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TRANSFORMADA DE LAPLACE Y
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
  CONTROL AUTOMATICO I – CAS6201
Propiedades de Laplace

        𝑑𝑥(𝑡)
𝐿             = 𝑠𝑋 𝑠 − 𝑥 0                  Primera derivada
         𝑑𝑡

        𝑑 2 𝑥(𝑡)
𝐿             2  = 𝑠 2 𝑋 𝑠 − 𝑠𝑥 0 − 𝑥 (0)   Segunda derivada
           𝑑𝑡

𝐿 𝑥(𝑡)𝜇(𝑡 − 𝑡0 ) = 𝑒 −𝑠𝑡0 𝑋(𝑠)              Retardo temporal

𝐿 𝑎𝑥 𝑡 + 𝑏𝑦(𝑡) = 𝑎𝑋 𝑠 + 𝑏𝑌(𝑠)               Linealidad
             𝑡
                            𝑋(𝑠)
    𝐿            𝑥 𝑡 𝑑𝑡 =                   Integral
         0                   𝑠
    c(𝑡) ∗ 𝑝(𝑡) = 𝐶 𝑠 𝑃(𝑠)                  Convolución
Transformadas Comunes
 𝛿(𝑡)   1                            𝑠
                    cos(𝑎𝑡)
                                𝑠 2 + 𝑎2
         𝐴                           𝑎
𝐴𝜇(𝑡)               sen(𝑎𝑡)
         𝑠                      𝑠 2 + 𝑎2
          1                            𝑠+ 𝑎
𝑒 −𝑎𝑡           𝑒 −𝑎𝑡 cos(𝜔𝑡)
         𝑠+ 𝑎                   (𝑠 + 𝑎)2 +𝜔 2
                                         𝜔
                𝑒 −𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)
                                (𝑠 + 𝑎)2 +𝜔 2
Transformadas Comunes
• Calcular transformadas de las siguientes
  señales:
  𝑠 𝑡 = 𝑒 −13𝑡 + 10𝛿(𝑡)        𝑠 𝑡 ∗ 𝑞(𝑡)

      𝑝 𝑡 = 8𝜇(𝑡)         𝑢 𝑡 ∗ 𝑞 𝑡 + 𝑣 𝑡 ∗ 𝑠(𝑡)

      𝑞 𝑡 = 𝑒 𝑡/8            ′∗′ ∶ 𝐶𝑂𝑁𝑉𝑂𝐿𝑈𝐶𝐼Ó𝑁

    𝑢 𝑡 = 7cos(2𝜋𝑡)

    𝑣 𝑡 = 5sen(10𝜋𝑡)
Transformadas Comunes
• Calcular transformadas de los siguientes
  sistemas:
             𝑦 𝑡 = 3𝑦 𝑡 + 4𝑦 𝑡 + 𝑢(𝑡)
           Be 𝑡 + 𝑒(𝑡) = 𝑢 𝑡 + 𝐶𝑢 − 𝐴𝑒
Funciones de Transferencia
• Transferencia es la relación existente entre la
  salida y la entrada de un sistema



                             𝑌 = 𝐺(𝑈)
     U             Y
            G
Funciones de Transferencia
• Divisor de Tensión:
                               𝑅2
                  𝑉 𝑜𝑢𝑡 =           𝑉
                            𝑅2 + 𝑅1 𝑖𝑛
                                         𝑉𝑖𝑛      𝑅2     𝑉 𝑜𝑢𝑡
                    𝑉 𝑜𝑢𝑡      𝑅2              𝑅2 + 𝑅1
                          =
                     𝑉𝑖𝑛    𝑅2 + 𝑅1
Funciones de Transferencia
• Podemos entender una transferencia como
  FUNCION, es decir:
                 𝑦 = 𝐻(𝑢)

• Por ejemplo:
                     U=2           Y = 13
  𝐻 𝑢 = 5𝑢 + 3              H(u)
Funciones de Transferencia
• Se puede definir la Función de Transferencia
  como:

                 𝐿*ℎ(𝑡)+ = 𝐻(𝑠)

                        𝑌(𝑠)
                  𝐻 𝑠 =
                        𝑈(𝑠)

• Siempre y cuando las condiciones iniciales sean
  iguales a cero.
Funciones de Transferencia
• Respuesta a Impulso
  – La transformada de Laplace de un impulso unitario es
    1
  – Entonces:

            𝑌 𝑠 = 𝐻 𝑠 ⋅ 𝐿*𝛿(𝑡)+ = 𝐻(𝑠)



• Entonces la transformada de la respuesta a
  impulso de un sistema lineal es el mismo sistema.
Funciones de Transferencia
• Determinar la salida “y” en función de “u” y
  “p”.
                              p
                          +
    u                                  y
             H
                      +




                 𝑦=       𝑝 + 𝐻(𝑢)
Polos y Ceros
• Polos: Son las raíces del denominador de una
  función de transferencia.

• Ceros: Son las raíces del numerador de una
  función de transferencia.
             𝑏 𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑏 𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑏1 𝑠 + 𝑏0
             𝑎 𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑠 + 𝑎0
Polos
• La ubicación de los polos de una función de
  transferencia en el plano “s” determina el
  comportamiento del sistema que modela.

• Los polos ubicados en el semi plano izquierdo
  (SPI) son siempre estables ya que a entradas
  acotadas se obtienen salidas acotadas
  mientras que en el semi plano derecho (SPD)
  sucede al contrario.
Polos




Región Estable      Región      Región Inestable
                 Críticamente
                    Estable
Polos
                                            𝐴
                                 𝐴𝜇(𝑡)
                                            𝑠
                                            1
                                 𝑒 −𝑎𝑡
                                           𝑠+ 𝑎




               𝑠                             𝑠+ 𝑎
cos(𝑎𝑡)               𝑒 −𝑎𝑡 cos(𝜔𝑡)
          𝑠 2 + 𝑎2                       (𝑠 + 𝑎)2 +𝜔 2
               𝑎                               𝜔
sen(𝑎𝑡)               𝑒 −𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)
          𝑠 2 + 𝑎2                       (𝑠 + 𝑎)2 +𝜔 2
Polos
• Polos Reales:                                𝐼𝑚

              1
  𝐻 𝑠 =                                𝑐 X
        (𝑠 + 𝑎)(𝑠 − 𝑏)
                                  X                 X
                                 −𝑎                  𝑏   𝑅𝑒
                                           X
• Polos Imaginarios:                  −𝑐

            1
    𝐻 𝑠 = 2
         (𝑠 + 𝑐 2 )
Polos
• Polos Complejos conjugados:
                                                     𝐼𝑚

                                        X           𝜔 𝑛 1 − 𝜉2
             1                                 𝜔𝑛
 𝐻 𝑠 = 2
      (𝑠 + 2𝜉𝜔 𝑛 + 𝜔 𝑛 2 )
                                       −𝜉𝜔 𝑛               𝑅𝑒

                                        X           −𝜔 𝑛 1 − 𝜉 2
    𝑠1 = −𝜉𝜔 𝑛 + 𝜔 𝑛 1 − 𝜉 2
    𝑠2 = −𝜉𝜔 𝑛 − 𝜔 𝑛 1 − 𝜉 2
Polos
• Diseñe “a” y “b” para que el sistema H sea
  estable y tenga un polo en el origen.
• ¿Se puede decir que sea críticamente
  estable?.
                       𝑠+ 𝑎
              𝐻 𝑠 = 2
                   (𝑠 + 𝑎𝑠 + 𝑏)
Ejercicios
• Calcular los polos de los siguientes sistemas e
  indicar si son inestables:
             𝑦 𝑡 = 3𝑦 𝑡 + 4𝑦 𝑡 + 𝑢(𝑡)
            Be 𝑡 + 𝑒(𝑡) = 𝑢 𝑡 + 𝐶𝑢 − 𝐴𝑒


• Calcular A,B y C para que al utilizar el segundo
  sistema como entrada del primer sistema el
  conjunto sea estable.
Soluciones en el tiempo
• Fracciones Parciales: La idea de este método matemático es
  separar el denominador de una fracción en una suma de
  fracciones mas simples.

• Se utilizan variables auxiliares para luego igualar los
  coeficientes de cada orden de “s”.

      𝑏 𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑏 𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑏1 𝑠 + 𝑏0      𝐴𝑠 + 𝐵        𝐶        𝐷
                                            = 2            +       + ⋯+
      𝑎 𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑠 + 𝑎0   𝑠 + 𝑐1 𝑠 + 𝑐0 𝑠 + 𝑐2      𝑠



• Notar que el orden utilizado en cada numerador del lado
  derecho tiene siempre un grado menos que el denominador.
Soluciones en el tiempo
• Calcular la salida del circuito si la entrada es
  un escalón unitario, L=5, C=0,01, R=45.
                                               𝑉𝑓
                                  𝑉𝑐 =
                                       𝐿𝐶𝑠 2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1
                                              20
                                  𝑉𝑐 =
                                       𝑠(𝑠 2 + 9𝑠 + 20)
                                      1   4   5
                                  𝑉𝑐 = +    −
                                       𝑠 𝑠+5 𝑠+4


  𝑣 𝑐 (𝑡) = 1 + 4𝑒 −5𝑡 − 5𝑒 −4𝑡
Soluciones en el tiempo
• Calcular la respuesta a impulso en el tiempo
                                𝑠−1
                     𝐻 𝑠 =
                           (𝑠 + 3)(𝑠 − 2)
                𝐴   𝐵
       𝑌 𝑠 =      +        𝐴 𝑠−2 + 𝐵 𝑠+3 = 𝑠−1
               𝑠+3 𝑠−2
                            4
                         𝐴=            4/5   1/5
        𝐴+ 𝐵 =1             5    𝑌 𝑠 =     +
      3𝐵 − 2𝐴 = −1          1          𝑠+3 𝑠−2
                         𝐵=
                            5
               4 −3𝑡 1 2𝑡
          𝑦 𝑡 = 𝑒   + 𝑒
               5     5
Soluciones en el tiempo
• Calcular la respuesta a impulso en el tiempo
                                   𝑠+6
                          𝐻 𝑠 = 2
                               (𝑠 + 4𝑠 + 13)

               (𝑠 + 2) + 4                                            𝜔
        𝑌 𝑠 =                                   𝑒 −𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)
              ((𝑠 + 2)2 +9)                                     (𝑠 + 𝑎)2 +𝜔 2
                                                                    𝑠+ 𝑎
     (𝑠 + 2)     4        3                     𝑒 −𝑎𝑡 cos(𝜔𝑡)
                + ⋅                                             (𝑠 + 𝑎)2 +𝜔 2
 ((𝑠 + 2)2 +32 ) 3 ((𝑠 + 2)2 +32 )


                                4 −2𝑡
       𝑦 𝑡 =   𝑒 −2𝑡 cos(3𝑡)   + 𝑒    sin(3𝑡)
                                3
Recapitulación
• La estabilidad de un sistema se interpreta mediante la
  ubicación de sus polos, pudiendo ser un sistema:
   – Estable
   – Críticamente Estable
   – Inestable

• Las respuestas en el tiempo de los sistemas lineales se
  pueden definir en distintas regiones del plano de
  Laplace.

• Un sistema puede ser identificado mediante su
  respuesta al Impulso.

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  • 1. TRANSFORMADA DE LAPLACE Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA CONTROL AUTOMATICO I – CAS6201
  • 2. Propiedades de Laplace 𝑑𝑥(𝑡) 𝐿 = 𝑠𝑋 𝑠 − 𝑥 0 Primera derivada 𝑑𝑡 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝐿 2 = 𝑠 2 𝑋 𝑠 − 𝑠𝑥 0 − 𝑥 (0) Segunda derivada 𝑑𝑡 𝐿 𝑥(𝑡)𝜇(𝑡 − 𝑡0 ) = 𝑒 −𝑠𝑡0 𝑋(𝑠) Retardo temporal 𝐿 𝑎𝑥 𝑡 + 𝑏𝑦(𝑡) = 𝑎𝑋 𝑠 + 𝑏𝑌(𝑠) Linealidad 𝑡 𝑋(𝑠) 𝐿 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 = Integral 0 𝑠 c(𝑡) ∗ 𝑝(𝑡) = 𝐶 𝑠 𝑃(𝑠) Convolución
  • 3. Transformadas Comunes 𝛿(𝑡) 1 𝑠 cos(𝑎𝑡) 𝑠 2 + 𝑎2 𝐴 𝑎 𝐴𝜇(𝑡) sen(𝑎𝑡) 𝑠 𝑠 2 + 𝑎2 1 𝑠+ 𝑎 𝑒 −𝑎𝑡 𝑒 −𝑎𝑡 cos(𝜔𝑡) 𝑠+ 𝑎 (𝑠 + 𝑎)2 +𝜔 2 𝜔 𝑒 −𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) (𝑠 + 𝑎)2 +𝜔 2
  • 4. Transformadas Comunes • Calcular transformadas de las siguientes señales: 𝑠 𝑡 = 𝑒 −13𝑡 + 10𝛿(𝑡) 𝑠 𝑡 ∗ 𝑞(𝑡) 𝑝 𝑡 = 8𝜇(𝑡) 𝑢 𝑡 ∗ 𝑞 𝑡 + 𝑣 𝑡 ∗ 𝑠(𝑡) 𝑞 𝑡 = 𝑒 𝑡/8 ′∗′ ∶ 𝐶𝑂𝑁𝑉𝑂𝐿𝑈𝐶𝐼Ó𝑁 𝑢 𝑡 = 7cos(2𝜋𝑡) 𝑣 𝑡 = 5sen(10𝜋𝑡)
  • 5. Transformadas Comunes • Calcular transformadas de los siguientes sistemas: 𝑦 𝑡 = 3𝑦 𝑡 + 4𝑦 𝑡 + 𝑢(𝑡) Be 𝑡 + 𝑒(𝑡) = 𝑢 𝑡 + 𝐶𝑢 − 𝐴𝑒
  • 6. Funciones de Transferencia • Transferencia es la relación existente entre la salida y la entrada de un sistema 𝑌 = 𝐺(𝑈) U Y G
  • 7. Funciones de Transferencia • Divisor de Tensión: 𝑅2 𝑉 𝑜𝑢𝑡 = 𝑉 𝑅2 + 𝑅1 𝑖𝑛 𝑉𝑖𝑛 𝑅2 𝑉 𝑜𝑢𝑡 𝑉 𝑜𝑢𝑡 𝑅2 𝑅2 + 𝑅1 = 𝑉𝑖𝑛 𝑅2 + 𝑅1
  • 8. Funciones de Transferencia • Podemos entender una transferencia como FUNCION, es decir: 𝑦 = 𝐻(𝑢) • Por ejemplo: U=2 Y = 13 𝐻 𝑢 = 5𝑢 + 3 H(u)
  • 9. Funciones de Transferencia • Se puede definir la Función de Transferencia como: 𝐿*ℎ(𝑡)+ = 𝐻(𝑠) 𝑌(𝑠) 𝐻 𝑠 = 𝑈(𝑠) • Siempre y cuando las condiciones iniciales sean iguales a cero.
  • 10. Funciones de Transferencia • Respuesta a Impulso – La transformada de Laplace de un impulso unitario es 1 – Entonces: 𝑌 𝑠 = 𝐻 𝑠 ⋅ 𝐿*𝛿(𝑡)+ = 𝐻(𝑠) • Entonces la transformada de la respuesta a impulso de un sistema lineal es el mismo sistema.
  • 11. Funciones de Transferencia • Determinar la salida “y” en función de “u” y “p”. p + u y H + 𝑦= 𝑝 + 𝐻(𝑢)
  • 12. Polos y Ceros • Polos: Son las raíces del denominador de una función de transferencia. • Ceros: Son las raíces del numerador de una función de transferencia. 𝑏 𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑏 𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑏1 𝑠 + 𝑏0 𝑎 𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑠 + 𝑎0
  • 13. Polos • La ubicación de los polos de una función de transferencia en el plano “s” determina el comportamiento del sistema que modela. • Los polos ubicados en el semi plano izquierdo (SPI) son siempre estables ya que a entradas acotadas se obtienen salidas acotadas mientras que en el semi plano derecho (SPD) sucede al contrario.
  • 14. Polos Región Estable Región Región Inestable Críticamente Estable
  • 15. Polos 𝐴 𝐴𝜇(𝑡) 𝑠 1 𝑒 −𝑎𝑡 𝑠+ 𝑎 𝑠 𝑠+ 𝑎 cos(𝑎𝑡) 𝑒 −𝑎𝑡 cos(𝜔𝑡) 𝑠 2 + 𝑎2 (𝑠 + 𝑎)2 +𝜔 2 𝑎 𝜔 sen(𝑎𝑡) 𝑒 −𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 𝑠 2 + 𝑎2 (𝑠 + 𝑎)2 +𝜔 2
  • 16. Polos • Polos Reales: 𝐼𝑚 1 𝐻 𝑠 = 𝑐 X (𝑠 + 𝑎)(𝑠 − 𝑏) X X −𝑎 𝑏 𝑅𝑒 X • Polos Imaginarios: −𝑐 1 𝐻 𝑠 = 2 (𝑠 + 𝑐 2 )
  • 17. Polos • Polos Complejos conjugados: 𝐼𝑚 X 𝜔 𝑛 1 − 𝜉2 1 𝜔𝑛 𝐻 𝑠 = 2 (𝑠 + 2𝜉𝜔 𝑛 + 𝜔 𝑛 2 ) −𝜉𝜔 𝑛 𝑅𝑒 X −𝜔 𝑛 1 − 𝜉 2 𝑠1 = −𝜉𝜔 𝑛 + 𝜔 𝑛 1 − 𝜉 2 𝑠2 = −𝜉𝜔 𝑛 − 𝜔 𝑛 1 − 𝜉 2
  • 18. Polos • Diseñe “a” y “b” para que el sistema H sea estable y tenga un polo en el origen. • ¿Se puede decir que sea críticamente estable?. 𝑠+ 𝑎 𝐻 𝑠 = 2 (𝑠 + 𝑎𝑠 + 𝑏)
  • 19. Ejercicios • Calcular los polos de los siguientes sistemas e indicar si son inestables: 𝑦 𝑡 = 3𝑦 𝑡 + 4𝑦 𝑡 + 𝑢(𝑡) Be 𝑡 + 𝑒(𝑡) = 𝑢 𝑡 + 𝐶𝑢 − 𝐴𝑒 • Calcular A,B y C para que al utilizar el segundo sistema como entrada del primer sistema el conjunto sea estable.
  • 20. Soluciones en el tiempo • Fracciones Parciales: La idea de este método matemático es separar el denominador de una fracción en una suma de fracciones mas simples. • Se utilizan variables auxiliares para luego igualar los coeficientes de cada orden de “s”. 𝑏 𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑏 𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑏1 𝑠 + 𝑏0 𝐴𝑠 + 𝐵 𝐶 𝐷 = 2 + + ⋯+ 𝑎 𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑠 + 𝑎0 𝑠 + 𝑐1 𝑠 + 𝑐0 𝑠 + 𝑐2 𝑠 • Notar que el orden utilizado en cada numerador del lado derecho tiene siempre un grado menos que el denominador.
  • 21. Soluciones en el tiempo • Calcular la salida del circuito si la entrada es un escalón unitario, L=5, C=0,01, R=45. 𝑉𝑓 𝑉𝑐 = 𝐿𝐶𝑠 2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1 20 𝑉𝑐 = 𝑠(𝑠 2 + 9𝑠 + 20) 1 4 5 𝑉𝑐 = + − 𝑠 𝑠+5 𝑠+4 𝑣 𝑐 (𝑡) = 1 + 4𝑒 −5𝑡 − 5𝑒 −4𝑡
  • 22. Soluciones en el tiempo • Calcular la respuesta a impulso en el tiempo 𝑠−1 𝐻 𝑠 = (𝑠 + 3)(𝑠 − 2) 𝐴 𝐵 𝑌 𝑠 = + 𝐴 𝑠−2 + 𝐵 𝑠+3 = 𝑠−1 𝑠+3 𝑠−2 4 𝐴= 4/5 1/5 𝐴+ 𝐵 =1 5 𝑌 𝑠 = + 3𝐵 − 2𝐴 = −1 1 𝑠+3 𝑠−2 𝐵= 5 4 −3𝑡 1 2𝑡 𝑦 𝑡 = 𝑒 + 𝑒 5 5
  • 23. Soluciones en el tiempo • Calcular la respuesta a impulso en el tiempo 𝑠+6 𝐻 𝑠 = 2 (𝑠 + 4𝑠 + 13) (𝑠 + 2) + 4 𝜔 𝑌 𝑠 = 𝑒 −𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) ((𝑠 + 2)2 +9) (𝑠 + 𝑎)2 +𝜔 2 𝑠+ 𝑎 (𝑠 + 2) 4 3 𝑒 −𝑎𝑡 cos(𝜔𝑡) + ⋅ (𝑠 + 𝑎)2 +𝜔 2 ((𝑠 + 2)2 +32 ) 3 ((𝑠 + 2)2 +32 ) 4 −2𝑡 𝑦 𝑡 = 𝑒 −2𝑡 cos(3𝑡) + 𝑒 sin(3𝑡) 3
  • 24. Recapitulación • La estabilidad de un sistema se interpreta mediante la ubicación de sus polos, pudiendo ser un sistema: – Estable – Críticamente Estable – Inestable • Las respuestas en el tiempo de los sistemas lineales se pueden definir en distintas regiones del plano de Laplace. • Un sistema puede ser identificado mediante su respuesta al Impulso.