Cuaderno de Actividades: Física I5) Mecánica del CuerpoRígidoLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 133
Cuaderno de Actividades: Física I5) Mecánica del Cuerpo Rígido5,1) Definición de CREs un sistema de partículas especial qu...
Cuaderno de Actividades: Física IEsta descomposición de movimientos ya ha sido vista en otros casos,“Mov. Parabólico” MP ≡...
Cuaderno de Actividades: Física IO: → pto fijo→ CM→ mov // al CMCuando las rotaciones se efectúan bajo un eje especial, ll...
Cuaderno de Actividades: Física Ixx xy xzyx yy yzzx zy zzI I II I I II I I  ÷≡  ÷ ÷ ten la cual las formas ijI son ...
Cuaderno de Actividades: Física IS5P13) Halle los Is respecto a lo ejes x e y del cono circular recto de masa m ydimension...
Cuaderno de Actividades: Física Ia) xξ ≡Discos:Asumiendo anillos de masa dm{discoI dIanillosξ≡ ∫Anillos:Asumiendo pequeños...
Cuaderno de Actividades: Física Ia2M R≡Regresando al disco:2discodiscoI r dmξ≡ ∫anillo: dm ↔ M(masa del disco)dm ≡ σda 2MR...
Cuaderno de Actividades: Física ITeorema cuerpos planos: Iz = Ix + IyTeorema de Steiner: I ≡ Icm + Md2Y’discoZ’ XLic. Perc...
Cuaderno de Actividades: Física I2x y z ydisco discoI I I I′ ′ ′→ ≡ + ≡yy //′ 2  2y cm ydI dI dm x dI dm x≡ + ≡ +∫≡ yydII....
Cuaderno de Actividades: Física Iξ≡ R M2cr part MRI Iξ ξ≡ ≡En el caso de nuestro problema, es el radio que tendría una par...
Cuaderno de Actividades: Física I2 11 1 1 12; α− = ≡ ≡ ≡tQa rwT w a a a rg r2 1 11 22 2. .(3).a r rw wT w ag r g r− ≡ ≡Ten...
Cuaderno de Actividades: Física I↓ a12daLey traslasional para m1:1 1 1w 1.( )..T m a− ≡2da Ley rotacional para m2:ατ ξpdis...
Cuaderno de Actividades: Física IEl efecto de giro de F1 = 30N respecto de P, es mayor que el de F2 ≡ 50 N.Ahora, fíjense,...
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Cap5 mecánica de un cuerpo rígido

  1. 1. Cuaderno de Actividades: Física I5) Mecánica del CuerpoRígidoLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 133
  2. 2. Cuaderno de Actividades: Física I5) Mecánica del Cuerpo Rígido5,1) Definición de CREs un sistema de partículas especial que no se deforma bajo el rango defuerzas que actúa sobre el. Se adopta para poder describir la componenteROTACIONAL del movimiento de los cuerpos.SPn ↔ ∞dij ≡ cteCR → cuerpos indeformables5,2) Movimiento del Cuerpo RígidoEl Movimiento del CR, en el caso planar, se puede describir de la siguientemanera,Traslación rotaciónMov. CR ≡ de un punto + en torno dedel CR dicho punto→ CM → CMLic. Percy Víctor Cañote Fajardoi dijjcmwcmv134
  3. 3. Cuaderno de Actividades: Física IEsta descomposición de movimientos ya ha sido vista en otros casos,“Mov. Parabólico” MP ≡ MRUx “+” MRUVyi) Traslación0’ = CM0/0 r r r≡ +  0/0 v v v≡ +  0/ 0 a a a≡ +  ,R R ext CMF F Ma≡ ≡  ii) Rotación,R extdLdtτ ≡↑ ↑FpFr x Fτ ≡ pxrL≡Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 135
  4. 4. Cuaderno de Actividades: Física IO: → pto fijo→ CM→ mov // al CMCuando las rotaciones se efectúan bajo un eje especial, llamado eje principalde inercia, EPI, al Lse puede escribir así:EPIwIL ←=I: momento de inercia respecto al EPI{ },R extdL Iwdtτ ≡ ≡ → ↑ xyzαIwI =≡,R ext Iτ α≡El I tendría su equivalente en m, representando por lo tanto inerciarotacional,→ I ≡ MMomento de Inercia, ILa expresión general de I se extrae de la forma general del L, esto es,CRL r v dm≡ ×∫  y, escribiendo v rω≡ × , con lo cual,( )CR CRL r v dm r r dmω≡ × ≡ × ×∫ ∫    , reemplazando el triple producto vectorial,2( ) ( . )r r r r rω ω ω× × ≡ −     , entonces,{ }2( ) ( . )CR CR CRL r v dm r r dm r r r dmω ω ω≡ × ≡ × × ≡ −∫ ∫ ∫        , desarrollando la integral yordenando términos obtendríamos la expresión tensorial,L Iω≡ t donde Ites el tensor de inercia descrito por,Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 136
  5. 5. Cuaderno de Actividades: Física Ixx xy xzyx yy yzzx zy zzI I II I I II I I  ÷≡  ÷ ÷ ten la cual las formas ijI son los productos de inercia y iiI los momentosprincipales.Los momentos principales siempre pueden escribirse de esta forma,2CRCRI r dmξ≡ ∫iii) Energía21 12 2kRE Iw L w≡ ≡ ×r rEPI: wILrr⋅≡EM ≡ Ek + EpSi→ ∃ ncFr∨ ≡→≡ MFEw nc0rcteM KT kR pE E E E→ ≡ + +Lic. Percy Víctor Cañote Fajardoξrrdm137
  6. 6. Cuaderno de Actividades: Física IS5P13) Halle los Is respecto a lo ejes x e y del cono circular recto de masa m ydimensiones representadas en la figura.,???CRx yI ≡Lic. Percy Víctor Cañote FajardoYe0h xzYdiscorxZx h X138
  7. 7. Cuaderno de Actividades: Física Ia) xξ ≡Discos:Asumiendo anillos de masa dm{discoI dIanillosξ≡ ∫Anillos:Asumiendo pequeños arcos de masa dm,2≡ ∫anilloI R dmξanillo2I R Mξ≡Lic. Percy Víctor Cañote FajardoξMRdmMaR139
  8. 8. Cuaderno de Actividades: Física Ia2M R≡Regresando al disco:2discodiscoI r dmξ≡ ∫anillo: dm ↔ M(masa del disco)dm ≡ σda 2MR ≡  ÷π {2πrdr}22MrdrR≡{ }4 22 2302 24 2R M M R MRxR RI r drξ ≡ =→ = ∫( )x 2cono discodmI dI r x2ξ≡ ξ≡ ≡∫ ∫}( ){ } ( )2 2mr x dx r xV2ρ π  ≡ ∫; ( ) xhexr = ,dmdVρ =?...≡b) y≡ξyconoI ?ξ≡≡Lic. Percy Víctor Cañote Fajardodadm0 r dr rzx y140
  9. 9. Cuaderno de Actividades: Física ITeorema cuerpos planos: Iz = Ix + IyTeorema de Steiner: I ≡ Icm + Md2Y’discoZ’ XLic. Percy Víctor Cañote FajardoMcmdY Y’discorxZ Zx h X141
  10. 10. Cuaderno de Actividades: Física I2x y z ydisco discoI I I I′ ′ ′→ ≡ + ≡yy //′ 2 2y cm ydI dI dm x dI dm x≡ + ≡ +∫≡ yydII..?.yI ≡S5P3) Una polea de doble peso tiene una masa de 100 kg y un radio de giro de0,25 m. De los cables que se enrollan en la periferia de la polea cuelgan 2pesas iguales de w = 200 N. Suponiendo que la fricción en el eje de apoyo y lamasa de los cables se desprecian, determine la aceleración del cuerpo quebaja. Use r2 = 2r1 ≡ 0,4 m.SOLUCION:Radio de giro: Es el radio que tendría una partícula de masa M de tal maneraque su2ξ ξ≡ ≡ CRI MR I . El radio de giro asociado a un cuerpo debe interpretarsecomo el radio de una partícula de igual masa con idéntico I respecto delmismo eje.Lic. Percy Víctor Cañote Fajardoαr1 r2 PQ 0T1T2a1w 12 w ↓ a2 ≡ atp ≡ r2 α142
  11. 11. Cuaderno de Actividades: Física Iξ≡ R M2cr part MRI Iξ ξ≡ ≡En el caso de nuestro problema, es el radio que tendría una partícula con lamisma masa del cuerpo de tal manera que su I sea igual al de la polearespecto de su eje axial.Por lo tanto, usando la información del radio de giro de la polea, determinamossu momento de inercia respecto a su eje axial,Radio de giro: I ≡ MR2← R=0,25 y M=100Iξ≡ 100 (0,25)2≡ 6,25; ξ : eje axialAnalizando el disco:2,2 2tPR exta aI I Ir rξ ξτ α≡ ≡ ≡22 2 1 12(1)...aT r T r Irξ− =Analizando cuerpo 2:2 2 ). 2.(.ww T ag− ≡Analizando cuerpo 1:Lic. Percy Víctor Cañote FajardoξM143
  12. 12. Cuaderno de Actividades: Física I2 11 1 1 12; α− = ≡ ≡ ≡tQa rwT w a a a rg r2 1 11 22 2. .(3).a r rw wT w ag r g r− ≡ ≡Tenemos un sistema consistente donde podemos calcular a2, T1 y T2, …calcule!?S5P4) Una cuerda pasa por una polea sin rozamiento, según indica la figura,llevando una masa M1 en un extremo y estando enrollada por el otro a uncilindro de masa M2 que rueda sobre un plano horizontal, ¿Cuál es laaceleración de la masa M1?SOLUCION:DCL (m1): DCL (m2):Lic. Percy Víctor Cañote Fajardom2µpm1 ↓ a1Q TW2fNTW1144
  13. 13. Cuaderno de Actividades: Física I↓ a12daLey traslasional para m1:1 1 1w 1.( )..T m a− ≡2da Ley rotacional para m2:ατ ξpdiscoextR I=, : P se mueve paralelo al CM( ) 2 2 2 1212 ,2 2 2Qtpdiscoa aT r I M r r Mr rξα α α = ≡ + ≡ ≡  2 13.. ( ).82T m a≡Una vez mas, tenemos un sistema consistente de ecuaciones, donde podemoscalcular a1 y T,…calcule!?¿? Es posible calcular la fuerza de fricción.¿? Que tipo de fricción es.¿? Y como se mueve el CM.S5P5) La rueda O pesa 650 N y rueda a lo largo de un plano horizontal (figura.El radio de giro de la masa de la rueda con respecto a su eje geométrico es (23) m. El coeficiente de fricción entre la rueda y el plano es 0,25. Determine laaceleración del centro de la rueda y la aceleración angular de la rueda.SOLUCION:Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo30N50Nµp f145
  14. 14. Cuaderno de Actividades: Física IEl efecto de giro de F1 = 30N respecto de P, es mayor que el de F2 ≡ 50 N.Ahora, fíjense, el efecto traslasional de F2 es mayor que F1. Ambos enfoquesson consistentes con la fuerza de fricción f. Por lo tanto, el cuerpo se moveráhacia la izquierda.a) De lo anterior, aplicando la 2daLey,R CMF am≡ → 30 50 cmwf ag + − = →  30 (0,25 650) 506252,+ × −≡ ≡cmab) α ≡ ?Por la condición de rodadura, desde el punto P se observa la acm,acm ≡ αr, donde r: radio de la rueda.αcm ≡racmPara calcular dicho radio, hacemos uso del radio de giro de la rueda,222, :cr part MRMrejeaxial del discoI Iξ ξξ≡ ≡ ≡2 21,2giroMr MR R R≡ ≡Rr 2=32322 ==rαcm ≡2,2(2/3)3,3cmar≡ ≡Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 146

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