Introduccion a la modelacion matemática utilizando ecuaciones diferenciales

1. Universidad Autónoma de Baja California UABC
Facultad de Ingeniería Mexicali
1.3 Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos
Mediante la adopción de las prácticas babilónicas de la medición cuidadosa y las
observaciones detalladas, los antiguos griegos trataron de comprender la naturaleza a
partir del análisis lógico. Los convincentes argumentos de Aristóteles acerca de que el
mundo no era plano, sino esférico, llevaron a los intelectuales de aquella época a
considerar la siguiente pregunta: a qué equivale la circunferencia de la Tierra?
Y resulta asombroso que Eratóstenes haya logrado obtener una respuesta bastante
precisa para este problema sin tener que salir de la antigua ciudad de Alejandría. Su
método implicaba ciertas suposiciones y simplificaciones: la Tierra es una esfera
perfecta, los rayos del sol viajan en trayectorias paralelas, la ciudad de Siena se
encuentra a 5000 estadios exactamente al sur de Alejandría (aprox. 202 m por estadio),
etc. Con estas idealizaciones, Eratóstenes creó un contexto matemático en el cual
pudieron aplicarse los principios de la geometría.
En la actualidad, cuando los científicos buscan fomentar nuestra comprensión de la
naturaleza y los ingenieros procuran encontrar respuestas a problemas técnicos, el
proceso de representar nuestro “mundo real” en términos matemáticos se ha convertido
en un instrumento de valor incalculable.
Con frecuencia se desea describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno de
la vida real en términos matemáticos, donde dichos sistemas pueden ser físicos,
sociológicos o hasta económicos. Este proceso de imitar la realidad utilizando el
lenguaje de las matemáticas se conoce como modelación matemática.
El proceso de construcción de un modelo matemático efectivo requiere habilidad,
imaginación y evaluación objetiva.
Pasos importantes en la formulación matemática:
1. Formulación del problema. Aquí debe plantearse el problema de tal manera
que pueda responderse matemáticamente. Esto requiere una comprensión del
área del problema.
2. Desarrollo del modelo. Aquí es necesario decidir cuales variables son
importantes y cuales no lo son. Las primeras se clasifican en dependientes e
independientes. Las variables independientes sin aquellas cuyo efecto es
significativo y que servirán como información de entrada al modelo. Las
variables dependientes son las que resultan afectadas por las independientes y
que son importantes en la solución del problema. También debe determinarse
las relaciones que existan entre estas variables, es decir, realizar una
formulación matemática.
3. Resolución de ecuaciones diferenciales. Una vez formulado el modelo
matemático, llegamos al problema de resolverlo por los métodos existentes.
4. Prueba del Modelo. Una vez resuelto, juzgamos que el modelo es razonable si
su solución es consistente con los datos experimentales o los hechos conocidos
acerca del comportamiento del sistema. Si las predicciones que se basan en la
solución son deficientes, entonces podemos aumentar el nivel de resolución del
modelo matemático.
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En todo momento se debe de tener presente que un modelo no es la realidad, sino
solo una representación de ella. La verdadera prueba de un modelo es su capacidad de
encontrar una respuesta aceptable para el problema planteado.
Al iniciar la Unidad 2 nos enfocaremos al análisis de algunos sistemas dinámicos, es
decir, que evolucionan con respecto al tiempo. Un sistema dinámico lo forma un
conjunto de variables dependientes del tiempo, que se llaman variables de estado,
más una regla que permite determinar el estado del sistema (ya sea, presente, pasado
o futuro) en términos de un estado especificado en cierto momento.
La regla o modelo matemático de un sistema de éstos, es una ecuación o sistema
de ecuaciones diferenciales. El estado del sistema en un tiempo t es el valor de las
variables de estado en ese instante (lo que conocemos como condiciones o valores
iniciales). Finalmente la solución de un problema de valor inicial se llama respuesta del
sistema. Precisamente eso es lo que pretendemos conocer!
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