Clase 3 mecanica-cuantica

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Clase 3 mecanica-cuantica

  1. 1. 3) MECÁNICA CUÁNTICA
  2. 2.  F.CLASICA : Determinista Y t=0 y t=1 g Vo X {1900} F.CUÁNTICA : Indeterminista e- 1 2 {1925} , W Heisenberg Mecánica Matricial : [ ] estados {1926} E Schroedinger  Mecánica ondulatoria O : y = y ( x, t )   E = E ( x, t )  Ψ ( r , t ) E = E (r , t )   {1929} CUÁNTICA - RELATIVIDAD , Dirac - Sommerfeld
  3. 3. 3.1) Experimento de la doble rendija 1 eD 2 D’ pantalla La radiación de e-s sobre las rendijas 1 y 2 produce un patrón de interferencia por difracción en la pantalla. Esta interferencia tiene que entenderse como producida por una “presencia” del electrón tanto en 1 como en 2.
  4. 4. Si el experimento se realiza anulando una de las rendijas se obtendrían patrones típicos para c/u de ellos. Es más, si se superpone el experimento por una y luego por la otra, el patrón final no mostraría interferencia. Y’ α) e- Ψ1 1 2 Ψ1 2 + Ψ2 2 X’ 2 Y’ e- β) 1 Ψ2 2 X’ 2 Si los estados de los electrones son descritos por funciones Ψ, Ψ1:e-s por 1 y Ψ2:e-s por 2, entonces, las probabilidades de encontrar a los electrones en Y 2 Ψ , por lo tanto, las curvas de probabilidad se determina con los correspondientes a α y β son solo función de los estados Ψ1 y Ψ2 correspondientes e inclusive cuando se superponen en el experimento.
  5. 5. Sin embargo el resultado original muestra interferencia, esto es, los estados e-s deben de influirse en 1 y 2 para que el patrón se pueda explicar, por lo tanto , el estado del e- debe de especificarse así: Ψe= Ψ1+ Ψ2 De esta forma, al determinar la probabilidad para un e- se justifica la interferencia,  e 2 2 2 2  1   2  1   2  2 1  2 cos   : desfasaje entre 1   2 En este experimento el e- esta deslocalizado debido a que deberá estar presente en 1 y 2.
  6. 6. 3.2) PRINCIPIOS DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG i) DE LA POSICIÓN Y DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO (r y p) ∆x p ∆p x ∆∆ ≥ x p 2 : incertidumbre de la posición : incertidumbre de la cantidad de movimiento lineal Esta relación describe una interacción con el sistema que no se puede controlar, es proceso del universo. ii) DE LA ENERGÍA Y DEL TIEMPO h E t  2 ∆E : incertidumbre de la energía ∆t : incertidumbre del tiempo
  7. 7. 3.3) FUNCIÓN DE ONDA Ψ Es la función que describe el estado del sistema. Esto es, en ella está contenida toda la información del sistema. r  r (t )  v  a r P T r  r (t )  continua r r d 2r r 2da Ley : FRES  m 2  r dt u uu r r " OEM : E  B " E  E ( x, t ) E ( x, t )  EM sen{kx  wt  } E c de OEM 2 E 1 2 E  2 2 vc 2 x v t
  8. 8. e- = e- = Ψ X  ( x, t )   ( x, t )   ( x )  ( x)  x  PSI  v Valores asociados M CF H Ψ=E Ψ Ec. de Schroedinger Probabilidad La Ψ no es cuantificable, NO OBSERVABLE, sin embargo las mediciones se efectuarán con |Ψ|2 ,el cual se interpreta como densidad de probabilidad.
  9. 9. |Ψ|2 : densidad de probabilidad … Indica la probabilidad de encontrar a la partícula en cierto volumen y en cierto tiempo. |Ψ|2dv :… en el V=dv |Ψ(x)|2dx : probabilidad de encontrar a la partícula en dx P v x a x←X b " x": [ a, b] → Pab = ∫ Ψ( x ) dx a 2 b
  10. 10. Debido a que la partícula debe encontrarse en el eje X, se establece la condición de normalidad de Ψ, ∞ ∫ ψ dx = 1 2 ∃ de la partícula en X! −∞ Las CF se describen usando sus valores esperados , CF <CF> CF = ∞ {CF } ψ 2 dx ∫ −∞ Ψ: Describe al sistema Ψ  Interpretar
  11. 11. Ejemplo: Problema de la partícula en una caja m v x L La partícula de masa m se mueve en una caja de lado L con velocidad v. Estado Cinemático: v Discretizar Sistema restringido: x < 0,L>
  12. 12. Este confinamiento de m es lo que producirá, en la versión cuántica del problema, los estados discretos, Ψ Ψn  En ; n =1,2,3,… Debido a que la v = cte y al confinamiento, entendiendo a este último como que m no podría estar en X=0 o L , la función de onda que describe los estados de m es,  ( x)  A sen  kx Donde k= 2π λ se escogerá de tal manera que describa la probabilidad cero de encontrar a m en x=0 o L, kx  n , x  0, L kL  n ; n  1, 2, 3 ,... kn  n 2  L n 2L nv  n  , n  n 2L  2  n ( x)  Asen   n  x  ; n  1, 2,3,... 
  13. 13. Estos n estados de m tienen asociadas energías, Ek,n dadas por pn 2 1 2 Ekn  mvn   2 2m  2m h2  2n 2 m Principio de incertidumbre  h  n 2 2     h   2L     h2n2   n     2  Ek , n  En 2m 8L m h2 2     n ( x)  ASen  nx  , Ek ,n  n 8mL  L   v=cte Ψn =| Ψn | L/3 2L/3 0 L En (E1) 2 Ψn Ψ Ψ n 2 L/2 L 0 2L/3 L/2 L 3 2 1 0 9 4 L/3 1
  14. 14. 3.4) LA ECUACION DE SCHROEDINGER Es la ecuación que debe satisfacer las funciones de onda Ψ y puede ser tan compleja como uno desee en el contexto de acercarse mejor a la descripción del problema físico. Por ejemplo, 1. HΨ=E Ψ Estados estacionarios H: Hamiltoneano operador de energía. E: energía del estado estacionario. 2. Ec de Schroedinger F. clásica Física Cuántica  ( x, t )  A ( x)Cos  wt .......................( )  2 ( x, t ) 1  2 ( x, t )  2 ..........................(  ) x 2 v t 2   2 ( x, t )  1 2 A  Cos  wt  2  A ( x, t )   w Cos  wt  x 2  v   2 ( x, t ) w2  p2   2 ,  ( x, t )  2  ( x , t ) x 2 v h w2 v2 2 2   2       v    v 2     p    v   h  2
  15. 15. …..... Ec de Schrodinger E  Ek  E p  cte p2 Ek   E  E p  p 2  2m  E  E p  2m 2 2m  ( x)   2  E  E p   ( x) x 2 h 3. Caso general 2 ∂ i ψ (r , t ) = − ∇ 2ψ (r , t ) + V (r , t )ψ (r , t ) ∂t 2m ∂2 ∂2 ∂2 ψ + 2ψ + 2ψ 2 ∂x ∂y ∂z ∂ ψ + Ep ψ = Eψ 2m ∂ x 2 2  ∂ − ∇ 2 ψ + vψ = ih ψ 2m  ∂t   2  + v ψ = Eψ −  2m  − 2
  16. 16. Resolviendo el ejercicio… 2 2m 0  L : 2    2 E x h .. ∞ ∞ x   x  0  x(t )  ASen{wt}  Ep  v    nx  L    ............  ASen  x 0 2mE  x 2 h   ( x)  ASen  h2 2 En  n 2 8mh L  L % A  Normalización :   dx  1   A2 Sen 2 (cx)dx  A 2 L 2 0

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