ejercicios de limites

1. EJERCICIOS DE LÍMITES DE FUNCIONES
Ejercicio nº 1.-
A partir de la gráfica de f(x), calcula:
Y
8
6
4
2
X
8 6 4 2 2 4 6 8
2
4
6
a) lim f x  b) lim f x  c) lim f x  d) lim f x  e) lim f x 
x  x  x 1 x 1 x 5
Ejercicio nº 2.-
La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). Sobre ella, calcula los límites:
Y
8
6
4
2
X
8 6 4 2 2 4 6 8
2
4
6
a) lim f x  b) lim f x  c) lim f x 

d) lim f x 

e) lim f x 
x  x  x 3 x 3 x 0
Ejercicio nº 3.-
Dada la siguiente gráfica de f(x), calcula los límites que se indican:
Y
8
6
4
2
X
8 6 4 2 2 4 6 8
2
4
6
a) lim f x  b) lim f x  c) lim f x 

d) lim f x 

e) lim f x 
x  x  x 2 x 2 x 0
1

2. Ejercicio nº 4.-
Calcula los siguientes límites a partir de la gráfica de f(x):
Y
8
6
4
2
X
8 6 4 2 2 4 6 8
2
4
6
a) lim f x  b) lim f x  c) lim f x 

d) lim f x 

e) lim f x 
x  x  x 3 x 3 x 0
Ejercicio nº 5.-
Sobre la gráfica de f(x), halla :
Y
8
6
4
2
X
8 6 4 2 2 4 6 8
2
4
6
a) lim f x  b) lim f x  c) lim f x 

d) lim f x 

e) lim f x 
x  x  x 2 x 2 x 0
Ejercicio nº 6.-
Representa gráficamente los siguientes resultados:
a) lim f x    b) lim g x   
x  x 
Ejercicio nº 7.-
x 1
Para la función f x   , sabemos que :
x 3
x 1 x 1
lim   y lim  
x 3  x 3 x 3  x  3
Representa gráficamente estos dos límites.
2

3. Ejercicio nº 8.-
Representa gráficamente:
a) lim f x   1
x 
b) lim g x   0
x 1
Ejercicio nº 9.-
Representa los siguientes límites:
lim f x    lim f x   
x 2  x 2 
Ejercicio nº 10.-
Representa en cada caso los siguientes resultados:
a) lim f x   2
x 
b) lim g x   
x 
Ejercicio nº 11.-
Calcula:
a) lim 3  x 
2
x 2

b) lim 1   2 x
x 8

c) lim sen x

x
2
Ejercicio nº 12.-
Halla los límites siguientes:
x 3
a) lim 2
x 2 x  x  1
b) lim 6  3 x
x 1
c) lim log x
x 1
Ejercicio nº 13.-
Resuelve:
 x2 x3 
a) lim    
x 2  4 
 2 
b) lim 3 x 1
x 2
c) lim tg x

x
4
3

4. Ejercicio nº 14.-
x4 x
Calcula el límite de la función f x     en x  1 y en x  3.
3 2
Ejercicio nº 15.-
Calcula los siguientes límites:
4
a) lim 2
x 3 x  2 x  3
b) lim x 2  9
x 3
c) lim cos x
x 0
Ejercicio nº 16.-
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x 
2:
x 1
lim
x 2
x  22
Ejercicio nº 17.-
x 1
Dada la función f x   , calcula el límite de f ( x ) en x  2. Representa la
x 2  5x  6
información que obtengas.
Ejercicio nº 18.-
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función a la izquierda y a la derecha de x  3:
1
lim 2
x 3 x 9
Ejercicio nº 19.-
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de
x  0:
2x  1
lim 2
x 0 x  2x
Ejercicio nº 20.-
Calcula el límite de la siguiente función en el punto x  3 y estudia su comportamiento por la izquierda y
por la derecha:
f x  
1
x 3
4

5. Ejercicio nº 21.-
Calcula el límite cuando x   y cuando x    de la siguiente función
y representa la información que obtengas:
1 2x 2  4 x
f x  
3
Ejercicio nº 22.-
Halla el límite cuando x   de las siguientes funciones y representa gráficamente
la información que obtengas:
x x3
a) f x    1
2 2
 3x 2  2x 3
b) f x  
5
Ejercicio nº 23.-
Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas:

a) lim 2  x  x 4
x 

 x3 x2 
b) lim  
 3  2  2x 
x  
 
Ejercicio nº 24.-
Calcula los siguientes límites y representa el resultado que obtengas:
 x x2 
a) lim  3  x

x   4
 
x x 4

b) lim    x
x    3 4 
 
Ejercicio nº 25.-
Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos:
a) lim 4  x 
2
x 
b) lim 4  x 
2
x 
Ejercicio nº 26.-
Calcula y representa gráficamente la información obtenida
x 2  3x  4
lim
x  1 x 2  2 x  1
5

6. Ejercicio nº 27.-
Halla el límite siguiente y representa la información obtenida:
x 2  4x  5
lim
x 1 x 3  3x 2  3x  1
Ejercicio nº 28.-
Resuelve el siguiente límite e interprétalo gráficamente.
2 x 2  12x  18
lim
x  3 x2  x 6
Ejercicio nº 29.-
Calcula el siguiente límite y representa gráficamente los resultados obtenidos:
2x 2
lim
x 0 x 4  2x 3
Ejercicio nº 30.-
Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente:
x2  4
lim
x 2 2 x  4
Ejercicio nº 31.-
Resuelve los siguientes límites y representa los resultados obtenidos
1
a) lim
x  
1  x 3
3  x3
b) lim
x   x2
Ejercicio nº 32.-
Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados que obtengas:
3x 2  1
a) lim
x  
2  x  3
2  x3
b) lim
x   x 2  1
6

7. Ejercicio nº 33.-
Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:
 x 4  2x
a) lim
x   4  3 x 4
3x 2  2x  1
b) lim 2
x   x  1  x 3
Ejercicio nº 34.-
Halla el límite cuando x   y cuando x   de la siguiente función,
y representa los resultados que obtengas:
x 2
f x  
1  x 3
Ejercicio nº 35.-
Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:
3x
a) lim
x  5  3x
3x
b) lim
x   5  3 x
Continuidad
Ejercicio nº 36.-
A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x  0 y en x  3. En el caso de no ser continua,
indica la causa de la discontinuidad.
Y
8
6
4
2
X
8 6 4 2 2 4 6 8
2
4
6
7

8. Ejercicio nº 37.-
La siguiente gráfica corresponde a la función f x  :
Y
8
6
4
2
X
8 6 4 2 2 4 6 8
2
4
6
Di si es continua o no en x  1 y en x  2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la
causa de la discontinuidad.
Ejercicio nº 38.-
¿Son continuas las siguientes funciones en x  2?
a) b)
Y Y
8 8
6 6
4 4
2 2
X X
8 6 4 2 2 4 6 8 8 6 4 2 2 4 6 8
2 2
4 4
6 6
Si alguna de ellas no lo es, indica la razón de la discontinuidad.
Ejercicio nº 39.-
Dada la gráfica de f x  :
Y
8
6
4
2
X
8 6 4 2 2 4 6 8
2
4
6
a) ¿Es continua en x  1?
8

9. b) ¿Y en x  2?
Si no es continua en alguno de los puntos, indica cuál es la razón de la discontinuidad.
Ejercicio nº 40.-
Esta es la gráfica de la función f x  :
Y
8
6
4
2
X
8 6 4 2 2 4 6 8
2
4
6
a) ¿Es continua en x = 2?
b) ¿Y en x  0?
Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad.
Ejercicio nº 41.-
Halla el v alorde k para que f x  sea continua en x  1 :
2 x  1 si x  1
f x   
k si x  1
Ejercicio nº 42.-
Estudia la continuidad de:
 2
f x    x  2 x si x  1
3 x  1 si x  1
Ejercicio nº 43.-
Comprueba si la siguiente función es continua en x  0
2 x 2  1 si x 0

f x    x  2
 2 si x 0

9

10. Ejercicio nº 44.-
Averigua si la siguiente función es continua en x  2:
2 x si x  2
f x   
x  2 si x  2
Ejercicio nº 45.-
Estudia la continuidad de la función:
x 1
 x4
f x    3
si
 x 2  15
 si x 4
10

11. SOLUCIONES EJERC. LÍMITES DE FUNCIONES
Ejercicio nº 1.-
A partir de la gráfica de f(x), calcula:
Y
8
6
4
2
X
8 6 4 2 2 4 6 8
2
4
6
a) lim f x  b) lim f x  c) lim f x  d) lim f x  e) lim f x 
x  x  x 1 x 1 x 5
Solución:
a) lim f x    b) lim f x    c) lim f x   2 d) lim f x   3 e) lim f x   0
x  x  x 1 x 1 x 5
Ejercicio nº 2.-
La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). Sobre ella, calcula los límites:
Y
8
6
4
2
X
8 6 4 2 2 4 6 8
2
4
6
a) lim f x  b) lim f x  c) lim f x 

d) lim f x 

e) lim f x 
x  x  x 3 x 3 x 0
Solución:
a) lim f x   0 b) lim f x    c) lim f x   

d) lim f x   

e) limf x   1
x  x  x 3 x 3 x 0
11

12. Ejercicio nº 3.-
Dada la siguiente gráfica de f(x), calcula los límites que se indican:
Y
8
6
4
2
X
8 6 4 2 2 4 6 8
2
4
6
a) lim f x  b) lim f x  c) lim f x 

d) lim f x 

e) lim f x 
x  x  x 2 x 2 x 0
Solución:
a) lim f x    b) lim f x    c) lim f x   2

d) lim f x   4

e) limf x   0
x  x  x 2 x 2 x 0
Ejercicio nº 4.-
Calcula los siguientes límites a partir de la gráfica de f(x):
Y
8
6
4
2
X
8 6 4 2 2 4 6 8
2
4
6
a) lim f x  b) lim f x  c) lim f x 

d) lim f x 

e) lim f x 
x  x  x 3 x 3 x 0
Solución:
a) lim f x   0 b) lim f x   0 c) lim f x   

d) lim f x   

e) limf x   1
x  x  x 3 x 3 x 0
12

13. Ejercicio nº 5.-
Sobre la gráfica de f(x), halla :
Y
8
6
4
2
X
8 6 4 2 2 4 6 8
2
4
6
a) lim f x  b) lim f x  c) lim f x 

d) lim f x 

e) lim f x 
x  x  x 2 x 2 x 0
Solución:
a) lim f x   1 b) lim f x   1 c) lim f x   

d) lim f x   

e) limf x   1
x  x  x 2 x 2 x 0
Ejercicio nº 6.-
Representa gráficamente los siguientes resultados:
a) lim f x    b) lim g x   
x  x 
Solución:
a)
b)
Ejercicio nº 7.-
x 1
Para la función f x   , sabemos que :
x 3
x 1 x 1
lim   y lim  
x 3  x 3 x 3  x  3
Representa gráficamente estos dos límites.
13

14. Solución:
3
Ejercicio nº 8.-
Representa gráficamente:
a) lim f x   1
x 
b) lim g x   0
x 1
Solución:
a)
1 1
o bien
b) Por ejemplo:
1
Ejercicio nº 9.-
Representa los siguientes límites:
lim f x    lim f x   
x 2  x 2 
Solución:
2
Ejercicio nº 10.-
Representa en cada caso los siguientes resultados:
a) lim f x   2
x 
b) lim g x   
x 
14

15. Solución:
a)
2 2
o bien
b)
Ejercicio nº 11.-
Calcula:
a) lim 3  x 
2
x 2

b) lim 1   2 x
x 8

c) lim sen x

x
2
Solución:
a) lim 3  x   52  25
2
x 2
 
b) lim 1   2x  1  16  1  4  5
x 8

c ) lim sen x  sen 1
 2
x
2
Ejercicio nº 12.-
Halla los límites siguientes:
x 3
a) lim 2
x 2 x  x  1
b) lim 6  3 x
x 1
c) lim log x
x 1
Solución:
x 3 1 1
a) lim  
x 2 x  x 1
2 4  2 1 7
b) lim 6  3 x  6  3  9  3
x 1
c) lim log x  log 1  0
x 1
15

16. Ejercicio nº 13.-
Resuelve:
 x2 x3 
a) lim    
x 2  4 
 2 
b) lim 3 x 1
x 2
c) lim tg x

x
4
Solución:
 x2 x3 
a) lim      2  2  0
x 2  4 
 2 
1
b) lim 3 x 1  3 1 
x 2 3

c) lim tg x  tg 1
 4
x
4
Ejercicio nº 14.-
x4 x
Calcula el límite de la función f x     en x  1 y en x  3.
3 2
Solución:
 x4 x  1 1 1
lim      
x 1  2
 3  3 2 6
 x4 x  3 51
lim      27   
x 3  3 2 2 2

Ejercicio nº 15.-
Calcula los siguientes límites:
4
a) lim 2
x 3 x  2 x  3
b) lim x 2  9
x 3
c) lim cos x
x 0
Solución:
4 4 4 2
a) lim   
x 3 x 2  2x  3 9  6  3 18 9
b) lim x 2  9  9  9  0  0
x 3
c) limcos x  cos 0  1
x 0
16

17. Ejercicio nº 16.-
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x 
2:
x 1
lim
x 2
x  22
Solución:
x 1 x 1 x 1
lim  lim  lim  

x 2 x  2 2 
x 2 x  2 2 x 2 x  2 2
2
Ejercicio nº 17.-
x 1
Dada la función f x   , calcula el límite de f ( x ) en x  2. Representa la
x  5x  6
2
información que obtengas.
Solución:
x 1 x 1

x  5 x  6 x  2x  3
2
Calculamos los límites laterales:
x 1 x 1
lim   lim  
x 2 x  2x  3 x 2 x  5x  6
2
2
Ejercicio nº 18.-
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función a la izquierda y a la derecha de x  3:
1
lim 2
x 3 x 9
Solución:
1 1
lim  lim
x 3 x 9
2 x 3 x  3x  3
Calculamos los límites laterales:
17

18. 1 1
lim   lim  
x 3
x 9
2 
x 3 x 9
2
3
Ejercicio nº 19.-
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de
x  0:
2x  1
lim 2
x 0 x  2x
Solución:
2x  1 2x  1
lim  lim
x 0 x  2x
2 x 0 x x  2
Calculamos los límites laterales:
2x  1 2x  1
lim   lim  
x 0
x  2x
2 x 0
x 2  2x
Ejercicio nº 20.-
Calcula el límite de la siguiente función en el punto x  3 y estudia su comportamiento por la izquierda y
por la derecha:
f x  
1
x 3
Solución:
x 3  0  x  3
Calculamos los límites laterales:
1 1
lim   lim  
x 3 x  3

x 3
x 3
3
18

19. Ejercicio nº 21.-
Calcula el límite cuando x   y cuando x    de la siguiente función
y representa la información que obtengas:
1 2x 2  4 x
f x  
3
Solución:
1  2x 2  4 x 1  2x 2  4 x
lim   lim  
x  3 x  3
Ejercicio nº 22.-
Halla el límite cuando x   de las siguientes funciones y representa gráficamente
la información que obtengas:
x x3
a) f x    1
2 2
 3x 2  2x 3
b) f x  
5
Solución:
 x x3 
a) lim    1  
x   2 2 
 
 3 x 2  2x 3
b) lim  
x  5
Ejercicio nº 23.-
19

20. Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas:

a) lim 2  x  x 4
x 

 x3 x2 
b) lim    2x 
x    3 2 
 
Solución:
 
a) lim 2  x  x 4  
x 
 x3 x2 
b) lim    2x   
x   3 2 
 
Ejercicio nº 24.-
Calcula los siguientes límites y representa el resultado que obtengas:
 x x2 
a) lim  3  x

x   4
 
x x 4

b) lim    x
x    3 4 
 
Solución:
 x x2 
a) lim    x   
x   3 4 
 
 x x4 
b) lim    x   
x  3 4 
 
20

21. Ejercicio nº 25.-
Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos:
a) lim 4  x 
2
x 
b) lim 4  x 
2
x 
Solución:
a) lim 4  x   
2
x 
b) lim 4  x   
2
x 
Ejercicio nº 26.-
Calcula y representa gráficamente la información obtenida
x 2  3x  4
lim
x  1 x 2  2 x  1
Solución:
lim
x 2  3x  4
 lim
x  1x  4  lim x  4
x 1 x  2x  1
2 x 1 x  12 x 1 x  1
Calculamos los límites laterales:
x4 x4
lim   lim  
x 1 x 1 x 1 x 1
1
21

22. Ejercicio nº 27.-
Halla el límite siguiente y representa la información obtenida:
x 2  4x  5
lim
x 1 x  3x 2  3x  1
3
Solución:
lim
x 2  4x  5
 lim
x  1x  5  lim x  5  
x 1 x 3  3x  3x  1
2 x 1 x  13 x 1 x  12
1
Ejercicio nº 28.-
Resuelve el siguiente límite e interprétalo gráficamente.
2 x 2  12x  18
lim
x  3 x2  x 6
Solución:
2x  3 2x  3
2
2x 2  12x  18
lim  lim  lim 0
x 3 x2  x  6 x 3 x  3x  2 x 3 x  2
3
Ejercicio nº 29.-
Calcula el siguiente límite y representa gráficamente los resultados obtenidos:
2x 2
lim
x 0 x 4  2x 3
Solución:
2x 2 2x 2 2
lim  lim  lim
x 0 x  2x
4 3 x 0 x 3
x  2 x 0 x x  2 
22

23. Calculamos los límites laterales:
2 2
lim   lim  

x 0 x x  2 x 0
x x  2
Ejercicio nº 30.-
Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente:
x2  4
lim
x 2 2 x  4
Solución:
lim
x2  4
 lim
x  2x  2  lim x  2   4  2
x 2 2 x  4 x 2 2x  2 x 2 2 2
2
2
Ejercicio nº 31.-
Resuelve los siguientes límites y representa los resultados obtenidos
1
a) lim
x  
1  x 3
3  x3
b) lim
x   x2
Solución:
1
a) lim 0
x  1  x 3
3  x3
b) lim  
x  x2
23

24. Ejercicio nº 32.-
Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados que obtengas:
3x 2  1
a) lim
x  
2  x  3
2  x3
b) lim
x   x 2  1
Solución:
3x 2  1
a) lim 0
x  2  x  3
2  x3
b) lim  
x  x2 1
Ejercicio nº 33.-
Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:
 x 4  2x
a) lim
x   4  3 x 4
3x 2  2x  1
b) lim 2
x   x  1  x 3
Solución:
 x 4  2x 1 1
a) lim  
x  4  3x 4 3 3
24

25. 1/3
3 x 2  2x  1
b) lim 0
x  x 2  1 x 3
Ejercicio nº 34.-
Halla el límite cuando x   y cuando x   de la siguiente función,
y representa los resultados que obtengas:
x 2
f x  
1  x 3
Solución:
x2 x2
lim 0 lim 0
x  1  x  3 x  1  x 3
Ejercicio nº 35.-
Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:
3x
a) lim
x  5  3x
3x
b) lim
x   5  3 x
Solución:
3x 3
a) lim  1
x  5  3x 3
1
25

26. 3x
b) lim 1
x  5  3x
1
Continuidad
Ejercicio nº 36.-
A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x  0 y en x  3. En el caso de no ser continua,
indica la causa de la discontinuidad.
Y
8
6
4
2
X
8 6 4 2 2 4 6 8
2
4
6
Solución:
En x = 0, sí es continua.
En x = 3 es discontinua porque no está definida, ni tiene límite finito. Tiene una rama infinita en ese punto (una
asíntota vertical).
Ejercicio nº 37.-
La siguiente gráfica corresponde a la función f x  :
Y
8
6
4
2
X
8 6 4 2 2 4 6 8
2
4
6
Di si es continua o no en x  1 y en x  2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la
causa de la discontinuidad.
26

27. Solución:
En x  1 no es continua porque presenta un salto en ese punto. Observamos que
lim f x   lim f x 
x 1 x 1 .
En x  2 sí es continua.
Ejercicio nº 38.-
¿Son continuas las siguientes funciones en x  2?
a) b)
Y Y
8 8
6 6
4 4
2 2
X X
8 6 4 2 2 4 6 8 8 6 4 2 2 4 6 8
2 2
4 4
6 6
Si alguna de ellas no lo es, indica la razón de la discontinuidad.
Solución:
a) No es continua en x  2; aunque esté definida en x  2, tiene el punto desplazado. Es una
discontinuidad evitable porque existe limf x 
x 2 .
b) Sí es continua en x  2.
Ejercicio nº 39.-
Dada la gráfica de f x  :
Y
8
6
4
2
X
8 6 4 2 2 4 6 8
2
4
6
a) ¿Es continua en x  1?
b) ¿Y en x  2?
Si no es continua en alguno de los puntos, indica cuál es la razón de la discontinuidad.
27

28. Solución:
a) Sí es continua en x  1.
b) No, en x  2 es discontinua porque no está definida en ese punto. Como sí tiene límite en ese punto, es una
discontinuidad evitable.
Ejercicio nº 40.-
Esta es la gráfica de la función f x  :
Y
8
6
4
2
X
8 6 4 2 2 4 6 8
2
4
6
a) ¿Es continua en x = 2?
b) ¿Y en x  0?
Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad.
Solución:
a) No es continua en x  2 porque no está definida, ni tiene límite finito en ese punto. Tiene una rama infinita en
ese punto (una asíntota vertical).
b) Sí es continua en x  0.
Ejercicio nº 41.-
Halla el v alorde k para que f x  sea continua en x  1 :
2 x  1 si x  1
f x   
k si x  1
Solución:
lim f x   lim2 x  1  3
x 1 x 1 
lim f x   k


x 1

f  1  3 
Para que sea continua en x  1, lim f x   lim f x   f  1
 
x 1 x 1 .
Ha de ser k  3.
28

29. Ejercicio nº 42.-
Estudia la continuidad de:
 2
f x    x  2 x si x  1
3 x  1 si x  1
Solución:
Si x 1, la función es continua.
Si x  1:
x 1

x 1

lim f x   lim x 2  2 x  1


lim f x   lim 3 x  1  2 
x 1 x 1 
No es continua en x  1 porque lim f x   lim f x . Es decir, no tienelímiteen ese punto.
 
x 1 x 1
Ejercicio nº 43.-
Comprueba si la siguiente función es continua en x  0
2 x 2  1 si x 0

f x    x  2
 2 si x 0

Solución:
 
lim f x   lim 2 x 2  1  1
x 0  x 0  
 x  2 
lim f x   lim    1  Es continuaen x  0 porque limf x   f 0 .
x 0  x 0   2  x 0

f 0   1 

Ejercicio nº 44.-
Averigua si la siguiente función es continua en x  2:
2 x si x  2
f x   
x  2 si x  2
Solución:
lim f  x   lim  2x   4 
x 2  x 2  
lim f  x   lim x  2  4 Es continuaen x  2 porque limf x   f  2.
x 2  x 2  x 2

f 2  4 
29

30. Ejercicio nº 45.-
Estudia la continuidad de la función:
x 1
 x4
f x    3
si
 x 2  15
 si x 4
Solución:
Si x  4, la función es continua.
Si x  4:
x 1 
lim f x   lim
 
1 
x 4 x 4 3
  
lim f x   lim x 2  15  1 Tambiénes continuaen x  4 porque lim f x   f 4 .
  x 4
x 4 x 4

f 4   1 

30