Este documento introduce conceptos fundamentales sobre la transformada de Laplace y funciones de transferencia para el análisis de sistemas de control automático. Explica propiedades básicas de la transformada de Laplace, transformadas comunes, funciones de transferencia y su relación con la entrada y salida de un sistema, y analiza la ubicación de polos y ceros para determinar la estabilidad de un sistema.
8. Funciones de Transferencia
• Podemos entender una transferencia como
FUNCION, es decir:
𝑦 = 𝐻(𝑢)
• Por ejemplo:
U=2 Y = 13
𝐻 𝑢 = 5𝑢 + 3 H(u)
9. Funciones de Transferencia
• Se puede definir la Función de Transferencia
como:
𝐿*ℎ(𝑡)+ = 𝐻(𝑠)
𝑌(𝑠)
𝐻 𝑠 =
𝑈(𝑠)
• Siempre y cuando las condiciones iniciales sean
iguales a cero.
10. Funciones de Transferencia
• Respuesta a Impulso
– La transformada de Laplace de un impulso unitario es
1
– Entonces:
𝑌 𝑠 = 𝐻 𝑠 ⋅ 𝐿*𝛿(𝑡)+ = 𝐻(𝑠)
• Entonces la transformada de la respuesta a
impulso de un sistema lineal es el mismo sistema.
12. Polos y Ceros
• Polos: Son las raíces del denominador de una
función de transferencia.
• Ceros: Son las raíces del numerador de una
función de transferencia.
𝑏 𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑏 𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑏1 𝑠 + 𝑏0
𝑎 𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑠 + 𝑎0
13. Polos
• La ubicación de los polos de una función de
transferencia en el plano “s” determina el
comportamiento del sistema que modela.
• Los polos ubicados en el semi plano izquierdo
(SPI) son siempre estables ya que a entradas
acotadas se obtienen salidas acotadas
mientras que en el semi plano derecho (SPD)
sucede al contrario.
18. Polos
• Diseñe “a” y “b” para que el sistema H sea
estable y tenga un polo en el origen.
• ¿Se puede decir que sea críticamente
estable?.
𝑠+ 𝑎
𝐻 𝑠 = 2
(𝑠 + 𝑎𝑠 + 𝑏)
19. Ejercicios
• Calcular los polos de los siguientes sistemas e
indicar si son inestables:
𝑦 𝑡 = 3𝑦 𝑡 + 4𝑦 𝑡 + 𝑢(𝑡)
Be 𝑡 + 𝑒(𝑡) = 𝑢 𝑡 + 𝐶𝑢 − 𝐴𝑒
• Calcular A,B y C para que al utilizar el segundo
sistema como entrada del primer sistema el
conjunto sea estable.
20. Soluciones en el tiempo
• Fracciones Parciales: La idea de este método matemático es
separar el denominador de una fracción en una suma de
fracciones mas simples.
• Se utilizan variables auxiliares para luego igualar los
coeficientes de cada orden de “s”.
𝑏 𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑏 𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑏1 𝑠 + 𝑏0 𝐴𝑠 + 𝐵 𝐶 𝐷
= 2 + + ⋯+
𝑎 𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑠 + 𝑎0 𝑠 + 𝑐1 𝑠 + 𝑐0 𝑠 + 𝑐2 𝑠
• Notar que el orden utilizado en cada numerador del lado
derecho tiene siempre un grado menos que el denominador.
21. Soluciones en el tiempo
• Calcular la salida del circuito si la entrada es
un escalón unitario, L=5, C=0,01, R=45.
𝑉𝑓
𝑉𝑐 =
𝐿𝐶𝑠 2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1
20
𝑉𝑐 =
𝑠(𝑠 2 + 9𝑠 + 20)
1 4 5
𝑉𝑐 = + −
𝑠 𝑠+5 𝑠+4
𝑣 𝑐 (𝑡) = 1 + 4𝑒 −5𝑡 − 5𝑒 −4𝑡
22. Soluciones en el tiempo
• Calcular la respuesta a impulso en el tiempo
𝑠−1
𝐻 𝑠 =
(𝑠 + 3)(𝑠 − 2)
𝐴 𝐵
𝑌 𝑠 = + 𝐴 𝑠−2 + 𝐵 𝑠+3 = 𝑠−1
𝑠+3 𝑠−2
4
𝐴= 4/5 1/5
𝐴+ 𝐵 =1 5 𝑌 𝑠 = +
3𝐵 − 2𝐴 = −1 1 𝑠+3 𝑠−2
𝐵=
5
4 −3𝑡 1 2𝑡
𝑦 𝑡 = 𝑒 + 𝑒
5 5
24. Recapitulación
• La estabilidad de un sistema se interpreta mediante la
ubicación de sus polos, pudiendo ser un sistema:
– Estable
– Críticamente Estable
– Inestable
• Las respuestas en el tiempo de los sistemas lineales se
pueden definir en distintas regiones del plano de
Laplace.
• Un sistema puede ser identificado mediante su
respuesta al Impulso.