1. NUMEROS COMPLEJOS:
' que tiene dos solucionesrealesde valores I y - I .
Si planteamos ecuación x2 : 1, sabemos
la
Sin embargo, existeningúnnúmeroreal que cumpla x2 : - 4 .
no
Paradar respuesta este problema,se introducenlos númeroscomplejos,a partir de los números
a
ya
reales conocidos.
q=
D e f i n i c i ó nS i l l a m a m o s C a l c o n j u n t o do s n ú m e r o s c o m p l e j o s , d i r e m o s C u e{ z / z = a * b i }
: le con
a,be fr e i2:-1(i: Jl ) ; " a " r e c i b e e l n o m b r e d e p a r t e r e a l y " b " e l d e p a r t C j l q 4 g l n A lz .d e
A
Si z,z'eCy z:.' -1?=?,
lb=b'
Los númeroscomplejos se representan un plano (llamado plano complejo), de forma que cada
en
(a,
númerocomplejo z= a* b i quedarepresentado el punto de dicho plano de coordenadas b)
por
que recibeel nombrede afúo del complejo.
2. at&i
(lugarde los puntosdel planocon b:0)
El eje de abscisas
recibeel nombrede eje real.
(lugar de los puntosdel plano con a : 0)
El eje de ordenadas
recibeel nombrede eje imaginario.
El eje real es el lugar de los puntosque representan númerosrealespuros.
los
El eje imaginarioes el lugar de los puntosque representan númerosimaginariospuros.
los
A fa forma de expresarun complejo en la forma z: a * b i se Ie llama forma binómica del
númerocomplejo.
complejos: Dados z= a* b i
Operaciones números
con y z' : a' * b' i :
* Suma: zI z': (a+ a')+ (b + b') i
Propiedades
:
* Conmutativa: * z' : z' * z
z
* Asociativaz+ z') * z" = z+ (z' * z") : z* z' * z"
(:
t N e u t r o :0 e C = z * 0 - z (0:0+0i)
*Opuesto e z >
d -z= -a-bi > z*(-z):0
* Producto: z.z': (a. a'- b' b')+ (a'b'+ a'' b)i
Propiedades
:
* Conmutativa: z' : z' ' z
z'
* A s o c i a t i v:a z ' z ' ) ' z " = z ' ( z ' ' z " ) : z ' z ' ' z "
(
* U n i d a d :l e C + z ' 1 : z (1:l+0i)
*lnversodez:Vz+0, t'= ; - -i
a"+ b "
'a a" b b '
' +
cumPle z' z't : I
* C o c i e n t ea :
7 '
: z' z
Z,

2. * Potencia: z" : (a + b i) " : a partir del binomiode Newton:
/-
(x+y)":f l]a"+[!]a"
/. ' u * [ l/ l. u "
'b2+...*f /
'*f r+
_n.]u'b' -n,lu bn
u/ r/ ¿) n-z) n-rl
ysabiendoque: ir:i5:ie:"': i
2 : 6 : r 0_ . . . : _
i i i I
l.:l:l:
.4 ,R .t)
i'= i": i,.:.. .: I
Formapolar del númerocomplejo:Dado un complejo z= a* b i , que defineen el planocomplejoun
punto P (a , b) (afijo del nocomplejo), si unimos el origen de coordenadas P, obtenemos
con un
vector que define,a partir de su extremo,el númerocomplejo.
E,l vector, a su vez, quedarádeterminadopor su módulo m y su argumento cr = ángulo que
forma con el semiejereal positivo.
Conocidos m y o, conocemos vector y por tanto, el númerocomplejo que ésterepresenta.
el
El númerocomplejo z: a -t b i puedepor lo tanto representarse como z: nt ¡, ,
simbólicamente
con módulo m>0 varsumentocr.
z- a+bi Así,doscomplejosZ: fro y z' : m'or,en formapolar,
fm:m'
serán cuando: : m'o,(;
iguales mo
]o = o,*2 nk, keZ
"Paraque dos complejosen forma polar seaniguales,deberántenermódulos igualesy argumentos
bien iguales,bienrdiferentes
entre sí en un númeroenterode veces 2 n " .
entre la forma binómica (a + b i) y la forma polar ( mo ) de un númerocomplejo z :
Relaciones
De la figura (1):
Estasrelacionesdan lugar a la llamadaforma trigonométricadel númerocomplejo :
z=m(coscr+iseno)
con complejosdadosen forma polar:
Operaciones z: fro y z: m'.,
* Producto: zz' : (m ln')o*o, ya que:
z z ' : m o ' m ' o , : ( m c o s o * i m s e nc r ) ( m ' c o s o ' * i m ' S e n o ' ) :
: (m m' cosü, cosc{,' m m' senü sencr' ) + i (m m' sencr cosc{,' m m' coscr senc¿' :
- * )
: m m' [(cosct, cosa seno')] :
coso'- senü sencr' * i (sencrcoscx,'*
)
: m m' [cos(o +cr' ) + i sen(ü +ct')] : (m ffi')..*o,

3. 3
"Paramultiplicar en los y los
complejos formapolarsemultiplican módulos sesuman argumentos
de los factores"
El complejo unidad serápues l s , ! a Q u e m0 'lo=ffio.
,-
' (l tl)
bl rnversooe. z
z
,l
.sera z l- ) pues z'z-t:ffi..' l -m I - - r s'
m ) _,, /-.'
z (m
* Cociente:
t: [rr"-,,, ya qr
Z fr",
: ffio'(mo')
, I f I)
mo'l-l : l')
l: , LI
Z fln' m/_" m /(}_(l,
"Para dividir dos complejos en forma polar se dividen los módulos y se restanlos arsumentos
(numeradormenosdenominador)"
* Potencia: ,": (*nJno ya que:
z":(rrro)n: mo.*":l::t:mo: ( m . m . . . . . m ) o * c r . + . . . + c(¡r, " I "
:
n
y
"Para elevar un complejo en forma polar a un exponente n se eleva el módulo al exponente se
multiplica su argumentopor n "
* Raíz n-sima: {; : d*" : tu e (rp)": mo <+ ( . ' ) , . u :- * e
=m
<+ Jrn <+ J'=*=r,
n I F = ü + 2 kn . k e Z +::k, keZ
IP=;
hay infinitas soluciones(una para cada valor de k), en realidad éstasse
Aunque aparentemente
repiten, dando lugar a ! soluciones distintas, que se obtendrán dando a k n valores
c o n s e c u t i v o s ,o r e j e m p l o K = 0 , 7 , 2 , . . . , n - l ) .
(p ,
Complejo conjugadode un númerocomplejo z : a * bi : mo:
Llamamoscomplejo conjugadode z a
;= u+ü: a-bi: m-c' esdecir,alcomplejo
de la misma partereal y parte imaginariaopuestaa la
de z.
P r o p i e d a u n d a m e n t a , ', i : 1 a
fd l + b i)'(a*b i ¡ =
: a'+b2 e !l
"El productode dos complejosconjugados siempre
es
noreal que coincidecon el cuadradode su módulo".