1. BAB 9
DERET FOURIER
Oleh :
Ir. A.Rachman Hasibuan dan
Naemah Mubarakah, ST

2. 9.1 Pendahuluan
Gambar 9.1 Fungsi-fungsi eksistesi (a) v = konstan ; (b) v = V sin ωt
Gambar 9.2 Gelombang gigi gergaji
Gelombang gergaji ini dapat dinyatakan sebagai f(t) = (V/T)t dalam
interval 0 < t < T dan oleh f(t) = (V/T)(t – T) dalam interval T < t < 2T.

3. 9.2 Deret Fourier Trigonometri
Suatu fungsi f (t) dikatakan periodik apabila :
f(t) = f(t + nT)
dimana n adalah bilangan bulat/integer dan T adalah periode dari f (t),
Menurut teori Fourier setiap fungsi periodik dengan frekuensi ωo dapat di
ekspresikan sebagai perjumlahan dari fungsi sinus ataupun kosinus atau :
∞
f(t) = a o + ∑ (a n cos nωo t + b n sin nωo t )
{
↓ n =1 4444 44444
14 2 3
dc ↓
ac
ωo = 2π/T disebut sebagai frekuensi dasar
sin nωot atau cos nωot merupakan harmonisa yang ke-n dari f (t) dan bila
n merupakan bilangan ganjil disebut harmonisa ganjil dan bila genap
disebut harmonisa genap

4. Suatu fungsi f(t) dapat dinyatakan dengan sebuah deret Fourier apabila :
1. f(t) memiliki nilai tunggal untuk setiap t.
2. Jika f(t) tidak kontinyu maka hanya terdapat jumlah diskontinuitas
terbatas pada periode T.
3. Memiliki jumlah maksimum dan minimum yang terbatas dalam periode.
t0 + T
4. ∫t 0 f ( t ) | dt < ∞ Untuk setiap t0.
syarat-syarat ini disebut sebagai syarat Dirichlet

5. Adapun proses untuk menentukan koefisien ao ; an dan bn
disebut sebagai analisa. Fourier, dimana dalam analisa Fourier
ini ada beberapa bentuk integral trigonometri yang sangat
membantu diantaranya :
T
∫0 sin nωo dt = 0 → semua n ............................ (a )
T
∫0 cos nωo dt = 0 → semua n ≠ 0 ...................... (b)
T
∫0 sin nωo t cos n nωo t dt = 0 → semua n , m .... (c)
T
∫0 sin nωo sin nωo t dt = 0 → n ≠ m................... (d)
T
∫0 cos nωo cos mωo t dt = 0 → n ≠ m ................ (e)
T
∫0 cos 2 nωo dt = T / 2 → semua n .................... (f )
T
∫0 cos 2 mωo t dt = T / 2 → semua m ................. (g)

6. Dari analisa Fourir, didapat :
2 T
; a n = ∫ f ( t ) cos nω o t dt dan b n = T ∫0 f ( t ) sin nωo t dt
1 T 2 T
a o = ∫ f ( t ) dt
T 0 T 0
Maka :
∞
f ( t ) = a o + ∑ A n cos(nωo t + φ n )
n =1
∞ ∞
a o + ∑ A n cos(nωo t + φn ) = a o + ∑ (A n cos φ n ) cos nωo t − (A n sin φ n ) sin nωo t
n =1 n =1
Sehingga :
−1 bn
a n = A n cos φ n ; b n = −(A n sin φ n ) ; A n = a n + b n 2 2 ; φ n = − tan
an
dalam bentuk kompleks : A n ∠φ n = a n − jb n

7. Contoh :
Carilah bentuk deret Fourier gelombang dibawah ini dan gambarkan
juga spektrum amplitudo dan spektrum fasa dari gelombang tersebut.
Jawab :
Adapun deret Fourier :
∞
f(t) = a o + ∑ (a n cos nωo t + b n sin nωo t )
n =1
Adapun bentuk persamaan gelombang diatas :
1 → 0 < t < 1
f (t ) = 
0 → 1 < t < 2

8. 1
a o = ∫ f ( t ) dt = ∫ 1dt + ∫ 0 dt  = t
1 T 1 1 2 1 1
=
T 0 2 0
 0  2
 0 2
 
 
 
 
2 T 2 1 2 
a n = ∫ f ( t ) cos nωo t dt =  ∫ 1 cos nπt dt + ∫ 0 cos nπt dt  = 0
T 0 0 4
2  14243 14 244 
4 1 4 3
 ↓ ↓ 
 1 1 0 
 sin πt 

 nπ 0 

 
 
 
 
2 T 2 1 2  1
b n = ∫ f ( t ) sin nωo t dt =  ∫ 1sin nπt dt + ∫ 0 sin nπt dt  = − (cos nπ − 1)
T 0 0
2  14243 14 244  1 4 3 nπ
 ↓ ↓ 
 1 1 0 
 − cos nπt 
 nπ
 0 

 2
bn =
1
nπ
[ n
]

1 − (−1) =  nπ
→ untuk harga n ganjil
 0 → untuk harga n genap


9. Harga-harga a0, an dan bn yang telah diperoleh disubstitusikan ke
persamaan umum deret fourier, maka deret Fourier dari bentuk
gelombang diatas adalah :
1 2 2 2
f (t) = + sin πt + sin 3 πt + sin 5 πt + ...
2 π 3π 5π
1 2 ∞ 1
f ( t ) = + ∑ sin nπt → dalam hal ini : n = 2k − 1
2 π k =1 n
untuk mendapatkan spektrum amplitudo dan spektrum fasa :
2
2 2  → n ganjil
An = a n + bn = bn =  nπ
{ {
↓ ↓  0 → n genap

0 2
bn = → n ganjil
nπ
−1 b n − 90° → n genap
φ n = − tan =
a n  0° → n ganjil

10. Telah diketahui didepan bahwa ω0 = π dan harga An dan φn untuk
beberapa harga n maka hasilnya seperti pada tabel dibawah ini.

11. maka spektrum amplitudo :
2
π
φn
2
3π 2
5π
ωo π 2π 3π 4π 5π 6π
π 2π 3π 4π 5π 6π ωo

12. 9.3 Kesimetrisan
9.3.1 Simetris Genap
f(t) = f(-t) → untuk semua harga t
T T
−
2 2
Gambar 9.3 Fungsi Genap
f(t) = - A → untuk harga t = T/2 
 maka : f (T / 2) = f (−T / 2)
f(t) = - A → untuk harga t = −T/2 

13. Adapun sifat yang utama dari fungsi genap ini adalah :
T/2 T/2
∫ f e (t )dt = 2 ∫ f e (t )dt
−T / 2 0
dimana notasi e pada fe(t) untuk melambangkan fungsi genap (even).
didapat koefisien-koefisien Fourier-nya :
T/2
2
a0 =
T ∫ f (t )dt
0
T/2
4
an =
T ∫ f (t ) cos nω0 t dt
0
bn = 0

14. 9.3.2 Simetris Ganjil
f(-t) = -f(t) → untuk semua harga t
T
−
4
Gambar 9.4 Fungsi Ganjil
T
4
T 
f(t) = A → untuk harga t = 
4  T T
 maka : f (− ) = f ( )
T  4 4
f(t) = - A → untuk harga t = −
4 


15. Adapun bentuk umum fungsi ini adalah :
T/2
∫ f o (t)dt = 0
−T / 2
dimana fo(t) hanya berupa simbol dari fungsi ganjil (Odd).
Untuk fungsi ganjil ini harga-harga :
A0 = 0
an = 0
T/2
4
bn =
T ∫ f (t ) sin nω0 t dt
0
Setiap fungsi periodik f(t) dapat merupakan gabungan fungsi-fungsi
genap atau ganjil saja ataupun gabungan fungsi genap atau ganjil
∞ ∞
f (t) = a 0 + ∑ a n sin nω0 t + ∑ b n sin nω0 t = f e (t ) + f o (t )
n=
144 12444
4 3 n =4 244
11 4 3
↓ ↓
genap ganjil

16. 9.3.3 Simetris Gelombang Setengah
Suatu fungsi dikatakan simetris gelombang setengah apabila :
T
f (t − ) = −f ( t ) → (ganjil)
2
Gambar 9.5 Contoh gelombang setengah simetris (ganjil)

17. Koefisien Fourier nya :
1 
T/2 T/2
1 
T/2 0 T/2
a0 =
1
∫ f (t ) dt = T  ∫ f (t ) dt + ∫ f (t ) dt  → a 0 = −
T ∫ f (x ) dx + ∫ f (t ) dt  = 0

T −T / 2  −T / 2
 0 
  0 0 
2 
0 T/2
a n =  ∫ f ( t ) cos nω0 t dt + ∫ f (t ) cos nω0 t dt 
T  −T / 2
 0 

 4 T/2
[ ]
T/2
f ( t ) cos nω0 t dt =  T ∫
2  f ( t ) cos nω0 t dt ...........untuk n ganjil
an =
T
1 − (−1) n ∫ 0
0  0.........................................untuk n genap

 4 T/2
bn = T ∫
 f ( t ) sin nω0 t dt ...........untuk n ganjil
0
0.........................................untuk n genap


18. Contoh :
Carilah deret Fourir dari f(t) yang tergambar di bawah ini :
Jawab :
Fungsi ini adalah fungsi ganjil sehingga a0 = 0 = an dimana
2π 2π π , maka :
periodenya T = 4 sehingga ω0 = = =
T 4 2
4 π 
1 2
T/2 π
∫ f (t ) sin nω0 t dt → b n =  ∫ 1sin n t dt + ∫ 0 sin n t dt 
4
bn =
T 0
4 0
 2 1
2 

1 2 ∞ 1 nπ  nπ
bn = −
2
cos
nπt
=
2  nπ 
1 − cos  → f ( t ) = ∑ 1 − cos  sin
π n =1 n  2  2
nπ 2 0 nπ  2 
maka terlihat bahwa deret merupakan deret Fourir sinus.

19. Contoh :
Carilah deret Fourir dari fungsi di bawah ini :
Jawab :
Fungsi adalah gelombang ganjil setengah simetris, sehingga a0 = 0 = an
2 π 2π π
dengan periode T = 4 dan ω 0 = = = . Maka :
T 4 2
f(t) = 1 → -1 < t < 1
Maka :
T/2
nπ 4 nπ
∫ f (t ) sin nω0 t dt →
4 8
bn = b n = 2 2 sin − cos
T n π 2 nπ 2
0

20. karena sin (-x) = - sin x pada fungsi ganjil dan cos (-x) = cos x pada
fungsi genap, maka :
 8
 2 2 (−1) ( n −1) / 2 untuk n = ganjil = 1, 3, 5, ...
n π
bn = 
 4 (−1) ( n + 2) / 2 untuk n = genap = 2, 4, 6, ...
 nπ

sehingga :
∞
nπ
f ( t ) = ∑ b n sin t
n =1 2

21. 9.4 Pemakaian Pada Rangkaian Listrik
Untuk mendapatkan respons steady state rangkaian terhadap eksitasi
non-sinusoidal periodik ini diperlukan pemakaian deret Fourier,
analisis fasor ac dan prinsip superposisi.
Adapun langkah-langkah yang diperlukan diantaranya :
1. Nyatakan eksitasi dalam deret Fourier.
2. Transformasikan rangkaian dari bentuk wawasan waktu menjadi
wawasan frekuensi.
3. Cari resonse komponen dc dan ac dalam deret Fourier.
4. Jumlahkan masing-masing response secara superposisi.

22. v0
v1 cos(1ω0 t + θ1 )
v 2 cos( 2ω0 t + θ 2 )
v n cos(nω0 t + θ n )
Gambar 9.6 a) Rangkaian linier dengan sumber tegangan periodik
b) Merepresentasekan deret Fourier (wawasaan waktu)
adapun pernyataan deret Fourier-nya :
∞
v( t ) = V0 + ∑ Vn cos (nω0 t + θ n )
n =1

23. v0
v1∠θ1
Gambar 9.7 a) Respons steady state komponen dc
b) Respons steady state komponen ac (wawasan frekuensi)
v 2 ∠θ 2 ∞
i( t ) = i 0 + ∑ In cos (nω0 t + Ψn )
n =1
v n ∠θ n

24. Contoh :
Rangkaian seperti di bawah ini :
Bilamana sumber tegangan vs(t) pada rangkaian berbentuk :
1 2 ∞ 1
v s ( t ) = + ∑ sin nπt → n = 2k − 1 (*)
2 π k =1 n
Carilah v0(t).

25. Jawab :
jω n L j2nπ
V0 = Vs = Vs
R + jω n L 5 + j2nπ
V0 j2nπ  1  1
=
Vs 5 + j2nπ
→ atau : V0 
V  5 + j2nπ ( j2nπ)
=
 s 
1 1 1 1 1 1
= j2nπ → atau : Vs = =  =
 j2  nπ (− j2) = (2∠ − 90°)
Vs j2nπ nπ   nπ
j2nπ  2 
Vs =
2
nπ
∠ − 90° → V0 =  ∠ − 90° 
5 + j2nπ  nπ 
−1  2nπ 
4∠ − tan  
V0 =  5 
25 + 4n 2 π 2
dan dalam wawasan waktu :
∞
4  −1 2nπ 
V0 ( t ) = ∑ cos  nπt − tan  → untuk : n = 2k − 1
2 2
k =1 25 + 4n π  5 

26. maka dengan mensubstitusikan harga ( k = 1, 2, 3, … atau
n = 1, 3, 5,…) untuk harmonisa ganjil akan diperoleh :
V0( t ) = 0,4981 cos (1πt − 51,49°) + 0,2051 cos (3πt − 75,14°) + 0,1257 cos (5πt − 80,96°)
+ ...Volt
dan kalau digambarkan spektrum amplitudo-nya :
V0
π 2π 3π 4π 5π 6π 7π ω

27. 9.5 Daya Rata-rata dan RMS
Untuk mendapatkan harga daya rata-rata yang diserap oleh suatu
rangkaian dengan sumber suatu fungsi periodik , yaitu :
∞
v( t ) = Vdc + ∑ Vn cos (nω0 t - θ n )
n =1
∞
i( t ) = I dc + ∑ Vm cos ( mω0 t - φ m )
m=
=1
sedangkan sebagaimana diketahui bahwa daya rata-rata adalah :
1 ∞
1 T
P = ∫ vi dt
T 0
→ P = Vdc I dc + ∑ Vn I n cos (θ n - φ n )
2 n =1
harga efektif (rms) dari suatu f(t) adalah :
Frms =
1 T 2
∫0 f (t ) dt → 1 ∞
2
2 n =1
(
Frms = a 0 + ∑ a n 2 + b n 2 )
T

28. Contoh :
Rangkaian seperti di bawah ini :
Carilah daya rata-rata yang diberikan oleh sumber ke rangkaian
bilamana :
i( t ) = 2 + 10 cos( t + 10°) + 6 cos(3t + 35°) A
dan cari pula Vrms.

29. Jawab :
Impedansi rangkaian :
 1   10 
10
 j2ω   j2ω 
 
Z=
R.X C
=   =   = 10
R + XC  1  j20ω + 1 1 + j20ω
10 + 
 j2ω 
  j2ω
maka :
10 10.I 10.I 10.I
V = I.Z = I. = = =
1 + j20ω 1 + j20ω 20ω
12 + (20ω) 2 ∠ tan −1 1 + 400ω 2 ∠ tan −1 20ω
1
untuk komponen dc (ω = 0) :
→
10( 2)
I=2A V= = 20 v
2 −1
1 + 400(0) ∠ tan 20(0)
untuk ω = 1 rad/det, maka :
10(10∠10°) 100∠10°
I = 10∠10° → dan V = = = 5∠ − 77,14°
1 + 400(1) 2 ∠ tan −1 20(1) 20∠87,14°
untuk ω = 3 rad/det, maka :
10(6∠35°) 60∠35°
I = 6∠35° → dan V = = = 1∠ − 54,04°
1 + 400(3) 2 ∠ tan −1 20(3) 60∠89,04°

30. sehingga dalam wawasan waktu :
v( t ) = 20 + 5 cos( t − 77,14°) + 1 cos(3t − 54,04°) V
Adapun daya rata-rata dapat dihitung dengan :
1 ∞
P = Vdc I dc + ∑ Vn I n cos (θ n - φ n )
2 n =1
1 1
P = 20(2) + (5)(10) cos [77,14° − ( −10°)] + (1)(6) cos [54,04° − (−35°)]
2 2
P = 40 + 1,247 + 0,05 = 41,297 W
cara lain :
2
Vdc 2 1 ∞ Vn 20 2 1 5 2 1 12
P= + ∑ = + + = 40 + 1,25 + 0,06 = 41,30 W
R 2 n =1 R 10 2 10 2 10

31. Contoh :
Suatu tegangan diekspresikan dengan :
v( t ) = 1 − 1,414 cos( t + 45°) + 0,8944 cos(2 t + 63,45°) − 0,6345 cos(3t + 71,56°) +
− 0,4851 cos(4t + 78,7°) + ...
carilah harga rms dari tegangan ini.
Jawab :
Dengan menggunakan :
1 ∞
Frms = a 0 + ∑ A n 2
2
2 n =1
maka :
Vrms = 12 +
1
2
[ ]
(−1,414) 2 + (0,8944) 2 + (−0,6345) 2 + (−0,4851) 2 = 1,649 V

32. 9.6 Bentuk Eksponensial Deret Fourier
∞
f (t) = ∑ cne jnω o t → 1 T
c n = ∫ f ( t ) e − jnω o t dt
T 0
n = −∞
Untuk mendapatkan harga rms
∞
a n 2 + bn 2
Frms = a 0 + ∑
2
n =1
2
Karena :
2
a n + bn 2
dan c02 = a 02
cn =
2
∞
Maka :
Frms = c 0 + 2 ∑ c n
2 2
n =1

33. Contoh :
Carilah bentuk eksponensial deret Fourier dari :
f ( t ) = e t ; 0 < t < 2π dengan : f ( t + 2π) = f ( t )
Jawab :
2π
Karena T = 2π → maka ω0 = =1
T
maka :
2π
1 T
c n = ∫ f (t) e
T 0
− jnω o t
dt =
1 2π t − jnt
2π ∫0 e e dt → cn =
1 1
2π 1 − jn
e (1− jn ) t
0
cn =
1
2π(1 − jn )
[
e 2π e − j2πn − 1 ]→ e − j2πn = cos 2πn − j sin 2πn = 1 − j0 = 1
cn =
1
2π(1 − jn )
[ ]
e 2π − 1 =
85,51
(1 − jn )
∞
85,51 jnt
sehingga deret Fourier-nya : f (t) = ∑ (1 − jn )e
−∞