Temas de Algebra del Grado Octavo

1. DOCENTE :
Luis Fernando Arias Londoño
OPERACIONES ALGEBRAICAS
I. LA SUMA Y LA RESTA
1. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS CON COEFICIENTES
ENTEROS Y FRACCIONARIOS.
2. Introducción y supresión de signos de agrupación.
3. Leyes de los exponentes enteros para la multiplicación.
4. Multiplicación por polinomios.
5. Definición de producto y producto notable.
5.1. Cuadrado de un binomio.
5.2. Binomios conjugados.
5.3. Binomio con un término común.
5.4. Cubo de un binomio.
5.5. Teorema del binomio.
5.6. Binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una suma o diferencia de cubos
5.7. Cuadrado de un trinomio.
6. Leyes de los exponentes enteros para la división.
7. División de polinomios.
8. División sintética.
9. Factorización.
9.1. Factor común.

2. 9.2. Diferencia de cuadrados.
9.3. Trinomios con término de segundo grado.
9.4. Suma y diferencia de cubos.
9.5. Por agrupación.
Así como la aritmética surgió la necesidad que tenían los pueblos primitivos de medir el tiempo y de contar sus
posesiones, el origen del álgebra es muy posterior puesto que debieron transcurrir muchos siglos para que el
hombre llegara al concepto abstracto de número que es el fundamento del álgebra.
El gran desarrollo experimentado por el álgebra se debió sobre todo a los matemáticos árabes y, muy en
particular, a Al-Hwarizmi (siglo IX d.C.), que sentó las bases del álgebra tal como la conocemos hoy en día.
Los primeros vestigios históricos sobre el desarrollo del álgebra en la antigüedad han sido encontrados en
Egipto. Los egipcios desarrollaron muchísimos las matemáticas como consecuencia de la creación de las
pirámides y otros monumentos y de las inundaciones del Nilo que contribuyeron a desarrollar la agrimensura y
con ella la geometría. En los documentos escritos hallados se han encontrado ingeniosos métodos de resolución
de ecuaciones de segundo grado, lo cual pone de manifiesto la familiaridad de los egipcios con el álgebra
1. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS CON COEFICIENTES
ENTEROS Y FRACCIONARIOS.
SUMA
La suma de monomios y polinomios es asunto de combinar términos semejantes.
EJEMPLO: Supongamos que se desea sumar 3x 2 7x 3 y 5x 2 2x 9 , es decir deseamos encontrar
3x 2 7x 3 5x 2 2x 9
Al aplicar las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva podemos escribir: 3x 2 7x 3 5x2 2x 9 3x 2 5x2
7x 2x 3 9 3 5x 7 2x 3 9 2 8x 2 5x 6 EJEMPLO: 3 2 1 De manera semejante, la suma de 4 x 3 x
2x 3y6x3 x2 9 , se escribe como: 7 7 3 3 2 312 3212 4x x 2x 3 6x x 9 4x 6x x x
2x 3 9 33 7 7 77 2 10 x 3 x2 2x 12 7 EJEMPLO: Para sumar 3x 7x2 2y 4x2 3 5x ; primero
escribimos ambos polinomios en orden descendente, colocamos los términos semejantes en una columna y luego sumamos 7 x 2
3x 2 4x2 5x 3 7x2 4x2 3x 5x 2 3 3x 2 2x 5 3x 2 2x 5 EJEMPLO: Del mismo modo
que en aritmética, podemos sumar o restar más de dos polinomios. Por ejemplo, para sumar los polinomios 7x x2 3,6x2 8 2
x y 3x x2 5 , escribimos cada polinomio en orden descendente con los términos semejantes en la misma columna y sumamos: 7x
x2 3 6x2 8 2x 3x x2 5 x2 7x 3 6x2 2x 8 x2 3x 5 x2 6x 2 x 7x 2
x 3x 3 8 5 2 6x2 2x 6 6x 2 2x 6 3-2
3. OPERACIONES ALGEBRAICAS RESTA Para restar polinomios, primero recordemos que a-(b+c)=a-b-c Para eliminar los paréntesis
de una expresión precedida por un signo menos (de resta) debemos cambiar el signo de cada término dentro del paréntesis. Esto es lo
mismo que multiplicar cada término dentro de los paréntesis por -1. EJEMPLO: Efectuar la operación 3x 2 2x 1 4x2 5x 2
3x 2 2x 1 4x2 5x 2 3x 2 2x 1 4x2 5x 2 SOLUCIÓN: 3x 2 4x2 2x 5x 1 2 x2
7x 1 x2 7x 1 EJEMPLO: 2 2 3 2 Resolver x y x y 5 10 2 2 3 2 2 2 3 4 3 2 7 SOLUCIÓN: x y xy
xy x2 y xy x2 y 5 10 5 10 10 10 EJEMPLO: Restar 8x4 5x3 y 3x2 y 2 y 4 x4 2 x3 y 5x2 y 2 8 x 4 5 x3 y 3x 2 y 2
4x4 2 x3 y 5x2y2 8x4 5 x3 y 3x 2 y 2 4x4 2 x3 y 5x2y2 SOLUCIÓN: 4x4 3x3 y 2x2

3. y 2 EJEMPLO: 1 2 1 1 1 1 1 Restar x y xy 2 x3 y x 2 y xy 2 x3 3 4 6 6 3 4 1 3 1 2 1 x xy xy 2 6 3 4 1 1 1 SOLUCIÓN: x3
x2y xy 2 4 6 3 1 1 7 x3 x2y xy 2 12 6 12 3-3
4. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS 3.1: Resolver los ejercicios siguientes: 1.- 2 y y 1 6y 2y 1 2 2 2.- 4x
3x 1 5x x 1 2 2 3.- z 4z 1 2z z 1 2 2 4.- y 3y 5 y 4y 3 2 2 5.- 2xy 6xy x 2xy x 2
6.- 5ax 3ax 4 2ax 3 2 2 7.- 2x y z x 2y z x y 2z x 3y 4z 8.- a b c a b c a b
c a b c 9.- 2g 3h k 2g 3h k 2g 2h 2k 3g h k 10.- 2x 2y z x 2y z 3x 2y
z x 4y 5z 32 11 1 1 11.- a 2 b2 ab b2 ab b2 43 39 63 9 25 1 1 571 7
12.- m2 n2 15mn n2 m2 m2 30mn 3 17 34 4 2 17 34 4 34 13 31 11 31
13.- b 2 m cn 2 b2m 6 cn b2m cn 4 2cn b2m 25 4 10 4 25 5 8 5 2 3 2 5 14.- a a
a 6 8 6 1 3 15.- a b 8a 6b 5 25 231 7 1 2 1 16.- x3 y 2 xy 4 x4y x3 y 2 x2y3 xy 4 7
978 8 14 3 3 21753 3 3 5 17.- m6 n6 m4 n2 m2 n4 m4 n 2 m2 n 4 n6 13 3 20 14 5 10 7 9
57 5 1 1 18.- a3 ab2 6 a 2b ab 2 68 8 4 3 19.- 0.2a3 0.4ab2 0.5a 2b 0.8b3 0.6ab2 0.3a 2b
0.4a3 6 0.8a 2b 0.2a 3 0.9b3 1.5a 2b 3-4
5. OPERACIONES ALGEBRAICAS 3.2 INTRODUCCIÓN Y SUPRESIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN En ocasiones es
necesario eliminar paréntesis antes de combinar términos semejantes. Por ejemplo, para combinar términos semejantes en 3x 5 2x
2 tenemos que suprimir los paréntesis primero. Si hay un signo más (o ningún signo) enfrente de los paréntesis, podemos simplemente
eliminar; esto es, a b a b a b a b EJEMPLO: 3x 5 2x 2 3x 5 2x 2 3x 2x 5 2 3x 2x 5
2 5x 3 La eliminación de paréntesis precedidos por un signo menos se hará de la manera siguiente: EJEMPLO: 8 x 2x 1 x
3 8x 2x 2 x 3 8x 2x 2 x 8x 2x x 2 3 5x 1 En ocasiones los paréntesis se presentan dentro de
otros paréntesis. Para evitar confusión, utilizamos diferentes símbolos de agrupación. De este modo, por lo general no escribimos x 5
3 , sino x 5 3 . Para combinar términos semejantes en tales expresiones, los símbolos de agrupación más internos se eliminan
primero. EJEMPLO: x 2 1 2x 5 x 2 3x 2 3 x2 1 2x 5 x 2 3x 2 3 x2 2x 4
3x 2 x 5 x2 2x 4 3x 2 x 5 2x2 3x 1 Como efecto de la propiedad distributiva tenemos, que: a b c ab ac
La propiedad distributiva también puede extenderse a más de dos números dentro de los paréntesis. Por tanto a b c d ab ac ad .
Además b c a ba ca 3-5
6. OPERACIONES ALGEBRAICAS 3.3 LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS PARA LA MULTIPLICACIÓN Los exponentes
se han utilizado para indicar el número de veces que se repite un factor en un producto. Por ejemplo, x 3 x x x . La notación
exponencial proporciona un modo sencillo para multiplicar expresiones que contienen potencias de la misma base. PRIMERA LEY DE
LOS EXPONENTES. Los exponentes se suman para multiplicar dos potencias de la misma base. Considera que m y n son enteros
positivos: x m x n x m n Esta regla significa que para multiplicar expresiones con la misma base, mantenemos la base y sumamos los
exponentes. Antes de aplicar la regla del producto, hay que asegurarnos de que las bases sean las mismas. Por supuesto algunas
expresiones pueden tener coeficientes de 1. Por ejemplo, la expresión 3x 2 tiene coeficiente numérico de 3. De manera similar, el
coeficiente numérico de 5x 3 es 5. Si decidimos multiplicar 3x 2 por 5x 3 , solo multiplicamos números por números (coeficientes) y
letras por letras. Este procedimiento es posible debido a las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación. Luego de aplicar
estas dos propiedades, escribimos: EJEMPLO: 3x 5x 3 5 x232 x3 15x 2 3 15x 5 EJEMPLO: 8x y 4xy 2x y 8
4 2 x22532 x1 x 5 y1 y 2 y 3 64 x 8 y 6 SEGUNDA LEY DE LOS EXPONENTES. Los exponentes se multiplican par
elevar una potencia a otra potencia. Si m y n son enteros positivos: x m n x m n Cuando se eleva una potencia a una potencia,
mantenemos las bases y multiplicamos los exponentes. 3 Considera la expresión x 4 , que significa que x 4 está elevado al cubo. Esta
expresión puede simplificarse como se muestra enseguida: x x x x x x 4 3 4 4 4 4 4 4 12 En forma parecida y y y
y y y y25222222 2 2 2 2 y10 Debido a que la multiplicación es en realidad una suma que se repite, es posible obtener
los mismos resultados en los ejemplos anteriores al multiplicar entre sí los exponentes. 3-6
7. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO: 5 3 6 53 6 518 EJEMPLO: x y 2 3 3 x2 y3 x2 y3 x2 y3 x2 x2 x2
y3 y3 y3 x y 2333 x23y33 x6 y9 TERCERA LEY DE LOS EXPONENTES. Mediante las propiedades asociativa y
conmutativa de la multiplicación es posible escribir Una potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada uno de los

4. factores. Simbólicamente: ab a n b n n EJEMPLO: 2 x 3 2x 2x 2x 222 x x x 23 x 3 8x 3 EJEMPLO: 3xy 3
x y 244424 81x 4 y 8 EJEMPLO: 2x y 2 x y 23332333 8x 6 y 9 Ene general se cumple: x n x n Si n
es número par x n x n Si n es número impar EJEMPLO: 24 24 16 25 25 32 3-7
8. OPERACIONES ALGEBRAICAS 3.4 MULTIPLICACIÓN POR POLINOMIOS La multiplicación de polinomios es una operación
algebraica que tiene por objeto hallar una cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, de
modo que el producto sea con respecto del multiplicando en signo y valor absoluto lo que el multiplicador es respecto a la unidad
positiva. Tanto el multiplicando como el multiplicador reciben el nombre de factores del producto. La multiplicación de polinomios
cumple la propiedad distributiva. Es decir, que dados tres polinomios cualesquiera x, y, z se cumplirá que xy z x yz . Esta ley
acostumbra a enunciarse diciendo que los factores se pueden agrupar de cualquier manera. Asimismo, el producto de polinomios también
cumplía la propiedad conmutativa. Es decir, que dados los polinomios cualesquiera x, y , se cumplirá que xy yx . Esta ley acostumbra a
enunciarse diciendo que el orden de los factores no altera el producto. Por lo que respecta al signo del producto de dos factores, pueden
presentarse los cuatro puntos siguientes: a) Si dos factores tienen el mismo signo positivo, su producto también tendrá signo positivo. x
y xy b) Si el multiplicador tiene signo positivo y el multiplicando tiene signo negativo, el producto tendrá signo negativo. x
y xy c) Si el multiplicando tiene signo positivo y el multiplicador tiene signo negativo, el producto tendrá signo negativo. x
y xy d) Si dos factores tienen ambos signo negativo, su producto tendrá signo positivo. x y xy Por lo que
podemos concluir en la Regla de los Signos, siguiente: + + =+ + - =- - + =- - - =+ En la multiplicación algebraica pueden
considerarse los tres casos siguientes: a) Multiplicación de monomios. b) Multiplicación de un polinomio por un monomio c)
Multiplicación de polinomios MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS. Para multiplicar monomios, se multiplican sus coeficientes y a
continuación se escriben las letras diferentes de los factores ordenados alfabéticamente, elevadas a un exponente igual a la suma de los
exponentes que cada letra tenga en los factores. El signo del producto será el que le corresponda al aplicar la regla de los signos. 3-8
9. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO: Multiplicar 3x 3 5 x 4 SOLUCIÓN: 3x 5x 3 5 x343 4 15x 7
EJEMPLO: Multiplicar 8ab 2 3a 2 b 2 c Solución: 8ab 2 3a b c 8 3 a 2 2 1 2 b 2 2 c1 24a 3b 4 c
EJEMPLO: Multiplicar 4x 5x 3 y 2 2 x 2 y SOLUCIÓN: 4x 5x y 2xy 4 5 2 x3221 3 2 y2 1
40 x 6 y 3 EJEMPLO: Multiplicar 2a 3bc 4a 2 b 2 c 2 5abc 6ab 2 SOLUCIÓN: 2a bc 4a b c 5abc 6ab
2 4 5 6 a 3 2 2 2 2 3 2 1 1 b1 2 1 2 c1 2 1 240a 7 b 6 c 4 El producto es negativo por que hay un número
impar de factores negativos. MULTIPLICACIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO Para multiplicar un polinomio por un
monomio se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman
todos los productos parciales así obtenidos. EJEMPLO: Multiplicar 3a 3 5a 2 4 3a SOLUCIÓN: 3a 3 5a 2 4 3a 3a
3a 5a 3a 4 3a 3 2 9a 4 15a 3 12a EJEMPLO: Multiplicar: x 3 3x 2 y 3xy 2 y3 2 xy SOLUCIÓN: x 3
3x 2 y 3xy 2 y3 2 xy x3 2 xy 3x 2 y 2 xy 3xy 2 2 xy y3 2 xy 2x4y 6x3y2 6x2y3 2 xy
3 3-9
10. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO: 2 1 5 4 2 5 1 2 Multiplicar: a 3b 2 a2b3 ab b ab 3465 2
SOLUCIÓN: 2 3 2 1 2 3 5 4 2 5 12 ab ab ab b ab 3465 2 2 1 1 1 54 12 25 12 a 3b
2 ab 2 a2b3 ab 2 ab ab b ab 3 2 4 2 6 2 5 2 1151 a4b4 a 3b 5
a2b6 ab 7 3 8 12 5 EJEMPLO: 2 4 2 3 2 4 5 6 2 Multiplicar: x y xy y por a 2 x3 y 2 3 5 6 9 2 4 2 3 2 4 5 6 x y xy y356
2 SOLUCIÓN: a2x3y29425 a 2 x7 y 4 a 2 x5 y 6 a 2 x3 y8 27 15 27 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Para
multiplicar un polinomio por otro se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador,
teniendo en cuenta la regla de los signos, y a continuación se efectúa la suma algebraica de todos los productos parciales así obtenidos.
EJEMPLO: Multiplicar: 2a 3 3a 2 b 4ab 2 2b 3 3a 2 4ab 5b 2 2a 3a b 4ab 3 2 2 2b 3 3a 2 4ab 5b 2 6a 5 9a 4 b
12a 3 b 2 6a 2 b 3 8a 4 b 12a 3 b 2 16a 2 b 3 8ab 4 10a 3 b 2 15a 2 b 3 20ab 4 10b 5 6a 5 a4b 10a 3 b 2 25a 2 b 3
28ab 4 10b 5 3 - 10
11. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO: Multiplicar: 3x 2 2x 1 4x2 2x 2 2x2 3x 4 SOLUCIÓN: Se
multiplican los dos primeros términos 3x 2 2x 1 4x 2 2x 2 12 x 4 8x3 4x2 6x3 4x 2 2x 6x 2 4x 2 12 x 4 2x3
2x2 6x 2 A continuación el resultado obtenido lo multiplicamos por el otro polinomio. 12 x 4 2x3 2x2 6x 22x2 3x

5. 4 24 x 6 - 4 x 5 4x4 12 x 3 4x2 36 x 5 6x4 6x3 18 x 2 6 x 48 x 4 8x3 8x2 24 x 8 24 x 6 - 32 x 5 38 x 4
26 x 3 30 x 2 30 x 8 3 - 11
12. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS 3.2: Resolver los ejercicios siguientes: 1.- 2x y 3xy 2 3 5 2.- 4xy 5x y
2 2 4 3.- 2a a b c 2 4.- 3x y 2x y 5xy 2 3 2 2 4x 2 y 2 5.- 2a b 3a 2b 6.- x 4 2x 3 3x2 2x 3
7.- a 1 a 1 8.- 2ab 3a bc 2 4 2 9.- 3b c 8ab c 2 3 3 10.- 2x yz 4x y 2332 12 2 2 11.- a b a
23 5 2614232416 5 3 4 3 12.- x xy xy y axy 5 3 5 10 7 13.- 3a 5b 6c 3 a 2 x3 10
2414 334 x xy y xy 2 2 14.- 9 3 7 23 2 3 15.- a b ab 34 3 33122213 22522
16.- m mn mn n m n mn 4254 323 112113 3 2 1 1 17.- x x x x x 2344 2 5 10
11 1 1 18.- 2 a 3b 3a 2b 1222 1 3 19.- a ab b a b 43 4 2 3 - 12
13. OPERACIONES ALGEBRAICAS 3.5. DEFINICIÓN DE PRODUCTO Y PRODUCTO NOTABLE Un producto es el resultado de
multiplicar dos o más números. Los números que se multiplican se llaman factores o divisores del producto. Se llaman productos notables
(o productos especiales) a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir,
sin verificar la multiplicación. 3.5.1. Cuadrado de un binomio El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primer
número, más el doble del producto del primer número multiplicado por el segundo, más el cuadrado del segundo. Consideremos que x
y . Tendremos que x y x y x y . Por tanto 2 2 x y x y x2 xy xy y2 x2 2xy y 2 Es decir x y x
2 2 xy y 2 2 EJEMPLO: Desarrollar x 2 2 SOLUCIÓN: Tendremos que el cuadrado del primer número: x 2 El doble del producto
del primer número por el segundo: 2 x 2 4 x El cuadrado del segundo número: 2 2 4 Así pues x 2 x2 4x 4 2 EJEMPLO:
Al desarrollar 3x 2 y 2 SOLUCIÓN: Tendremos que el cuadrado del primer número: 3x 9 x 2 2 El doble del producto del primer
número por el segundo: 2 3x 2y 12 xy El cuadrado del segundo número: 2 y 4 y 2 2 Así pues 3x 2y 9x2 12 xy 4
y 2 2 EJEMPLO: Al desarrollar 4 x 2 3 y 3 2 SOLUCIÓN: 4 x 2 3y3 4x 222 2 4x 2 3y 3 3y 3 2 16 x 4 24
x2y3 9 y 6 El cuadrado de la diferencia de dos números es igual al cuadrado del primer número menos el doble del producto del
primer número multiplicado por el segundo, más el cuadrado del segundo número. 3 - 13
14. OPERACIONES ALGEBRAICAS Consideremos que x y . 2 Tendremos que x y x y x y . 2 Por tanto x y x
y x2 xy xy y2 x2 2 xy y 2 Es decir x y x2 2 xy y 2 2 EJEMPLO: Desarrollar x 3 2 SOLUCIÓN: x 32
x 2 2 x 3 32 x2 6x 9 EJEMPLO: Desarrollar 2 x 4y 2 2x 4y 2 2x 2 2 2x 4y 4y 2
SOLUCIÓN: 4x2 16 xy 16 y 2 EJEMPLO: Desarrollar 2 x 3 5 y 2 2 SOLUCIÓN: 2 x 3 5y2 2x 232 2 2x
3 5y2 5y2 2 4x6 20 x 3 y 2 25 y 4 EJEMPLO: 2 Desarrollar 4a 2 3b3 SOLUCIÓN: 4a 3b 4a 2 3 2 2(4a
2) 3b3 3b3 2 2 2 16a 4 24a 2b3 9b6 3.5.2 Binomios conjugados El producto de dos números por su diferencia es igual
al cuadrado del primer número menos el cuadrado del segundo número. Consideremos el producto: x y x y x y x y x2
xy xy y2 x2 y 2 Es decir x y x y x2 y 2 EJEMPLO: Multiplicar x 4 x 4 3 - 14
15. OPERACIONES ALGEBRAICAS SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número: x x 2 2 Cuadrado del segundo número: 4 16 2
Así pues, x 4 x 4 x2 16 EJEMPLO: Multiplicar 5x 2 y 5x 2 y SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número: 5 x 25 x
2 2 Cuadrado del segundo número: 2 y 4 y 2 2 Así pues, 5x 2 y 5x 2y 25x 2 4 y 2 EJEMPLO: Multiplicar 5x 2 3y
3 5x 2 3y3 25x SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número: 5 x 2 2 4 Cuadrado del segundo número: 3 y 9 y 3 2 6 Así pues,
5x 2 y 5x 2y 25x 9 y 2 3 2 3 4 6 EJEMPLO: Multiplicar 3 8x 8x 3 SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número de la
diferencia: 3 9 2 Cuadrado del segundo número de la diferencia: 8 x 64 x 2 2 Así pues, 3 8x 8x 3 9 64 x 2 3.5.3.
Binomio con un término común El producto de dos binomios del tipo x a x b es igual al cuadrado del primer término, más el
producto de la suma de los dos segundos términos por el primer término, más el producto de los segundos términos. Se trata de demostrar
que x a x b x2 a bx ab . Tendremos que: x a x b x2 ax bx ab x2 a b x ab Es decir x a x
b x2 a bx ab , tal como queríamos demostrar. EJEMPLO: Comprobar que x 4 x 5 x2 4 5x 4 5 . 3 - 15
16. OPERACIONES ALGEBRAICAS x 4 x 5 SOLUCIÓN: Tendremos x2 4 5 x 4 5. x2 9x 20 EJEMPLO:
Comprobar que x 2 x 3 x2 2 3x 2 3 SOLUCIÓN: Tendremos x 2 x 3 x2 2 3 x 2 3.2 x
x 6 EJEMPLO: Comprobar que x 6 x 4 x2 6 4x 6 4 . SOLUCIÓN: Tendremos x 6 x 4 x2 6 4 x
6 4 .2 x 2x 24 EJEMPLO: Comprobar que x 5 x 3 x2 5 3x 5 3 . SOLUCIÓN: Tendremos x

6. 5 x 3 x2 5 3 x 5 3 .2 x 8x 15 3.5.4. Cubo de un binomio El cubo de la suma de dos números es igual al
cubo del primer número, más el triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo, más el triple del producto del primer
número por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. Consideremos x y x y x y x y x y x y x2
2 xy y2 x y , por lo 3 2 tanto x 2 2 xy y2 x yx2 2x 2 y xy 2 x 2 y 2 xy 2 y3x2 3x2y 3 xy 2 y 3 Es decir x
y x2 3x 2 y 3xy 2 y 3 3 EJEMPLO: Desarrollar x 2 3 SOLUCIÓN: Cubo del primer número: x x 3 3 Triple del
producto del cuadrado del primer número por el segundo: 3 x 2 6 x 2 2 3 - 16
17. OPERACIONES ALGEBRAICAS Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo: 3 x 2 12 x 2 Cubo del
segundo número: 2 8 3 Así pues x 2 x3 6x2 12 x 8 3 EJEMPLO: Desarrollar 3x 2 y 3 SOLUCIÓN: Cubo del primer
número: 3x 27 x 3 3 Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo: 3 3x 2y 54 x 2 y 2 Triple del
producto del primer número por el cuadrado del segundo: 3 3x 2 y 36 xy 2 2 Cubo del segundo número: 2 y 8 y 3 3 Así pues
3x 2y 27 x 3 54 x 2 y 36 xy 2 8 y 3 3 EJEMPLO: Desarrollar 3a 2 2b 3 3 SOLUCIÓN: 3a 2 2b 3 3a 3 2 3
3 3a 2 2b 3 3 3a 2 2b 3 2b 3 2 2 3 27a 6 54a 4 b 3 36a 2 b 6 8b 6 El cubo de la diferencia de dos números es igual
al cubo del primer número, menos el triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo más el triple del producto del
primer número por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo número. Consideremos x y x y x y x y x
y x y x2 2 xy y2 x y , por lo 3 2 tanto x 2 2 xy y2 x yx2 2x 2 y xy 2 x2y 2 xy 2 y3x2 3x 2 y
3xy 2 y 3 Es decir x y x2 3x 2 y 3xy 2 y 3 3 EJEMPLO: Desarrollar x 3 3 SOLUCIÓN: Cubo del primer número: x
x 3 3 Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo: 3 x 3 9 x 2 2 3 - 17
18. OPERACIONES ALGEBRAICAS Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo: 3 x 3 27 x 2 Cubo del
segundo número: 3 27 3 Así pues x 3 x3 9x2 27 x 27 3 EJEMPLO: Desarrollar 2 x 3y 3 2x 3y 3 2x 3
32x 2 3y 32x 3y 2 3 y 3 SOLUCIÓN: 8x3 36 x 2 y 546 xy 2 27 y 3 EJEMPLO: Desarrollar 4a 2 2b
3 3 SOLUCIÓN: 4a 2 2b 3 4a 3 2 3 3 4a 2 2b 3 3 4a 2 2b 3 2b 3 2 2 3 64a 6 96a 4 b 3 48a 2 b 6
8b 6 3.5.5. Teorema del binomio El teorema del binomio es una fórmula (por esto se llama también fórmula del binomio) con la cual se
puede escribir directamente los términos del desarrollo de una potencia entera y positiva de un binomio. Para formarnos una idea de la
estructura del desarrollo de a b : n Por multiplicación directa podemos obtener a b 1 a b a b 2 a2 2ab b2 a b 3
a3 3a 2b 3ab2 b3 a b 4 a4 4a3b 6a 2b2 4ab3 b4 a b 5 a5 5a 4b 10a3b2 10a 2b3 5ab4 b5 De acuerdo
con estos desarrollos nos podemos dar una idea acerca de la ley que siguen en su formación: 1. Si el exponente del binomio es n, hay n+1
términos en el desarrollo. 2. Para cada valor de n, el desarrollo de a b empieza con a n y termina con b n . En n cada término los
exponentes de a y b suman n. 3. Las potencias de a disminuyen de 1 en 1 al pasar de cada término al siguiente. La b aparece por primera
vez en el segundo término con exponente 1 que aumenta de 1 en 1. El exponente de b siempre es una unidad menor que el número de
orden del término. 3 - 18
19. OPERACIONES ALGEBRAICAS 4. El primer coeficiente es la unidad, el de cualquier otro término se obtiene multiplicando en el
término anterior su coeficiente por el exponente de a y dividiendo ese producto entre el número de términos anteriores al que se trata de
formar. Cierta simetría constituye una característica del desarrollo del binomio. Esta simetría se puede apreciar al disponer los
coeficientes en el siguiente orden que se conoce como Triángulo de Pascal, para valores enteros no negativos de n en el desarrollo de a
b . n n 0 1 n 1 1 1 n 2 1 2 1 n 3 1 3 3 1 n 4 1 4 4 1 6 n 5 1 5 10 10 5 1 n 6 1 6 15 20 15 6 1 n 7 1 7 21 35 35 21 7 1 A estos
números se les llama coeficientes binomiales o binómicos, dado que cada renglón se observa que el primer y último elemento es 1 porque
los coeficientes del primer y último término son iguales a 1. Cada elemento se puede obtener como la suma de los dos que se encuentra a
su izquierda y derecha en el renglón superior. Así, para n=6, el segundo coeficiente 6 es la suma de los elementos 1 y 5 que se encuentran
a su izquierda y derecha en el renglón superior; el tercer coeficiente 15 se obtiene de manera similar como la suma de los elementos 5 y
10 del renglón superior, y así sucesivamente. EJEMPLO: Desarrollar por el teorema del binomio: a 2b 4 SOLUCIÓN: Como en este
caso n=4, utilizaremos los coeficientes binomiales con las potencias correspondientes para cada término del desarrollo. Es decir, a 2b
1 a 4 a 2b 6 a 2b 4 a 2b 1 2b 4 4 3 1 2 2 1 3 4 efectuando las potencias, se tiene: a 2b 1 a4 4 a3
2b 6 a 2 4b2 4 a 8b3 1 16b4 4 efectuando los productos: a 2b a4 8a3b 24a 2b2 32ab3 16b4 4 3 - 19

7. 20. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO: Desarrollar por el teorema del binomio: 3a 2b 4 SOLUCIÓN: Procediendo de
manera semejante a la anterior, se tiene: 3a 2b 1 3a 4 3a 2b 6 3a 2b 4 3a 2b 1 2b 4 4 3 1 2 2 1 3
4 efectuando las potencias: 3a 2b 1 81a 4 4 27a3 2b 6 9a 2 4b2 4 3a 8b3 1 16b4 4 efectuando los
productos: 3a 2b 81a 4 216a3b 216a 2b2 96ab3 16b4 4 3.5.6. Binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una suma
o diferencia de cubos. La suma algebraica de dos términos, por un trinomio que consta del cuadrado del primer término menos el
producto de los dos, más el cuadrado del segundo término, es igual a la suma de los cubos de los dos términos algebraicos. Se trata de
demostrar que x 3 y3 x y x2 xy y2. Tendremos: x 2 xy y2 x y x3 x2y xy 2 x2y xy 2 y 3 x3 y3 Es
decir x y x2 xy y2 x3 y 3 , tal como queríamos demostrar. EJEMPLO: Comprobar que x 3 1 x 1 x2 x 1 2 3
2 SOLUCIÓN: x 1 x x 1 x3 x x x x 12 x 1 EJEMPLO: Comprobar que 27 x 3 8y3 3x 2y 9x2 6 xy
4 y 2 SOLUCIÓN: 3x 2y 9x2 6 xy 4y2 27 x3 18x 2 y 12xy 2 18x 2 y 12xy 2 8y 3 27 x3 8 y 3 3 - 20
21. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO: Comprobar que 64b 6 27c 3 4b 2 3c 16b 4 12b 2 c 9c 2 262222
SOLUCIÓN: 4b 3c 16b 12b c 9c 64b 48b c 36b c 48b c 36b c 27c 2 4 2 2 2 3 64b6 27c3 La diferencia de dos
términos, por un trinomio que consta del cuadrado del primer término más el producto de los dos, más el cuadrado del segundo término,
es igual a la diferencia de los cubos de los dos términos algebraicos. Se trata de demostrar que x 3 y3 x y x2 xy y2.
Tendremos: x y x2 xy y2 x3 x2y xy 2 x2y xy 2 y3 x3 y3 Es decir x y x2 xy y2 x3 y 3 , tal
como queríamos demostrar. EJEMPLO: Comprobar que x 3 8 x 2 x2 2x 4 SOLUCIÓN: x 2 x 2x 4 x 2x
4x 2x 4x 823 x3 8 EJEMPLO: Comprobar que 64 x 3 27 y 3 4x 3 y 16 x 2 12 xy 9 y 2 SOLUCIÓN: 4 x 3y
16 x 2 12 xy 9y2 64 x3 48x 36 xy 48x 36xy 27 y 3 64 x3 27 y 3 EJEMPLO: Comprobar que 8a 6 27b 9 2a
2 3b 3 4a 4 6a 2 b 3 9b 6 SOLUCIÓN: 2a 3b 2 3 4a 4 6a 2b3 9b6 8a 6 12a 4b3 18a 2b6 12a 4b3 18a 2b6
27b9 8a 6 27b9 3.5.7. Cuadrado de un trinomio El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los
términos, más el doble producto de cada término por los que le siguen tomados de dos en dos. a b c2 a2 b2 c2 2ab 2ac
2bc 3 - 21
22. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO: Efectuar 2 x 3y 5z 2 2x 3y 5z 2 2x 2 3y 2 5z 2 22x
3y 22x 5z 23y 5z SOLUCIÓN: 4x2 9y2 25 z 2 12 xy 20 xz 30 yz EJEMPLO: 2 1 2 Efectuar x y
z 3 5 SOLUCIÓN: 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 x y z x y z 2 x y 2 x z 2 y z
22 35 3 5 3 5 3 5 142424 x2 y z2 xy xz yz 9 25 15 3 5 EJEMPLO: Efectuar a 2b 3c 2
SOLUCIÓN: a 2b 3c 2 a 2 2b 2 3c 2 2 a 2b 2a 3c 2 2b 3c a2 4b 2 9c 2 4ab 6ac 12bc 3 -
22
23. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS 3.3: Desarrollar los siguientes productos notables: 1. x 22 22. 2 x 2 3y2
2 2. 3 a 2 23. 2a 2 4 2 3. 2 x y 2 24. 2a 3 4b 2 2 4. 3 5y 2 25. x 4 2y 3 2 5. 2a 3 2 26. 3x 3
2y2 2 6. 2a 3b 2 27. 4a 5 3b 4 2 7. 2 4a 2 2 28. x y x y 8. 3a 4b 2 29. m n m n 9. 2x 3
6b 2 30. a x x a 10. 2 x 3 3y2 2 31. x2 a2 x2 a2 11. 3x 4 2y3 2 32. 2a 1 1 2a 12.
3x 2 y z3 2 33. n 1 n 1 34. 1 3ax 3ax 1 13. 4a 2 y 3 3c 2 d 3 2 35. 2m 9 2m 9 14. 2 x y 4mn
2332 36. a3 b2 a3 b2 15. 3x 5 4y6 2 37. y 2 3y y2 3y 16. x 3 2 38. 1 8xy 8xy 1 17.
2a 4 2 39. 6 x2 m2 x 6 x2 m2 x 18. 4 2x 2 40. a m bn am bn 19. 3x 2y 2 41. 3x a 5ym 5
ym 3xa 20. 5x 3y 2 42. a x 1 2b x 1 2b x 1 ax 1 21. x 2 y2 2 43. 2a b 2a b 3 - 23
24. OPERACIONES ALGEBRAICAS 44. 2 x 3y 2x 3y 69. x 5 4x5 6 45. 4 2a 4 2a 70. x 6 4 x6
8 46. 2m 2 3n 2 2m 2 3n 2 71. xy 3 xy 2 47. 3x 2 3x 2 72. ab 4 ab 6 48. 2 x 4 2x 4
73. x 2 y 2 2x2y2 5 49. 2 4y 2 4y 74. a b 5 ab 4 3 3 50. 3x 5 3x 5 75. a 3 a 6 51. 2 x 3
y22x3 y2 76. a 2 3 52. 2x 2 3x 2 x 2 3x 77. x 1 3 53. 3 4ab 3 4ab 78. m 3 3 54. x 3 x 4
79. n 4 3 55. a 5 a 2 80. 2x 1 3 56. a 3 a 8 81. 1 3y 3 57. x 2 x 3 58. a 6 a 2 82. 2
y2 3 83. 1 2n 3 59. a 4 a 5 60. a 1 a 4 84. 4n 3 3 61. a 2 a 3 85. a 2 2b 3 62. x 7 x 8
86. 2 x 3y 3 63. x 2 3x2 4 87. 1 a2 3 64. a 2 3 a 5 2 88. 3a 3 2y3 3 65. x 2 2 x 7 2
89. 5 2x 3 66. x 3 5 x 4 3 90. x 5 3 67. a 3 15 a 4 3 68. x 4 3 x 2 4 3 - 24

8. 25. OPERACIONES ALGEBRAICAS 3.6. LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS PARA LA DIVISIÓN am Lo siguiente indica
una regla para simplificar expresiones de la forma an 35 3 3 3 3 3 3 3 3 33 3 2 3 3 Se puede apreciar que podemos
restar los exponentes para encontrar el exponente del cociente. Por lo que para cualquier número real a excepto el 0 (cero), y para
cualquier par de números completos m y n am a m n con m n an EJEMPLO: Al simplificar las siguientes expresiones tenemos: 45
44444 45 2 4 3 porque 43 4 2 4 4 x6 x x x x x x x6 2 x 4 porque x4 x 2 x x p5 q7 p5 2 q7 5 p3 q2p q25
Por si el exponente mayor está en el denominador, es decir si n es mayor que m entonces: am n 1 m n n m a a EJEMPLO: x2 x x
1 x2 1 1 3 o bien 5 5 2 3x5xxxxxx x x x EJEMPLO: 6 x 3 y 2 2 3 x x x y y 3x 2 6 x 3 y 2 3x 3 1 3x 2 o
bien 4 2 2 2 xy 4 2 x y y y y y2 2 xy 4 y y Tenemos que para todo número real a excepto el 0, y para todo número completo
m1a m am 3 - 25
26. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO: 1 1 Como en el caso: 4 2 m 3 42 m3 1 a ab 1 a Ya que el exponente solo
afecta a b b1 b Sabemos que cualquier número diferente de cero dividido entre sí mismo es igual a 1. Por a2 a2 ejemplo 2 1 . Si
utilizamos la regla anterior, encontramos que 2 a2 2 a0 1 a a Podemos establecer la siguiente definición: a0=1, para cualquier
número real excepto el cero. p0=1 30=1 3.7. DIVISIÓN DE POLINOMIOS La división algebraica es la operación que consiste en hallar
uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores
llamado dividendo. De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del divisor por el cociente. Así por
ejemplo, si dividimos 8xy 2 xy 4 , se cumplirá que 4 2 xy 8xy cociente dividendo divisor dividendo cociente divisor Si el
residuo no fuera igual a cero, entonces: dividendo residuo cociente divisor divisor Para efectuar una división algebraica hay que tener
en cuenta los signos, los exponentes y los coeficientes de las cantidades que se dividen. (+)÷(+)=+ (–)÷(–)=+ (+)÷(–)=– (–)÷(+)=–
DIVISIÓN DE UN MONOMIO POR OTRO Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente del
divisor y a continuación se escriben las letras ordenadas alfabéticamente, elevando cada letra a un exponente igual a la diferencia entre el
exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo del cociente será el que corresponda al aplicar la regla
de los signos. 3 - 26
27. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO: Dividir 8x 6 4x4 SOLUCIÓN: 8x 6 4x4 8x 6 : 4 x 4 8:4 x6 4 2x
2 EJEMPLO: 12 x 3 y 2 z Dividir 3xy 12 x 3 y 2 z SOLUCIÓN: 12 : 3 x 3 1 y 2 1 z 1 0 4 x 2 yz 3xy EJEMPLO: 18a
3b 4 c 2 Dividir 6a 3 b 2 c 2 18a 3b 4 c 2 SOLUCIÓN: 18 : 6 a 3 3 b 4 2 c 2 2 3b 2 6a 3 b 2 c 2 En ocasiones el
cociente de dos monomios es fraccionario y, por consiguiente, la división propiamente dicha no puede efectuarse en los siguientes casos:
a) Cuando una letra está elevada a un exponente menor al que se halla elevada dicha letra en el divisor. b) Cuando el divisor contiene
alguna letra que no se halla en el dividendo. EJEMPLO: 12a 2 b 3 c 2 Dividir 18a b c d 3abcd 3 4 2 DIVISIÓN DE UN POLINOMIO
POR UN MONOMIO Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio
teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman los cocientes parciales así obtenidos. EJEMPLO: Dividir 4 x 3 6x2 8x 2x
SOLUCIÓN: 4 x 3 6x2 8x 2x 4x3 2x 6x2 2x 8x 2x 2x2 3x 4 3 - 27
28. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO: 6 x 4 y 9x3y2 12 x 2 y 3 6 xy 4 Dividir 3xy 6 x 4 y 9x3y2 12 x 2 y 3
6 xy 4 6 x 4 y 9 x 3 y 2 12 x 2 y 3 6 xy 4 SOLUCIÓN: 3xy 3xy 3xy 3xy 3xy 2x3 3x 2 y 4 xy 2 2 y 3 EJEMPLO: 3x 3 y
2 5x2y 6 xy 2 Dividir 4x 2 y 3x 3 y 2 5x2y 6 xy 2 3x 3 y 2 5 x 2 y 6 xy 2 4x 2 y 4x 2 y 4x 2 y 4x 2 y SOLUCIÓN: 3 5
3y xy 4 4 2x DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN POLINOMIO. Para dividir dos polinomios se procede de la manera
siguiente: 1) Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra. 2) Se divide el primer término del dividendo entre el
primer término del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente 3) Se multiplica el primer término del cociente por todo el
divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se escribe cada término de su semejante. En
el caso de que algún término de este producto no tenga ningún término semejante en el dividendo, es escribe dicho término en el lugar
que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y del divisor. 4) Se divide el primer término del resto entre el primer
término del divisor, obteniéndose de este modo el segundo término del cociente. 5) El segundo término del cociente se multiplica por
todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos. 6) Se divide el primer término del segundo
resto entre el primer término del divisor y se repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como resto. EJEMPLO: Dividir: 5 x 2
xy 3 y 2 15 x 4 7x3y 6x2y2 7 xy 3 3 y 4 3 - 28

9. 29. OPERACIONES ALGEBRAICAS 3x 2 2 xy y25x2 xy 3 y 2 15 x 4 7x3y 6x2y2 7 xy 3 3y4 15 x 4 3x3y
9x2y2 10 x 3 y 3x2y2 7 xy 3 3 y 4 10 x 3 y 2x2y2 6 xy 3 5 x 2 y 2 xy 3 3y4 5x2y2 xy 3 3 y 4 0 Para
resolver la operación anterior se procedió del modo siguiente: En primer lugar se han ordenado dividendo y divisor en orden ascendente
con respecto a la letra y y en orden descendente con respecto a la letra x. A continuación se ha dividido el primer término del dividendo,
15x 4 , entre el primer término del divisor, 5x 2 , obteniéndose 3x 2 , por cada uno de los términos del divisor, obteniéndose como
resultado 15x 4 3x 3 y - 9 x 2 y 2 , que se escribe debajo de los términos semejantes del dividendo cambiando los signos de todos los
términos semejantes, obteniéndose como primer resto 10 x 3 y 3x 2 y 2 7 xy 3 3 y 4 . Después se ha dividido 10 x 3 y entre 5x 2
obteniéndose como cociente 2 xy , que es el segundo término del cociente. Multiplicando 2 xy por todos los términos del divisor que
se obtiene como resultado 10 x 3 y 2x2y2 6 xy 3 , que se escribe debajo de los términos semejantes del primer resto cambiando
los signos de todos sus términos para efectuar la resta. A continuación se ha procedido a efectuar la reducción de términos semejantes,
obteniéndose como segundo resto 5x 2 y 2 xy 3 3 y 4 Finalmente se ha dividido 5 x 2 y 2 entre 5x 2 , obteniéndose como cociente y2 .
Multiplicando y 2 por todos los términos del divisor se obtiene como producto 5x 2 y 2 xy 3 3 y 4 , que se escribe debajo de los
términos semejantes del segundo resto cambiando los signos de todos lo términos para efectuar la resta. A continuación se ha procedido a
efectuar la reducción de términos semejantes, obteniéndose como tercer resto 0, con lo cual queda acabada la división. EJEMPLO:
Dividir: x 4 5x 3 11x 2 12 x 6 x2 3x 3 3 - 29
30. OPERACIONES ALGEBRAICAS x 2 2x 2x2 3x 3x4 5x3 11x 2 12 x 6-x4 3x 3 3x 2 2x3 8x2 12 x
6 SOLUCIÓN: 2x3 6x 2 6x 2x 2 6x 6 - 2x 2 6x 6 0 EJEMPLO: Dividir: 1 a a 5 - 3a 2 1 2a a2 3a 3 2a 2
3a 1a2 2a 1 a5 3a 2 a 1a5 2a 4 a 3 2a 4 a3 3a 2 a 1 2a 4 4a 3 2a 2 SOLUCIÓN: 3a 3 5a 2 a 1
3a 3 6a 2 3a a 2 2a 1 a2 2a 1 0 EJEMPLO: Dividir: 8 y 6 21x 3 y 3 x6 24 xy 5 3xy x2 y 2 3 - 30
31. OPERACIONES ALGEBRAICAS SOLUCIÓN: x 4 3x3y 8x2y2 42 xy 3 118 y 4 x2 3 xy y2 x6 21x 3 y 3
24 xy 5 8y6 x 6 3x 5 y x4y2 3x5y x4y2 21x 3 y 3 24 xy 5 8y6 3x 5 y 9x4y2 3x 3 y 3 8x4y2 18 x 3 y 3
24 xy 5 8y6 8 x 4 y 2 24 x 3 y 3 8x 2 y 4 42 x 3 y 3 8x 2 y 4 24 xy 5 8y6 42 x 3 y 3 126 x 2 y 4 42 xy 5 118 x 2 y 4
18 xy 5 8y6 118 x 2 y 4 354 xy 5 118 y 6 336 xy 5 126 y 6 Se dice que una división de un polinomio por otro es inexacta
cuando: a) Si después de ordenar los dos polinomios, el primer término del dividendo no es divisible entre el primer término del divisor.
b) Si el último término del dividendo no es divisible entre el último término del divisor. c) Si en el primer término de algún dividendo
parcial la letra ordenatriz tiene menor exponente que en el primer término del divisor. 3.8. DIVISIÓN SINTÉTICA La división sintética
es un procedimiento práctico para hallar el cociente y el residuo de la división de un polinomio entero en x por x-a. Dividamos x 3 5x 2
3x 14 entre x 3x2 2x 3x 3x3 5x2 3x 14 x3 3x 2 2x2 3x 14 2x 2 6x 3x 14 3x 9 5 3 - 31
32. OPERACIONES ALGEBRAICAS Podemos apreciar que el cociente x 2 2x 3 es un polinomio en x de un grado menor que el
del dividendo; que el coeficiente del primer término del cociente es igual al coeficiente del primer término del dividendo y que el residuo
es 5. Sin efectuar la división, el cociente y el residuo pueden hallarse por la siguiente regla práctica: 1) El cociente de un polinomio en x
cuyo grado es 1 menos que el grado del dividendo. 2) El coeficiente del primer término del cociente es igual al coeficiente del primer
término del dividendo. 3) El coeficiente de un término cualquiera del cociente se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior
por el segundo término del binomio divisor, cambiando el signo y sumando este producto con el coeficiente del término que ocupa el
mismo lugar en el dividendo. 4) El residuo se obtiene multiplicando el coeficiente del último término del divisor, cambiando de signo y
sumando este producto con el término independiente del dividendo. EJEMPLO: Dividamos x 3 5x 2 3x 14 entre x 3 SOLUCIÓN:
Dividendo Divisor x3 5x 2 3x 14 x 31 5 3 14 3 1 3 3 2 3 6 3 3 9 1 -2 -3 +5 Resultado x 2 2x 3
residuo: 5 EJEMPLO: 2 x 3 5x 2 7x 8 Efectuar por división sintética x 4 SOLUCIÓN: Dividendo Divisor 2 5 7 8 x 4 2 4
8 3 4 12 19 4 76 4 2 3 19 68 Resultado 2 x 2 3x 19 residuo: 68 3 - 32
33. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO: Efectuar por división sintética x 2 8x 5 x 2 SOLUCIÓN: Dividendo
Divisor 1 8 5 x 2 1 2 2 10 2 20 2 1 - 10 25 Resultado x 10 residuo: 25 EJEMPLO: Efectuar por división sintética
x5 16 x 3 202 x 81 entre x 4 SOLUCIÓN: Como este polinomio es incompleto, pues le faltan los términos x 4 y x 2 , al escribir
los coeficientes ponemos 0 en los lugares que debían ocupar los coeficientes de estos términos. Dividendo Divisor 1 0 - 16 0 - 202 81 x

10. 4 4 16 0 0 808 4 1 4 0 0 - 202 727 Como el dividendo es de 5° grado, el cociente es de 4° grado los coeficientes del cociente son 1,
4, 0, 0 y -202, el cociente es x 4 4x3 202 y el residuo es -727 3 - 33
34. OPERACIONES ALGEBRAICAS 3.9. FACTORIZACIÓN Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo
producto es igual a la expresión propuesta. La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el
propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la factorización, se buscan los factores de un
producto dado. Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como producto la
primera expresión. Factorización 24 2 2 2 3 24 2 3 4 24 4 6 24 8 3 24 12 2
Multiplicación Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus factores. Supongamos que tenemos dos
números 3 y 5 y se pide que los multipliquemos, escribiremos 3 5 15 . En el proceso inverso, tenemos el producto 15 y se nos pide
que lo factoricemos; entonces tendremos 15 3 5 Al factorizar el número 20, tendremos 20 4 5 o 20 10 2 . Advierte que 20 4
5 y 20 10 2 no están factorizados por completo. Contienen factores que no son números primos. Los primeros números primos son
2, 3, 5, 7, 11, etc. Puesto que ninguna de esas factorizaciones está completa, notamos que en la primera factorización 4 2 2 , de
modo que 20 2 2 5 mientras que la segunda factorización 10 2 5 , de modo que 20 2 5 2 , en cualquier caso la
factorización completa para 20 es 2 2 5 . De ahora en adelante cuando digamos factorizar un número, queremos decir factorizarlo por
completo. Además se supone que los factores numéricos son números primos. De 1 esta manera no factorizamos 20 como 20 80 . 4
Con estos preliminares fuera del camino, ahora podemos factorizar algunas expresiones algebraicas. 3 - 34
35. OPERACIONES ALGEBRAICAS 3.9.1. Factor común. Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos
si podemos descubrir un patrón. 4 x 4y 4x y 5a 10b 5a 2b 2 x 2 6x 2xx 3 3a 2 6ab 3a a 2b Usan la
propiedad distributiva. Cuando multiplicamos, tenemos que: a b c ab ac . Cuando factorizamos ab ac ab c . Para factorizar
un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea común a todos los términos. El primer paso para tener una expresión
completamente factorizada es seleccionar el máximo factor común, ax n . Aquí tenemos como hacerlo: Máximo factor común (MFC).- El
término ax n , es el MFC de un polinomio sí: 1. a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y 2. n es el
mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio. De este modo para factorizar 6 x 3 18x 2 , podríamos escribir 6 x 3 18x
2 3x 2 x 2 6 x Pero no está factorizado por completo por que 2 x 2 6 x puede factorizarse aún más. Aquí el mayor entero que
divide a 16 y 8 es 6, y el mínimo exponente de x en todos los términos es x 2 . De esta manera la factorización completa es 6 x 3 18x 2
6x2 x 3 . Donde 6x 2 es el MFC. EJEMPLO: 8 x 24 8 x 8 3 Factorizar 8x 3 EJEMPLO: 6y 12 6 y 6 2
Factorizar 6 y 2 EJEMPLO: 10 x 2 25 x 3 5x2 2 5 x 2 5 x Factorizar 5x 2 5 x 2 3 - 35
36. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO: 6 x 3 12 x 2 18 x 6x x2 6x 2x 6x 3 6xx2 2x 3 Factorizar
EJEMPLO: 10 x 6 15 x 5 20 x 4 30 x 2 5 x 2 2 x 4 5 x 2 3x 3 5x2 4x2 5x2 6 5 x 2 2 x 4 3x 3 4x2 6
Factorizar EJEMPLO: 2 x 3 4 x 4 8x5 2x3 1 2x3 2x 2x3 4x2 2x3 1 2x3 4 x 2 Factorizar EJEMPLO: 3 2 1 5
111x x 3x 2 x 5 Factorizar 4 4 4 4 4 4 1 3x 2 x 54 3.9.2. Diferencia de cuadrados. Aquí tenemos un producto
notable A B A B A2 B 2 podemos utilizar esta relación para factorizar una diferencia de cuadrados. A2 B2 A B A
B EJEMPLO: x 2 4 x2 22 Factorizar x 2 x 2 EJEMPLO: Factorizar 4 x 2 25 2x 5 2x 5 2x 5 22
EJEMPLO: Factorizar 9a 8 b 4 49 3a 4 b 2 7 3a b 2 2 4 2 7 3a 4 b 2 7 3.9.3. Trinomios con término de segundo
grado. Del estudio de los productos notables sabemos que el cuadrado de un binomio es un trinomio; tales trinomios se llaman trinomios
cuadrados perfectos. 3 - 36
37. OPERACIONES ALGEBRAICAS x 32 x2 6x 9 x 32 x2 6x 9 Los trinomios x 2 6x 9, x 2 6x 9 , son
trinomios cuadrados porque son cuadrados de un binomio. Los siguientes puntos ayudan a identificar un trinomio cuadrado. A. Dos de los
términos deben de ser cuadrados A 2 y B 2 B. No debe haber signo de menos en A 2 o en B 2 C. Si multiplicamos A y B y duplicamos el
resultado, obtenemos el tercer término 2AB o su inverso aditivo -2AB. ¿Es x 2 6x 11 un trinomio cuadrado? La respuesta es no
porqué solo hay un término al cuadrado (x2) y (11) no es cuadrado de algún número. Para factorizar trinomios cuadrados podemos
utilizar las siguientes relaciones: A 2 2 AB B2 (A B) 2 A 2 2 AB B2 (A B) 2 Hay que recordar que se deben de sacar
primero los factores comunes, si es posible. EJERCICIOS 3.4: 1.- x 2 14 x 49 2.- x 2 6x 9 3.- 16 x 2 56 xy 49 y 2 4.- 9 x 2
18xy 9 y 2 5.- 36m 2 48mn 16n 2 6.- 16 x 2 40 x 25 7.- x 2 4 xy 4 y 2 8.- x 2 2x 1 3.9.4. Suma y diferencia de cubos. Es

11. fácil verificar, mediante la multiplicación del segundo miembro de cada ecuación, las siguientes fórmulas de factorización para la suma y
la diferencia de dos cubos. A3 B3 A B A2 AB B 2 A3 B3 A B A2 AB B 2 3 - 37
38. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO: Factorizar y 3 27 , observemos primero que se puede escribir en otra forma: y 3
33 Así, advertimos que se trata de la diferencia de dos cubos. Si aplicamos la fórmula de factorización y usamos los siguientes valores
A=y, y B=3, obtenemos: y 3 27 y3 33 y 3 y2 3y 9 EJEMPLO: Factorizar 8x 3 27 2x 33 2x 3 4x2 6
x 93 EJEMPLO: Factorizar t 3 1 t 1 t2 t 1 3.9.5. Por Agrupación. Podemos utilizar la propiedad distributiva para
factorizar algunos polinomios con cuatro términos. Consideremos x 3 x2 2x 2 . No hay ningún factor diferente de 1. Sin embargo
podemos factorizar a x 3 x2y2x 2 por separado: x 3 x2 x2 x 1 2x 2 2x 1 Por lo tanto x 3 x2 2x 2 x2 x
1 2x 1 . Podemos utilizar la propiedad distributiva una vez más y sacamos el factor común: x+1 x 2 x 1 2x 1 x 1
2 x2 Este método se llama factorización por grupos (o por agrupación). No todas las expresiones con cuatro términos se pueden
factorizar con este método. EJEMPLO: 6 x 3 9x2 4x 6 6x3 9x2 4x 6 3x 2 x 3 22x 3 2 2x 3 3x 2
2 EJEMPLO: Factorizar x 3 x2 x 1 x3 x2 x 1 x x 1 1x 1 2 x 1 x2 1 3 - 38
39. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO: Factorizar x 3 2x2 x 2 x3 2x2 x 2 x2 x 2 1 x 2
x2 x 2 1x 2 x 2 x2 1 x 2 x 1 x 1 EJEMPLO: Factorizar x 2 y 2 ay 2 ab bx 2 y2 x2 a b x2
a x2 a y2 b 3 - 39
40. OPERACIONES ALGEBRAICAS RESPUESTA DEL EJERCICIO 3.1: 1.- 2 y y 1 6y 2y 1 2 2 2.- 4x 3x 1
5x x 1 2 2 3.- z 4z 1 2z z 1 2 2 4.- y 3y 5 y 4y 3 2 2 5.- 2xy 6xy x 2xy x 2 6.- 5ax
3ax 4 2ax 3 2 2 7.- 2x y z x 2y z x y 2z x 3y 4z 8.- a b c a b c a b c a
b c 9.- 2g 3h k 2g 3h k 2g 2h 2k 3g h k 10.- 2x 2y z x 2y z 3x 2y z x
4y 5z RESULTADOS DEL EJERCICIO 3.2: 1.- 2x y 3xy 6x y 2 3 5 3 8 2.- 4xy 5x y 20x y 2 2 4 3 6 3.- 2a a b
c 2a a 2a b 2a c 2a 2ab 2ac 2 2 3 4.- 3x y 2 x y 5xy 4xy 3x y 2 x y 3x y 5xy 3x
y 4xy 23222223222222 6x5y3 15 x 3 y 3 12 x 4 y 3 5.- 2a b 3a 2b 6a 2 ab 2b 2 6.- x 4 2x3 3x
2 2x 3 x6 4x5 7x4 6x3 3x 2 6x 9 7.- a 12 a 13 a 12 3 a 1 5 8.- 2ab 3a bc 6a b c 2 4 2 5 3
2 9.- 3b c 8ab c 24ab c 2 3 3 5 4 10.- 2x yz 4x y 8x y z 2 3 3 2 5 3 3 3 - 40
41. OPERACIONES ALGEBRAICAS RESULTADOS DEL EJERCICIO 3.3: 1.- x 2 x 4x 4 28.- x y x y x2 y22
2 2.- 3 a 9 6a a 2 29.- m n m n m2 n2 2 3.- 2 x y 4x2 4 xy y 2 2 30.- a x x a a2 x 2 4.- 3
5y 9 30 y 25 y 2 2 31.- x2 a2 x2 a2 x4 a 4 5.- 2a 3 4a 2 12a 9 2 32.- 2a 1 1 2a 4a 2 1 33.- n
1 n 1 n2 1 6.- 2a 3b 4a 2 12ab 9b 2 2 34.- 1 3ax 3ax 1 1 9a 2 x 2 7.- 2 4a 2 2 4 16a 16a 2 4 35.-
2m 9 2m 9 4m2 81 8.- 3a 4b 9a 24ab 16b 2 2 2 36.- a3 b2 a3 b2 a6 b4 9.- 2 x 3 6b 4x 24x b
36b 2 6 3 2 37.- y 2 3y y2 3y y4 9 y 2 10.- 2 x 3y 4x 12 x y 9 y 3 2 2 6 3 2 4 38.- 1 8xy 8xy 1 1 64
x 2 y 2 11.- 3x 2y 9x 12 x y 4 y 4 3 2 8 4 3 6 39.- 6 x2 m2 x 6 x2 m2 x 36 x4 m4 x2 12.- 3x y z 9xy 6x
yz z 2 3 2 4 2 2 3 6 40.- a m bn am bn a 2m b2n 13.- 4a 2 y 3 3c 2 d 3 2 16a 4 y 6 24a 2 y 3c 2 d 3 9c 4 d 6 41.-
3x a 5ym 5ym 3xa 9 x 2a 25 y 2m 42.- a x 1 2b x 1 2b x 1 ax 1 a2x 2 4b2 x 2 14.- 2 x 2 y 3 4mn3 2
4x4y6 16 x 2 y 3 mn3 16m 2 n 6 43.- 2a b 2a b 4a 2 b 2 15.- 3x 5 4y6 2 9 x10 12 x 5 y 6 16 y12 44.- 2 x
3y 2x 3y 4x2 9 y 2 16.- x 3 x2 6x 9 45.- 4 2a 4 2a 16 4a 2 2 17.- 2a 4 4a 2 16a 16 2 46.-
2m 2 3n 2 2m 2 3n 2 4m 4 9n 4 18.- 4 2x 16 16 x 4 x 2 2 47.- 3x 2 3x 2 9x2 4 19.- 3x 2y 9x2 12
xy 4 y 2 2 48.- 2 x 4 2x 4 4x2 16 20.- 5x 3y 25x 2 30 xy 9 y 2 2 49.- 2 4y 2 4y 4 16 y 2 50.- 3x
5 3x 5 9x2 25 21.- x 2 y2 x 2x y y24224 51.- 2 x 3 y22x3 y2 4x6 y 4 22.- 2 x 3y 4x 6x
y 9 y 2 2 2 4 2 2 4 52.- 2 x 2 3x 2 x 2 3x 4x4 9x 2 23.- 2a 4 4a 16a 16 2 2 4 2 53.- 3 4ab 3 4ab 9 16a 2
b 2 24.- 2a 4b 4a 16a b 16b 3 2 2 6 3 2 4 54.- x 3 x 4 x2 7x 12 25.- x 2y x 4xy 4 y 4 3 2 8 4 3 6 55.- a
5 a 2 a2 7a 10 26.- 3x 2y 9x 12 x y 4 y 3 2 2 6 3 2 4 56.- a 3 a 8 a2 5a 24 27.- 4a 3b 16a 12a
b 9b 5 4 2 10 5 4 8 57.- x 2 x 3 x2 5x 6 3 - 41
42. OPERACIONES ALGEBRAICAS 58.- a 6 a 2 a2 4a 12 77.- x 1 x3 3x 2 3x 1 3 59.- a 4 a 5 a2 a
20 78.- m 3 m3 9m2 27m 27 3 60.- a 1 a 4 a2 5a 4 79.- n 4 n3 12n2 48n 64 3 61.- a 2 a 3

12. a2 a 6 80.- 2 x 1 8a3 12 x 2 6x 1 3 62.- x 7 x 8 x2 x 56 81.- 1 3y 1 9y 27 y 2 27 y 3 3
63.- x 2 3x2 4 x4 x2 12 82.- 2 y2 8 12 y 2 6y4 y 6 3 64.- a 2 3 a 5 a 8a 15 2 4 83.- 1 2n 1
6n 12n2 8n3 3 65.- x 2 2 x 7 x 5x 14 2 4 2 84.- 4n 3 64n3 144n2 108n 9 66.- x 5 x 4 x x 20 3 3 3
6 3 67.- a 15 a 4 a 11a 60 85.- a 2 2b a6 6a 4b 12a 2b2 8b3 3 3 3 6 3 68.- x 3 x 2 x x 6 86.- 2 x 3
y 8x3 36 x 2 y 54 xy 2 27 y3 3 4 4 8 4 69.- x 4 x 6 x 2x 24 87.- 1 a2 1 3a 2 3a 4 a 6 5 5 10 5 3 70.- x
6 4 x 8 x 4x 32 6 12 6 88.- 3a3 2 y3 27a9 54a6 y3 36a3 y 6 8 y9 71.- xy 3 xy 2 x2y2 xy 6 72.- ab
4 ab 6 a2b2 2ab 24 89.- 5 2x 125 150 x 60 x 2 8x3 3 73.- x 2 y 2 2x2y2 5 x4y4 3x 2 y 2 10
90.- x 5 x3 15x 2 75x 125 3 74.- a 3b 5 a 3b 4 a6b2 a 3b 20 75.- a 3 a 6 a2 9a 18 76.- a 2
a3 6a 2 12a 8 3 RESPUESTA DEL EJERCICIOS 3.4: x 2 14 x 49 x 7 4.- 9 x 2 18xy 9y2 3x 3 y 2 2 1.- x 2 6
x 9 x 3 5.- 36m 2 48mn 16n 2 6m 4n 2 2 2.- 16 x 2 56 xy 49 y 2 4x 7 y 6.- 16 x 2 40 x 25 4x 5 22
3.- x 2 4 xy 4y2 x 2 y 2 7.- x 2 2x 1 x 1 2 8.- 3 - 42