Cuaderno de Actividades: Física I6) ELASTICIDADLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 156
Cuaderno de Actividades: Física I6) ELASTICIDAD6,1) IntroducciónCuerpos ← Deformables{Descripción adecuada}→ Esfuerzo→ Def...
Cuaderno de Actividades: Física I→ los ∆L van a depender de las Fy A{siempre en régimen elástico}→ los ∆L dependen de LSe...
Cuaderno de Actividades: Física IM ∼ 10102Nm¿? Podría describir curvas s-e donde se muestren las 3 fases: elástica,plástic...
Cuaderno de Actividades: Física IPara pequeñas fuerzas F la cara de área A se desplaza relativamente unapequeña distancia ...
Cuaderno de Actividades: Física ISupongamos que el cubo de área A esta sometido a las fuerzas F sobre cadauna de sus caras...
Cuaderno de Actividades: Física Iv2(0) ≡ 0→ MRUV Polea idealCuerda ideal, ∃ mm1,m2 , puntualesL = 2 m1 = 3, m2 = 5φ = 4 x ...
Cuaderno de Actividades: Física I5,22≡t5º→3°) Considerando sólo deformación de la cuerda, T=?, t=?w2 – T = m2 aT = w2 – m2...
Cuaderno de Actividades: Física IMostraremos que en el sistema queda almacenada energía potencial elásticaque puede expres...
Cuaderno de Actividades: Física I12A→ ×L( /F A×)( L∆ / )L2L×∆ ,p elE≡,12p elF L E→ ∆ ≡,12p elEF LuAL AL∆→ ≡ ≡→12F LuA L∆ ...
Cuaderno de Actividades: Física IDe( )2,2 2D dFL Fdx dL dL y xYA Y y Lπ−∆ ≡ → ≡ ≡ +( ) ( )2 2002 22LIFdx F dx FLdL LY Y dD...
Cuaderno de Actividades: Física IS6P8) Una masa de 1 kg cuelga de un cable de acero de 2 m de longitud(longitud sin estira...
Cuaderno de Actividades: Física I2 224sec2FL Tl TlY Y l T mgLA Y ddlθππ≡ → ≡ → ∆ ≡ ¬ ≡∆    ∆   ÷   2 24 sec...
Cuaderno de Actividades: Física IS6P1) La barra mostrada, en la figura tiene las siguientes características: peso= w, área...
Cuaderno de Actividades: Física I{ } { }( )( )wx dxw x dxFLYAwLd L xdxAY AY LAYL  ÷ ∆ ≡ ≡ ≡→≡∆Para calcular la deform...
Cuaderno de Actividades: Física IS6P4) Una varilla de cobre de 1,40 m de largo y área transversal de 2,00 cm2se sujeta por...
Cuaderno de Actividades: Física Ia) Determinamos L de la condición 1 2L L L∆ ≡ ∆ ≡ ∆ . Mostramos DCL de cadavarilla en la ...
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Cuaderno de Actividades: Física IDe la ecuación del esfuerzo de corte,22444F s ds FAFFdππ≡ → →≡ ≡≡( ) ( )28 210 1 104π −× ...
Cuaderno de Actividades: Física IS6P2) Una barra homogénea de longitud L, área A, masa M, módulo de YoungY, gira librement...
Cuaderno de Actividades: Física Ia) { } 2cpdF dF dm w r≡ ≡Mdm drL ≡   ( )2MwdF r rdrL≡( )22: " "2cpMwF r r dFL≡ ≡∫22...
Cuaderno de Actividades: Física Ib) De22222( )2MwrF MwLs r rA A LA= ≡ ≡,por lo tanto, en r=L,2( )2Mw Ls LA≡Lic. Percy Víct...
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  1. 1. Cuaderno de Actividades: Física I6) ELASTICIDADLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 156
  2. 2. Cuaderno de Actividades: Física I6) ELASTICIDAD6,1) IntroducciónCuerpos ← Deformables{Descripción adecuada}→ Esfuerzo→ Deformación→ Módulos elásticosYSB→ Régimen elástico6.2) Esfuerzo y deformaciónExperimentalmente:Li ≡ LA: sección transversalSe observa:Lic. Percy Víctor Cañote FajardoL AF- FF∆LL- FF157
  3. 3. Cuaderno de Actividades: Física I→ los ∆L van a depender de las Fy A{siempre en régimen elástico}→ los ∆L dependen de LSe define:a) Esfuerzo, s: (Fuerza por unidad de área)FEsfuerzo sA= =b) Deformación, e: (Deformación unitaria)LDeformación eL∆= =Con estas definiciones se observa relación directa entre los esfuerzos y lasdeformaciones.Módulo elástico = Esfuerzo/DeformaciónEMD=1→ss Me Me→≡ ≡Lic. Percy Víctor Cañote FajardoDERégimen elástico158
  4. 4. Cuaderno de Actividades: Física IM ∼ 10102Nm¿? Podría describir curvas s-e donde se muestren las 3 fases: elástica,plástica y de ruptura.¿? Podría describir curvas s-e especiales.6.3) Módulos elásticosi) Modulo de Young, YDescribe la resistencia del material a las deformaciones longitudinales.//F AYL L≡∆N/m2ii) Modulo de corte, SDescribe la resistencia del material al desplazamiento de sus planos por efectode fuerzas aplicadas según sus caras (fuerzas tangenciales o de corte)Lic. Percy Víctor Cañote FajardoAFhfF∆xhxtg∆=θh θf159
  5. 5. Cuaderno de Actividades: Física IPara pequeñas fuerzas F la cara de área A se desplaza relativamente unapequeña distancia ∆x hasta que las fuerzas internas del cuerpo logranequilibrar dicha fuerza.La resistencia al desplazamiento ∆x se describirá en base al modelo S,//Esfuerzo de corte F ASDeformación de corte x h≡ ≡∆→FhSA x≡∆iii) Modulo volumétrico, BDescribe la resistencia del material a deformaciones volumétricas.Lic. Percy Víctor Cañote FajardoF AFFF160
  6. 6. Cuaderno de Actividades: Física ISupongamos que el cubo de área A esta sometido a las fuerzas F sobre cadauna de sus caras. El cubo está sometido a compresión, el modulo volumétricoesta definido por,Si esta presión,FpA≡ , se escribe como una variaciónde presión, p∆ ,/pBV V∆≡ −∆En estas condiciones se introduce el “- “para obtener un B > 0.Compresión: ∆p > 0 ∧ ∆V < 0→ B > 0.Dilatación o expansión: ∆p < 0 ∧ ∆V > 0→ B > 0.¿? Existirán otros módulos elásticos.Ejercicio 1:1° IdealLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 161/ // /F A F ABV V V V≡ − ≡ −∆ ∆
  7. 7. Cuaderno de Actividades: Física Iv2(0) ≡ 0→ MRUV Polea idealCuerda ideal, ∃ mm1,m2 , puntualesL = 2 m1 = 3, m2 = 5φ = 4 x 10-3¿? t2° Polea real → a afectada→ I=I (m,r) , f ← polea⇒ CR⇒ MRUV3° Cuerda real→ Deformación→ CR→ MRUV4°→1º) t ≡¿?2,54ga ≡ = → t(y2 ≡0) ≡?y(t) ≡y (0)+ v(0) t -21at2225,2010 t−+≡Lic. Percy Víctor Cañote Fajardoym2h2 ≡1mm1162
  8. 8. Cuaderno de Actividades: Física I5,22≡t5º→3°) Considerando sólo deformación de la cuerda, T=?, t=?w2 – T = m2 aT = w2 – m2 a≡ 50 – 5 x 2,5T ≡ 37,5//F A FLY L F TL L YA≡ → ∆ = ¬ =∆Yacero ≡ 20 x 1010( )mxxxL µπ6,27102102025,372310=≡∆→−t ≡ ¿?Ejercicio 2: La deformación causada a la barra de longitud L, x, mediante laaplicación adecuada de la fuerza F, es decir, el trabajo efectuado por F sobre elsistema elástico, queda almacenado como energía potencial elástica en elsistema…veamos que es asi,Lic. Percy Víctor Cañote FajardoAceroA-F F-L 0 x x163
  9. 9. Cuaderno de Actividades: Física IMostraremos que en el sistema queda almacenada energía potencial elásticaque puede expresarse de esta manera,,12p elEF ALuA L unidad de volumen ≡ ×   Al aplicar la fuerza F, tal como muestra la figura, producirá una deformación x,descrita por,//AYF Ax Lx FYL  ÷ ≡ ≡→De tal forma que la fuerza del sistema será,elastAYF xL→ ≡ − {En todo momento la fuerza aplicada F es tan intensa comola respuesta elástica del sistema, siempre que el procesose realice muy lentamente, estado cuasiestacionario}Ahora, calculando el trabajo de esta fuerza,{ , , , , , , , ,elFp el p el f p el i p el f p elW E E E E E≡ −∆ ≡ − + ≡ − ≡ −20 , ,01/2elLF Lp el p elAY AYW x dx x E EL L∆∆   ≡ − × ≡ − ≡ −∆ ≡ −  ÷   ∫2,12p elAYL EL→ × ×∆ ≡2,12p elAYL EL → ∆ ≡  Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 164
  10. 10. Cuaderno de Actividades: Física I12A→ ×L( /F A×)( L∆ / )L2L×∆ ,p elE≡,12p elF L E→ ∆ ≡,12p elEF LuAL AL∆→ ≡ ≡→12F LuA L∆  ≡  ÷ ÷  12s e u≡¿? Aplicaciones tecnológicas de la deformación de los cuerpos en sustres fases notables: elástica, plástica y de ruptura.S6P10) Se cuenta con una barra troncocónica maciza cuya sección circularvaría uniformemente a lo largo de su longitud L, entre los diámetros d y D. Losextremos están sujetos a una fuerza axial F, determine la deformación unitariaó específica debido a dicha fuerza.SOLUCION:Lic. Percy Víctor Cañote Fajardod/2 D/2F FL165
  11. 11. Cuaderno de Actividades: Física IDe( )2,2 2D dFL Fdx dL dL y xYA Y y Lπ−∆ ≡ → ≡ ≡ +( ) ( )2 2002 22LIFdx F dx FLdL LY Y dDD d D dYd x d xL Lπ ππ    ≡ ≡→ ∆ ≡ ≡ − −    + +         ∫144424443?I→ ≡D du d xL− ≡ +  ÷ D ddu dxL− ≡  ÷ ( ) 2*DdIL du LID d u dD → ≡ ≡ −  ∫* 1 1 1DdIu d D → ≡ − ≡ − ÷ ∫02FLLY dDπ→ ∆ ≡ →2L FL Y dDπ∆≡Lic. Percy Víctor Cañote Fajardob/2d/2LYA(x)D/2d/2 y F0 xX Ax L166
  12. 12. Cuaderno de Actividades: Física IS6P8) Una masa de 1 kg cuelga de un cable de acero de 2 m de longitud(longitud sin estirar) con un diámetro de 0,1 mm. El sistema es puesto enmovimiento como un péndulo cónico con un ángulo θ en el vértice.a) Calcule la deformación del alambre.b) El periodo del movimiento rotacional cuando la tensión en el alambreen dos veces el peso de la masa (Yacero = 21 x 1010Pa).SOLUCION:DCL (m):TθmwDatos: m=1, l=2, d=φ=10-4, Yacero = 21x 1010.Del equilibrio en la vertical,...cos secT mg T mgθ αθ≡ → ≡Y de la dinámica circular,2... , tcp cpvF Tsen ma m R l sen l l lRθ βθ≡ ≡ ≡ ¬ ≡ ≡ + ∆De α y β,2..t n .atvmg ml senθγθ ≡a) Del modulo de Young,Lic. Percy Víctor Cañote Fajardoθm167
  13. 13. Cuaderno de Actividades: Física I2 224sec2FL Tl TlY Y l T mgLA Y ddlθππ≡ → ≡ → ∆ ≡ ¬ ≡∆    ∆   ÷   2 24 seclmglY dθπ∆ ≡b) T (periodo)=?, con la condición 23T mgπθ≡ → ≡ ( T: tensión)2( )T periodowπ≡La frecuencia angular la obtenemos de β,2cpF Tsen mθ≡ ≡ g senθ m≡ l senθ 2w2 2g gw l l l wl l l→ ≡ ¬ ≡ + ∆ → ≡+ ∆Con lo que el T queda,22l lTgπ+ ∆≡ 0,0242usando l∆ ≡ → 0,6T π≡Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 168
  14. 14. Cuaderno de Actividades: Física IS6P1) La barra mostrada, en la figura tiene las siguientes características: peso= w, área transversal = A, longitud = L y módulo de Young = Y. Si unapesa de peso 2 w es colocado en la parte inferior, halle la deformaciónde la barra considerando la deformación por peso propio.SOLUCION: Primero determinaremos la deformación causada por el pesopropio de la barra, para lo cual tomamos un elemento de la barra de longitudinfinitesimal dx, como se muestra en la figura, sobre la cual actúa la fuerzaw(x), es decir, la fuerza debido al peso del trozo de barra de longitud x,( )ww x xL ≡  ÷ Esta fuerza producirá un elemento de deformación dado por,Lic. Percy Víctor Cañote FajardobarraL2wXdxw(x)x0w w(x)169
  15. 15. Cuaderno de Actividades: Física I{ } { }( )( )wx dxw x dxFLYAwLd L xdxAY AY LAYL  ÷ ∆ ≡ ≡ ≡→≡∆Para calcular la deformación total integramos para toda la barra,0 12L wLL LAYwL xdxLAY∆ ≡ → ∆ ≡ ∆ ≡∫Ahora, para la deformación total, consideramos la deformación que produce lapesa 2w,2(2 ) 2w L wLLAY AY∆ ≡ ≡Con lo que la deformación total es, 1 222wL wLL L LAY AY∆ ≡ ∆ + ∆ ≡ +52wLLAY∆ ≡Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 170
  16. 16. Cuaderno de Actividades: Física IS6P4) Una varilla de cobre de 1,40 m de largo y área transversal de 2,00 cm2se sujeta por un extremo al extremo de una varilla de acero de longitud Ly sección de 1,00 cm2. La varilla compuesta se somete a traccionesiguales y opuestas de 6,00 x 104N en sus extremos.a) Calcule L si el alargamiento de ambas varillas es el mismob) ¿Qué esfuerzo se aplica a cada varilla?c) ¿Qué deformación sufre cada varilla?Modulos de Young:Cobre: 11 x 1010PaAcero: 20 x 1010PaSOLUCION: Representamos a la varilla compuesta en el siguiente diagrama,Lic. Percy Víctor Cañote FajardoF A1 L1 L A2 F171
  17. 17. Cuaderno de Actividades: Física Ia) Determinamos L de la condición 1 2L L L∆ ≡ ∆ ≡ ∆ . Mostramos DCL de cadavarilla en la dirección de interés y aplicamos la condición,1 2 211 21 2 11 2 1FL F L A YLAYLL L LAY A Y∆ ≡ ≡ ∆ ≡ ∆ ≡ ≡→Calculando,( ) 41 2 21 11,40 1 10L A YLAY−×≡ ≡( ) 1020 10×( )42 10−×( ) 1011 10×( )1,27≡1,27L ≡b) Calculando los esfuerzos,481 416,00 103 102,00 10AFsAFs −×≡ ≡ ≡ ××→≡ ∧482 426,00 106,00 101,00 10FsA −×≡ ≡ ≡ ××8 81 23 10 6 10s s≡ × ∧ ≡ ×Lic. Percy Víctor Cañote FajardoF ∆L1 FF ∆L F172
  18. 18. dCuaderno de Actividades: Física Ic) Calculando las deformaciones,s sL LLs sLY LYLe≡ ≡∆ ∆∆ ≡→≡( )( )831 11 1013 10 1,403,81 1011 10s LLY−×∆ ≡ ≡ ≡ ××( )( )832 22 1026 10 1,273,81 1020 10s LLY−×∆ ≡ ≡ ≡ ××31 2 3,81 10L L −∆ ≡∆ ≡ ×S6P14) Si el esfuerzo de corte en el acero excede aproximadamente 4,0 x 108,el acero se rompe. Determine la fuerza de corte para, a) cortar unperno de acero de 1 cm de diámetro, y b) hacer un hoyo de 1 cm dediámetro en una plancha de acero de 0,50 cm de espesor.SOLUCION:a) Determinación de la fuerza de corte,FLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 173
  19. 19. Cuaderno de Actividades: Física IDe la ecuación del esfuerzo de corte,22444F s ds FAFFdππ≡ → →≡ ≡≡( ) ( )28 210 1 104π −× ×31,4F kN≡Por lo tanto, una fuerza mayor que F cortara al perno.b) Ahora, determinamos la fuerza de corte para hacer el hoyo,wdF( )Fd wFs F s d wA ππ≡ →≡ ≡( ) ( )( )8 2 24 10 1 10 0,5 10F π − −→ ≡ × × ×62,8F kN≡Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 174
  20. 20. Cuaderno de Actividades: Física IS6P2) Una barra homogénea de longitud L, área A, masa M, módulo de YoungY, gira libremente con velocidad angular w = cte, sobre una mesahorizontal sin fricción y pivoteando en uno de sus extremos.Determine:a) La deformación producida en la barrab) En donde se produce el esfuerzo máximoSOLUCION:Lic. Percy Víctor Cañote Fajardow175
  21. 21. Cuaderno de Actividades: Física Ia) { } 2cpdF dF dm w r≡ ≡Mdm drL ≡   ( )2MwdF r rdrL≡( )22: " "2cpMwF r r dFL≡ ≡∫2222( )22Mwr drL MwY dL r drAdL LAYFLYA L   → ≡ → ≡≡∆220 0 2L L MwL dL r drLAY→ ∆ ≡ ≡∫ ∫→2 26Mw LLAY∆ ≡Lic. Percy Víctor Cañote FajardoM wL dmdFcpr drO176
  22. 22. Cuaderno de Actividades: Física Ib) De22222( )2MwrF MwLs r rA A LA= ≡ ≡,por lo tanto, en r=L,2( )2Mw Ls LA≡Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 177

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