Sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2 2-acin

2012
Guía: Sistemas de Ecuaciones
Lineales 2 X 2

Fabián A. Vargas Ramírez

CECIDIC
Centro de Educación, Capacitación e
Investigación para el Desarrollo Integral
de la Comunidad

CECIDIC
Fabián A. Vargas R.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2 X 2 Grado Noveno

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2 X 2
Las necesidades de resolver numéricamente algunas situaciones cotidianas, que para
algunos se podría lograr mediante el cálculo mental, fue para otros todo un proceso
algebraico. Tomemos como referencia a matemático Descartes quien mediante la
resolución de problemas llevo a volver todo problema uno algebraico. Mediante su método
de resolución planteaba tres fases las cuales eran las siguientes:

… (I)Reducir cualquier problema algebraico a la resolución una ecuación simple (II) Reducir
cualquier problema matemático a un problema algebraico; y fase (III) Reducir cualquier problema
a un problema matemático. … Descartes intentaba matematizar cualquier problema, reduciéndolo
paulatinamente a una ecuación algebraica. (Cruz Ramírez, 2006)

Luego desde esta perspectiva nos podemos imaginar todo un proceso en el que se busque
llevar todo problema a un problema matemático, luego buscaremos llevar todos los
problemas de esta sección no solo a una ecuación, mejor aun a un sistema de ecuaciones
lineales 2 x 2 o 3 x 3. Para llegar a este objetivo vamos a plantear algunos ejemplos para
después mirar como mediante la solución de sistemas de ecuaciones lineales, llegamos a
las respuestas.

Ejemplo 1

Valentín fue al mercado y paso por el granero de Don Beto, donde pago $ 34. 200. Si
Valentín compro 12 libras de azúcar y 18 libras de arroz, pero luego se devolvió porque su
hermana lo llamo y le pedio que le comprara 14 libras de azúcar y 17 de arroz que le
costaron $ 34. 700 ¿Cuál fue el precio que pago por cada libra de azúcar y arroz?

Ejemplo 2

Juan Siembra 4 eras de cilantro y 6 de repollo las cuales cuestan $ 98. 800; mientras que
Santiago siembra 5 eras de repollo y 7 de cilantro las cuales le cuestan $ 113. 500. Si Juan
quiere sembrar 4 eras mas de cada hortaliza, ¿Cuánto cuesta cada era de cilantro y repollo?,
y también ¿Cuánto le costaran las 4 eras de más que quiere sembrar Juan?

Ejemplo 3

Camilo quiere vender 7 gajos de plátano verde y 9 de banano a Don Ignacio; el cual le
ofrece $ 71. 000. Luego Marcos le ofrece a Don Ignacio 7 Gajos de banano y 10 de plátano,
quien le dice que se los paga en $ 78. 000. Si Marcos y Camilo quieren vender el gajo de
plátano a $ 4. 800 y el de banano a $ 4.200. ¿Cuál es el precio que les está pagando Don
Ignacio por cada gajo de plátano verde y banano? ¿Cuánto perderían o ganarían?

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Según las clases anteriores para resolver
un problema tenemos los siguientes pasos:
1. Lee y comprende el problema
2. Realiza un plan
3. Ejecuta el plan
4. Verifica el resultado

RECUERDA

Vamos a reforzar un poco estos pasos:

Para el paso 1

1. Análisis.

a) Dibuje un diagrama siempre que sea posible.

- Por ejemplo para casos en que utilizan figuras geométricas, perímetro, área, volumen,…

b) Examine casos especiales.

1) Seleccione algunos valores especiales para ejemplificar el problema e irse familiarizando
con él.

-dar valores que usted se imagine para observar si se cumplen las condiciones del problema

2) Examine casos límite para explorar el rango de posibilidades.

- dependiendo el problema imaginarse casos en los que se pueda dar o no la solución

3) Si hay un parámetro entero, dele sucesivamente los valores 1, 2,. . ., m y vea si emerge algún
patrón inductivo.

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- Esto en el caso de que parezca que se dan ciertas condiciones similares de las cuales se puede
predecir el resultado

c) Trate de simplificar el problema.

1) Explotando la existencia de simetría.

- Buscar si haciéndole algunas variaciones se conserva la idea del problema

2) Usando argumentos del tipo: sin pérdida de generalidad".

- Esto se hace cuando se aplica lo anterior de tal forma que utilicemos un caso especial para
luego generalizar

Para el paso 2 y 3

2. Exploración.

a) Considere problemas esencialmente equivalentes.

1) Reemplazando condiciones por otras equivalentes.

-por ejemplo si me es mejorar la escritura de tal forma que entienda mejor el problema

2) Recombinando los elementos del problema de maneras diferentes.

-Haciéndole cambios al problema de tal forma que lo pueda comprender mejor

3) Introduciendo elementos auxiliares.

- Introduciéndole elementos, números, variables que me puedan dar mejores orientaciones

4) Reformulando el problema:

-Mediante un cambio de perspectiva o notación.

* Por ejemplo cambiar palabras o símbolos que me ayuden a visualizar mejor el problema

-Mediante argumentos por contradicción o contraposición.

-Asumiendo que tenemos una solución y determinando sus propiedades.

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b) Considere un problema ligeramente modificado.

1) Escoja sub metas (tratando de satisfacer parcialmente las condiciones).
2) Relaje una condición y luego trate de reimponerla.
3) Descomponga el dominio del problema y trabaje caso por caso.

c) Considere problemas sustancialmente modificados.

1) Construya un problema análogo con menos variables.
2) Deje todas las variables fijas excepto una, para determinar su impacto.
3) Trate de aprovechar cualquier problema relacionado que tenga forma, datos o conclusiones
similares.

Para el cuarto paso

3. Verificación de la solución.

a) ¿Pasa su solución estas pruebas especificas?

1) ¿Usa todos los datos pertinentes?
2) ¿Está de acuerdo con estimaciones o predicciones razonables?

b) ¿Pasa estas pruebas generales?

1) ¿Puede ser obtenida de manera diferente?
2) ¿Puede ser sustanciada por casos especiales?
3) ¿Puede ser reducida a resultados conocidos?
4) ¿Puede utilizarse para generar algún resultado conocido? (Nieto said, 2004)

Solución ejemplo 1

Recordemos el ejemplo 1,

Valentín fue al mercado y paso por el granero de Don Beto, donde pago $ 34. 200. Si
Valentín compro 12 libras de azúcar y 18 libras de arroz, pero luego se devolvió porque su
costaron $ 34. 700 ¿Cuál fue el precio que pago por cada libra de azúcar y arroz?

El problema se trata de una persona “Valentín”, que va al granero y compra arroz y azúcar
para él y su hermana; luego el paga un precio por sus compras pero no sabe cuanto le
cuesta cada libra de cada producto.

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¿Cuánto me costó
cada libra de arroz
y de azúcar?

Para realizar nuestro plan vamos a utilizar ecuaciones lineales que ya habíamos visto antes;
luego como necesitamos saber a que precio es cada libra de azúcar y arroz:

Primero: la azúcar y el arroz son nuestras variables, por lo tanto démosle símbolos con dos
letras que pueden ser a y b, donde;

a: Lo que cuesta cada libra de azúcar

b: Lo que cuesta cada libra de arroz

Segundo: Como ya tenemos las variables, ahora expresemos en el lenguaje algebraico
nuestro problema;

Cada libra de azúcar cuesta a pesos y b pesos la de arroz, escribamos nuestra primera
ecuación, de esta parte del problema “donde pago $ 34. 200. Si Valentín compro 12 libras
de azúcar y 18 libras de arroz”;

Para las 12 libras de azúcar:

1 libra a pesos, 2 libras 2 a pesos, 3 libras 3 a pesos,…, 12 libras 12 a pesos

Para las 18 libras de arroz:

1 libra b pesos, 2 libras 2 b pesos, 3 libras 3 b pesos,…, 18 libras 18 b pesos

Es decir,

12 a + 18 b 12 libras de azúcar y 18 libras de arroz

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Y como le costaron $ 34. 200.

Entonces,

12 a + 18 b = 34. 200 (1)

Luego, vamos a sacar nuestra segunda ecuación de: “pero luego se devolvió porque su
costaron $ 34. 700”

Así nuestra segunda ecuación es:

14 a + 17 b = 34. 700 (2)

Con lo cual, obtuvimos la ecuación (1) y (2);

Luego, reunimos las dos ecuaciones que nos forman un sistema de ecuaciones lineales 2 x
2, así;

Sistema de ecuaciones 12 a + 18 b = 34. 200 (1)

Lineales 2 x 2 14 a + 17 b = 34. 700 (2)

Se llama sistema de ecuaciones lineales 2 x 2, porque tiene dos ecuaciones (1) y (2), como
también dos incógnitas a y b.

Nota: Para solucionar este sistema vamos a ver más adelante, los métodos de solución que
se pueden realizar.

Solución ejemplo 2

Ejemplo 2

Juan Siembra 4 eras de cilantro y 6 de repollo las cuales cuestan $ 98. 800; mientras que
Santiago siembra 5 eras de repollo y 7 de cilantro las cuales le cuestan $ 113. 500. Si Juan
quiere sembrar 4 eras mas de cada hortaliza, ¿Cuánto cuesta cada era de cilantro y repollo?,
y también ¿Cuánto le costaran las 4 eras de más que quiere sembrar Juan?

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El problema se trata de dos personas “Juan” y
“Santiago”, las cuales quieren saber cuánto les
cuesta cada era de repollo y cilantro, donde
Juan Sembró 4 eras de cilantro y 6 de repollo;
mientras que Santiago siembra 5 eras de repollo
y 7 de cilantro, además de tener costos distintos.

Como lo hicimos en el anterior problema vamos a plantear un sistema de ecuaciones;

Primero: la era de repollo y la de cilantro son nuestras variables, por lo tanto démosle
símbolos con dos letras que pueden ser r y c, donde;

r: Lo que cuesta cultivar cada era de repollo

c: Lo que cuesta cultivar cada era de cilantro

nuestro problema;

Cada era de repollo cuesta r pesos y c pesos la de cilantro, escribamos nuestra primera
ecuación, de esta parte del problema “Juan Siembra 4 eras de cilantro y 6 de repollo las
cuales cuestan $ 98. 800”;

Para las 4 eras de cilantro:

1 era c pesos, 2 eras 2 c pesos, 3 eras 3 c pesos, 4 eras 4 c pesos

Para las 6 eras de repollo:

1 era r pesos, 2 eras 2 r pesos, 3 eras 3 r pesos, 6 eras 6 r pesos

Es decir,

4c+6r 4 eras de cilantro y 6 de repollo

Y como le costaron $ 98. 800; entonces,
4 c + 6 r = 98. 800 (1)

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Luego, vamos a sacar nuestra segunda ecuación de: “mientras que Santiago siembra 5 eras
de repollo y 7 de cilantro las cuales le cuestan $ 118. 100”

Así nuestra segunda ecuación es:

7 c + 5 r = 113. 500 (2)


2, así;

Sistema de ecuaciones 4 c + 6 r = 98. 800 (1)

Lineales 2 x 2 7 c + 5 r = 113. 500 (2)

se pueden realizar.

Solución ejemplo 3

Ejemplo 3

Camilo quiere vender 7 gajos de plátano verde y 9 de banano a Don Ignacio; el cual le
ofrece $ 71. 000. Luego Marcos le ofrece a Don Ignacio 7 Gajos de banano y 10 de plátano,
quien le dice que se los paga en $ 78. 000. Si Marcos y Camilo quieren vender el gajo de
plátano a $ 4. 800 y el de banano a $ 4.200. ¿Cuál es el precio que les está pagando Don
Ignacio por cada gajo de plátano verde y banano? ¿Cuánto perderían o ganarían?

Este problema plantea como Camilo y Marcos
pretenden vender unos gajos de plátano y banano
a Don Ignacio, pero él no les dice el precio que
les va a comprar cada gajo, si no que les ofrece
una cantidad por todos. Luego Marcos y Camilo
llevan unos precios de venta, por cada gajo y se
nos pregunta cuál fue el precio que les paga Don
Ignacio por cada gajo.

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Como lo hicimos en el anterior problema vamos a plantear un sistema de ecuaciones;

Primero: El gajo de plátano y el de banano son nuestras variables, por lo tanto démosle
símbolos con dos letras que pueden ser p y b, donde;

p: Lo que cuesta cada gajo de plátano

b : Lo que cuesta cada gajo de banano

nuestro problema;

Escribamos nuestra primera ecuación, de esta parte del problema “Camilo quiere vender 7
gajos de plátano verde y 9 de banano a Don Ignacio; el cual le ofrece $ 71. 000”;

Para los 7 gajos de plátano:

1 plátano p pesos, 2 plátanos 2 p pesos, 3 plátanos 3 p pesos,…,7 plátanos 7p
pesos

Para los 7 gajos de banano:

1 banano b pesos, 2 bananos 2 b pesos, 3 bananos 3 b pesos,…,9 bananos 9b
pesos

Es decir,

7 p + 9 b = 71. 000 (1)

Luego, vamos a sacar nuestra segunda ecuación de: “Luego Marcos le ofrece a Don Ignacio
7 Gajos de banano y 10 de plátano, quien le dice que se los paga en $ 78. 000”

Para los 10 gajos de plátano:

1 plátano p pesos, 2 plátanos 2 p pesos, 3 plátanos 3 p pesos,…,10 plátanos 10
p pesos

Para los 7 gajos de banano:

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1 banano b pesos, 2 bananos 2 b pesos, 3 bananos 3 b pesos,…,7 bananos 7b
pesos

Es decir,

10 p + 7 b = 78. 000 (2)


2, así;

Sistema de ecuaciones 7 p + 9 b = 71. 000 (1)

Lineales 2 x 2 10 p + 7 b = 78. 000 (2)

se pueden realizar.

METODOS PARA SOLUCIONAR
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2 X 2

Los métodos que utilizaremos para solucionar los sistemas que ya hemos planteado y otros
más, serán Igualación, Sustitución y Eliminación; para cada uno de estos métodos
vamos a utilizar los ejemplos que ya nos dieron sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2.

Igualación
La igualación consiste esencialmente en dejar nuestras ecuaciones en primera instancia en
términos de una variable, para luego igualar las dos ecuaciones y así descubrir el valor de
la otra variable; como ejemplo tomaremos el sistema del ejemplo 3.

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CECIDIC

Sistema de ecuaciones 7 p + 9 b = 71. 000 (1)

Lineales 2 x 2 10 p + 7 b = 78. 000 (2)

Ahora, tenemos que dejar nuestras dos ecuaciones en términos de una sola variable, para
poder igualar las ecuaciones resultantes de (1) y (2), para hallar el valor de la otra variable,
de la siguiente forma:

Escribamos las dos ecuaciones en
términos de p. Es decir despejar las 7p + 9b = 71. 000 (1)
ecuaciones y que nos quede solo p en el 10p + 7b = 78. 000 (2)
lado izquierdo de (1) y (2)

1. Utilizamos el inverso aditivo de 9 b y 7 b,
que es - 9 b y -7 b, respectivamente, de tal 7p + 9b - 9b = 71. 000 - 9b (1)
forma que lo agregamos a ambos lados de
10p + 7b - 7b = 78. 000 - 7b (2)
(1) y (2) y luego cancelamos.

2. Utilizamos el inverso multiplicativo de 7 7p = (71. 000 - 9b) (1)
y 10, que es y , respectivamente, de tal
forma que lo agregamos a ambos lados de 10 p = (78. 000 - 7b) (2)
(1) y (2) y luego cancelamos.

p = (3)
3. Así nos quedan otras dos ecuaciones
que llamaremos (3) y (4)
p = (4)

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CECIDIC

4. p está en la ecuación (3) y (4), solo que
equivale a dos resultados distintos, es
como decir:
“La misma persona vestida de dos formas
distintas”

5. Igualemos, los dos resultados distintos de p

=

=
6. Pasamos a multiplicar el 7 y
el 10 a los distintos lados de
donde se encuentran de tal
forma que me quedan así:
10 (71. 000 - 9b) = 7 (78. 000 - 7b)

7. Multiplicamos 10 y 7 por lo
710. 000 – 90 b = 546. 000 - 49 b
que está dentro de los paréntesis

8. Con el inverso aditivo de 710. 000 - 546. 000 – 90 b = 546. 000 - 546. 000 - 49 b
546. 000 que es - 546. 000, lo
colocamos en los dos lados de
la ecuación y realizamos las
operaciones 164. 000 – 90 b = - 49 b

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CECIDIC

164. 000 – 90 b + 90 b = - 49 b+ 90 b
Despejemos el valor de b,
9. Con el inverso aditivo de
– 90b que es 90 b, lo colocamos
en los dos lados de la ecuación y
hacemos las operaciones 164. 000 = 41b
correspondientes O
41b= 164. 000

10. Utilizamos el inverso
multiplicativo de 41 que es y
41 b = 164. 000
lo multiplicamos en los dos
lados de la ecuación

6. Cancelamos el 41 en el lado
izquierdo y se hace el cociente
entre 164.000 y 41 en el lado b =
derecho

7. Se obtiene el valor de b b = 4.000

Con lo cual obtenemos que el valor de cada gajo de banano sea de $ 4. 000; ahora hallemos
el valor del gajo de plátano verde reemplazando en la ecuación (3) o (4). Utilicemos la
ecuación (3)
p = (3)

Como el valor de b es de 4. 000, lo reemplazamos en la ecuación (3),

p =

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CECIDIC

Realizamos la operación de multiplicación, resta, y división

p =

p = 5. 000

Luego obtuvimos el valor de b y p, ahora verifiquemos que se cumple lo que nos dice el
problema:

Verificación
7 gajos de plátano verde a $ 5.000 equivalen a $ 35. 000,

7 x 5. 000 = 35. 000

9 gajos de banano a $ 4.000 equivalen a $ 36. 000,

9 x 4. 000 = 36. 000

Además,

35. 000 + 36. 000 = 71. 000
Es decir, que se cumplen las condiciones del problema, luego podemos dar la respuesta a
las preguntas.

1. ¿Cuál es el precio que les está pagando Don Ignacio por cada gajo de plátano verde y
banano?

Respuesta: Don Ignacio les está pagando el gajo de plátano verde a $ 5.000 y el de banano

a $ 4. 000

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CECIDIC

2. ¿Cuánto perderían o ganarían?

Camilo y Marcos pensaban vender los gajos de plátano verde a $ 4. 800 y los de banano a
$ 4. 200, luego veamos que pasaría si lo vendieran a estos precios:

Camilo


7 x 4. 800 = 33. 600


9 x 4. 200 = 37. 800

Además,

33. 600 + 37. 800 = 71. 400

Es decir, que Camilo perdería $ 400

Marcos


10 x 4. 800 = 48. 000


7 x 4. 200 = 29. 400

Además,
48. 000+ 29. 400= 77. 400

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CECIDIC

Es decir, que Marcos ganaría $ 600.

Por tanto, queda a su decisión si deciden hacer el trato con Don Ignacio.

Sustitución
La sustitución es un método que consiste en despejar una ecuación en términos de una
variable para luego reemplazarla en la otra ecuación. Veamos con el sistema de ecuaciones
lineales 2 x 2 del ejemplo 1 como utilizar el método de sustitución:

Sistema de ecuaciones 12 a + 18 b = 34. 200 (1)

Lineales 2 x 2 14 a + 17 b = 34. 700 (2)

Ahora, dejemos una de las dos ecuaciones en términos de una variable,

Escribamos la ecuación (1) en términos
de a. Es decir despejar la ecuación y que 12 a + 18 b = 34. 200 (1)
nos quede solo a en el lado izquierdo de
(1) y reemplacémosla en la ecuación (2) 14 a + 17 b = 34. 700 (2)

1. Utilizamos el inverso aditivo de 18 b
que es - 18 b y -7 b, de tal forma que lo 12 a + 18 b - 18 b = 34. 200 - 18 b (1)
agregamos a ambos lados de (1), luego
cancelamos.

2. Utilizamos el inverso multiplicativo de
12, que es , de tal forma que lo
agregamos a ambos lados de (1) y luego 12 a = (34. 200 - 18 b) (1)
cancelamos.

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CECIDIC

3. Así nos queda otra ecuación que
llamaremos (3) a = (3)

4. Ahora vamos a reemplazar o sustituir el
resultado de a en (2)

Sea (2)
14 a + 17 b = 34. 700
Reemplacemos a

5. Multiplicamos 14 por lo que está
dentro del paréntesis (La parte superior)

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CECIDIC

6. Multiplicamos 12 por 17 b y hacemos
las operaciones (operaciones con
fraccionarios)

7. Multiplicamos 12 por 34.700 y
hacemos las operaciones (operaciones con 478.800 – 48 b = 12(34. 700)
fraccionarios)

478.800 – 48 b = 416. 400

478.800 – 48 b+48 b = 416. 400 + 48 b

478.800 = 416. 400 + 48 b

8. Utilizamos el inverso aditivo de - 48 b
que es + 48 b, luego usamos el inverso
aditivo 416. 600 que es – 416. 600 y 478.800 – 416. 400 = 416. 400 – 416. 400 + 48
hacemos las operaciones correspondientes b
478.80062.416. 400 =b416. 400 – 416. 400
– 400 = 48
O
48 b = 62. 400

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CECIDIC

48 b = 62. 400

48 b = 62. 400)
9. Utilizamos el inverso multiplicativo de
48 b que es y hacemos las operaciones
correspondientes

b=

b = 1. 300

Así, llegamos a que el valor de b = 1.300, es decir que el arroz cuesta $ 1.300; luego vamos
a hallar el valor de a reemplazando el resultado de b en (3), para obtener el valor de a:

a = (3)

Como, b = 1. 300 reemplacemos en (3)

a =
(3)

a =
(3)

a = (3)

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CECIDIC

a = 900

Así, llegamos a que el valor de a = 900, es decir que el azúcar cuesta $ 900. Luego vamos
a hacer la verificación, utilizando el caso de Juan expresado en la ecuación (1) 12 a + 18 b.

Verificación
12 libras de azúcar a $ 900 equivalen a $ 10. 800,

12 x 900 = 10. 800

18 libras de arroz a $ 1.300 equivalen a $ 23. 400,

18 x 1. 300 = 23. 400

Además,

10. 800 + 23. 400 = 34. 200

Es decir, que se cumplen las condiciones del problema, luego podemos dar la respuesta a la
pregunta.

¿Cuál fue el precio que pago por cada libra de azúcar y arroz?

Respuesta: El pecio de cada libra de azúcar y arroz respectivamente es de $ 900 y $1.300.

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CECIDIC

Eliminación
El método de eliminación es el último de los métodos que estudiaremos, el cual consiste en
eliminar una variable de las dos ecuaciones, de tal forma que solo me quede una variable
para despejar y hallar su valor; usemos el ejemplo 2 para realizar la solución a este sistema
de ecuaciones 2 x 2;

Sistema de ecuaciones 4 c + 6 r = 98. 800 (1)

Lineales 2 x 2 7 c + 5 r = 113. 500 (2)

Ahora, eliminemos a r de las dos ecuaciones

Como en la ecuación (1) el coeficiente de 4 c + 6 r = 98. 800 (1)
r es 6 y en (2) es 5, no los podemos
eliminar, luego vamos a hacer lo siguiente: 7 c + 5 r = 113. 500 (2)

1. Como necesitamos eliminar r de (1) y
(2), multipliquemos por 5 la ecuación (1) y
por – 6 la ecuación (2)

5 * 4 c + 6 r = 98. 800 (1)

- 6 * 7 c + 5 r = 113. 500 (2)

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CECIDIC

5 (4 c + 6 r) = 5 (98. 800) (1)

- 6 (7 c + 5 r) = - 6 (113. 500) (2)
2. multipliquemos por 5 la ecuación (1) y
por – 6 la ecuación (2) en ambos lados de
las ecuaciones y resolvemos las
operaciones.
20 c + 30 r = 494. 000 (1)

- 42 c - 30 r = - 681. 000 (2)

20 c + 30 r = 494. 000 (1)

- 42 c - 30 r = - 681. 000 (2)

3. Ahora vamos a sumar
las dos ecuaciones de la
siguiente forma:

20 c + 30 r - 42 c – 30 r = 494. 000 - 681. 000

4. Realicemos las
- 22 c = - 187. 000 (3)
operaciones

5. Cancelemos el
– 22 con el inverso
multiplicativo que es - 22 c = (- 187. 000) (3)
, en ambos lados de la
ecuación (3) resultante

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CECIDIC

6. Se hace la división y el
resultado es positivo
c=

7. Se hace la división y el
c = 8500
resultado es positivo

Con lo cual, c = 8500, es decir que el precio del cilantro equivale a $ 8. 500. Ahora
hallemos el precio del repollo reemplazando el valor de c en la ecuación (2).

Sea,

7 c + 5 r = 113. 500 (2)

7 (8. 500) + 5 r = 113. 500

59. 500 + 5 r = 113. 500

59. 500 – 59. 500+ 5 r = 113. 500 – 59. 500

5 r = 54. 000

5r= 54. 000

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CECIDIC

r=

r = 10. 800

Con lo que el valor de r es de 10. 800, lo que quiere decir que la era de repollo cuesta
$10.800. Ahora verifiquemos que los valores resultantes satisfacen el problema, luego
vamos a tomar la ecuación (1) 4 c + 6 r = 98. 800:

Verificación
4 eras de cilantro a $ 8. 500 equivalen a $ 34. 000,

4 x 8. 500 = 34. 000

6 eras de repollo a $ 10.800 equivalen a $ 64. 800,

6 x 10. 800 = 64. 800

Además,

34. 000 + 64. 800 = 98. 800

Es decir, que se cumplen las condiciones del problema, luego podemos dar la respuesta a
las preguntas.

1. ¿Cuánto cuesta cada era de cilantro y repollo?

Respuesta: La era de cilantro cuesta $ 8. 500 y la de repollo $ 10. 800

26

CECIDIC

2. ¿Cuánto le costaran las 4 eras de más que quiere sembrar Juan?

Respuesta: Como una era de cilantro cuesta $ 8. 500 y son 4 eras mas, entonces
multiplicamos 4 por 8. 500,

Es decir,
4 x 8. 500 = 34. 000

Luego, las 4 eras de cilantro le costaran $ 34. 000.

Nota: Realizar la solución de los 3 sistemas planteados en los 3 ejemplos anteriores con los
métodos de solución no utilizados.

PROBLEMAS PARA SOLUCIONAR
A continuación, se presentaran una serie de problemas en los cuales se aplicara la
metodología de los ejemplos anteriores;

Problema 1
Fernando tiene 2 motos, las cuales Hidson y Roser las trabajan haciendo domicilios en
Toribío; Fernando le paga a Hidson por los 60 domicilios que hizo de lunes a viernes y los
35 de los sábados $ 150. 000, mientras que a Roser por los 55 domicilios de lunes a
viernes y los 35 de los sábados $ 152. 500, teniendo en cuenta que descansan los
domingos. Según los domicilios que hicieron en esta semana:

1. ¿Cuál es el precio que le paga Fernando por cada domicilio de lunes a viernes y por
cada domicilio los sábados?

2. Si Hidson quiere obtener un 10 % más de ganancia de lunes a viernes, ¿Cuantos
domicilios tendría que hacer en la siguiente semana?

3. Si Roser solo puede trabajar de lunes a viernes en las mañanas y los sábados todo el día.
¿Qué podría hacer si quiere tener el mismo promedio de Hidson?, ¿Qué le recomendarías a
Roser?

27

CECIDIC

Problema 2
El cabildo de San Francisco en Febrero compro 5 terneras Holstein y 9 Jersey en
$ 9. 200.000, mientras que el cabildo de Toribío compro 7 terneras Holstein y 4 Jersey en
$ 8. 700.000.

1. ¿Cual es el precio de cada ternera Holstein y Jersey?

2. Si el cabildo de san Francisco vendió las vacas Holstein en $ 2. 500. 000 cada una, y las
Jersey en $ 2. 900. 000, además en cada vaca genero costos por $ 600.000. ¿Cuánto fue la
ganancia que se obtuvo por la venta de las vacas?

Problema 3
Para los proyectos agropecuarios los estudiantes de los grados 10 – 2 y 10 – 3, decidieron
que van a sembrar Mango común y Maracuyá, por lo que el CECIDIC compra 5 libras de
semillas de Mango y 4 libras de Maracuyá por $ 170. 000 para el grado 10 - 2, en cambio
para el grado 10 – 3 compro 7 libras de semillas de Mango y 3 libras de Maracuyá por $
147. 000.

1. ¿Cuánto cuesta cada libra de semilla de Mango común y Maracuyá?

2. Consulta: Con las 5 libras de semillas de Mango común de 10- 2 y las 3 libras de
Maracuyá de 10- 3, ¿Qué cantidad de terreno en m2 se necesitaría para sembrar las
semillas?

Problema 4
En un terreno triangular dos de sus lados son iguales y el tercero es 4 veces más largo que
los otros, Si el perímetro del terreno es de 300 m. ¿Cual es la distancia de cada lado?

Problema 5
En un estanque de peces de forma rectangular su largo es 3 veces su ancho y su perímetro
es de 32 m.

1. ¿Cuáles son los valores de los lados del estanque?, 2. Si la profundidad del estanque es
de 1, 80 m. ¿Cuál es el volumen del estanque?, 3. Si se puede criar 10 Truchas por cada
metro cuadrado, ¿Cuántas Truchas se pueden criar en el estanque?

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CECIDIC

Problema 6
En un festival en la Vereda La Mina hay 150 personas entre hombres y mujeres. Cada
mujer pago $ 3. 000 y cada hombre $ 5.000 por su entrada. Si se recaudaron $ 570. 000 por
las entradas. ¿Cuántos hombres y mujeres entraron al festival?

Problema 7
La escuela de Agrosilvo recibe 53 personas para dos grupos en el curso de apicultura. De
estos participantes, 21 son técnicos agropecuarios. Si una tercera parte de las personas que
están en el curso 1 y tres séptimos de los que se encuentran en el curso 2 son técnicos
agropecuarios, ¿Cuántas personas hay en cada curso? (Santillana, 2008)

Problema 8
En la panadería del CECIDIC, el cabildo de Tacueyó pago $50. 000 por 500 pandebonos y
300 buñuelos para una asamblea. Si el cabildo de San Francisco pago $ 19. 000 por 200
pandebonos y 100 buñuelos,

1. ¿Cuál es el precio de cada pandebono y cada buñuelo?

2. Según estos datos, ¿Cuántas personas se espera que vayan a la asamblea?

Problema 9
Don Eduardo fue al granero y compro 6 libras de café y 5 libras de azúcar que le costaron
$ 22. 700 y decidió llevarle a su mama 5 libras de café y 4 libras de azúcar que le costaron
$ 18. 800, ¿Cuál fue el precio de una libra de azúcar y una libra de café que compro Don
Eduardo?

Problema 10Hallar dos ángulos tales que:
a) Sean suplementarios, y la medida del mayor es tres veces la medida del menor
b) Son complementarios, y la diferencia entre ellos es de 60°

29

CECIDIC
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2 X 2 Fabián A. Vargas R.

Grado Noveno

Bibliografía

Cruz Ramírez, M. (2006). LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA A TRÁVES DE LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS. Tomo I. En M. Cruz Ramírez, LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA A TRÁVES
DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. TomoI (pág. 10). Habana: Educación Cubana.

Jaagdish, C. A., & Robin, W. L. (2002). MATEMÁTICAS APLICADAS a la administración y a la
Economía. En C. A. Jaagdish, & W. L. Robin, MATEMÁTICAS APLICADAS a la administración
y a la Economía (págs. 150-159). Mexico: PEARSON EDUCACIÓN.

Nieto said, J. H. (26-31 de Julio de 2004). Talleres de Formación Matemática, Resolución de
Problemas, Comité Estatal de Olimpiadas Matemáticas. Recuperado el 23 de Julio de
2010, de http://ommcolima.ucol.mx/:
http://ommcolima.ucol.mx/guias/TallerdeResolucionproblemas.pdf

Santillana, D. U. (2008). Matemática Duoc UC (2008), Guía No 8 Matemática, p:150. Obtenido de
http://www.duoc.cl: http://www.duoc.cl/matematica/material/material-clase/guias
MAT100/GuiaN8MAT100.pdf

30

La necesidad de buscar estrategias en la práctica del docente
de Matemáticas, como en el mejoramiento de los procesos de
aprendizaje de los estudiantes del CECIDIC (Centro de
Educación, Capacitación e Investigación para el Desarrollo Integral de
la Comunidad) dinamiza esta guía, la cual propone la resolución
de problemas como estrategia de enseñanza y aprendizaje; de
la misma manera, utiliza los sistemas de ecuaciones lineales
para resolver la parte algorítmica que se genera.

En ella se encuentran algunos problemas contextualizados en
la comunidad del Resguardo de san Francisco, en el
Municipio de Toribío – Cauca. A sí mismo, pretende dar unas
pautas para la resolución de problemas y busca obtener un
aprendizaje significativo en los estudiantes.

Guía: Sistemas de
Ecuaciones Lineales 2 X 2

2012
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Sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2 2-acin

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