Clase 3 mecanica-cuantica

1. 3) MECÁNICA CUÁNTICA

2.  F.CLASICA : Determinista
Y
t=0
y
t=1
g
Vo
X
{1900} F.CUÁNTICA : Indeterminista
e-
1
2
{1925} , W Heisenberg
Mecánica Matricial : [ ] estados
{1926} E Schroedinger
 Mecánica ondulatoria
O : y = y ( x, t ) 

E = E ( x, t )  Ψ ( r , t )
E = E (r , t ) 

{1929} CUÁNTICA - RELATIVIDAD , Dirac - Sommerfeld

3. 3.1) Experimento de la doble
rendija
1
eD
2
D’
pantalla
La radiación de e-s sobre las rendijas 1 y 2 produce un patrón de interferencia
por difracción en la pantalla. Esta interferencia tiene que entenderse como
producida por una “presencia” del electrón tanto en 1 como en 2.

4. Si el experimento se realiza anulando una de las rendijas se obtendrían patrones
típicos para c/u de ellos. Es más, si se superpone el experimento por una y luego por
la otra, el patrón final no mostraría interferencia.
Y’
α)
e-
Ψ1
1
2
Ψ1
2
+ Ψ2
2
X’
2
Y’
e-
β)
1
Ψ2
2
X’
2
Si los estados de los electrones son descritos por funciones Ψ, Ψ1:e-s por 1 y
Ψ2:e-s por 2, entonces, las probabilidades de encontrar a los electrones en Y
2
Ψ , por lo tanto, las curvas de probabilidad
se determina con los
correspondientes a α y β son solo función de los estados Ψ1 y Ψ2
correspondientes e inclusive cuando se superponen en el experimento.

5. Sin embargo el resultado original muestra interferencia, esto es, los estados e-s
deben de influirse en 1 y 2 para que el patrón se pueda explicar, por lo tanto , el
estado del e- debe de especificarse así:
Ψe= Ψ1+ Ψ2
De esta forma, al determinar la probabilidad para un e- se justifica la
interferencia,
 e
2
2
2
2
 1   2  1   2  2 1  2 cos 
 : desfasaje entre 1   2
En este experimento el e- esta deslocalizado debido a que deberá
estar presente en 1 y 2.

6. 3.2) PRINCIPIOS DE INCERTIDUMBRE
DE HEISENBERG
i) DE LA POSICIÓN Y DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO (r y p)
∆x
p
∆p
x
∆∆ ≥
x p
2
: incertidumbre de la posición
: incertidumbre de la cantidad de
movimiento lineal
Esta relación describe una interacción con
el sistema que no se puede controlar, es
proceso del universo.
ii) DE LA ENERGÍA Y DEL TIEMPO
h
E t 
2
∆E
: incertidumbre de la energía
∆t
: incertidumbre del tiempo

7. 3.3) FUNCIÓN DE ONDA Ψ
Es la función que describe el estado del sistema. Esto es, en ella está contenida
toda la información del sistema.
r  r (t )  v  a
r P
T
r  r (t )  continua
r
r
d 2r r
2da Ley : FRES  m 2  r
dt
u uu
r r
" OEM : E  B "
E  E ( x, t )
E ( x, t )  EM sen{kx  wt  }
E c de OEM
2 E 1 2 E
 2 2 vc
2
x
v t

8. e-
=
e- = Ψ
X
 ( x, t )   ( x, t )   ( x )
 ( x)  x
 PSI 
v
Valores
asociados
M
CF
H Ψ=E Ψ
Ec. de Schroedinger
Probabilidad
La Ψ no es cuantificable, NO OBSERVABLE, sin embargo
las mediciones se efectuarán con |Ψ|2 ,el cual se interpreta como
densidad de probabilidad.

9. |Ψ|2
: densidad de probabilidad …
Indica la probabilidad de encontrar a la partícula
en cierto volumen y en cierto tiempo.
|Ψ|2dv
:… en el V=dv
|Ψ(x)|2dx : probabilidad de encontrar a la partícula en dx
P
v
x
a
x←X
b
" x": [ a, b] → Pab = ∫ Ψ( x ) dx
a
2
b

10. Debido a que la partícula debe encontrarse en el eje X, se establece la
condición de normalidad de Ψ,
∞
∫ ψ dx = 1
2
∃ de la partícula en X!
−∞
Las CF se describen usando sus valores esperados , CF <CF>
CF =
∞
{CF } ψ 2 dx
∫
−∞
Ψ: Describe al sistema
Ψ  Interpretar

11. Ejemplo: Problema de la partícula
en una caja
m
v
x
L
La partícula de masa m se mueve en una caja de lado L con
velocidad v.
Estado Cinemático: v
Discretizar
Sistema restringido: x
< 0,L>

12. Este confinamiento de m es lo que producirá, en la versión cuántica del
problema, los estados discretos,
Ψ Ψn  En ; n =1,2,3,…
Debido a que la v = cte y al confinamiento, entendiendo a este último
como que m no podría estar en X=0 o L , la función de onda que
describe los estados de m es,
 ( x)  A sen  kx
Donde
k=
2π
λ
se escogerá de tal manera que describa la
probabilidad cero de encontrar a m en x=0 o L,
kx  n , x  0, L
kL  n ; n  1, 2, 3 ,...
kn 
n
2

L
n
2L
nv
 n 
, n 
n
2L
 2
 n ( x)  Asen 
 n

x  ; n  1, 2,3,...


13. Estos n estados de m tienen asociadas energías, Ek,n dadas por
pn 2
1
2
Ekn  mvn 

2
2m

2m
h2

2n 2 m
Principio de
incertidumbre

h

n
2
2


 
h

 2L  


h2n2

 n  

 2  Ek , n  En
2m
8L m
h2 2
  
 n ( x)  ASen  nx  , Ek ,n 
n
8mL
 L 

v=cte
Ψn =| Ψn |
L/3
2L/3
0
L
En (E1)
2
Ψn
Ψ
Ψ
n
2
L/2
L
0
2L/3
L/2
L
3
2
1
0
9
4
L/3
1

14. 3.4) LA ECUACION DE SCHROEDINGER
Es la ecuación que debe satisfacer las funciones de onda Ψ y puede
ser tan compleja como uno desee en el contexto de acercarse mejor a
la descripción del problema físico. Por ejemplo,
1. HΨ=E Ψ
Estados estacionarios
H: Hamiltoneano operador de energía.
E: energía del estado estacionario.
2. Ec de Schroedinger
F. clásica
Física Cuántica
 ( x, t )  A ( x)Cos  wt .......................( )
 2 ( x, t ) 1  2 ( x, t )
 2
..........................(  )
x 2
v
t 2
  2 ( x, t ) 
1
2
A
 Cos  wt  2  A ( x, t )   w Cos  wt 
x 2 
v

 2 ( x, t )
w2
 p2
  2 ,  ( x, t )  2  ( x , t )
x 2
v
h
w2
v2
2
2

 2  

 
 v  

v
2 
   p
  
v   h

2

15. …..... Ec de Schrodinger
E  Ek  E p  cte
p2
Ek 
 E  E p  p 2  2m  E  E p 
2m
2
2m
 ( x)   2  E  E p   ( x)
x 2
h
3. Caso general
2
∂
i
ψ (r , t ) = −
∇ 2ψ (r , t ) + V (r , t )ψ (r , t )
∂t
2m
∂2
∂2
∂2
ψ + 2ψ + 2ψ
2
∂x
∂y
∂z
∂
ψ + Ep ψ = Eψ
2m ∂ x 2
2
 ∂
−
∇ 2 ψ + vψ = ih ψ
2m
 ∂t 
 2

+ v ψ = Eψ
−
 2m 
−
2

16. Resolviendo el ejercicio…
2
2m
0  L : 2    2 E
x
h
..
∞
∞
x   x  0  x(t )  ASen{wt}

Ep

v
  
nx 
L 

 ............  ASen 
x
0
2mE 
x
2
h 
 ( x)  ASen 
h2 2
En 
n
2
8mh
L

L
%
A  Normalización :   dx  1   A2 Sen 2 (cx)dx

A
2
L
2
0