Este documento describe varias teorías y aplicaciones relacionadas con los índices de poder y la teoría de juegos. Explica cómo se pueden calcular los índices de poder de países en la Unión Europea bajo diferentes reglas de votación, y cómo estas reglas afectan el poder relativo de las naciones. También analiza el poder de voto de los ciudadanos individuales en la UE.

1. Jesús Mario Bilbao Matemática Aplicada II Universidad de Sevilla ÍNDICES DE PODER Y SUS APLICACIONES POLÍTICAS

3. Teoría de decisión (incertidumbre) Teoría de la Elección Social Teoría de la conducta racional Teoría de la conducta racional individual Teoría de la conducta racional en un marco social Teoría de Juegos Harsanyi, en su Game and Decision Theoretic Models in Ethics , propone: Teoría de utilidad (certidumbre)

4. Teoría de la conducta racional TEORÍA DE JUEGOS Analiza y modela situaciones en la que dos o más individuos con diferentes intereses tratan de maximizar dichos intereses (egoístas o altruistas) de una manera racional. TEORÍA DE ELECCIÓN SOCIAL Analiza reglas de decisión que agregan las preferencias de dos o más individuos con intereses personales diferentes, pero que desean fomentar los intereses comunes de su sociedad de una manera racional.

5. Teoría de la conducta racional APLICACIONES POLÍTICAS Los comités políticos toman decisiones obligatorias para el conjunto de la sociedad. En los sistemas democráticos, tienen costes y la sociedad afronta el riesgo de la decisión. La regla de la unanimidad aumenta el coste y disminuye el riesgo. Las reglas de mayorías simple, absoluta o basadas en diferencias de votos disminuyen el coste de la decisión y aumentan su riesgo. ÍNDICES DE PODER Un juego de votación ponderada asigna a cada jugador un índice de poder que mide su capacidad para participar en coaliciones con votos que superen la cuota para decidir.

6. Juegos de votación ponderada

7. Juegos de votación ponderada

8. Juegos de votación ponderada

9. Juegos de votación ponderada

11. Cálculo de índices U saremos funciones generatrices para contar todas las coaliciones que cumplen determinadas propiedades. Los a ntecedentes son los trabajos de Cantor ( 1962 ), Brams y Affuso (1976) . Posteriormente, Tannenbaum (1997) elabor ó algoritmos para calcular í ndices de poder en juegos de mayor í a ponderada, usando el sistema Mathematica. En el grupo de investigación en Teoría de Juegos de la Universidad de Sevilla hemos obten ido nuevos algoritmos para calcular los í ndices de Banzhaf y el í ndice de Shapley-Shubik en juegos de votaci ó n de doble y triple mayor ía . Además, hemos calculado la complejidad de estos algoritmos.

12. Cálculo de índices

13. Función generatriz de Banzhaf Cada coeficiente es el número de coaliciones S que no incluyen al jugador i tales que w(S) = k y p(S) = r . Entonces el número de swings del jugador i es

14. Función generatriz de Shapley Cada coeficiente es el número de coaliciones S con cardinal j que no incluyen al jugador i tales que w(S) = k y p(S) = r . Entonces el número de swings del jugador i es

16. El poder de las naciones en la UE Uno de los acuerdos fundamentales de la cumbre de Jefes de Estado y de Gobierno de la Unión Europea, celebrada en Niza en diciembre de 2000, fue la aprobación de nuevos sistemas de votación de cara a la UE ampliada a 27 países. Se debatieron diversos sistemas de votación para regular el funcionamiento del Consejo de la Unión Europea, aprobándose dos modelos de triple mayoría con una reponderación de los votos actuales. Ambos modelos consideran votos ponderados, número de naciones (14) y población (más del 62%).

17. El poder de las naciones en la UE v1=[255; 29,29,29,29,27,27,14,13,12,12,12,12,12,10,10,10,7,7,7,7,7,4,4,4,4,4,3], v2=[14; 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1], v3=[620; 171,123,123,118,86,79,45,33,23,22,21,21,21,18,17,16,11,11,11,8,7,5,4,3,1,1,1]. La regla de decisión aprobada en Niza es el juego de triple mayoría ponderada, donde los tres juegos de votación ponderada correspondientes a votos, países y población de la Unión Europea ampliada a 27 países, son los siguientes:

18. El poder de las naciones en la UE

19. El poder de Banzhaf con la regla de Niza

20. El poder en la UE El incremento del poder de Alemania, con respecto al Reino Unido, Francia e I talia, en el juego de triple mayor í a (cuota de 14 naciones) es muy pequeño: la diferencia es de 4 swings sobre un total de m á s de 28 millones. Respecto al juego de triple mayor í a con cuota de 18 naciones, la diferencia es tambi é n de 4 swings a favor de Alemania, sobre un total de m á s de 24 millones y medio de swings. Así , la diferencia entre los í ndices de Banzhaf de Alemania y del Reino Unido, Francia e Italia son, respectivamente, menores que

21. El poder en la UE La principal conclusi ó n que se obtiene de los c á lculos realizados es q ue las dos r eglas de triple mayor í a, aprobadas en la cumbre de Niza, son equivalentes a un juego de mayor í a simple (la primera) o doble (la segunda). Con ambas reglas, la cuota de poblac ió n exigida para aprobar una decisi ó n no cambia el poder de las naciones. Los algoritmos para la Unión Europea con 25 países est án contenidos en el archivo http://hercules.us.es/~mbilbao/notebook/eu25nice.pdf Los resultados para la Unión Europea ampliada a 27 pa í ses, se encuentran en http://hercules.us.es/~mbilbao/notebook/eu27nice.pdf

22. El juego de la Constitución Europea La regla de la Constitución Europea es el juego de doble mayoría ponderada dado por los juegos v2* y v3*, donde la cuota de v2* es 15 y la cuota de v3* es el 65% de la población, es decir, v2*=[15; 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1], v3*=[650;171,123,123,118,86,79,45,33,23,22,21,21,21,18,17,16,11,11,11, 8,7,5,4,3,1,1,1]. En la siguiente figura, se presentan los índices normalizados de los 27 países de la UE. Los porcentajes de ests índices corresponden a la regla de Niza, a la regla de Constitución Europea (15 países con al menos el 65% de la población) y a la propuesta, denominada Penrose 62, que un grupo de investigadores en Teoría de Juegos hemos presentado en Bruselas a los gobiernos europeos.

23. El poder de Banzhaf con tres reglas de decisión

25. El poder de un votante

26. El poder de un votante

27. El poder de un votante En la Unión Europea, la participación de los ciudadanos en las instituciones europeas es doblemente indirecta. En la primera fase, elegimos representantes para el Parlamento Europeo y para las instituciones nacionales; que son las que posteriormente designan delegados de cada nación para la Comisión y el Consejo. Entonces para calcular el poder de un ciudadano europeo debemos considerar varias asambleas de votantes, cada una con un delegado. El delegado vota a favor de una propuesta si la mayoría de los votantes de su asamblea la apoya y se opone en otro caso. Felsenthal y Machover han probado el siguiente teorema, basándose en trabajos clásicos de Penrose. Los índices de Banzhaf probabilísticos son iguales para todos los votantes si y sólo si los índices de Banzhaf probabilísticos de los delegados son proporcionales a las raíces cuadradas de sus respectivas asambleas.

28. En el eje de abcisas se representa la raíz cuadrada de la población de los 27 países de la Unión Europea y en el eje de ordenadas el poder de Banzhaf probabilístico. Regla de Niza en la UE 27

29. En el eje de abcisas se representa la raíz cuadrada de la población de los 27 países de la Unión Europea y en el eje de ordenadas el poder de Banzhaf probabilístico. Regla de la C onstitu ción en la UE 27

31. Simple procedure : since it is based on a single criterion, and thus it could be called a ‘single majority’ system. Robust norm for egalitarian design of two-tier voting system. Representativity : every citizen of each member state has the same a priori voting power. Transparency : e ach member state has a voting power (approximately) proportional to its voting weight. Enlargement : with this rule compute the new voting weights according to the square root rule and adjust the quota. Efficiency : if the number of member grows, the egalitarian property does not change. Balanced between the Nice and the Constitution rules. European C ompromise = Penrose 62