4. Δυνάμεις
Αν α πραγματικός αριθμός και ν φυσικός, ισχύει ότι:
αν
= α∙α∙α…∙α για ν > 1 και
ν παράγοντες
α1
= α, για ν = 1
Αν α ≠ 0, τότε:
α0
= 1 και α-ν
= ν
α
1
13. Ορισμός
Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α
συμβολίζετα με και ορίζεται από τον τύπο
α, αν α≥0
-α, αν α<0
Συνέπειες
και
Απόλυτη τιμή
πραγματικού αριθμού
• ή x = -θ (θ > 0)
• ή x = -α
=α
0αα ≥−=
αα ≥ αα −≥
22
αα =
θxθx =⇔=
αxαx =⇔=
α
14. Ιδιότητες
1.
2. = (β ≠ 0)
3.
Απόσταση
d (α , β) =
β
α
β
α Ανισότητες με απόλυτα
ή x > ρ
βαβα ⋅=⋅
βαβα +=+
βα −
ρxρρ)ρ,(xρx <<−⇔−∈⇔<
ρxρx −<⇔>
15. Ρίζες πραγματικών αριθμών
Ορισμός
Η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α
συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που,
όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α.
Αν α ≥ 0, η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της
εξίσωσης x2
= α.
Ιδιότητες
• Αν α ≥ 0 & β ≥ 0, τότε:
1.
2.
α
α
αα 2
=
βαβα ⋅=⋅
β
α
β
α
=3.
(β ≠ 0 )
16. Ρίζες πραγματικών αριθμών
Ορισμός
Η ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α
συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός αριθμός
που, όταν υψωθεί στην ν, δίνει το α.
Αν α ≥ 0, η παριστάνει τη μη αρνητική λύση
της εξίσωσης xν
= α.
ν
α
ν
α
18. Ρίζες πραγματικών αριθμών
Ορισμός
Αν α > 0, μ ακέραιος & ν θετικός αριθμός, τότε
ορίζουμε
Αν α και β είναι μη αρνητικοί αριθμοί, ισχύει ότι:
ν μν
μ
αα =
νν
βαβα <⇔<
19. Η εξίσωση xν
= α
Η εξίσωση xν
= α , με α > 0 και ν περιττό φυσικό
αριθμό, έχει μια λύση, την:
Η εξίσωση xν
= α, με α > 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό,
έχει δυο λύσεις τις: και
Η εξίσωση xν
= α , με α < 0 και ν περιττό φυσικό
αριθμό, έχει μια λύση, την:
Η εξίσωση xν
= α, με α < 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό,
είναι αδύνατη
ν
α
ν
α ν
α−
ν α−
20. Η εξίσωση αx2
+βx+γ=0, α≠0
• Η εξίσωση αx2
+ βx + γ = 0 , α ≠ 0 λέγεται εξίσωση
δευτέρου βαθμού.
Είδος ριζών
Δ = β2
- 4αγ Η εξίσωση αx2
+ βx + γ = 0 , α ≠ 0
Δ > 0 Έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες τις
Δ = 0 Έχει μια διπλή ρίζα τη
Δ < 0 Είναι αδύνατη στο ℝ
2α
Δβ-
x 1,2
±
=
2α
β
-x =
21. Άθροισμα και γινόμενο ριζών
Κατασκευή εξίσωσης που έχει δοσμένες ρίζες x1 , x2 :
x2
– Sx + P = 0
α
β
xxS 21 −=+=
α
γ
xxP 21 =⋅=
22. Ανισώσεις 1ου βαθμού
αx + β > 0
Αν α > 0 , τότε:
Αν α < 0 , τότε:
Αν α = 0 , τότε: , η οποία
αληθεύει για κάθε x ℝ, αν είναι β > 0
ενώ είναι αδύνατη, αν είναι β ≤ 0
α
β-
x >
α
β-
x <
-β0x >
∈