Estadistica ii

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Estadistica ii

  1. 1. Distribución de ProbabilidadMarginal y Condicional para variables Discretas
  2. 2. Distribución de Probabilidad• Definición 1: Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo. Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.
  3. 3. Variable Aleatoria• Definición 2:Toda distribución de probabilidad es generada por una variable (porque puede tomar diferentes valores) aleatoria x (porque el valor tomado es totalmente al azar), en este particular la Variable aleatoria discreta (x).Porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos. Por ejemplo: x→ Variable que nos define el número de alumnos aprobados en la materia de probabilidad en un grupo de 40 alumnos (1, 2 ,3…ó los 40).
  4. 4. Funciones de Probabilidad• Consideremos una Variable Aleatoria. discreta X, que toma los valores x1, x2, ..., xn y supongamos que conocemos la probabilidad de que la variable X tome dichos valores, es decir, se conoce que P(X=x1)=P1, P(X=x2)=P2, P(X=x3)=P3,..., P(X=xn)=Pn y en general, P(X=xi)=Pi. La función de probabilidad f(x) de la Variable Aleatoria X es la función que asigna a cada valor xi de la variable su correspondiente probabilidad Pi.• Cuando la variable X es discreta, esto es, cuando solo toma valores en un conjunto numerable de valores, (xi), finito o infinito, entonces la relación es F( x ) = ∑ f(x ) x j ≤ xi i
  5. 5. Función de Distribución• En muchas ocasiones no nos interesa tanto conocer la probabilidad de que la Variable Aleatoria X tome exactamente un determinado valor xi, cuanto la probabilidad de que tome valores menores o iguales que un cierto valor xi. En tales casos es necesario acumular los distintos valores de la función de probabilidad hasta el valor deseado. Se trata de una nueva aplicación llamada función de distribución.
  6. 6. Función de DistribuciónSea X una Variable Aleatoria discreta, cuyosvalores se suponen ordenados de menor amayor. Es decir, asocia a cada valor de laVariable Aleatoria discreta la probabilidadacumulada hasta ese valor (la probabilidad deque la Variable Aleatoria tome valores menoreso iguales a xi). Se deben cumplir las siguientescondiciones:
  7. 7. Función de Distribución• Teorema 2: Los valores, F(x), de la función de distribución de una variable aleatoria discreta x cumplen las condiciones• F(-F) = 0;• F(F) = 1;• Si a < b, entonces F(a) S F(b) para dos números reales cualesquiera a y b• Teorema 3: Si el intervalo d una variable aleatoria x consta de los valores x1 < x2 x3 < .. < xn, entonces f(x1) = F (x1) y f (xi) = F(xi) – F(xi-1), para i = 2, 3, …, n
  8. 8. Distribución Marginal• Cuando se estudian más de una de una variable aleatoria en forma conjunta, puede ser de interés conocer la distribución de probabilidad de las variables aleatorias individualmente. Estas funciones se denominan distribuciones marginales.
  9. 9. Distribución Marginal• Definición 3: Si x y y son variables aleatorias discretas y f(x,y) es el valor de la distribución de probabilidad conjunta en (x,y), la función dada por g(x) = gyf(x,y) para cada x contenida en el intervalo de x, se denomina distribución marginal de x. En forma respectiva, la función dada por h(y) = hxf(x,y) para cada y contenida en el intervalo de y, recibe el nombre de distribución marginal de y
  10. 10. Distribuciones Marginales
  11. 11. Distribución Condicional• Cuando se estudian más de una de una variable aleatoria en forma conjunta, puede ser de interés conocer la distribución de probabilidad de cada variable aleatoria dado que la otra variable toma un valor especifico. Estas funciones se denominan distribuciones condicionales.
  12. 12. Distribución Condicional• Definición 4: Si f(x,y) es el valor de la distribución de probabilidad conjunta de las variables aleatorias discretas x y y en (x,y) y h(y) es el valor de distribución marginal de y en y, la función dada por f ( x, y ) h(y) h 0 f ( x y) = h( y ) para cada x contenida en el rango de x, se denomina distribución condicional de x dada y = y. En forma respectiva, si g(x) es el valor de la distribución marginal de x en x, la función dada por f ( x, y ) g(x) g 0 w( y x) = g ( x) para cada y contenida en el rango de y, se denomina distribución condicional de y dada x = x.
  13. 13. Distribución Condicional
  14. 14. Distribución Condicional y Marginal (Características)• Las distribuciones marginales g(x), h(y) son funciones de probabilidad de las variables aleatorias X, Y separadamente. Estas funciones deben cumplir las propiedades de una función de probabilidad y pueden ser usadas para calcular probabilidad para cada variable.• 1) g(x)≥0, h(y)>0, x,y € R• 2) Σg(x) = 1, Σh(y)=1• x y• 3) P(X=x) = g(x)• P(Y=y) = h(y)
  15. 15. Tabulación (Tablas de contingencias)• Los resultados electorales de 1988 para el Senado y Cámara de Representantes en Puerto Rico fueron publicados rápidamente por El Nuevo Día. La composición preliminar del Senado y la Cámara de Representantes por partido:
  16. 16. Distribución Condicional y Marginal (Características)• Escogeremos al azar un miembro de cualquiera de los dos cuerpos representativos. Ya que hay un total de 78 legisladores, la probabilidad de escoger cualquier miembro particular es 1/ 78 de manera similar, se puede calcular la probabilidad marginal que un miembro seleccionado al azar pertenece al PIP, por ejemplo, comparando el número total de legisladores de ese partido por el total de legisladores, es decir, dividimos la suma de la columna apropiada por 78. Así la probabilidad de que un legislador cualquiera, seleccionado al azar de entre estos 78 sea miembro del PIP es 2/78.•
  17. 17. Distribución Condicional y Marginal (Características)• Igualmente la probabilidad marginal que una persona seleccionada al azar sea miembro de un cuerpo particular se puede hallar dividiendo la suma de la fila apropiada por 78. Tenemos entonces la distribución marginal de los partidos, P(PPD)= 54/ 78, P(PNP)= 22/ 78, P(PIP)= 2/ 78. La distribución marginal de los cuerpos legislativos, se obtiene con un argumento similar: P(Senado)= 27/ 78, P(Cámara de Representante) = 51/ 78. Estas probabilidades se llaman marginales, ya que para calcularlas examinamos los márgenes de la tabla.
  18. 18. Visión Grafica• Otra forma de representar la distribución de probabilidad condicional se puede ver en el siguiente ejemplo.• Supongamos que tomamos una muestra al azar de 100 estudiantes y obtenemos los siguientes resultados:• 15 mujeres reciben ayuda económica y trabajan• 45 mujeres reciben ayuda económica• 20 mujeres trabajan• 55 de los estudiantes son mujeres• 25 estudiantes reciben ayuda económica y trabajan• 60 estudiantes reciben ayuda económica• 40 estudiantes trabajan
  19. 19. Visión Grafica• Se puede traducir estos datos en proporciones o porcentajes y representar en un diagrama de Venn tal como se muestra.•
  20. 20. Visión Grafica• El conjunto W representa todas las mujeres en la muestra, F el conjunto representa los estudiantes que reciben ayuda económica y J el conjunto de estudiantes en la muestra que trabajan.• De este diagrama de Venn podemos contestar rápidamente muchas preguntas que a primera vista parecen ser muy complicados, tal como, ¿qué proporción de estudiantes son mujeres que no trabajan y reciben ayuda económica? Esta pregunta es equivalente a encontrar P (W y F y no J). La solución, .30 se encuentra en la intersección de los tres conjuntos W, no J, F.•
  21. 21. Visión Grafica• La idea de probabilidad condicional se puede usar de forma muy natural para examinar situaciones como las presentan en muchas ocasiones los medios noticiosos. Por ejemplo, en una encuesta efectuada en 1989 se entrevisto a 1.005 adultos y a 500 adolescentes. Se les hizo la siguiente pregunta: ¿Cuál es el problema principal de los Estados Unidos. Los resultados fueron como sigue:•
  22. 22. Gracias por su atención

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