aljabar linier

1. Aljabar Linier
MATRIKS DAN OPERASI
MATRIKS

2. Oleh :
 Agus Supriyanto 10130007
 Anggun Sukmawanti 10130019
 Ani Tri Astuti 10130021
 Defi Rahmawati 10130045
 Fina Dwi Lestari 10130379
 Rima Anggraini 10130279
 Yushilatu Felayati Aziiza 10130373

3. Matriks ????
 Matriks adalah kumpulan bilangan yang berbentuk segi
empat yang tersusun dalam baris dan kolom
Contoh:
dimana aij untuk setiap i = 1, 2,…, m & j = 1, 2,…, n
dinamakan unsur / entri / elemen matriks yang terletak
pada baris ke-i dan kolom ke-j. aij dinamakan unsur
diagonal jika i = j. Ukuran suatu matriks (orde matriks)
yaitu jumlah baris kali jumlah kolom.
A merupakan matriks berorde m x n
 Misal A dan B adalah matriks berorde sama, maka
dapat dikatakan bahwa A = B, jika unsur-unsur matriks
yang seletak pada kedua matriks tersebut adalah sama.

4. CONTOH
MATRIKS 3X4

5. Contoh Soal
Diketahui matriks
Berapa ukuran P?
Tentukan yang mana:
 Baris 1, kolom ke 2, diagonal utama,
dan baris 3?

6. Operasi Matriks
 Definisi:
Dua matriks didefinisikan sama jika
keduanya mempunyai ukuran yang
sama dan entri-entrinya yang
berpadanan sama.

7. example
Kesimpulannya
B=C
A≠C
A≠B

8. Operasi Matriks
 Penjumlahan Matriks
Syarat yang harus dipenuhi oleh keduanya adalah orde
kedua matriks tersebut harus sama. Penjumlahan dua buah
matriks akan menghasilkan sebuah matriks dengan ordo
yang sama , dan setiap unsur didalamnya merupakan hasil
penjumlahan dari unsur yang seletak pada kedua martriks
tersebut.
Contoh :
Penjumlahan dua matriks berukuran 2 x 2 adalah sebagai berikut :
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│a b │ + │ e f │ = │ a + e b+ f│
│c d│ │g h│ │ c + g d + h│
└ ┘ └ ┘ └ ┘
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│1 2│ + │5 6│ = │6 8│
│3 4│ │7 8│ │ 10 12 │
└ ┘ └ ┘ └ ┘

9. Operasi matriks

10. Perkalian skalar
 Definisi :
Jika A adalah sembarang matriks dan
c adalah sembarang skalar,maka
hasil kali cA adalah matriks yang
diperoleh dengan mengalihkan setiap
anggota A dengan c.
Dalam notasi matriks ,

13.  Sehingga
hasil dari
A∙B dapat
kita ketahui
=

14. Matriks- Matriks Terpartisi
 Sebuah matriks dapat dibagi atau di
partisi menjadi matriks- matriks yang
lebih kecil dengan menyelipkan garis
horizontal dan vertikal diantara baris
dan kolom yang ditentukan.
pertama adalah
sebuah partisi A
menjadi empat
submatriks ;

15.  kedua adalah sebuah parisi A menjadi
matriks matriks baris
 ketiga adalah partisi A menjadi
matriks matriks kolom

16. Perkalian Matriks Dengan
Kolom dan Dengan Baris

17.  Dan dari (4) matriks baris pertama
dari AB dapat diperoleh dengan
perhitungan

18. Hasil Kali Matriks Sebagai
Kombinasi Linier
 Matriks –mariks baris dan kolom
memberikan suatu cara berfikir
alternatif mengenai perkalian
matriks. Misalnya, anggap bahwa
maka

19. Dengan matriks diatas diperoleh bahwa
hasil kali Ax dari sebuah matriks A
dengan sebuah matriks kolom x adalah
sebuah kombinasi linier dari matriks
matriks kolom dari A dengan koefisien
koefisien yang berasal dari matriks x.
Contoh

20. Bentuk Matriks dari Suatu
Sistem Linier
 karena dua matriks adalah sama jika dan
hanya jika elemen – elemennya yang
berpadanan sama, maka kita dapat
menggantikan persamaan persamaan m dalam
sistem ini dengan persamaan matriks tunggal.

21.  Matriks m x 1 pada ruas kiri persaman ini
dapat ditulis sebagai suatu hasil kali untuk
menghasilkan
 Jika kita menandai matriks matriks ini masing
masing dengan A, x danb sistem persamaan
hasil m dalam n peubah telah digantikan oleh
persamaan matriks tunggal
Ax = b

22. Transpos Suatu Matriks
Definisi:
 jika A adalah sembarang matriks m x
n , maka transpos A, dinyatakan
dengan , didefinisikan sebagai
matriks n x m yang didapatkan
dengan mempertukarkan baris dan
kolom dari A ; yaitu , kolom pertama
dari adalah baris pertama dari A,
kolom kedua dari adalah baris kedua
dari A, dan seterusnya.

23. Contoh Matriks dan
Transposnya :

24. Trace Suatu Matriks Bujur
Sangkar
Definisi:. Jika A adalah suatu matriks bujur
sangkar, maka trace A , dinyatakan dengan
tr ( A ), didefinisikan sebagai jumlah entri-
entri pada diagonal utama A. Trace A tidak
terdefinisi jika A bukan matriks bujur
sangkar.

25. Latihan