TRANSFORMADA DE LAPLACE YFUNCIONES DE TRANSFERENCIA  CONTROL AUTOMATICO I – CAS6201
Propiedades de Laplace        𝑑𝑥(𝑡)𝐿             = 𝑠𝑋 𝑠 − 𝑥 0                  Primera derivada         𝑑𝑡        𝑑 2 𝑥(𝑡)...
Transformadas Comunes 𝛿(𝑡)   1                            𝑠                    cos(𝑎𝑡)                                𝑠 2 ...
Transformadas Comunes• Calcular transformadas de las siguientes  señales:  𝑠 𝑡 = 𝑒 −13𝑡 + 10𝛿(𝑡)        𝑠 𝑡 ∗ 𝑞(𝑡)      𝑝 ...
Transformadas Comunes• Calcular transformadas de los siguientes  sistemas:             𝑦 𝑡 = 3𝑦 𝑡 + 4𝑦 𝑡 + 𝑢(𝑡)           ...
Funciones de Transferencia• Transferencia es la relación existente entre la  salida y la entrada de un sistema            ...
Funciones de Transferencia• Divisor de Tensión:                               𝑅2                  𝑉 𝑜𝑢𝑡 =           𝑉     ...
Funciones de Transferencia• Podemos entender una transferencia como  FUNCION, es decir:                 𝑦 = 𝐻(𝑢)• Por ejem...
Funciones de Transferencia• Se puede definir la Función de Transferencia  como:                 𝐿*ℎ(𝑡)+ = 𝐻(𝑠)            ...
Funciones de Transferencia• Respuesta a Impulso  – La transformada de Laplace de un impulso unitario es    1  – Entonces: ...
Funciones de Transferencia• Determinar la salida “y” en función de “u” y  “p”.                              p             ...
Polos y Ceros• Polos: Son las raíces del denominador de una  función de transferencia.• Ceros: Son las raíces del numerado...
Polos• La ubicación de los polos de una función de  transferencia en el plano “s” determina el  comportamiento del sistema...
PolosRegión Estable      Región      Región Inestable                 Críticamente                    Estable
Polos                                            𝐴                                 𝐴𝜇(𝑡)                                  ...
Polos• Polos Reales:                                𝐼𝑚              1  𝐻 𝑠 =                                𝑐 X        (𝑠 ...
Polos• Polos Complejos conjugados:                                                     𝐼𝑚                                 ...
Polos• Diseñe “a” y “b” para que el sistema H sea  estable y tenga un polo en el origen.• ¿Se puede decir que sea críticam...
Ejercicios• Calcular los polos de los siguientes sistemas e  indicar si son inestables:             𝑦 𝑡 = 3𝑦 𝑡 + 4𝑦 𝑡 + 𝑢(...
Soluciones en el tiempo• Fracciones Parciales: La idea de este método matemático es  separar el denominador de una fracció...
Soluciones en el tiempo• Calcular la salida del circuito si la entrada es  un escalón unitario, L=5, C=0,01, R=45.        ...
Soluciones en el tiempo• Calcular la respuesta a impulso en el tiempo                                𝑠−1                  ...
Soluciones en el tiempo• Calcular la respuesta a impulso en el tiempo                                   𝑠+6               ...
Recapitulación• La estabilidad de un sistema se interpreta mediante la  ubicación de sus polos, pudiendo ser un sistema:  ...
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  1. 1. TRANSFORMADA DE LAPLACE YFUNCIONES DE TRANSFERENCIA CONTROL AUTOMATICO I – CAS6201
  2. 2. Propiedades de Laplace 𝑑𝑥(𝑡)𝐿 = 𝑠𝑋 𝑠 − 𝑥 0 Primera derivada 𝑑𝑡 𝑑 2 𝑥(𝑡)𝐿 2 = 𝑠 2 𝑋 𝑠 − 𝑠𝑥 0 − 𝑥 (0) Segunda derivada 𝑑𝑡𝐿 𝑥(𝑡)𝜇(𝑡 − 𝑡0 ) = 𝑒 −𝑠𝑡0 𝑋(𝑠) Retardo temporal𝐿 𝑎𝑥 𝑡 + 𝑏𝑦(𝑡) = 𝑎𝑋 𝑠 + 𝑏𝑌(𝑠) Linealidad 𝑡 𝑋(𝑠) 𝐿 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 = Integral 0 𝑠 c(𝑡) ∗ 𝑝(𝑡) = 𝐶 𝑠 𝑃(𝑠) Convolución
  3. 3. Transformadas Comunes 𝛿(𝑡) 1 𝑠 cos(𝑎𝑡) 𝑠 2 + 𝑎2 𝐴 𝑎𝐴𝜇(𝑡) sen(𝑎𝑡) 𝑠 𝑠 2 + 𝑎2 1 𝑠+ 𝑎𝑒 −𝑎𝑡 𝑒 −𝑎𝑡 cos(𝜔𝑡) 𝑠+ 𝑎 (𝑠 + 𝑎)2 +𝜔 2 𝜔 𝑒 −𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) (𝑠 + 𝑎)2 +𝜔 2
  4. 4. Transformadas Comunes• Calcular transformadas de las siguientes señales: 𝑠 𝑡 = 𝑒 −13𝑡 + 10𝛿(𝑡) 𝑠 𝑡 ∗ 𝑞(𝑡) 𝑝 𝑡 = 8𝜇(𝑡) 𝑢 𝑡 ∗ 𝑞 𝑡 + 𝑣 𝑡 ∗ 𝑠(𝑡) 𝑞 𝑡 = 𝑒 𝑡/8 ′∗′ ∶ 𝐶𝑂𝑁𝑉𝑂𝐿𝑈𝐶𝐼Ó𝑁 𝑢 𝑡 = 7cos(2𝜋𝑡) 𝑣 𝑡 = 5sen(10𝜋𝑡)
  5. 5. Transformadas Comunes• Calcular transformadas de los siguientes sistemas: 𝑦 𝑡 = 3𝑦 𝑡 + 4𝑦 𝑡 + 𝑢(𝑡) Be 𝑡 + 𝑒(𝑡) = 𝑢 𝑡 + 𝐶𝑢 − 𝐴𝑒
  6. 6. Funciones de Transferencia• Transferencia es la relación existente entre la salida y la entrada de un sistema 𝑌 = 𝐺(𝑈) U Y G
  7. 7. Funciones de Transferencia• Divisor de Tensión: 𝑅2 𝑉 𝑜𝑢𝑡 = 𝑉 𝑅2 + 𝑅1 𝑖𝑛 𝑉𝑖𝑛 𝑅2 𝑉 𝑜𝑢𝑡 𝑉 𝑜𝑢𝑡 𝑅2 𝑅2 + 𝑅1 = 𝑉𝑖𝑛 𝑅2 + 𝑅1
  8. 8. Funciones de Transferencia• Podemos entender una transferencia como FUNCION, es decir: 𝑦 = 𝐻(𝑢)• Por ejemplo: U=2 Y = 13 𝐻 𝑢 = 5𝑢 + 3 H(u)
  9. 9. Funciones de Transferencia• Se puede definir la Función de Transferencia como: 𝐿*ℎ(𝑡)+ = 𝐻(𝑠) 𝑌(𝑠) 𝐻 𝑠 = 𝑈(𝑠)• Siempre y cuando las condiciones iniciales sean iguales a cero.
  10. 10. Funciones de Transferencia• Respuesta a Impulso – La transformada de Laplace de un impulso unitario es 1 – Entonces: 𝑌 𝑠 = 𝐻 𝑠 ⋅ 𝐿*𝛿(𝑡)+ = 𝐻(𝑠)• Entonces la transformada de la respuesta a impulso de un sistema lineal es el mismo sistema.
  11. 11. Funciones de Transferencia• Determinar la salida “y” en función de “u” y “p”. p + u y H + 𝑦= 𝑝 + 𝐻(𝑢)
  12. 12. Polos y Ceros• Polos: Son las raíces del denominador de una función de transferencia.• Ceros: Son las raíces del numerador de una función de transferencia. 𝑏 𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑏 𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑏1 𝑠 + 𝑏0 𝑎 𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑠 + 𝑎0
  13. 13. Polos• La ubicación de los polos de una función de transferencia en el plano “s” determina el comportamiento del sistema que modela.• Los polos ubicados en el semi plano izquierdo (SPI) son siempre estables ya que a entradas acotadas se obtienen salidas acotadas mientras que en el semi plano derecho (SPD) sucede al contrario.
  14. 14. PolosRegión Estable Región Región Inestable Críticamente Estable
  15. 15. Polos 𝐴 𝐴𝜇(𝑡) 𝑠 1 𝑒 −𝑎𝑡 𝑠+ 𝑎 𝑠 𝑠+ 𝑎cos(𝑎𝑡) 𝑒 −𝑎𝑡 cos(𝜔𝑡) 𝑠 2 + 𝑎2 (𝑠 + 𝑎)2 +𝜔 2 𝑎 𝜔sen(𝑎𝑡) 𝑒 −𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 𝑠 2 + 𝑎2 (𝑠 + 𝑎)2 +𝜔 2
  16. 16. Polos• Polos Reales: 𝐼𝑚 1 𝐻 𝑠 = 𝑐 X (𝑠 + 𝑎)(𝑠 − 𝑏) X X −𝑎 𝑏 𝑅𝑒 X• Polos Imaginarios: −𝑐 1 𝐻 𝑠 = 2 (𝑠 + 𝑐 2 )
  17. 17. Polos• Polos Complejos conjugados: 𝐼𝑚 X 𝜔 𝑛 1 − 𝜉2 1 𝜔𝑛 𝐻 𝑠 = 2 (𝑠 + 2𝜉𝜔 𝑛 + 𝜔 𝑛 2 ) −𝜉𝜔 𝑛 𝑅𝑒 X −𝜔 𝑛 1 − 𝜉 2 𝑠1 = −𝜉𝜔 𝑛 + 𝜔 𝑛 1 − 𝜉 2 𝑠2 = −𝜉𝜔 𝑛 − 𝜔 𝑛 1 − 𝜉 2
  18. 18. Polos• Diseñe “a” y “b” para que el sistema H sea estable y tenga un polo en el origen.• ¿Se puede decir que sea críticamente estable?. 𝑠+ 𝑎 𝐻 𝑠 = 2 (𝑠 + 𝑎𝑠 + 𝑏)
  19. 19. Ejercicios• Calcular los polos de los siguientes sistemas e indicar si son inestables: 𝑦 𝑡 = 3𝑦 𝑡 + 4𝑦 𝑡 + 𝑢(𝑡) Be 𝑡 + 𝑒(𝑡) = 𝑢 𝑡 + 𝐶𝑢 − 𝐴𝑒• Calcular A,B y C para que al utilizar el segundo sistema como entrada del primer sistema el conjunto sea estable.
  20. 20. Soluciones en el tiempo• Fracciones Parciales: La idea de este método matemático es separar el denominador de una fracción en una suma de fracciones mas simples.• Se utilizan variables auxiliares para luego igualar los coeficientes de cada orden de “s”. 𝑏 𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑏 𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑏1 𝑠 + 𝑏0 𝐴𝑠 + 𝐵 𝐶 𝐷 = 2 + + ⋯+ 𝑎 𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑠 + 𝑎0 𝑠 + 𝑐1 𝑠 + 𝑐0 𝑠 + 𝑐2 𝑠• Notar que el orden utilizado en cada numerador del lado derecho tiene siempre un grado menos que el denominador.
  21. 21. Soluciones en el tiempo• Calcular la salida del circuito si la entrada es un escalón unitario, L=5, C=0,01, R=45. 𝑉𝑓 𝑉𝑐 = 𝐿𝐶𝑠 2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1 20 𝑉𝑐 = 𝑠(𝑠 2 + 9𝑠 + 20) 1 4 5 𝑉𝑐 = + − 𝑠 𝑠+5 𝑠+4 𝑣 𝑐 (𝑡) = 1 + 4𝑒 −5𝑡 − 5𝑒 −4𝑡
  22. 22. Soluciones en el tiempo• Calcular la respuesta a impulso en el tiempo 𝑠−1 𝐻 𝑠 = (𝑠 + 3)(𝑠 − 2) 𝐴 𝐵 𝑌 𝑠 = + 𝐴 𝑠−2 + 𝐵 𝑠+3 = 𝑠−1 𝑠+3 𝑠−2 4 𝐴= 4/5 1/5 𝐴+ 𝐵 =1 5 𝑌 𝑠 = + 3𝐵 − 2𝐴 = −1 1 𝑠+3 𝑠−2 𝐵= 5 4 −3𝑡 1 2𝑡 𝑦 𝑡 = 𝑒 + 𝑒 5 5
  23. 23. Soluciones en el tiempo• Calcular la respuesta a impulso en el tiempo 𝑠+6 𝐻 𝑠 = 2 (𝑠 + 4𝑠 + 13) (𝑠 + 2) + 4 𝜔 𝑌 𝑠 = 𝑒 −𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) ((𝑠 + 2)2 +9) (𝑠 + 𝑎)2 +𝜔 2 𝑠+ 𝑎 (𝑠 + 2) 4 3 𝑒 −𝑎𝑡 cos(𝜔𝑡) + ⋅ (𝑠 + 𝑎)2 +𝜔 2 ((𝑠 + 2)2 +32 ) 3 ((𝑠 + 2)2 +32 ) 4 −2𝑡 𝑦 𝑡 = 𝑒 −2𝑡 cos(3𝑡) + 𝑒 sin(3𝑡) 3
  24. 24. Recapitulación• La estabilidad de un sistema se interpreta mediante la ubicación de sus polos, pudiendo ser un sistema: – Estable – Críticamente Estable – Inestable• Las respuestas en el tiempo de los sistemas lineales se pueden definir en distintas regiones del plano de Laplace.• Un sistema puede ser identificado mediante su respuesta al Impulso.

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