SISTEMA DE EJES COORDENADOS
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SISTEMA DE EJES COORDENADOS

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descripción de los elementos básicos de la Geometría Analítica

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    SISTEMA DE EJES COORDENADOS SISTEMA DE EJES COORDENADOS Presentation Transcript

    • Fe c ha de aplic ac ió n : Rubro 1.3.1.10 S e me s tre 2007-B
    • MATEMATICAS III GEOMETRIA ANALITICA ASIGNATURAS RELACIONADAS
    • CONTENIDO:  Unidad I. Sistema de ejes coordenados  Unidad II. La línea recta  Unidad III. La circunferencia  Unidad IV. La parábola
    • REPRESENTACION GRAFICA DE LA ASIGNATURA
    • OBJETIVO DE LA ASIGNATURA EL ESTUDIANTE:  Resolverá problemas de la geometría plana con coordenadas, mediante el análisis crítico de los conceptos, técnicas y procedimientos, que lleven a la identificación y/o representación de los lugares geométricos y su aplicación en el desarrollo de ejercicios y modelos matemáticos que abarquen la línea recta, la circunferencia y la parábola, recuperadas de su entorno social inmediato, mostrando interés científico, responsabilidad y respeto en su participación escolar.
    • UNIDAD I. 1.1. COORDENADAS CARTESIANAS DE UN PUNTO
    • 1.1.1. EJES COORDENADOS Los ejes coordenados son dos rectas numéricas que se cortan formando ángulos rectos, de tal manera que el punto de intersección sea el origen de ambas. Los ejes dividen al plano en cuatro regiones llamados CUADRANTES. Y • El eje horizontal se llama eje II I X o eje de las abscisas X • El eje vertical se llama eje Y o eje de las ordenadas. III IV
    •  PAREJAS ORDENADAS DE NÚMEROS  Cada punto P del plano tiene asociado un par de números se le asocia un par de números y cada par le corresponde un punto en el plano cartesiano. Y • Elementos:  La distancia del punto P al eje P( x , y) vertical es su abscisa y se y representa con la letra x.  La distancia del punto P al eje horizontal es su ordenada y se X x representa con la letra y. • Dos pares ordenados representan un mismo punto si el valor de x y y son los mismos para ambos pares.
    • PUNTOS EN UN PLANO  Como los ejes coordenados son ejes reales, las coordenadas de un punto pueden ser cualquiera de ellas o las dos, positivas, negativas o nulas. Por lo tanto los signos de la coordenadas determinan el cuadrante en que se encuentra el punto. Y Cuadrante Signo II (-,+) I (+,+) x Y I + + X II - + III - - III (-,-) IV (+,-) IV + -  Ejemplo: el punto P(-4,5) está ubicado en el II cuadrante porque el valor de x es negativo y el valor de y es positivo.
    •  Localización de un punto en el plano cartesiano:  Posicionarse en el origen.  Recorrer tantos lugares sobre el eje de las X, si es positivo moverse hacia la derecha y si el valor es negativo hacia la izquierda.  A partir de la ubicación anterior, recorrer tanto lugares sobre el eje Y, si el valor es positivo hacia arriba y si el valor es negativo ir hacia abajo A partir del origen 5 lugares hacia la derecha, porque el valor de la x es positivo. P(5,6) A partir del 5 (sobre el eje X), 6 lugares hacia arriba porque el valor es positivo
    •  Localización de las coordenadas de un punto ubicado en el sistema coordenado:  Posicionarse en el punto dado.  Trazar una línea perpendicular al eje X para localizar el valor de la abscisa.  Trazar una línea perpendicular al eje Y, para localizar la ordenada.  En ambos casos el valor correspondiente a la abscisa y a la ordenada serán las intersecciones con los ejes respectivos. Y Por lo tanto : P(x,y) 6 X=5 ; y=6 Entonces P(5,6) 5 X
    • 1.1.2. LUGARES GEOMÉTRICOS.  Definición: Es la trayectoria que genera un punto que se mueve en el plano cartesiano que obedece a una condición dada. Es decir la gráfica.  La condición dada queda establecida por una ecuación algebraica en dos variables.
    •  Problemas Fundamentales de la Geometría Analítica:  A partir de una ecuación construir la grafica del lugar geométrico.  Dada una condición obtener la ecuación del lugar geométrico.
    • Primer problema Fundamental  Soluciones y Gráfica de una Ecuación  Se llama solución de una ecuación de dos variables, al conjunto de pares ordenados que satisfacen la ecuación.  La gráfica de una ecuación es la representación en el plano cartesiano de todos los puntos cuyas coordenadas son los pares ordenados que son soluciones de la ecuación.
    •  Para graficar una ecuación de dos variables se sugiere lo siguiente:  Simplificar la ecuación dada, siempre que sea posible.  Despejar cualquiera de la dos variables de la ecuación. Generalmente se despeja la y.  Determinar el dominio de la ecuación, es decir, los valores de la x.  Asignar valores del dominio para la x procurando que sea positivos y negativos.  Sustituir los valores asignados en la ecuación despejada, para calcular el valor de la y.  Ubicar en el plano cartesiano las coordenadas de los puntos correspondientes y unirlos.
    • INVESTIGACION GRAFICA La investigación gráfica permite definir el comportamiento de la grafica de la ecuación y trazar un bosquejo de ella a partir de los siguientes criterios: CRITERIOS DEFINICIÓN PROCEDIMIENTO y=0; despejar x para hallar su Eje X P(0,x) valor. INTERSECCIONES CON Son los puntos donde la grafica LOS EJES corta a los ejes X=0; despejar y para hallar su Eje Y P(y,o) valor. SIMETRÍA Si al sustituir y por –y, la ecuación no se La grafica puede ser formada a Eje X altera partir de la reflexión de la mitad de ella. Si al sustituir x por –x, la ecuación no se Eje Y altera. Disposición de los valores de la EXTENSIÓN variable de forma Asignar valores a la variable independiente (x) para (TABULACIÓN DE ordenada, que puede ser obtener el valor de la variable dependiente (y) VALORES) leídas horizontal o verticalmente
    • 1.2 CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE RECTAS, SEGMENTOS Y POLÍGONOS  1.2.1. SEGMENTOS RECTILÍNEOS  Segmentos dirigidos: una recta dirigida es aquella en la que se define una dirección como positiva y su dirección opuesta como negativa.  La porción de recta comprendida entre dos de sus puntos se llama segmento no dirigido. A B
    •  NOTACIÓN:  La dirección se indica poniendo una flecha sobre las literales que indican sus puntos extremos.  El sentido se representa anteponiendo un signo positivo o negativo, a la notación que indican los puntos extremos.  Cuando un segmento de recta está caracterizado únicamente por su distancia, el segmento es no dirigido y se indica poniendo una barra sobre las literales que representan a sus puntos extremos Segmento Interpretación grafica Notación Equivalencia A B No dirigido AB o BA AB = BA A B AB AB = − BA Dirigido B A BA BA = − BA
    • LONGITUD DE UN SEGMENTO Y DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS  La longitud de un segmento es la distancia y el sentido que ésta recorre, por lo que su valor puede ser positivo o negativo.  La distancia será el valor absoluto de la longitud del segmento Longitud= -10 10 1 Distancia= |-10|=10
    • DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Y  Caso I. Si los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2) están A (x1,y1) B (x2,y2) ubicados sobre el eje de las abscisas o paralelas a él, la distancia entre los dos puntos se obtiene mediante la siguiente ecuación: X d = x1 − x2 = x2 − x1 x1 x2 Y  Caso II. Si los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2) B (x2,y2) están ubicados sobre el eje de las ordenadas o y2 paralelas a él, la distancia entre los dos puntos se obtiene mediante la siguiente ecuación: d = y1 − y2 = y2 − y1 y1 A (x1,y1) X
    • DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS  Caso III. Si los puntos se encuentran ubicados en cualquier lugar del Sistema de Coordenadas, la distancia queda determinada por la expresión: Y d AB = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 B (x2,y2) Ejemplos: calcular la distancia entre los siguientes puntos:  R (-3,5) y T (-3,12) X  M (3,2) y L (9,2) A (x1,y1) C (x2,y1 )  A(3,4) y B(7,7)
    • DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA RAZÓN COMPARACIÓN ENTRE DOS CANTIDADES ARITMETICA GEOMETRICA LA COMPARACION ES MEDIANTE DIFERENCIA LA COMAPARACIÓN ES MEDIANTE LA DIVISIÓN  En matemáticas cuando se habla de razón se sobreentiende que se trata de una razón geométrica. Por lo que su representación es una fracción o un quebrado:  En Geometría Analítica se abordan dos problemas básicos:  Hallar la razón r de un segmento que ha sido dividido en cierto punto.  Determinar las coordenadas de un punto en un segmento que ha sido dividido en la razón r.
    • HALLAR LA RAZÓN R DE UN SEGMENTO QUE HA SIDO DIVIDIDO EN CIERTO PUNTO.  Cuando se conocen las coordenadas de tres puntos sobre una misma recta:  P1(x1,y1) y P2(x2,y2) son los extremos del segmento.  P (x, y) punto-razón. Entonces el valor de la razón está dada por: P P x − x1 P P y − y1 r= 1 = r= 1 = PP2 x2 − x PP2 y2 − y Cualquiera de las dos ecuaciones anteriores puede usarse para encontrar el valor de la razón.
    • DETERMINAR LAS COORDENADAS DE UN PUNTO EN UN SEGMENTO QUE HA SIDO DIVIDIDO EN LA RAZÓN R.  Si se conoce el valor de la razón r, entonces las coordenadas del punto P, esta dada por: x1 + rx2 y1 + ry 2 x= y= Donde r ‡ -1 1+ r 1+ r  Para el caso particular en que el punto-razón equidista de los extremos del segmento, se dice que es el punto medio del segmento y el valor de la razón r es =1. Las coordenadas se obtienen de las siguientes ecuaciones: x1 + x 2 y1 + y2 xm = ym = 2 2
    • CRITERIOS DE APLICACIÓN P2  Cuando la razón es positiva, el punto P estará situado entre los puntos P1 y P2. P  Si la razón es negativa, el punto P estará situado fuera de los puntos dados extremos P1 del segmento. Razón positiva Ejemplos 2. Hallar la razón del segmento cuyos extremos son P P1(5,3) y P2(-2,1) y con punto-razón P(4/5,9/5). 3. Si los extremos de un segmento son P1(6,-1) y P2 P2(-2,2), hallar las coordenadas del punto P que divide al segmento en la razón r=2/5. 4. Encontrar las coordenadas del punto medio de un segmento cuyos extremos son A(-2,5) y B(4,8). P1 Razón negativa
    • 1.2.2 RECTAS  Ángulo de inclinación: es el ángulo inclinación formado por la parte positiva del eje X y la recta, considerando hacia arriba el sentido de ésta.  Pendiente: se llama pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación y se expresa como: m = tgθ Donde: m pendiente θ ángulo de inclinación
    •  Criterios de aplicación: 1. m es positivo si 0º< θ <90º 2. m es negativo si 90º< θ <180º 3. m=0, si θ=0º 4. m= ∞, si θ=90º  Matemáticamente la pendiente de una recta se define como: y2 − y1 m= x2 − x1 Si se conocen dos puntos que pertenecen a una misma una recta: P1(x1,y1) y P2(x2,y2) y siendo x1≠x2
    •  Valor del ángulo de inclinación:  A partir de la ecuación de la pendiente, el valor del ángulo está dado por: θ = tg −1 (m) Ejemplos: 1. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que se forma con los puntos A(-6,-4) y B(8,3). 3. Trazar la recta que pasa por el punto P(-3,2) cuya pendiente es igual a 4/5.
    • CONDICIONES DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD  Paralelismo: Dos rectas son paralelas si el valor de sus pendientes son iguales, es decir: m1=m2  Perpendicularidad: Dos rectas son perpendiculares si: 2. El producto de sus pendientes es igual menos uno. Es decir: m1m2=-1 5. Cuando la pendiente de una de las rectas es recíproca y de signo contrario de la pendiente de la otra recta. Es decir: 1 1 m1 = − o m2 = − m2 m1
    • 1.2.3 POLÍGONOS  Los criterios para calcular el perímetro y área de un polígono son:  La representación gráfica de la figura cuyo perímetro y área se busca.  El cálculo de la distancia de sus lados  Obtener el Perímetro sumando la longitud de cada uno de sus lados.  Calcular el área aplicando l a fórmula correspondiente, de acuerdo a la polígono que se trate.  Área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices: La siguiente expresión en forma de determinante se emplea para calcular el área de cualquier polígono, cuando se conocen sus vértices. x1 y1 1 A = x2 y2 = ( x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 − x2 y1 − x3 y2 − x1 y3 ) 2 x3 y3
    •  Ejemplo: 1. Hallar el área y el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son: A(-3,3), B(4,4), C(-4,-3) y D(3,-5) BIBLIOGRAFIA: • Vásquez Salazar Pedro, Luis M. C. Matemáticas III. Editorial Nueva Imagen S.A de C.V. segunda Edición. México 2007. • Ortiz Campos Francisco. Matemáticas III. Publicaciones Cultural. Primera Edición, México 2005. • Lehmann Charles. Geometría Analítica. Editorial LIMUSA. México 2006. • Garza Olvera Benjamín. Matemáticas. Geometría Analítica. Colección DGTI. México 1998