Cap3 trabajo y energía

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Cap3 trabajo y energía

  1. 1. Cuaderno de Actividades: Física I3) Trabajo y EnergíaLic. Percy Víctor Cañote Fajardo68
  2. 2. Cuaderno de Actividades: Física I3) Trabajo y Energía3,1) Trabajo de una fuerza, Fwr{BArFA B rW F drττ→ ×≡ ∫rrr1r r4243El trabajo de una fuerza Fw es una integral de línea a través de la τ.El Fw dependerá del conocimiento de ( )F F r≡r ren cada punto de la τ, elvector drres un desplazamiento elemental. Como toda integral de línea sedeberá parametrizar τ.El Fw se puede “entender” como la evaluación total del efecto de la fuerza Fen el desplazamiento del cuerpo.CASO PARTICULAR: F cte≡uurr.FA B ABW F rτ→ ≡ ∆r r rLic. Percy Víctor Cañote FajardoAFrτBm ABr∆rdrr69
  3. 3. Cuaderno de Actividades: Física IW → + ,Si F // ∆ ABrrW → 0 ,Si F ⊥ ∆ ABrrW → - ,Si F//  ∆ ABrrµ[W] ≡ Nm ≡ Joule ≡ J3,2) Energía, EEs la capacidad que posee un cuerpo o sistema para realizar trabajo.Tipos de Energía:i) Energía Cinética, EkEnergía vinculada a la velocidad que poseen los cuerpos.Lic. Percy Víctor Cañote FajardoF⊥ FθF//A B∆rABvrm070
  4. 4. Cuaderno de Actividades: Física I212kE mv=ii) Energía Potencial, EpEnergía asociada a la configuración del sistema para la cual se define.Es una energía que corresponde al sistema. Depende de cómo estándistribuidos los elementos del sistema.i) Ep Gravitacional: Epg1 2pgG m mEr−=Caso Particular de Epg:→ pgE mgh=Lic. Percy Víctor Cañote Fajardom2rm1mhNIVEL71
  5. 5. Cuaderno de Actividades: Física I∆Ep: √; El nivel es irrelevante!ii) Ep Elástica, Epe→ Sistema Elásticos→ Sistema m – k idealConfiguración del sistema: x{x deformación del resorte)212peE kx≡∆Epe: Nuevamente la cantidad importante son los cambios de esta energía, conlo cual la referencia no es importante.Es posible lograr una ecuación similar de Epe para todo sistema elástico.iii) Energía Mecánica, EMEs la energía constituida por la energía cinética y la energía potencial de unapartícula. Observar que no es una energía que describa alguna propiedad de lapartícula. Resulta una definición conveniente, como veremos.Lic. Percy Víctor Cañote FajardoPE: Posición de equilibriokm F0 xmx x72
  6. 6. Cuaderno de Actividades: Física IM K PKT KR pg peE E EE E E E≡ +≡ + + +3.3) Relaciones entre W y E, R ≡ R (W,E)El trabajo y la energía están íntimamente conectados, reflejándose dichaconexión en sendas relaciones comparables a la Segunda Ley de Newton porun lado, y a Leyes de Conservación, por otro.i) ( ),RFKR R W E≡rEsta relación es una forma elegante de la Segunda ley de Newton.211 2 .FR rRrW F dr→ ≡ ∫rr r12*. .FR dv dvW m dr m drdt dt ≡ ≡  ∫ ∫r r rr r14243ˆˆ ˆx y zv v i v j v k= + +rˆˆ ˆdr dxi dyj dzk= + +r(*) { }ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ.yx zdvdv dvi j k dxi dyj dzkdt dt dt = + + + +  ∫yx zdvdv dvdx dy dzdt dt dtα  = + +   ∫ 123xyzdx v dtdy v dtdz v dt=¬ = =Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo73
  7. 7. Cuaderno de Actividades: Física I2 21 12 2xx x xdv dv dt v dt vdt dtα   → = =     ∫ ∫Y por simetría operacional,{ }2 2 2 21 12 2x y zv v v v≡ + + ≡21212.12FR dvW m drdtm v ≡ ≡   ∫   r rr21k kE E= = ∆RFkW E→ = ∆rFKk RW E F ma= ∆ ↔ =r r rii) R = R (WFNC, ∆EM)Esta relación muestra como las Fnc son capaces de cambiar la EM mostrandoclaramente su carácter no conservativo. Sin embargo, esto proporcionara lascondiciones para que dicha energía se conserve.Fnc = Fuerza no conservativa: Esta fuerza no conserva la EM.NCFWr= Trabajo de la Fnc∆Q; ∆EM50 J de Ek a 50J de Q (forma de energía no mecánica)Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo74
  8. 8. Cuaderno de Actividades: Física IConoceremos mejor a estas fuerzas mediante las Fc: Fuerzas conservativas.Fc = Son fuerzas que conservan la EM.Están definidas por Fc = - ∇U∇: Operador NablaU: Función potencial escalarU = Ep (Energía Potencial)Toda Fc tendrá asociada una energía potencial: Fc ↔ EpcFrpEFg ≡ W EpgFelásticas EpeEsto debe ser así debido a que el rotor del gradiente siempre es nulo, lo cualsignifica que el trabajo de estas fuerzas, en cualquier trayectoria cerrada,siempre es cero,( ) ( ) 0 ( ) 0F U U U∇× = ∇× −∇ ≡ −∇× ∇ = → ∇× ∇ =r rrEl operador nabla se define así,ˆˆ ˆd d di j kdx dy dz ∇ ≡ + +  Ahora, si una fuerza es conservativa, cF F=r r, entonces, deberá satisfacer dela condición de rotor nulo,y yx x z zF FF F F Fy x z x z y∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂≡ ≡ ≡∂ ∂ ∂∧ ∧∂ ∂ ∂Esto es, la fuerza ˆˆ ˆx y zF F i F j F k= + +r r r rdeberá de cumplir simultáneamentelas tres ecuaciones en derivadas parciales cruzadas.Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo75
  9. 9. Cuaderno de Actividades: Física IOtra forma equivalente de identificar a las fuerzas conservativas ( )cFresmediante la independencia de su W según cualquier trayectoria τ.211 2.rcrFWF dr cteτ∀→≡ ≡∫rrrr rFinalmente, podríamos decir según la definición de estas fuerzas, que elCFpW E≡ −∆r, ecuación que será muy útil para efecto de determinarrelaciones importantes.Regresando a la FNC:→ No están definidas por la ecuación Fnc = - ∇U→ ∃ pU E= asociadaNCFW→ depende de la τNCFW→ no es evaluable por la ecuación NCFpW E≡ −∆rDe todo lo anterior,Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo1 Fcτ1τ2 2τ376
  10. 10. Cuaderno de Actividades: Física INCFMW E≡ ∆¿? Probar esta relación partiendo de la primera relación donde laR c ncF F F= +r r r.Conservación de la EM: Para que la energía mecánica se conserve,0 0NCFME W∆ ≡ → ≡→ ∃ NCF ∨r→ Mi MfE E≡En general,Como NCFM Mf MiW E E E≡ ∆ ≡ − , entonces,NCFMf MiE E W≡ +3,4) Potencia, PLic. Percy Víctor Cañote FajardoNCFr∆r77
  11. 11. Cuaderno de Actividades: Física IEs la cantidad física escalar que informa la rapidez de realizar trabajo oenergía.i) Potencia media, PM:mWPt=∆ii) Potencial Instantánea, P:( ) 0limtW dWP tt dt∆ → ≡ = ∆ ( ) .P t F v≡r r[ ]Ju P watt Ws= = ≡Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo( )v tr( )F tr78
  12. 12. Cuaderno de Actividades: Física IS3P18) Una pequeña piedra de 0,10 kg se deja enlibertad desde su posición de reposo en elpunto A, en el borde de un tazón hemisféricode radio R = 0,60 m. Suponga que la piedra espequeña en comparación con R, así quepuede tratarse como una partícula. El trabajoefectuado por la fricción sobre la piedra albajar de A y B en el fondo del tazón es –0,22J,¿Qué rapidez tiene la piedra al llegar a B?,SOLUCION:w = 0,1 R = 0,6 VB =?wr: fuerza conservativaLic. Percy Víctor Cañote FajardoA RVBA R Rnivel mB BvrN frwr79
  13. 13. Cuaderno de Actividades: Física If, N : fuerzas no conservativas.WFnc= ∆EM, FNC ≡ ffA B MB MAW E E→ = −rEM = Ek + Epg212fA B kB pgA BW E E mv mgR→ = − = −r( ) ?2¿fB A Bv W mgRm→= + ≡r¿? Se podrá resolver usando RFkW E≡ ∆r2 RFB A Bv Wm→=rRF w NW W W= +r rrfW+r↓.ww w r wR≡ ∆ =r r r¿2?RFB A Bv Wm→= ≡rS3P1) Sobre una partícula actúa la fuerza ( ) ( ) jzyyzxizyxzyxF ˆ23ˆ23,,  ++≡rN:a) ¿Es Fruna fuerza conservativa?b) Si a) es afirmativo, halle la función potencial escalar, U (x,y,z).c) Halle la energía potencial si para un problema particular U (1,0,1) ≡ 1.d) ¿El movimiento es en el plano? Discuta.SOLUCION:Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo80
  14. 14. Cuaderno de Actividades: Física I( ) ( ) { } { }2 2ˆ ˆ, , 3 3x yF FF r F x y z xy z i x yz zy j= = + +r r14243 14243a) cF F→r r?0F∇× =rrderivadas parciales cruzadasy yx x z zF FF F F Fy x z x z y∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= ∧ = ∧ =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂6xyz = 6xyz ∧ 3xy2≠ 0…La ultima ecuación no es correcta…la fuerza es noconservativa!¿? Como modifica el problema para que F sea conservativa y terminar elproblema.S3P2) Dado el siguiente campo de fuerzas,( ) ( ) ( ) ( )kzzjyixxzyxF ˆˆ12ˆ,, 32+++++≡r,a) Demuestre que el campo de fuerzas es conservativo.b) Halle la energía potencial asociada para U (1,1,1) ≡ 0.c) De una curva de energía potencial que represente un caso físicoconcreto.SOLUCION:( ) ( ) ( ) ( )2 3 ˆˆ ˆ, , 2 1F x y z x x i y j z z k≡ + + + + +1424314243 14243a) 0 0Fx Fyy x∂ ∂≡ → ≡∂ ∂, 0 0Fx Fzz x∂ ∂≡ → ≡∂ ∂, 0 0Fy Fzz y∂ ∂≡ → ≡∂ ∂{ } /c pF F U E F U→ ∴∃ ≡ ≡ −∇rb) U ≡ U(x,y,z)F ≡ Fc ≡ - ∇ULic. Percy Víctor Cañote Fajardo81
  15. 15. Cuaderno de Actividades: Física I. .F dr U dr≡ −∇r r123ˆˆ ˆU U UU i j kx y z∂ ∂ ∂∇ ≡ + +∂ ∂ ∂ˆˆ ˆdr dxi dyj dzk∧ = + +r.U U UU dr dx dy dz dUx y z∂ ∂ ∂∇ ≡ + + ≡∂ ∂ ∂r.F dr dU≡ −r r: .U F dr≡ −∫ ∫r rPara determinar U se puede integrar Frtal como lo indica la Ecanterior,{ }x y zU F dx F dy F dz≡ − + +∫Analizando la ∫ por cada componente e introduciendo una “cte” funcional encada caso::x U Fxdx≡ −∫{ } ( )3 22,3 2xx xU x x dx c y z ≡ − + ≡ − + +  ∫: yy U F dy≡ −∫{ } { } ( )22 1 ,yU y dy y y c x z≡ − + ≡ − + +∫: zz U F dz≡ −∫{ } ( )4 23,4 2zz zU z z dz c x y ≡ − + ≡ − + +  ∫Ahora, comparando los resultados parciales, se obtiene,Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo82
  16. 16. Cuaderno de Actividades: Física I{ } ( )3 2 4 22( , , ) , ,3 2 4 2px x z zU x y z y y c E x y z   ≡ − + − + − + + ≡      ˆˆ ˆc x y zF U F i F j F k→ ≡ −∇ ≡ + +rDonde la constante c se determina por la condición que caracteriza al problemafísico, Ep (1,1,1) ≡ 0{ }1 1 1 11 13 2 4 2c   ≡ + + + + +      Ep ≡ (x,y,z) / c ≡ 43/12c) c1) Ep de un núcleo atómicoc2) Ep de sistema m - kLic. Percy Víctor Cañote FajardoEp0 R r83
  17. 17. Cuaderno de Actividades: Física Ic3) Ep de sistema planetario o sistema atómico¿? Podría proponer dos curvas más de Ep.Lic. Percy Víctor Cañote FajardoEp-A A xEpr84
  18. 18. Cuaderno de Actividades: Física IS3P34) El cuerpo A que pesa 4 kg se sueltadesde el reposo sobe una superficiecircular lisa AB para después moversesobre la superficie horizontal BC, cuyocoeficiente de rozamiento es µ = 0,2.En el punto C está colocado unresorte de constante k = 103N/m:a) Halle la normal sobre el cuerpo al pasar por B.b) ¿Cuánto se comprime el resorte?SOLUCION:m = 4 AB = liso k = 103VA = 0 BC = rugoso µ = 0,2a) NB=?DCL (m) al pasar por B,2Bcp BmvF N wR≡ − =Lic. Percy Víctor Cañote FajardoAk 8 mCD 12 m B0 Ak0 B0FcpwBNB85
  19. 19. Cuaderno de Actividades: Física I2,BBvN w m w mgR= + =?Bv =Analizando de A → B: WFnc≡ 0, Fnc = N→EmA ≡ EmB2 2122MA A MB B BE Epg mgR E mv v gR≡ ≡ ≡ ≡ → ≡23BgRN mg mx mgR≡ + =b) Sea la compresión dada por DE, DE=∆x?: ; NCF fNC MD E F f W E=− ∃ ≡ ≡ ∆rrr→ -f (12 + ∆X) ≡ EME - EMB{ } ( )21 122 2k x m gR≡ ∆ −Lic. Percy Víctor Cañote FajardoCE D86
  20. 20. Cuaderno de Actividades: Física I2( ) 0/ ka x b x c f mgµ→ ∆ + ∆ + ≡ ≡?x→ ∆ ≡Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo87

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