Estadistica aplicada camiri

ESTADÍSTICA APLICADA
16/02/2013 al 03/03/2013
Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris
Mgs. En Educación Superior
martinezsolaris@cotas.com.bo
fmartinezsolaris cuenta en skype
http://www.docstoc.com/docs/23902993/APUNTES-DE-
ESTADISTICA-APLICADA-2010
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA
“GABRIEL RENÉ MORENO”
FACULTAD INTEGRAL DEL CHACO
UNIDAD DE POSTGRADO

ESTADISTICA
Nociones Generales
Programa a Desarrollar

ESTADISTICA APLICADA
¿Por qué se tiene que estudiar
Estadística?

POR QUÉ ESTUDIAR ESTADÍSTICA
• Porque los datos estadísticos y las conclusiones obtenidas
aplicando metodología estadística ejercen una profunda
influencia en casi todos los campos de la actividad humana.
• Este crecimiento, probablemente relacionado con el interés
por aumentar la credibilidad y confiabilidad de las
investigaciones, no garantiza que en todos los casos la
metodología estadística haya sido correctamente utilizada,
o peor aún, que sea válida.
4

5
• Se ha demostrado estadísticamente que el mayor porcentaje de
las ventas de automóviles se registran en el primer trimestre del
año.
• La explotación de petróleo crudo en el último trimestre del año de
1993 ascendió a 285 millones de barriles, cuyo producto fue de
3698 millones de dólares.
• Estadísticamente se ha demostrado que el huevo produce el
colesterol en las personas que consumen mucho este producto.
• Se ha comprobado estadísticamente, que la pasta dental de mayor
aceptación por el público es la que produce la fábrica Colgate-
Palmolive.

• Todos los puntos expuestos anteriormente indican que la
Estadística es una herramienta que ayuda a conocer la
realidad. Sin embargo, también puede servir para
distorsionar la verdad si no se tiene cuidado al usar los
métodos estadísticos adecuadamente y si la interpretación
de los resultados lo hacen incorrectamente.
• La mayor parte toma decisiones con información parcial.
6

7
Según Mark Twain hay tres
clases de mentiras:
• La mentira
• La maldita mentira
• Las Estadísticas

•Necesidad de medir un fenómeno o de explotar una
información “estadística”
•Tabulación de los resultados
•Introducción de los datos en el software
•Validación de los datos
•Definición de los meta-datos
•Generación de nuevas variables derivadas
•Primeros estadísticos de resumen
•Selección de la técnica de análisis
•Procesamiento e interpretación de resultados
•Informe de resultados
FASES DE UN ESTUDIO ESTADÍSTICO

ESTADÍSTICA
DESCRIPTIVA
PROPOSITO
METODOS
INFERENCIAL
PROPOSITO
METODO
• TABULARES
• GRAFICOS
• NUMERICOS
PROBABILISTICO
¿Qué es?...
Nociones Generales
Características

Ciencia encargada de la Recolección,
Manipulación, Organización y
Presentación de información de
manera tal que ésta tenga una
Confiabilidad determinada
Nociones Generales

Población
N
Parámetros
µ, σ2, p,
etc
Muestra
n=?
Estadísticos
Estadígrafos
Deducción
TECNICAS DE
MUESTREO
INFERENCIA
ESTIMACION
Nociones Generales
CENSO
MUESTREO

Nociones Generales
MUESTRA Tipos
Probabilística
No Probabilística
Azar
Arbitraria
MUESTREO
Probabilístico
No
Probabilístico
MAS, MAP y MAE

POBLACION
Nociones Generales (Búsqueda de Información)
MUESTRA
Atributo (Información)
Variable
Cambiar
• Nombre
• Definición
• Rango de Valores
• Clasificación
Elementos
Tipos
Cualitativas
Cuantitativas
Categorías
Discretas
Continuas

Nociones Generales (Búsqueda de información)
Variable
• Nombre
• Definición
• Rango de Valores
• Clasificación
Elementos
Medirse
Escalas de
Medición
Nominal
De Razón
+
Ordinal
De Intervalo

Métodos Tabulares
DESCRIPTIVA
METODOS
TABULARES
Sea X y Y dos variables y sea x1, x2, … xn y
y1, y2, … yn, valores que toman las variables
X y Y, y sean “a” y “b” dos constantes.
Entonces:
Sumatoria
Propiedades
x1 + x2 + x3 + …xn y1 + y2 + y3 + …yn

n
i
yi
1

n
i
xi
1

Propiedades de Sumatoria

Métodos Tabulares/Ordenamiento
17
18
18
16
21
15
17
19
20
18
16
18
Edad (años)
Ordenándolo
15
16
16
17
17
18
18
18
18
19
20
21
Edad (años)
Valores
extremos
Valores mas
frecuente
Valores
extremos
Desventaja

Cuadro de Frecuencia
Edad
(años)
fi fr Fia Fra
15 1 8.3 1 8.3
16 2 16.7 3 25.0
17 2 16.7 5 41.7
18 4 33.3 9 75.0
19 1 8.3 10 83.3
20 1 8.3 11 91.7
21 1 8.3 12 100
Total 12 100
Cuadros de
Frecuencia

Lugar de realización del
Diplomado
n %
Extranjero 19 13.87
Universidad Objeto de Estudio 87 63.50
Otras universidades bolivianas 31 22.63
Total 137 100

67.7 39.2 52.5 42.3 69.8 61.2
63.9 37.2 45.7 41.7 69.1 55.5
64.9 38.9 52.4 41.9 69.2 58.9
68.3 39.2 52.6 42.7 70.0 61.9
68.3 39.2 53.3 45.5 70.1 63.2
Cuadro de
Frecuencia
La Estadística ofrece otra
alternativa Tablas de Frecuencias
Absolutas y Relativas

Tabla de Frecuencia Absoluta y Relativa
Procedimiento
Definir el Número de
Intervalos
K = 1 + 3.33* log n
≥ 5 ó ≤ 20 ó 25
Sturges
Tipo de Intervalos
(Li - LS]
Ac = A/k
A = Valor Máx.- Valor Mín.
Ac = Ajustada
MD = (RI – A)/2
RI = Ac*K > A
Construir la Tabla

Tabla de Frecuencia
Intervalos de Clases PMC fi fr Fia Fra
37.1 a 42.6 39.85 8 0.27 8 0.27
42.6 a 48.1 45.35 3 0.10 11 0.37
48.1 a 53.6 50.85 4 0.13 15 0.50
53.6 a 59.1 56.35 2 0.07 17 0.57
59.1 a 64.6 61.85 4 0.13 21 0.70
64.6 a 70.1 67.35 9 0.30 30 1
30 1

Métodos Gráficos
Métodos Gráficos Clásicos
Diagrama de Puntos
Histograma
Polígono de Frecuencias
Ojiva
Diagrama de Sectores

Diagrama de Puntos
15 16 17 18 19 20 21
Edad (años)

Histograma

Polígono de Frecuencias

137-------360
19 ------- x
(19*360)
X= = 49.9
137
Lugar de realización de estudios
Postgraduales
fi Grados
Extranjero 19 49.927
Universidad de Interés 87 228.613
Otras universidades bolivianas 31 81.460
Total 137 360

Métodos Numéricos
Cuando se desea comparar dos o más
poblaciones o bien muestras, y si las
variables de interés son de carácter
numérico …
Los métodos tabulares no son los más
recomendables
La Estadística oferta otra herramienta
llamada Métodos Numéricos

Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Medidas de Tendencia
Central
Medidas de Dispersión
Localizan el centro de
una base de datos
numérica
Cuantifican cuánto se
dispersan los datos
alrededor de una medida
de tendencia central

Medidas de Tendencia Central
Medidas de Tendencia
Central
Promedio
Moda
Media Ponderada
Mediana

Medidas de Tendencia Central/Promedio
Promedio
Población
Muestra
Media µ
Poblacional
Es la sumatoria de las observaciones que
toma una variable dividido entre el total de
éstas
Se interpreta como el punto de equilibrio de
una base de datos numéricas
Media Muestral x

Tiempo
(minutos)
52.6
38.9
68.3
67.2
63.9
64.9
68.3
39.2
42.3
61.9
567.5
56.75
Suma
Promedio
Desviaciones
-4.15
-17.85
11.55
10.45
7.15
8.15
11.55
-17.55
-14.45
5.15
0
Suma
Propiedad
  0
1




n
i
x
xi
 
x
xi 

Media en datos tabulados
Si la tabla no presenta clases abierta es
posible hacer una estimación de la media
tomando en cuenta lo siguiente:
• PMC es el promedio de las observaciones de las
observaciones que caben dentro del intervalos.
• PMC*fi proporciona una estimación de la suma de las
observaciones que caben en el intervalo y como una tabla
tiene k-ésimo intervalos entonces:

Intervalos
de Clases
PMC fi
37.1 a 42.6 39.85 8
42.6 a 48.1 45.35 3
48.1 a 53.6 50.85 4
53.6 a 59.1 56.35 2
59.1 a 64.6 61.85 4
64.6 a 70.1 67.35 9
30
PMC*fi
318.8
136.05
203.4
112.7
247.4
606.15
1624.5
1624.5
= = 54.15
30
x

Cargo fi Salario
Rector 1 2000
Asesores 2 1200
Vic. Académico 1 1150
Vic. Administrativo 1 1250
Jefe de Carrera C.S 2 1000
Jefe de Carrera 5 800
Administrativo 2 600
Secretarias 9 120
Cuando los datos tienen diferente peso dentro de la
base de datos, si desea obtener el promedio, la media
aritmética no es la más indicada

Cargo fi (wi)
Salario
(xi)
Rector 1 2000
Asesores 2 1200
Vic. Académico 1 1150
Vic. Administrativo 1 1250
Jefe de Carrera C.S 2 1000
Jefe de Carrera 5 800
Administrativo 2 600
Secretarias 9 120
Xiwi
2000
2400
1150
1250
2000
4000
1200
1080
15080
15080
= = 655.65
23
w
x

Mediana (Me)
Datos sin tabular
Datos tabulados
Si los datos no se distribuyen
simétricamente (curva simétrica) el
promedio no es la mejor medida para
localizar el centro de los mismos
(b-a)(0.5- c)
Me = a +
d
Me = xn/2 + 0.5
Impar
•Ordenar
Par
n
Me = (xn/2 + x n/2 + 1 )/2

Tiempo
(minutos)
39.2
38.9
52.6
42.3
61.9
63.9
68.3
67.2
64.9
Tiempo
(minutos)
38.9
39.2
42.3
52.6
61.9
63.9
64.9
67.2
68.3
n es impar
Me
Me = xn/2 + 0.5

Tiempo
(minutos)
38.9
39.2
42.3
52.6
61.9
63.9
64.9
67.2
68.3
68.3
Tiempo
(minutos)
38.9
39.2
42.3
52.6
61.9
63.9
64.9
67.2
68.3
68.3
n es par
Me = (xn/2 + x n/2 + 1 )/2
61.9 + 63.9
Me = = 62.9
2
62.9
Mediana es aquella medida de
tendencia central que antes y
después de ella no existe más
del 50% de la información

(b-a)(0.5- c)
Me = a +
d
a = Límite inferior de la
clase de la Me
b = Límite superior de la clase
de la Me
c = Fra una clase antes de la
clase de la Me (Nj-1)
d = fr de la clase de la Me
Clase de la Mediana
• Complete la columna Fia
• Localice la menor Fia > n/2
• La clase a la que pertenece
esta frecuencia es la clase
de la mediana (Nj)
• La Clase antes de Nj es Nj -1

Intervalos
de Clases
PMC fi fr Fia Fra
37.1 a 42.6 39.85 8 0.27 8 0.27
42.6 a 48.1 45.35 3 0.10 11 0.37
48.1 a 53.6 50.85 4 0.13 15 0.50
53.6 a 59.1 56.35 2 0.07 17 0.57
59.1 a 64.6 61.85 4 0.13 21 0.70
64.6 a 70.1 67.35 9 0.30 30 1
(b-a)(0.5- c)
Me = a +
d
a = Límite inferior de la
clase de la Me
b = Límite superior de la clase de
la Me
c = Fra una clase antes de la
clase de la Me (Nj-1)
d = fr de la clase de la Me
n = 30
n/2 = 15
Nj = 17… (53.6 – 59.1)
Nj- 1 = (48.1 – 53.6)
(59.1-53.6)(0.5- 0.5)
Me = 53.6 + = 53.6
0.07
Ubicación de la
clase de la Me

Connotancia de Moda (Mo)
en Estadística
En caso de existir es la
(s) observación (nes) que
más se repiten en una
base de datos
Tiempo
(minutos)
38.9
39.2
42.3
52.6
61.9
63.9
64.9
67.2
68.3
68.3
Distribuciones:
Unimodales
Bimodales
Etc.
Mo

(ficmo- ficpremo)
Mo = Licmo + Acmo
(ficmo-ficpremo) + (ficmo – ficpostmo)
Donde:
Licmo: Límite inferior de la Clase Modal
Acmo: Ancho de clase de la Clase Modal
Ficmo: Frecuencia absoluta de la Clase Modal
Ficpremo: Frecuencia absoluta de la Clase Premodal
Ficpostmo: Frecuencia absoluta de la Clase Postmodal
Clase Modal es la (s) que tiene(n) la mayor (es) fi

Intervalos
de Clases
PMC fi
37.1 a 42.6 39.85 8
42.6 a 48.1 45.35 3
48.1 a 53.6 50.85 4
53.6 a 59.1 56.35 2
59.1 a 64.6 61.85 4
64.6 a 70.1 67.35 9
(ficmo- ficpremo)
Mo = Licmo + Acmo
(ficmo-ficpremo) + (ficmo – ficpostmo)
(9 - 4)
Mo = 64.6 + 5.5 = 66.56
(9 - 4) + (9 – 0)

Rango/Distancia/Amplitud o Recorrido
Varianza (Variancia)
Desviación Típica o Estándar
Coeficiente de Variación
Una medida de tendencia central por si sola no es tan
importante. Por esta razón debe estar acompañada de una
medida de dispersión

Rango Rango = Valor Máximo – Valor Mínimo
Varianza
Población ( σ²)
Muestra (S²)
Es el promedio de las desviaciones al
cuadrado de las observaciones que
toma una variable respecto a su media
 
2
1
2
N
xi
N
i






xi (Desviaciones)2
52.6 17.2225
38.9 318.6225
68.3 133.4025
67.2 109.2025
63.9 51.1225
64.9 66.4225
68.3 133.4025
39.2 308.0025
42.3 208.8025
61.9 26.5225
Sumatoria 567.5 1372.725
Promedio 56.75
1372.725
S² = = 152.525mi²/est²
10 - 1
Desventaja
Desviación Típica S = √S²
S = √152.525 = 12.35 min/est
Interpretación x ± S
56.75 ± 12.35 min/est.

Intervalos de
Clases
PMC fi
37.1 a 42.6 39.85 8
42.6 a 48.1 45.35 3
48.1 a 53.6 50.85 4
53.6 a 59.1 56.35 2
59.1 a 64.6 61.85 4
64.6 a 70.1 67.35 9
Si la tabla no presenta clases abierta es posible
hacer una estimación de la varianza de la siguiente
forma:
𝑆2 =
𝑖=1
𝐾
𝑃𝑀𝐶 − 𝑥 ² ∗ 𝑓𝑖
𝑛 − 1
𝑆2 =
𝑖=1
𝑘
𝑃𝑀𝐶² ∗ 𝑓𝑖 − 1
𝑘
(𝑃𝑀𝐶 ∗ 𝑓𝑖)2
𝑛
𝑛 − 1

Intervalos de
Clases
PMC fi
37.1 a 42.6 39.85 8
42.6 a 48.1 45.35 3
48.1 a 53.6 50.85 4
53.6 a 59.1 56.35 2
59.1 a 64.6 61.85 4
64.6 a 70.1 67.35 9
PMC*fi PMC2*fi
318.8 12704.18
136.05 6169.8675
203.4 10342.89
112.7 6350.645
247.4 15301.69
606.15 40824.203
1624.5 91693.475
 
5103448
.
128
1
30
30
5
.
1624
475
.
91693
2
2




S
33624033
.
11
5103448
.
128 

S
𝑆2
=
𝑖=1
𝐾
𝑃𝑀𝐶 − 𝑥 ² ∗ 𝑓𝑖
𝑛 − 1

Todas las medidas de dispersión expuestas anteriormente
son dimensionales (toman las unidades de medidas de las
variables)
Existe otra medida de dispersión pero adimensional llamadas
Coeficiente de Variación o Dispersión Relativa







x
S
V
C. 100
*
. 






x
S
V
C

ESTADISTICA
Deformación de Curvas Unimodales
Las medidas de dispersión cuantifican cuánto se dispersan
los datos alrededor de una medida de tendencia central,
pero, ¿Para donde se desvían los datos?, a la izquierda de la
media, a la derecha o se distribuyen simétricamente.
Existen otras medidas aplicable solo a curvas unimodales que
tratan de las deformación de curvas tanto de forma
horizontal como vertical

ESTADISTICA
Asimetría
Asimetría Negativa
Asimetría Positiva
Curvas Simétricas
> Me > Mo
x
< Me < Mo
x
= Me = Mo
x

ESTADISTICA

Curtosis
Curva Platicúrtica
Curva Leptocúrtica
Curva Mesocúrtica
Kur > 3
Kur < 3
Kur = 3

Regresión Lineal Simple
Y
X1
X2
.
.
.
Xi
En el desarrollo de los eventos, puede
ser que una variable sea afectada por
el comportamiento de otra (s) variable
(s)
Es de interés poder cuantificar este
tipo de relación de manera que se
pueda predecir una variable en función
de otra
En Regresión Lineal Simple es de
interés cuando una variable afecta el
comportamiento de otra variable
Y: Variable Dependiente
X: Variable Independiente
Y = f(X)
Propósito de la R.L.S: Predicción

Regresión Lineal Simple
Por análisis de regresión se entiende al conjunto de métodos
estadísticos que tratan con la formulación de modelos matemáticos
que describen la relación entre variables y el uso de estas
relaciones modeladas con el propósito de predecir e inferir.
Por Regresión Lineal Simple se entiende …
Supuestos del Análisis
de Regresión Lineal
Simple
“Y” es una variable aleatoria cuya
distribución probabilística depende de
“X”
Modelo de la Línea Recta
Homogeneidad de Varianza
Normalidad
Independencia

Regresión Lineal Simple/Diagrama de Dispersión
Llamado también Ploteo de Datos, tiene como propósito mostrar la
posible tendencia (en caso de existir) entre las variables “X” y “Y”.
Consiste en llevar los pares de valores “x, y” a un sistema de
coordenadas (bidimensional)
Y
X
(x, y)

Rango de Sueldo (X) Inasistencias (Y)
11 18
10 17
8 29
5 36
9 11
9 26
7 28
3 35
11 14
8 20
7 32
2 39
9 16
8 26
6 31
3 40

Regresión Lineal Simple/Diagrama de Dispersión
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 2 4 6 8 10 12
Inasistencia
Rango de Salario

Regresión Lineal Simple/Métodos de Mínimos Cuadrados
El supuesto No 2 de RLS plantea que de existir una relación entre
“X” y “Y”, ésta es una línea recta, por lo tanto se puede pensar en
una ecuación de la siguiente forma:
De tal manera que se llegue a obtener una ecuación de la siguiente
naturaleza:
Parámetros
Estimación

Regresión Lineal Simple/Métodos de Mínimos Cuadrados
Uso de la Técnica de Mínimos
Cuadrados (Carl Gauss)
A partir de muestras (x1, y1), (x2, y2), …(xi, yi) de las variables “X” y
“Y”, se trata de obtener los estimadores . Para ello la Técnica de
Mínimos Cuadrados minimiza la suma de cuadrado de las distancias
entre los valores observados y los estimados de tal manera que :

Regresión Lineal Simple/Recta de Estimación
Estimada una vez la recta de Predicción y teniendo en cuenta que el
propósito de la R.L.S es la predicción, se hace necesario estar
seguro que la ecuación estimada es capaz de predecir.
Por esta razón es necesario validar la ecuación estimada

Regresión Lineal Simple/Validación de la Recta de Estimación
Validación
Cálculo de Coeficiente
de Determinación R²
Análisis de Varianza
de la Regresión “ANARE”
Cuantifica la cantidad de la
variabilidad de “Y” que puede
ser explicada por “X”
R² ≥ 70%

Regresión Lineal Simple/Validación de la Recta de Estimación/ANARE
Por análisis de Varianza se entiende, de forma general, a la partición
de la variación total en fuente de variación conocida que en el caso
de R.L.S son de acuerdo al siguiente modelo aditivo lineal:
xi= Variación debida a Regresión
εi = Variación debida al Error
FV gl SC CM Fc Ft (α, 1 glerror)
Regresión 1 SCRegresión CMRegresión
CMRegresión/
CMError
Error n-2 SCError CMError
Total n.1 SCTotales
Regla de Decisión
NRHo : Fc ≤ Ft
RHo : Fc > Ft

Regresión Lineal/Dibujo de la Recta de Estimación
La Recta de Estimación debe pasar por dos puntos obligados dentro
del área de exploración, Las coordenadas de estos puntos son las
siguientes:
y = -2.9274x + 47.348
R² = 0.7896
0
10
20
30
40
50
0 5 10 15
Inasistencia
Nivel Salarial
Diagrama de Dispersión y Recta de
Estimación
Dispersión
Linear (Dispersión)

ESTADISTICA
Regresión Lineal Simple/Bandas de Confianza
¿Hasta dónde es capaz de predecir la recta de predicción estimada?
0
10
20
30
40
50
60
0 5 10 15
Inasistencia
Nivel Salarial
Diagrama de dispersión, recta de estimación y
bandas de confianza
Diagrama de
Dispersión
Recta de Estimación
Banda Inferior
Banda Superior

ESTADISTICA
Correlación Lineal Simple
Así como existen técnicas que cuantifican los cambios de una
variable dependiente por un único cambio de la variable
independiente, existen técnicas que cuantifican la asociación lineal
entre dos variables, esta técnica es llamada Correlación Lineal
Simple que se exprese como el coeficiente de correlación (r)
Este coeficiente indica el sentido de la asociación como también la
magnitud de ésta, partiendo del hecho que el coeficiente de
correlación lineal simple toma valores en el rango de: r es -1 ≤ r ≤ 1.
Entre más se acerca a 1 el valor de r mayor es la asociación entre
dichas variables.

ESTADISTICA
Regresión Lineal Simple Correlación Lineal Simple
Mide la cantidad de cambios en “Y”
por un único cambio en “X”.
Mide asociación lineal
entre dos variables
Existe una variable dependiente y
otra independiente
Es indistinto x, y ó y, x
β1 puede tomar cualquier valor en la
recta numérica
El coeficiente de
correlación toma valores en
el intervalo -1 ≤ r ≤ 1

-1 ≤ r < -0.8 Asociación
fuerte y
negativa
0 ≤ r < 0.4 No hay
asociación
-0.8 ≤ r < -0.4 Asociación
débil y
negativa
0.4 ≤ r < 0.8 Asociación
débil y
positiva
-0.4 ≤ r ≤ 0 No hay
asociación
0.8 ≤ r ≤ 1 Asociación
fuerte y
positiva

ESTADISTICA
𝒓 =
𝟐𝟔𝟖𝟖 −
(𝟏𝟏𝟔 ∗ 𝟒𝟏𝟖)
𝟏𝟔
(𝟗𝟓𝟖 −
𝟏𝟏𝟔 𝟐
𝟏𝟔
)(𝟏𝟐𝟏𝟗𝟎 −
(𝟒𝟏𝟖)𝟐
𝟏𝟔
)
= −𝟎. 𝟖𝟖𝟖𝟔𝟎
𝒓 =
𝒙𝒚 −
( 𝒙𝒊 ∗ 𝒚𝒊)
𝒏
( 𝒙𝒊
𝟐
−
𝒙𝒊 𝟐
𝒏
)( 𝒚𝒊
𝟐
−
( 𝒚𝒊)𝟐
𝒏
)

Probabilidad
PROBABILIDADES
Experimentos Aleatorios
Espacio Muestral,Eventos y Sucesos
Tipos de Experimentos Aleatorios
Relaciones entre Eventos
Enfoques de Probabilidad/Teoremas
Básicos de Probabilidad
Eventos Dependientes/Independientes
Probabilidad Total/Teorema de Bayes

Experimentos
Determinísticos
No Determinísticos
Sus resultados se conocen con
anticipación sin necesidad de
realizar el experimento
Sus resultados se conocen una
vez que el experimento ha
finalizado
Es un proceso planificado a
través del cual se obtiene
una observación (o una
medición) de un fenómeno
Se pueden describir los
posibles resultados pero no se
puede decir cuál de ellos
ocurrirá
Experimentos Aleatorios
Son experimentos no
determinísticos cuyos resultados
están regidos por el azar
PROBABILIDADES

Supóngase que se lanzan dos monedas legales al mismo
tiempo y que a una cara de cada moneda se la llama
“Cara” a la otra “Sol” entonces:
={CC, CS, SC, SS}
Supóngase ahora que se lanza un
dado legal. Entonces:
={1, 2, 3, 4, 5, 6,}
Experimentos
Aleatorios
Son aquellos experimentos no determinísticos
cuyos resultados están regidos por la
casualidad (azar)
PROBABILIDADES

M = {CC, CS, SC, SS}
O bien en el caso del lanzamiento
del dado
M = {1, 2, 3, 4, 5, 6,}
Espacio Muestral
Retomando el caso del lanzamiento de las dos
monedas, ¿hay otro posible resultado en este
experimento?.
Son todos los resultados
que están asociados a un
experimento aleatorio
Supóngase que el lanzamiento del
dado se está interesado en la
ocurrencia de una cara impar
A = {1,3,5} Evento
Es subconjunto del espacio
muestral, es decir, sus
resultados pertenecen al
espacio muestral
PROBABILIDADES

Espacio Muestral
Evento
2
1
3
4
5
6
M
A
Suceso (wi)
Letras
Mayúsculas del
Alfabeto
A= (wiεA /wi ε M)
PROBABILIDADES

Experimentos
Aleatorios
Simples
Compuestos
Un solo experimento aleatorio
Cuando ocurren dos o más
experimentos simples al mismo
tiempo o bien uno después del
otro
Unidos por la
partícula “ó” (v)
Unidos por la
partícula “y” ( )

Los experimentos simples que
lo componen ocurren de
forma sucesiva
Los experimentos simples que
lo componen ocurren al mismo
tiempo
M = {M1∩M2…Mi}
M = {M1UM2U…Mi}
PROBABILIDADES

Experimentos
Aleatorios
Simples
Compuestos
Un solo experimento aleatorio
Cuando ocurren dos o más
experimentos simples al mismo
tiempo o bien uno después del
otro
M = {1, 2, 3, 4, 5, 6,}
M = {CC, CS, SC, SS}
PROBABILIDADES

M2
M1
C S
C CC CS
S SC SS
Experimentos compuestos
unidos por la partícula “y”
M3
M1*
M2 C S
CC CCC CCS
CS CSC CSS
SC SCC SCS
SS SSC SSS
El espacio muestral es el
producto cartesiano de los
espacios muestrales simples
que lo conforman
PROBABILIDADES

Experimentos compuestos
unidos por la partícula “y”
C
S
C
S
C
S
C
S
C
S
C
S
C
S
M
CCC
CCS
CSC
CSS
SCC
SCS
SSC
SSS
Diagrama del Árbol
Diagrama de Senderos
1ra Moneda
2da Moneda
3era Moneda
PROBABILIDADES

De acuerdo a cómo ocurren los eventos se pueden establecer
algunas relaciones entre ellos tales como:
AUB
A B M
AUB
A B M
AΠB
A B M
M
A
A´
PROBABILIDADES

Enfoques de
Probabilidades
Clásico
Frecuencia
Relativa
Probabilidad A priori. Llamada
También Probabilidad de
Laplace
Probabilidad A posteriore
Subjetivo
PROBABILIDADES

Probabilidad
Clásica
Supuesto
Frecuencia
Relativa
Probabilidad A posteriore
Subjetivo
Todos los sucesos de un
experimento aleatorio tienen
la misma posibilidad de
ocurrir, entonces:
 
M
na
A
P 
  1
0 
 A
P
Si en la realización de
experimento aleatorio aparece
un evento A “n veces ≤
N”,entonces:
 
N
n
A
P 
PROBABILIDADES

Teoremas Básicos de
Probabilidades
P[AUB] = P [A] + P [B]
P[AUB] = P [A] + P [B] – P[AΠB]
P[Ø] = 0
P[M] = 1
    %
100
0
/
1
0 


 A
P
A
P
   
A
P
A
P c

1
PROBABILIDADES

Cuando la ocurrencia de un evento está en dependencia de otro
evento, se dice que éste es dependiente.
Sea A y B dos eventos en el espacio muestral “M”, se dice que A
es un evento dependiente de B sí;
Estas probabilidades se pueden calcular de dos formas:
• Respecto al espacio muestral original
• Respecto al espacio muestral del evento condicionante
   
 
  0
; 

 B
P
B
P
B
A
P
B
A
P    
 
  0
; 

 A
P
A
P
A
B
P
A
B
P
PROBABILIDADES
Eventos Dependientes

En una institución de Educación Superior se tiene 300 docentes, de
los cuales 100 son casados y 30 divorciados. En dicha institución hay
200 hombres, 85 de los cuales son casados y 95 son solteros.
Determinar cual es la probabilidad de seleccionar un docente al azar:
a. Que sea mujer
b. Que sea soltero (a)
c. Que sea un hombre y esté casado (a)
d. Que sea una mujer divorciada
e. Dado que el docente es casado (a), ¿cuál es la probabilidad que
sea hombre?
f. Si el docente seleccionado es hombre, ¿cuál es la probabilidad que
sea casado?
PROBABILIDADES

En una universidad el 70% de los estudiantes son de Ciencias, 30% de
Letras. De los estudiantes de Ciencias el 60% son varones y los de
Letras son varones el 40%. Si se elige al azar un estudiante, calcule
la probabilidad que:
a. Sea mujer
b. Se estudiante varón dado si es de Ciencias
c. Sea estudiante de Ciencias dado que es varón
d. Sea estudiante de Ciencias y varón.
PROBABILIDADES

Cuando la ocurrencia de un evento no está en dependencia de la
ocurrencia de otro evento, se dice que éstos son independientes.
Sea A y B dos eventos en el espacio muestral “M”, se dice que A
es un evento independiente de B sí se cumple con cualquiera de
las siguientes condiciones:
     
B
P
A
P
B
A
P *


   
 
    0
; 


 A
P
B
P
A
P
A
B
P
A
B
P
   
 
    0
; 


 B
P
A
P
B
P
B
A
P
B
A
P
PROBABILIDADES
Eventos Independientes

Sea A1, A2, …, Ak, eventos que forman una partición del espacio
muestral M y sea B, un evento en M. Si las probabilidades P[A1],
P[A2], P[A3]…, P[Ak], si P[B/A1], P[B/A2], P[B/A3]…, P[B/Ak]
son probabilidades conocidas entonces:
      ]
/
[
]
[
...
]
2
/
[
]
2
[
1
/
1 Ak
B
P
Ak
P
A
B
P
A
P
A
B
P
A
P
B
P 


Probabilidad Total =      
Ak
B
P
Ak
P
B
P
k
i
/
1


PROBABILIDADES
Probabilidad Total

Sea A1, A2, …, Ak, eventos que forman una partición del espacio
muestral M y sea B, un evento en M. Si las probabilidades P[A1],
P[A2], P[A3]…, P[Ak], si P[B/A1], P[B/A2], P[B/A3]…, P[B/Ak].
Si B ya ha ocurrido y se está interesado en saber a cual de los
eventos que forman la partición muestral se ha debido su
ocurrencia, entonces se usa el denominado Teorema de Bayes
     
   

 k
i Ak
B
P
Ak
P
Ak
B
P
Ak
P
B
Ak
P
1
PROBABILIDADES
Teorema de Bayes

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