1. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE 2.º GRAU RECORRENDO À FOLHA DE
CÁLCULO
Fernando Luís Santos(*)
Escola Superior de Educação Jean Piaget, Almada
fsantos@almada.ipiaget.org
António Domingos(*)
Faculdade de Ciência e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa
amdd@fct.unl.pt
(*) UIED – Unidade de Investigação em Educação e Desenvolvimento
Resumo
No âmbito de um estudo sobre a implementação de um currículo e de
metodologias de ensino e aprendizagem da matemática num curso de formação inicial
de professores, tendo como pressuposto teórico as teorias sobre o Pensamento
Matemático Avançado (PMA), desenvolveu-se uma tarefa com 60 alunos de um curso
de Educação Básica (EB) sobre equações de 2.º grau recorrendo à folha de cálculo e ao
GeoGebra, a ser entregue num fórum específico na plataforma institucional de ensino a
distância.
A engenharia didáctica, utilizada como metodologia de investigação
caracterizou-se como um esquema experimental baseado nas tarefas realizadas.
Os resultados mostram que apesar de somente 50% dos estudantes terem
concluído a tarefa (que decorreu durante uma semana) estes desenvolveram graus de
autonomia e de pro-actividade em tarefas posteriores, recorrendo a estas ferramentas
para promover tarefas de experimentação matemática dos conceitos desenvolvidos até
ao final da Unidade Curricular (UC).
Palavras-chave: Aprendizagem autónoma, experimentação matemática, formação de
professores, pensamento matemático avançado.
Introdução
O ensino da matemática na formação inicial de professores assume como
objectivos fundamentais: suportar o conhecimento matemático e desenvolver o sentido
didáctico e criativo pelo desenvolvimento do seu pensamento matemático adquirindo
uma compreensão matemática mais profunda dos conceitos a ensinar.
Juntamente com os desafios que o Processo de Bolonha trouxe ao Ensino
Superior em Portugal existe uma crescente preocupação com a educação em ciência,
tecnologia e matemática expressa pelos responsáveis políticos e com resultados menos
satisfatórios em alguns relatórios internacionais (Ramalho, 2002, GAVE-ME, 2004,
Pinto-Ferreira, 2007). Pretende-se assim desenvolver actividades que permitam
identificar aprendizagens e estratégias de ensino e aprendizagem matemática.

2. A experiência empírica mostra que muitos estudantes têm dificuldade na
aprendizagem dos conceitos teóricos, adquirindo sobretudo rotinas de memorização e
mecanização de procedimentos. As razões principais podem prender-se com a
dificuldade na abstracção dos conceitos, a apresentação formal das ideias matemáticas e
a dificuldade em acompanhar os raciocínios dedutivos que as demonstrações exigem
(Tsvigu, 2007). Para tentar lidar com este problema foram desenvolvidas metodologias
de ensino e de aprendizagem baseadas na teoria do PMA e na aprendizagem auto-
regulada (AA-r). Neste artigo descreve-se o caso das equações de 2.º grau recorrendo a
ferramentas computacionais tais como a folha de cálculo e o GeoGebra.
As tarefas foram aplicadas no âmbito da UC de Matemática II do currículo do
1.º Ciclo de EB (Licenciatura) de uma Instituição de Ensino Superior na zona da Grande
Lisboa. Para além de 2 sessões presenciais de 2 horas (uma onde se introduzia o tema e
outra onde se explicou a utilização das ferramentas), foram disponibilizados
apontamentos e vídeos explicativos na página da UC na Moodle. Desta forma podem
esclarecer dúvidas de modo autónomo estando a plataforma disponível a qualquer
altura, promovendo assim a AA-r. Juntamente com este material foram preparados
alguns exercícios que foram distribuídos como um trabalho a desenvolver e entregue
online.
Enquadramento do estudo
Investigações anteriores e correntes têm-se centrado no ensino e na
aprendizagem da matemática e não tanto no conhecimento conceptual do professor. Os
estudos sobre este tópico têm evidenciado preocupações pois este tipo de conhecimento
matemático não está presente em muitos professores (Veloso, 2004). Muitos
investigadores têm escrito sobre os problemas na compreensão e na utilização de teorias
matemáticas, principalmente de teoremas, na passagem para o nível da matemática
formal (Leron citado por Abramovitz et al, 2007) utilizando os teoremas como fórmulas
mágicas a ser memorizadas e utilizadas na resolução de problemas juntamente com um
conjunto de regras de procedimento e algoritmos.
Considerando uma conjugação de factores (que envolve as alterações a nível da
formação de professores, os resultados de estudos internacionais e um novo programa
para o Ensino Básico) elaborou-se um currículo de matemática para a formação inicial
de professores combinando três níveis de intervenção: (i) uma formação matemática
sólida para todos os níveis da EB (pré-escolar, 1.º e 2.º ciclos); (ii) uma aprendizagem
das conexões entre os actos de conhecer e de ensinar matemática e (iii) promoção de
competências tecnológicas em ambientes educativos.

3. Argumenta-se que o currículo deve fornecer uma matriz matemática
suficientemente forte e flexível para que possam manipular e criar condições para que
aprendam matemática com base nos 3 problemas que enfrenta a educação matemática:
identificar conteúdos relevantes; entender como o conhecimento deve ser aprendido e o
que é necessário para ensinar conceitos matemáticos. Torna-se então necessário que as
estratégias pedagógicas e didácticas na área de matemática os encorajem a assumir um
papel activo no seu processo de aprendizagem. Gertek citado por Joffrion (2010)
explica que o conceito de experiência enquanto interacção do sujeito com o seu
ambiente reflecte a crença do construtivismo pois o currículo deve ser relevante vendo a
aprendizagem pela prática como factor crucial.
O pensamento matemático avançado (PMA)
Em 1988 Tall argumentou que o PMA podia ser interpretado de duas formas
distintas: Pensamento relacionado com a matemática avançada ou, formas avançadas de
pensamento matemático. Mas, o que é o PMA? Desde que o termo foi introduzido que
tem existido discussão sobre o mesmo, alguns autores apontam as diferenças cognitivas
entre os estudantes do ensino secundário e o início do ensino superior até os defensores
dos conflitos cognitivos inerentes aos modos diferentes de pensamento, o que pode
acontecer em qualquer idade, e com qualquer conteúdo matemático.
Segundo Leikin et al (2010) o grupo do PMA do CERME (Congress of the
European Society for Research in Mathematics Education) abordou a discussão sob
duas perspectivas: Uma centrada na matemática considerando-se as relações com os
conteúdos e conceitos matemáticos apresentando investigações sobre aquisições
conceptuais, técnicas de prova e demonstração, resolução de problemas, técnicas de
ensino e processos de abstracção, outra centrada no pensamento onde as investigações
se focam nos estudantes com grande potencial em matemática relacionando diferentes
grupos com conteúdos de matemática avançada.
Aprender matemática significa participar em diferentes tipos de práticas
matemáticas, uma forma de explicar as variações entre cada prática pode ser vista
através de definições de Tall (2002) sobre o PMA e o pensamento matemático
elementar (PME) partindo do problema identificado por Dreyfus (Tall, 2002) como o
ciclo de generalização → síntese → abstracção considerado fundamental no
desenvolvimento de conceitos matemáticos avançados ou complexos.
Estas diferenças também são trabalhadas por Dubinsky (Tall, 2002) quando se
aborda a dualidade da abstracção entre empírica e reflexiva mais tarde caracterizada
pela teoria APOS (Edwards, Dubinsky & McDonald, 2005).

4. A educação matemática vista pela sua vertente mais restrita, a didáctica da
matemática é uma área aplicada em que as margens entre o trabalho científico e a
prática construtivista é, no mínimo, ténue. Para Winkelmann (Biehler, Scholz, Sträßer
& Winkelmann, 1994) as reflexões e/ou melhoramentos no processo de
desenvolvimento curricular em matemática servem como ponte para os vários grupos
envolvidos na educação matemática.
A tradução de conceitos, seus princípios, técnicas e métodos de pensamento do
ponto de vista do matemático para o ponto de vista do professor de matemática
envolvem pelo menos 2 factores importantes: a escolha dos conceitos matemáticos a
ensinar e a forma como os ensinar. Para futuros professores estas questões são ainda
mais empoladas de modo a que estas experiências de aprendizagem sejam mais
envolventes e efectivas também na área do conhecimento sobre como os alunos
aprendem matemática.
Tall (1981, 1995, 2002) descreve o PMA com base em 2 componentes - a
especificação dos conceitos por definições matemáticas precisas e as deduções lógicas
de teoremas salientando que a formalização e sistematização dos conceitos matemáticos
é a etapa final do pensamento matemático mas não a actividade completa. Edwards et al
(2005) centram-se na definição do fenómeno que parece ocorrer durante a experiência
matemática quando estes relacionam conceitos abstractos e demonstrações dedutivas,
reconhecendo que as estruturas mentais que garantiam sucesso académico já não
resultam, ligando assim o conceito de PMA a este período de transição.
Rassmussen et al (2005) propõem uma abordagem alternativa ao PMA em que
utilizam a expressão advancing mathematical activity (no original) que foi traduzida
para tarefas de pensamento matemático avançado justificando a expressão dirigida para
o processo total e não para a parte final do processo referida por Tall, esta
caracterização tem um enfoque especial nas práticas matemáticas importantes e nas
diferentes abordagens práticas a essa actividades reflectindo a caracterização do
pensamento matemático como um acto de participação nas diferentes práticas
matemáticas. A utilização de símbolos, de algoritmos e de tarefas representam, sem
serem exaustivas, um núcleo útil de práticas transversais a todos os domínios da
matemática.
Para isso é necessário fazer a ponte entre a AA-r (Wolters, 2010) e o
desenvolvimento de competências de aprendizagem da matemática ligando aspectos
didácticos e pedagógicos à utilização de ambientes educativos potenciados
tecnologicamente. Argumenta-se que é possível por intermédio de ferramentas
computacionais encontrem potenciais conteúdos matemáticos e que pela

5. experimentação obtenham benefícios para o pensamento matemático, baseado na
familiarização para desenvolver ideias matemáticas.
A folha de cálculo e o GeoGebra
Quando criou o VisiCalc, Bricklin nunca esperava que as folhas de cálculo
tivessem tantas formas de utilização, de uma mera ferramenta para contabilidade a folha
de cálculo tem ganho visibilidade no ensino e na aprendizagem (Baker & Sugden,
2003). Para Abramovich & Brantlinger (1998) uma das vantagens da modelação
matemática é a possibilidade dos estudantes explorarem conceitos matemáticos
mediados por ferramentas computacionais em ambientes alternativos, neste caso a folha
de cálculo e o GeoGebra que segundo Laborde (2010) assumem um papel essencial
pelas suas características específicas de visualização, nomeadamente de expressões
algébricas pois estas estão interligadas.
Metodologia
O objectivo deste estudo é identificar características inerentes à resolução de
tarefas com equações de 2.º grau recorrendo à folha de cálculo e ao GeoGebra de forma
a promover a experimentação matemática.
Utilizou-se a engenharia didáctica (ED) (Brun, 2000) enquanto metodologia de
investigação, caracterizada por um esquema experimental baseado na concepção,
realização, observação e análise de tarefas matemáticas. No caso deste estudo, visto ser
limitado no tempo a uma tarefa, optou-se pelo nível da micro-engenharia.
Para Turingam e Yang (2009) a AA-r descreve um reportório de estratégias para
ultrapassar os desafios que são colocados, espera-se que durante o processo estes se
tornem mais pro-activos e procurem oportunidades de obter novas aprendizagens. Neste
sentido, esta metodologia de ensino e de aprendizagem pretende envolvê-los num
conjunto de actividades de PMA na óptica das sugestões de Rasmussen et al (2005).
Assumindo que as tarefas podem ser descritas pelo modelo da AA-r sugerido
por Pintrich (Wolters, 2010) como construtoras activas, asseguram-se as seguintes 4
fases: (i) antecipação enquanto planificação e estabelecimento de objectivos bem como
o reconhecimento de conhecimentos anteriores; (ii) monitorização enquanto se mantêm
registo dos progressos; (iii) a utilização da gestão dos conteúdos e a regulação das
várias estratégias de aprendizagem para completar a tarefa e (iv) reflexão, geração de
conhecimento a nível do PMA, nomeadamente a extensão do problema e sua
generalização.

6. Participantes
Os participantes foram 60 estudantes do 2.º ano do 1.º ciclo da EB a frequentar a
UC de Matemática II durante o 2.º semestre de 2011. Estes têm formações (antes do
ensino superior) muito diversas onde a maioria não tem contacto com a disciplina desde
o 9.º ano de escolaridade e tendo frequentado a UC de Matemática I cujos conteúdos
versaram sobre cálculo proposicional, teoria de conjuntos e aritmética racional.
O material de aprendizagem
Uma grande parte dos instrumentos utilizados recorre a exemplos considerados
tradicionais (exercícios de papel e lápis), vídeos explicativos e tutoria recorrendo às
várias ferramentas disponíveis na Moodle definindo à partida qual o trabalho a
desenvolver e os objectivos pretendidos. De acordo com o modelo, o material fornecido
por intermédio da Moodle é um complemento das aulas presenciais (teóricas e práticas)
leccionado a distância.
No caso apresentado a tarefa e o trabalho foi introduzido nas aulas práticas na
semana anterior à aula teórica sobre o mesmo tópico. Compreendeu 3 tipos de material:
(i) documento explicativo sobre a resolução de equações de 2.º grau com exercícios; (ii)
vídeo a explicar a resolução de equações de 2.º grau; (iii) 2 vídeos a explicar a utilização
da folha de cálculo e do GeoGebra.
O documento abordava a noção do que é uma equação de 2.º grau e explicava os
procedimentos de resolução com exemplos de exercícios resolvidos contemplando as
várias possibilidade de resultados no conjunto R. O primeiro vídeo tem a mesma
estrutura do documento explicativo dos procedimentos. Os segundos vídeos explicam a
introdução de fórmulas nas células de uma folha de cálculo com exemplos da colocação
de equações e exploração das mesmas, e a introdução das equações na secção de álgebra
do GeoGebra e posterior visualização do gráfico respectivo.
Das 10 equações apresentadas, 5 eram impossíveis em R, 2 eram possíveis com
zeros naturais, 1 era possível com um só zero (natural), 1 era possível com dois zeros
fraccionários e uma era possível com um zero natural e outro fraccionário. Estas secções
representam a fase da concepção à luz da ED.
A tarefa desenvolvida
Na 2.ª fase da ED (realização) solicitou-se a escolha de uma de 10 equações de
2.º grau disponibilizadas e posterior exploração recorrendo à folha de cálculo,
pretendia-se a analise da equação escolhida e a sua separação nas parcelas
correspondentes às várias partes da equação conforme a figura seguinte:

7. Figura 1. Processo de transformação de uma equação de 2.º grau na forma canónica para uma
tabela na folha de cálculo.
Este processo permite a exploração de vários valores de x e, ao mesmo tempo,
fornece informações de como a equação se altera consoante os valores introduzidos.
Nesta parte da tarefa pretendeu-se a experimentação das alterações e/ou regularidades
dos resultados e/ou dos parâmetros da equação de uma forma meramente numérica,
para, na segunda parte da tarefa explorarem a mesma equação no GeoGebra permitindo
a verificação gráfica da evolução da equação, aferida com os valores da folha de
cálculo. A tarefa após concluída (ficheiro de folha de cálculo e ficheiro do GeoGebra)
foi entregue no espaço de fórum de partilha na Moodle como forma dos restantes
colegas com dúvidas pudessem questionar e/ou aprofundar a sua aprendizagem
promovendo assim a noção de comunidade de prática (CoP) onde as tarefas são
partilhadas por todos.
Era esperado, que, durante a tarefa, os estudantes se apercebessem das relações
entre os vários termos da equação e a forma como os parâmetros se alteram quando se
alteram os valores da mesma. Pretendia-se que após a visualização numérica e
algébrica/geométrica a percepção/compreensão que têm das equações fosse mais
consistente com o que se espera de um futuro professor.
Resultados
Da observação e análise dos resultados (duas últimas fases da ED) realizado até
à data limite de entrega (1 semana) a percentagem de respostas foi de 50%, ou seja só
30 entregaram o trabalho completo, foram entregues mais 3 trabalhos que não foram
contabilizados pois os ficheiros entregues não continham as fórmulas de cálculo (um
dos trabalhos estava mesmo em formato PDF), o terceiro estava incompleto (faltava o
ficheiro do GeoGebra).
Um dos dados que se verifica pela análise das equações escolhidas é apresentado
na seguinte tabela:

8. Tabela 1. Estatística descritiva das respostas obtidas em cada equação.
Equação N.º de respostas % de respostas
3x2 +x− 4= 0 2 6,67
x² − 5x− 6= 0 16 53,33
2 x²+6 x+5= 0 4 13,33
4 x²+2 x+2= 0 1 3,33
− 3 x²+ 5x− 8= 0 0 0
− 5 x²+ 3x− 3= 0 0 0
x²=4x− 4 5 16,67
9 x²+3 x=− 2 0 0
− 2= − 2 x²− 3x 1 3,33
x²+x− 1= 0 1 3,33
Total 30 100
Pela análise da tabela, a 2.ª equação destaca-se com 53%, este valor pode ser
justificado pelo facto dos resultados serem colocado em fórum público e ter ocorrido
um fenómeno de repetição pela visualização dos trabalhos dos colegas, bem como a
entreajuda existente (evidências de criação de uma CoP), como se verifica na figura 2.
Figura 2. Exemplo retirado do fórum onde um dos estudantes ajuda outro, antes da intervenção
do professor.

9. A participação no fórum foi relativamente elevada tendo em conta o resto da
UC, com um conjunto de dúvidas sobre a inserção de fórmulas na folha de cálculo, bem
como dos que escolheram as equações sem zeros como se verifica na figura 3.
Figura 3. Exemplo retirado do fórum sobre dúvidas na inserção de fórmulas.
De acordo com uma análise aos conteúdos das participações no fórum existe a
tendência de alguns estudantes para atingirem o quarto nível da AA-r, ou seja a tentativa
de extensão para tarefas semelhantes tal como em 4 dos 30 trabalhos entregues terem
surgido evidências de tentativas de generalização dos conceitos envolvidos (estudantes
que tentaram resolver mais do que uma das equações para verificar se o processo se
poderia replicar), como se verifica pelas figuras 4 e 5.
Figura 4. Folha de cálculo com a resolução de mais de uma equação.

10. Figura 5. GeoGebra com mais de uma equação.
Esta conclusões precisam de ser validadas recorrendo a outros instrumentos de
pesquisa, tais como entrevistas para comprovar esta hipótese.
Considerações finais e futuros desenvolvimentos
Torna-se importante salientar que os estudantes não estavam familiarizados com
a utilização das fórmulas na folha de cálculo, e muitos iniciaram a sua utilização
imediatamente antes desta tarefa, pela análise ao conteúdo das conversações nos fóruns
as questões prendiam-se mais sobre a inserção de fórmulas, do que sobre a tarefa em si.
A abordagem que fizeram partiu da experimentação das equações que estavam
mais familiarizados como se pode constatar pela escolha das equações que tinham sido
mais trabalhadas em aula (67% com 2 zeros), os restantes participaram mais nos fóruns
e exploraram o facto das equações escolhidas terem 1 só zero ou nenhum zero o que
implicou uma constante verificação dos resultados obtidos (na folha de cálculo e no
GeoGebra) o que evidencia alguma tentativa de passar da exploração dos dados
numéricos para uma compreensão do conceito (abordando assim o PMA) na linha do
ciclo identificado por Dreyfus, ou mesmo pela generalização reflexiva da teoria APOS,
estas impressões finais carecem de validação, necessitando de uma análise mais
profunda.

11. Após esta tarefa o grupo tornou-se mais activo nas tarefas seguintes,
nomeadamente com o estudo das funções e estas tarefas utilizando a folha de cálculo e o
GeoGebra fomentaram a experimentação em matemática num ambiente ideal para
desenvolver essa mesma tarefa tal como enunciado por Wolters (2010).
Indícios desta postura investigativa por parte dos estudantes foram evidenciadas
pelo tempo investido na prova e demonstração de que as suas conjecturas estão
correctas. Esta actividade aponta para a necessidade de envolver mais os estudantes
neste ambiente investigativo, mas é necessário mais trabalho de forma a flexibilizar e
integrar estas actividades não só na realidade da experiência matemática de futuros
professores, mas que estes transportem essas experiências para a sua prática
profissional.
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