktansi Kapasitif, X C melintang pada ujung kapasitor C, arusnya diperoleh dari : Impedansinya adalah : Besar dari impedansi dalam hal ini disebut reaktansi kapasitif, X C dan diukur dalam ohm (  ). Hubungan fasor tegangan dan fasor arus : V C = (1/j  C) I C dinyatakan dalam fasor Bila tegangan :

22. Bentuk fasor : Bila tegangan Yang melintang pada kapasitor, dinyatakan dalam bentuk fasor arusnya adalah . Kesimpulan : Arus yang melewati kapasitor C mendahului 90 0 dari tegangannya. v, i i C (t) v C (t) 90 0 Bentuk waktu : ω t θ v L I L C I L

23. Contoh soal : V = 10  56,9 0 Volt, dan I = 2  20 0 Amper, maka impedansi dalam bentuk fasor adalah : Dalam bentuk sudut siku adalah ; Z = 5 (cos 36,9 0 + j sin 36,9 0 ) = 4 + j 3 Ω Contoh soal : Tegangan v = 10 cos (100t + 30 0 ) diberikan pada ujung kapasitor 1 µF Maka fasor arusnya adalah : I = j ω C V = j (100)(10 -6 )(10  30 0 ) = 1  120 0 mA Dalam domain waktu : i = cos (100t + 120 0 ) mA Contoh soal : Suatu arus i = I m cos ( ω t +  ) Amper melewati induktor L Maka fasor tegangannya adalah : V = j ω LI m   = ω LI m  (  + 90 0 ) Volt (karena j = 1  90 0 ) Dalam domain waktu : v = ω LI m cos ( ω t +  + 90 0 ) Volt

24. Jadi G tidak selalu sama dengan 1/R dan B tidak selalu sama dengan 1/X ADMITANSI, Y Kebalikan dari impedansi Z adalah admitansi Y , atau Karena Z adalah bil. komplek maka Y juga bil. komplek : Y = G + jB Dengan G = Re Y disebut konduktansi dan B = Im Y disebut suseptansi. Satuan Y, G, dan B adalah Mho ( )

25. Contoh soal : Bila diketahui ; Z = 4 + j 3 Ω , maka Jadi G = 4/25 dan B = -3/25 Contoh soal : Bila diketahui ; Z = 6 + j 8 Ω , tentukan nilai konduktansi dan suseptansi.

26. Contoh soal : Tentukan admitansi pada ujung sumber tegangan pada gambar ini : Penyelesaian : i v = V m cos ω t R L θ Z ω L R

29. f) S 1 = V 1 I 1 * = (10  -45 0 )(-4  0 0 ) = - 40  - 45 0 = - 40 cos (-45 0 ) - j40 sin (-45 0 ) = - 16,72 + j 16,72 S 2 = V 2 I 2 * = (15  30 0 )(3  90 0 ) = 45  120 0 = 45 cos (120 0 ) + j45 sin (120 0 ) = - 22,5 + j 38,97

30. Contoh Soal : Bila tegangan yang diberikan pada suatu rangkaian V = 160 – j 120 Volt, maka arus yang mengalir adalah I = 12 – j5 A. Tentukan a) impedansi, Z , dalam bentuk komplek dan nyatakan apakah bersifat induktif atau kapasitif, b) sudut fasa antara tegangan dan arus, Φ . c) Daya dan faktor daya (cos Φ ) dari rangkaian, Penyelesaian : c) Sudut fasa antara tegangan dan arus :  = tan -1 3,79/14,91 = 14,26 0 . b) Daya P = VI cos  = (160 – j 120)(12 – j 5) cos 14,26 0 = 2520 Watt Faktor daya = cos  = cos 14,26 0 = 0.969

31. Contoh Soal : Bila tegangan yang diberikan pada suatu rangkaian V = 100 – j 80 Volt, maka arus yang mengalir adalah I = 12 – j9,6 A. Tentukan a) impedansi dalam bentuk fasor b) sudut fasa antara tegangan dan arus. Kerjakan nanti diluar kelas

33. Konduktansi G, Suseptansi B and Admitansi Y Definisi : Konduktansi G kebalikan dari resistansi Suseptansi Induktif B L kebalikan dari reaktansi induktif Admitansi Y kebalikan dari impedansi Z, S G v S B L θ B L Y G Satuan dari ketiga besaran ini adalah Siemens (S), kebalikan dari ohm, kita menyebutnya sebagai Mho ( ). Untuk rangkaian paralel, lebih mudah menggunakan G, B L dan Y. Dalam rangkaian R-L paralel, admitansi total lebih sederhana jumlah fasor dari konduktansi dan suseptansi inductif,

35. PARALLEL R-C CIRCUIT In this section, you will learn to determine the impedance and phase angle of a parallel R-C circuit. Impedance and Phase Angle Figure shows a basic parallel R-C circuit connected to an ac voltage source. The expression for the total impedance is developed using rules of phasor algebra. or Therefore, S R v S C

36. Capacitive susceptance B C is the reciprocal of capacitive reactance, i.e. Admittance Y is the reciprocal of impedance Z, i.e. Conductance G, Susceptance B and Admittance Y Definition : Conductance G is the reciprocal of resistance. i.e. The unit of each of these terms is the Siemens (S), which is the reciprocal of ohm. In working with parallel circuits, it is often easier to use G, B C and Y. In a parallel RC circuit, the total admittance is simply the phasor sum of the conductance and the capacitive susceptance, i.e. S G v S B C θ B C Y G

39. t v Medan magnetik Pada setengah putaran pertama, energi yang dikirim ke induktor disimpan dalam bentuk medan magnetik dan pada setengah putaran kedua energi tersebut dikembalikan lagi ke sumber S

40. Daya sesungguhnya (true power) dan Daya kenyataan (apparent power) Rangkaian R-L Daya sesungguhnya ( P true ) adalah daya di dalam resistor. P true = I 2 R Daya Reaktif (P r ) adalah daya di dalam induktor. Satuannya adalah VAR (volt-ampere reactive) P r = I 2 X L Daya kenyataan (P a ) adalah resultante dari daya sesungguhnya dan daya reaktif. Satuan VA (volt-ampere) P a = I 2 Z

43. t v Pada setengah putaran pertama, energi yang dikirim ke kapasitor disimpan dalam bentuk muatan listrik dan pada setengah putaran kedua energi tersebut dikembalikan lagi ke sumber S

44. Daya Sesungguhnya (true power) dan Daya Kenyataan (apparent power) Rangkaian R-C Daya sesungguhnya (P true ) adalah daya yang tersimpan pada resistor. Satuan watt (W) P true = I 2 R Daya reaktif (P r ) adalah daya pada kapasitor dan induktor. Satuan VAR (volt-ampere reactive) P r = I 2 X Daya kenyataan (P a ) adalah resultante daya sesungguhnya dan daya reaktif. Satuan VA (volt-ampere) P a = I 2 Z

45. Segitiga Daya Dari diagram fasor daya, P true dapat dituliskan : P true = P a cos  atau P true = VI cos  Faktor Daya (PF) Besar cos  disebut Faktor Daya dan dinyatkan sebagai PF = cos  Bila  bertambah, Faktor Daya berkurang, menunjukkan suatu kenaikan rangkaian reaktif. Jadi, semakin kecil Faktor Daya, semakin kecil daya yang hilang. Faktor Daya berubah dari (rangkaian reaktif murni) sampai 1 (rangkaian resistif murni) Pada rangkaian R-C, Faktor Daya dinyatakan sebagai Faktor Daya mendahului karena arus mendahului tegangan

46. v S R L C Contoh soal 2 : Suatu koil (lilitan) dengan tahanan R = 5 Ω dan induktansi L = 100 mH dihubungkan secara seri dengan kapasitor C = 200 µF, di beri tagangan v S sebesar 220 V dan frekuensi 50 Hz. Penyelesaian : a) Reaktansi induktif X L = ω L = 2  fL = 2x3,14x50x100x10 -3 = 31,4 Ω Hitunglah : a) reaktansi induktif, b) reaktansi kapasitif, c) impedansi seluruh elemen dalam bentuk komplek, d) arus yang mengalir, e) power faktor, f) daya total, g) tegangan antara ujung koil dan kapasitor. h) Gambarkan diagram fasor untuk arus dan tegangan. koil

47. c) Impedansi seluruh elemen : Z = R + j ( X L – X C ) = 5 + j (31,4 – 15,9) = 5 + j15,5 Ω |Z|={5 2 + 15,5 2 } 1/2 = 16,3 Ω d) Arus yang mengalir pada rangkaian : | I | = | V | / | Z | = 220/16,3 = 13,5 A Terlihat bahwa impedansi didominasi oleh reaktansi induktif, sehingga fasa arus ketinggalan terhadap fasa tegangan, sebesar θ = tan -1 15,5/5 = 72,1 0. e) Faktor daya (Power faktor) : cos θ = | R | / | Z | = 5/16,3 = 0,31 mendahului f) Daya total : VI cos θ = 220x13,5x0,31 = 921 Watt g) Tegangan antara ujung koil : V L = IX L = 13,5x31,8 = 429,3 Volt Tegangan antara ujung kapasitor : V C = IX C = 13,5x15,9 = 214,7 Volt

48. 90 0 80,95 0 72,54 0 I V C V = 220 V V L =420 V GAMBAR DIAGRAM FASOR : TERLIHAT BAHWA SUPLAI TEGANGAN PADA KOIL (420 V) MELEBIHI TEGANGAN SUMBER (220 V)

49. Contoh soal 1 : Rangkaian R-L-C pada gambar (a), hitung arus i dengan menggunakan aljabar fasor Rangkaian fasornya seperti pada gambar (b). Fasor impedansi dilihat dari terminal sumber adalah : Menurut teori pembagi arus atau : i = √ 2 cos (3t + 81,9 0 ) A 5 cos 3t Volt i 1 i 1 Ω 3 Ω 1 H 1/9 F (a) 5  0 Volt I 1 I 1 Ω 3 Ω j3 Ω -j3 Ω (b)