Algebra lineal

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Algebra lineal

  1. 1. 1 Semestre 3 Fascículo 1 Algebra Lineal
  2. 2. Algebra lineal Semestre 3 Algebra lineal
  3. 3. Algebra lineal Semestre 3 Tabla de contenido Página Presentación general de la asignatura 1 Mapa conceptual 1 Competencias generales de la asignatura 2 Contenido mínimo de la asignatura 3 Introducción 7 Conceptos previos 7 Mapa conceptual Fascículo 1 8 Logros 8 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices. 8 Sistemas de m ecuaciones con n incógnitas 9 Transformaciones elementales 9 Método de eliminación de Gauss-Jordan. 10 Matrices 12 Utilización de las matrices en la aplicación del método de eliminación. 12 Forma escalonada reducida por filas y pivote. 13 Matriz en la forma escalonada por filas. 14 Sistemas de ecuaciones homogéneas 16 Resumen 17 Bibliografía recomendada 18 Nexo 18 Seguimiento al autoaprendizaje 21 Créditos: 3 Tipo de asignatura: Teórica – Práctico
  4. 4. Algebra lineal Semestre 3 Algebra lineal Copyright©2008 FUNDICIÓN UNIVERSITARIA SAN MARTÍN Facultad de Universidad Abierta y a Distancia, “Educación a Través de Escenarios Múltiples” Bogotá, D.C. Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización por escrito del Presidente de la Fundación. La redacción de este fascículo estuvo a cargo de ALBERTO FORERO Docente tutor – Programa de Ingeniería de Sistemas a Distancia. Sede Bogotá, D.C. Orientación a cargo de; ESPERANZA MARTINEZ G. Directora Nacional de Material Educativo. Diseño gráfico y diagramación a cargo de SANTIAGO BECERRA SÁENZ ORLANDO DÍAZ CÁRDENAS Impreso en: GRÁFICAS SAN MARTÍN Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825 Bogotá, D.C., Junio de 2010
  5. 5. 1 Fascículo No. 1 Semestre 3 Algebra lineal Algebra lineal Transformaciones ALGEBRA LINEAL objetos de estudio Matrices Vectores Sistemas de Ecuaciones Operaciones Determinantes Bases y DimensiónLinealidad definen y reconstruyen Modelos Lienales Presentación general de la asignatura Bienvenido al curso de Algebra Lineal. Asignatura que tiene por objetivo preparar al estudiante en lo relacionado con el trabajo con vectores, de manera generalizada, esto es, desde el punto de vista de los espacios vectoriales. Muchos de los conceptos que aquí se presentan serán utilizados en otras materias, como Cálculo Vectorial y Ecuaciones Diferenciales. Trabajaremos también con matrices, sus operaciones y su relación con los sistemas de ecuaciones. Mapa conceptual de la asignatura modelan
  6. 6. 2 Algebra lineal Algebra lineal Fascículo No. 1 Semestre 3 Competencias Generales de la Asignatura Competencia Cognitiva Interpreta y comprende situaciones de variación dentro y fuera de la matemática haciendo uso del Algebra Lineal y reconstruye modelos lineales en el análisis de los mismos. Competencia Comunicativa Establece argumentos desde la matemática para interpretar los modelos lineales prácticos y teóricos asociados a diferentes áreas de la Ingeniería de Sistemas. Competencia Valorativa Interpreta y valora el uso de los conceptos y el Lenguaje Matemático en el tratamiento de situaciones relacionadas con su desarrollo profesional. Competencia Contextual Hace uso de elementos externos a la clase (Tecnológicos y Bibliográficos) para el tratamiento de los problemas que requieran la matemática en su contexto profesional.
  7. 7. 3 Algebra lineal Algebra lineal Fascículo No. 1 Semestre 3 Contenidos Mínimos de la Asignatura Fascículo 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Sistemas de m incógnitas con n ecuaciones. Método de eliminación de Gauss-Jordan. Sistemas de m ecuaciones con n incógnitas. Transformaciones elementales. Método de eliminación. Matrices Utilización de las matrices en la aplicación del método de eliminación. Forma escalonada reducida por filas y pivote. Matriz en la forma escalonada por filas. Sistemas de ecuaciones homogéneas. Fascículo 2 Matrices Operaciones con Matrices Igualdad de Matrices Suma y Multiplicación por escalar Algunos tipos de Matrices Producto entre matrices Propiedades de la suma y multipliacción por un escalar Aplicación Tecnológica Matrices en Matlab Fascículo 3 Inversa de una matriz. Método de la inversa. Traspuesta e inversa de una matriz La inversa de una matriz Propiedades de las matrices inversas
  8. 8. 4 Algebra lineal Algebra lineal Fascículo No. 1 Semestre 3 Ecuaciones sencillas con productos de matrices: Cálculo de la inversa por el método de eliminación Traspuesta de una matriz A Propiedades de la operación de trasposición Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Método de la inversa Fascículo 4 Espacios vectoriales Introducción Espacio Vectorial Combinación lineal Dependencia e Independencia Lineal Espacio Generado Problemas de Aplicación Fascículo 5 Función Determinante I Propiedades de los determinantes Operaciones elementales con determinantes Cálculo del determinante.(Cofactores) Fascículo 6 Función determinante (II) Matriz transpuesta y Matriz Adjunta Determinantes e inversas Regla de Cramer Problemas de Aplicación Fascículo 7 Aplicaciones de los vectores Definición de Vector
  9. 9. 5 Algebra lineal Algebra lineal Fascículo No. 1 Semestre 3 Operaciones con vectores Producto Punto y Producto Cruz La recta en El plano en Problemas de Aplicación Fascículo 8 Bases y dimensión. Transformaciones lineales Rango Nulidad Bases y Cambio de Base Transformaciones Lineales
  10. 10. 6 Algebra lineal Algebra lineal Fascículo No. 1 Semestre 3
  11. 11. 7 Algebra lineal Algebra lineal Fascículo No. 1 Semestre 3 Introducción Uno de los aspectos más frecuentes en el planteamiento de problemas son los sistemas de ecuaciones lineales. En Precálculo se trabajaron los sistemas de 2x2 y 3x3; ahora vamos a generalizar esta situación a cualquier cantidad de ecuaciones e incógnitas (no necesaria-mente de nxn). Los métodos de solución serán más generales y veremos la relación de los sistemas con las llamadas matrices. Conceptos Previos Para comenzar el estudio y análisis de los diferentes conceptos y modelos que sustentan el Algebra Lineal, es primordial reconocer e identificar las nociones básicas para la comprensión de los modelos lineales que caracterizan los sistemas de ecuaciones; para esto, invitamos al estudiante a resolver la siguiente actividad como un elemento que le permita reestructurar los conceptos ya analizados y así reconstruir una base más sólida que le permita desarrolar el presente curso. 1.1 1. Encontrar la ecuación de la recta con las consiciones dadas. a. Pasa por (0,4) y por (2,3) b. Pasa por (-2,5) y corta al eje y en y=2 c. Pasa por (2,3) y tiene pendiente m=2. 2. Representar gráficamente las siguientes funciones a. 92xy b. 42xy c. 3 3 2 xy 3. Resolver las siguientes ecuaciones a. 342 xx b. 7213 xx 4. Determinar la distancia entre cada par de puntos. a. (0,4) y (3,6) b. (-1,4) y (4,6) c.
  12. 12. 8 Algebra lineal Algebra lineal Fascículo No. 1 Semestre 3 Mapa conceptual fascículo 1 Al finalizar el estudio del fascículo, el estudiante: Comprende los métodos de eliminiación de Gauss-Jordan y la eliminación Gaussiana en el análisis de situaciones modeladas por sistemas de ecuaciones lineales. Argumenta todos los procesos que utiliza en el tratamiento de sistemas de ecuaciones homogeneos en situaciones especificas. Interpreta y valora el uso de los sistemas e ecuaciones lineales en modelos prácticos y teóricos asociados a diferentes áreas. Involucra elementos tecnológicos en el tratamiento e interpretación de los sistemas de ecuaciones lineales en diversas situaciones. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices La busqueda del significado del modelo lineal en matemáticas, se refiere a la caracterización de una situación que se interpreta linealmente, es decir con la linea recta; el estudio de situaciones lineales lleva a que se Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones Unica Infinitas Inconsitencia Algoritmos Iniciales Gauss-Jordan Eliminación Gaussiana LogrosLogrosLogros
  13. 13. 9 Algebra lineal Algebra lineal Fascículo No. 1 Semestre 3 interpreten algoritmos y métodos matemáticos que permitan llegar a las soluciones de estos. A continuación describiremos el tratamiento paso a paso de este elementos matemáticos, los sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas de m ecuaciones con n incógnitas. Llamaremos sistema de ecuaciones lineales, a un conjunto de ecuaciones de la forma siguiente: mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa ... .......................................... ... ... 2211 22222121 11212111 (1) donde las aij y los bi son en general, números reales. Si m = n, se dice que es un sistema cuadrado. Por ejemplo, Ejemplo 1 0 2 1 321 32 31 xxx xx xx Solución del sistema (1). La n-pla (x10, x20, ... , xn0) será una solución del sistema (1), si sustituida en cada una de las ecuaciones, se satisface la igualdad en cada una de ellas. Transformaciones elementales Llamaremos transformaciones elementales sobre una ecuación, a aquellas que dan como resultado otra ecuación, que tiene las mismas soluciones que la anterior. Son transformaciones elementales las siguientes: Intercambiar de posición dos ecuaciones. Note que nos dará el mismo sistema de ecuaciones.
  14. 14. 10 Algebra lineal Algebra lineal Fascículo No. 1 Semestre 3 La multiplicación de una ecuación por una constante diferente de cero. Note que si la ecuación ai1x10 + ai2x20 +...+ ainxn0 = bi, se satisface al evaluarla para la n-pla (x10, x20, ... , xn0), entonces también se satisface al ser multiplicada por una constante cualquiera (no nula): k(ai1x10 + ai2x20 + ... + ainxn0 )=kbi . La adición de una ecuación a otra. jinjninjiji jnjnjj ininii bbxaaxaaxaa bxaxaxa bxaxaxa 020220111 0202101 02012101 )(...)()( ... ... Note que la ecuación resultante se satisface para la misma n-pla. Método de eliminación de Gauss-Jordán. El método de eliminación consiste en sustituir el sistema dado en otro equivalente, mediante el empleo de las transformaciones elementales. Ilustremos el método con el ejemplo 1. 0 2 3 321 32 31 xxx xx xx , Hagamos la fila 3 igual al resultado de restar la fila 1 a la fila 3: f3=f3-f1 ; Note que al efectuar f3=f3-f1, estamos realizando dos transformaciones elementales al mismo tiempo: multiplicar por -1 y la suma de ecuaciones. 32 2 1 32 32 31 xx xx xx , hagamos f3=f3-f2 ; entonces 1 2 1 3 32 31 x xx xx (2) De modo que x3 = -1 y sustituyendo este resultado en la ecuación (2) tenemos:
  15. 15. 11 Algebra lineal Algebra lineal Fascículo No. 1 Semestre 3 x2 - (-1) = 2 , entonces x2 = 1. Y sustituyendo x3 (no depende de x2 ) en la ecuación 1 tenemos que: x1 = 2. Por tanto la solución es: x1 = 2 , x2 =1 y x3 = -1 . Continuemos con el método de eliminación en el sistema (2): 1 2 1 3 32 31 x xx xx , hagamos f1=f1-f3 y f2=f2+f3; tendremos 1 1 2 3 2 1 x x x ; Con lo que obtenemos la solución: x1 = 2 , x2 =1 y x3 = -1 . A este método se le denomina: Método de eliminación de Gauss-Jordán. Ejemplo 2. Resolver el sistema: 1 2 1 21 32 31 xx xx xx , hagamos f3=f3 - f1; obtenemos 2 2 1 32 32 31 xx xx xx , 2 2 1 32 32 31 xx xx xx , hagamos f3=f3+f2; obtenemos 00 2 1 32 31 xx xx , Por lo que nos queda, un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas. Pasemos una variable, x3 , a la parte derecha de cada ecuación y tenemos: x1 = 1+ x3 , x2 = 2 + x3 , x3 = x3 ; lo cual significa que el sistema tiene infinitas soluciones; cada una de ellas se obtiene al darle un valor real a la variable x3. Por ejemplo, si x3 = 0, obtenemos x1 = 1 y x2 = 2 . Ejemplo 3. Resolver el sistema:
  16. 16. 12 Algebra lineal Algebra lineal Fascículo No. 1 Semestre 3 Sistemas consistentes e in- consistentes: Un sistema es consistente si tiene al menos una solución; mientras que se dice es inconsistente si no tiene solución. 123 2 12 321 32 321 xxx xx xxx , hagamos f3=f3-f1 y obtenemos 2 2 12 32 32 321 xx xx xxx ; Ahora hagamos f3=f3-f2 y obtenemos 40 2 12 32 321 xx xxx ; lo cual representa una contradicción y obviamente, este sistema no tendrá solución. Matrices Llamaremos matriz al ordenamiento en filas y columnas de elementos de cualquier naturaleza (nosotros trabajaremos por ahora, sólo con números reales); se escriben entre paréntesis circulares o rectangulares. mnmm n n mnmm n n aaa aaa aaa ó aaa aaa aaa ... ............ ... ... ... ............ ... ... 21 22221 11211 21 22221 11211 Siendo ésta, una matriz de m filas (renglones) y n colmunas, lo cual también se denota, abreviadamente, en la forma: njmiparaaij 1,1 ; note que el primer subíndice (i) denota las filas, mientras que el segundo subíndice (j) representa las columnas. Utilización de las matrices en la aplicación del método de eliminación Note que al aplicar el método de eliminación, el trabajo se realiza solamente con los coeficientes de las incógnitas, por lo que podemos
  17. 17. 13 Algebra lineal Algebra lineal Fascículo No. 1 Semestre 3 abreviar la escritura empleando solamente los coeficientes ordenados en matrices de la siguiente forma. Dado el sistema (1), tendremos las siguientes matrices: Matriz de coeficientes: mnmm n n aaa aaa aaa ... ............ ... ... 21 22221 11211 Matriz aumentada o ampliada: mmnmm n n baaa baaa baaa ... ............... ... ... 21 222221 111211 Así, en el ejemplo 1, tenemos: 3210 2110 3101 0111 2110 3101 133 fff ; y se sigue en forma análoga. Las matrices que se obtienen, por la realización de transformaciones elementales entre renglones, se dice que son matrices equivalentes puesto que representan sistemas de ecuaciones equivalentes al original. Forma escalonada reducida por filas y pivote Una matriz se encuentra en la forma escalonada reducida por filas si se cumplen las siguientes condiciones: 1. Todas las filas (si las hay), cuyos elementos son todos ceros, aparecen en la parte inferior de la matriz. 2. El primer número diferente de cero (comenzando por la izquierda) en cualquier fila cuyos elementos no son todos cero es 1. 3. Si dos filas sucesivas tienen elementos distintos de cero, entonces el primer 1 en la fila de abajo está más a la derecha que el primer 1 en la fila de arriba.
  18. 18. 14 Algebra lineal Algebra lineal Fascículo No. 1 Semestre 3 4. Cualquier columna que contiene el primer 1 en una fila tiene ceros en el resto de sus elementos. El primer número diferente de cero en una fila (si la hay) se llama pivote para esa fila. Matriz en la forma escalonada por filas Una matriz está en la forma escalonada por filas si se cumplen las condiciones (1), (2) y (3) dadas anteriormente. Un ejemplo de matriz en la forma escalonada por fila es el siguiente: 00000 01000 21100 21201 En el sistema de ecuaciones (2), que obtuvimos al resolver el sistema del ejemplo 1, y expresado en la forma de la matriz aumentada, ésta resulta ser una matriz en forma escalonada por filas: 1100 2110 1101 Ejemplo 4: Un sistema inconsistente: resuelva el sistema Para obtener 1 en el elemento de la matriz del sistema podemos realizar la transformación elemental de intercambiar las filas 1 y 3.
  19. 19. 15 Algebra lineal Algebra lineal Fascículo No. 1 Semestre 3 Cuando se resuelva un siste- ma de ecuaciones lineales, usando alguno de los méto- dos estudiados, si llega a ob- tenerse al final , donde el sistema será incon- sistente. Ahora, en la última ecuación se tiene: Lo que es imposible. Así, el sistema inicialmente planteado no tiene solución.En este caso se dice que el sistema es incosistente. Note el surgimiento del concepto de matriz en relación con los sistemas de ecuaciones. Ejemplo 5: Solución de un sistema con infinitas soluciones: Esto es equivalente al sistema de ecuaciones:
  20. 20. 16 Algebra lineal Algebra lineal Fascículo No. 1 Semestre 3 Hasta aquí se puede llegar. Se tienen solo dos ecuaciones para las tres incógnitas x, y, z, y existe un número infinito de soluciones. Para ver esto se elige un valor de z, entonces y . Ésta será una solución para cualquier número z, se escribe esta solución en la forma , por ejemplo , si z=0, se obtiene la solución (1,4,0). Ejercicio: Situación tipo ECAES ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre el esistema dado? a. Tiene solución única x=1, y=1, z=1 b. Es Inconsistente. c. Tiene un número infinito de soluciones. Sistemas de ecuaciones homogéneas Llamaremos sistema de ecuaciones lineales homogéneas, a un conjunto de ecuaciones de la forma siguiente: 0... .......................................... 0... 0... 2211 2222121 11212111 nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa Donde las aij son en general, números reales. Note que un sistema homogéneo siempre tiene solución, pues x1 = 0 , x2 = 0 , ... , xn = 0 siempre satisface el sistema de ecuación; a esta solución se le llama solución trivial o nula.
  21. 21. 17 Algebra lineal Algebra lineal Fascículo No. 1 Semestre 3 La solución de un sistema homogéneo se realiza de igual forma que en un sistema no homogéneo, con la diferencia de que no es necesario construir la matriz aumentada, pues como los términos independientes son todos cero, cualquier operación elemental sobre una fila no cambia el valor de la última columna por ser ceros. 1.2 Halle la solución, si existe, en los sistemas siguientes y verifique la solución obtenida: a) 132 43 022 321 321 321 xxx xxx xxx b) 222 33 222 431 421 4321 xxx xxx xxxx c) 04333 04322 0432 wzyx wzyx wzyx d) 1 5 5 5 2 wy vzy vzy vzy vx e) 03 023 zyx zyx f) 12863 232 wzyx wzyx Hemos tratado lo referente a los sistemas de ecuaciones lineales. Debe- mos aclarar que los métodos de solución, que se trabajaron en Precálculo (eliminación, sustitución), siguen siendo válidos, solo que ahora hemos
  22. 22. 18 Algebra lineal Algebra lineal Fascículo No. 1 Semestre 3 añadido otra variante de solución (que se empleará en diferentes situaciones) con el Método de eliminación de Gauss-Jordan, el cual nos permite determinar si un sistema es no consistente o consistente, y en este último caso si tiene una única solución o infinitas soluciones. Además vimos la necesidad de instaurar lo que llamamos matrices, para abreviar la escritura de los sistemas de ecuaciones. Una vez definido este concepto, se definiran también sus operaciones y se estableceran sus propiedades. Igualmente, se analizaron los casos en que existe una solución unica, infinitas soluciones o no existe solución para un sistema de ecuaciones lineales, lo que permite distinguir y comprender los diferentes casos que se pueden presentar en situaciones especificas del algebra lineal. COLMAN, Bernard. Algebra Lineal. Octava Edición. México: Prentice Hall México, 2005, 760p. GROSSMAN, Stanley. Algebra Lineal. Quinta Edición. México: Editorial McGraw Hill, 1996, Capítulo 1: Secciones 1.1 – 1.6 ; páginas 1 – 90.(Texto Guía) NAKOS, G. y Joyner, D. Algebra Lineal con Aplicaciones. México: International Thomson Editores, 1999, págs.: 2-30. POOLE, David. Algebra Lineal. Una Introducción Moderna. Segunda Edición. México: International Thompson Editores, 2007, 744p. En el próximo fascículo trataremos explicitamente el concepto de Matriz. Se expondrán las operaciones elementales entre matrices y se
  23. 23. 19 Algebra lineal Algebra lineal Fascículo No. 1 Semestre 3 desarrollarán varios ejercicios que promuevan una mejor comprensión de estos procesos, igualmente trataremos situaciones específicas en las cuales se pueden emplear las matrices en su resolución.
  24. 24. 20 Algebra lineal Algebra lineal Fascículo No. 1 Semestre 3
  25. 25. 21 Algebra lineal Algebra lineal Fascículo No. 1 Semestre 3 SeguimientoalautoaprendizajeSeguimientoalautoaprendizajeSeguimientoalautoaprendizaje Algebra lineal - Fascículo No. 1 Nombre_______________________________________________________ Apellidos ________________________________ Fecha: _________________ Ciudad___________________________________Semestre: _______________ 1) Reducir la matriz dada A a la forma escalonada por filas. 9551 3311 0211 3120 A 2) Resolver por el método de eliminación de Gauss-Jordan y comprobar la solución obtenida. a) 12342 1923 72 032 321 4321 4321 421 XXX XXXX XXXX XXX b) 0739 032 02 WZYX WZYX WZX 3) Situación tipo ECAES: Del anterior sistema de ecuaciones se puede decir que: a. Tiene infinitas soluciones. b. Tiene una solución única. c. No es un sistema de ecuaciones lineales. d. Es inconsistente. 4) Situación tipo ECAES: De la afirmación “Si en un sistema de ecuaciones
  26. 26. 22 Algebra lineal Algebra lineal Fascículo No. 1 Semestre 3 homogéneo el número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones, entonces el sistema tiene infinitas soluciones” se puede decir: a. Es Verdadera pues cualquier sistema tiene un número infinito de soluciones. b. Es Falsa pues un sistema homogéneo solo puede tener la solución trivial o no tener soluciones. c. Es Falsa pues para que tenga infinitas soluciones un sistema no necesariamente debe tener el número de incógnitas mayor que el número de ecuaciones. d. Es Verdadera pues si el sistema homogéneo cumple las condiciones dadas entonces el algoritmo de Gauss se detiene y deja variables dependientes.

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