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TRABAJANDO CON
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La igual­dad de dos razo­nes se llama pro­por­ción. En gene­ral, si las razo­nes
a : b...
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En un perió­di­co se publi­ca
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Proporcionalidad inversa
Una profesora pidió a sus alumnos(as) que construyeran rectángulos e...
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Observa que el modelo matemático anterior corresponde a una relación de
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	 El modelo matemático de la proporcionalidad inversa se puede escribi...
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Considera los minu­tos usa­dos (M) ...
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Situación 2
En Física es común uti­li­zar expre­sio­nes mate­má­ti­cas para sim­bo­l...
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Ejercicios resueltos
1.	 Camila, Marta y Andrea se asociaron y abrieron un negocio en su barr...
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2.	 Un condominio está formado por tres edificios: El Roble, El Olmo y El Arce.
Toda...
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Organizamos los datos
en una tabla.
Identificamos el tipo de
proporcionalidad.
Resolvemos la ...
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Soy capaz de utilizar datos
numéricos para establecer
proporciones.
Respondo y anali...
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Ejercicios
1.	 Teresa trabajó tres horas y ganó $8.100. ¿Cuántas horas debe
trabajar en el mi...
Sesión 10
| 194 |Duoc UC - Santillana
11.	 El siguiente gráfico presenta el valor en miles de pesos
de la cuota que debe p...
| 195 | Santillana - Duoc UC
20.	El siguiente gráfico presenta la relación entre la cantidad
de máquinas que se tienen par...
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25.	Una casa se pinta en 20 días con 60 hombres trabajando.
Por problemas de presupu...
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Sesión 9
32.	Laura quiere comenzar a andar en bicicleta y diseña un plan
de acción que se ve ...
Sesión 10
| 198 |Duoc UC - Santillana
38.	Para construir un edifico el capataz de una obra determina
que si tiene 70 traba...
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Solucionario Sesión de ejercicios Nº 10
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1.	 Debe trabajar 12 hora...
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  1. 1. | 174 |Duoc UC - Santillana Sesión TRABAJANDO CON PROPORCIONES10 Proporciones y tipos de proporciones (proporción directa e inversa) Contenidos Resuelve problemas utilizando operaciones básicas con proporciones directas Resuelve problemas utilizando operaciones básicas con proporciones inversas Aprendizajes esperados
  2. 2. | 175 |Duoc UC - Santillana Resumen La igual­dad de dos razo­nes se llama pro­por­ción. En gene­ral, si las razo­nes a : b y c : d for­man una pro­por­ción, se escri­be a : b = c : d, o bien a b = c d . Y se lee “a es a b como c es a d”. Resumen En toda pro­por­ción, el pro­duc­to de los tér­mi­nos ­medios es igual al pro­duc­to de los tér­mi­nos extre­mos (también se le conoce como teorema fundamental de las proporciones). Es decir, si a b = c d enton­ces a • d = b • c. Propiedad fundamental de las proporciones En una pro­por­ción se tiene: 150 : 450 = 42 : 126 Producto de los extre­mos: 150 • 126 = 18.900 Producto de los ­medios: 450 • 42 = 18.900 Ejemplo La razón de la can­ti­dad de hom­bres y de muje­res en las empre­sas de tele­fo­nía y de trans­por­te men­cio­na­das en la pági­na ante­rior no for­man una pro­por­ción, pues 1 3 no Como 1 • 2 =/ 3 • 3, entonces 1 3 =/ 3 2 . es equivalente a 3 2 , ya que no se cumple el teorema fundamental de las proporciones. 150 • 126 = 450 • 42 Al mul­ti­pli­car o divi­dir ambos miem­bros de una igual­dad por un mismo núme­ro, dis­tin­to de cero, la igual­dad se man­tie­ne; es decir, si x = y y z =/ 0 enton­ces x • z = y • z Ejemplo 2 4 = 6 12 / • 4 2 4 • 4 = 6 12 • 4 2 = 6 3 2 = 2 Recuerda Término extremo Término medio Término medio Término extremo
  3. 3. Sesión 10 | 176 |Duoc UC - Santillana Ancho (cm) Largo (cm) Largo (cm) Ancho (cm) Tamaño 1 10 15 15 10 = 3 2 Tamaño 5 20 30 30 20 = 3 2 Se puede notar que el tama­ño 1 corres­pon­de al tama­ño de la foto­gra­fía ori­gi­nal de Lucas, mien­tras que de los res­tan­tes tama­ños, el único cuya razón entre largo y ancho es equi­va­len­te con el ori­gi­nal es el tama­ño 5, por tanto, este es el único pro­por­cio­nal al ori­gi­nal. Los otros tama­ños tam­bién corres­pon­den a amplia­cio­nes de la foto­gra­fía ori­gi­nal, pero aun cuan­do las dimen­sio­nes aumen­tan en una can­ti­dad cons­tan­te (por ejem­plo, suman­do 3 cm a la medida del largo y del ancho del tama­ño ori­gi­nal, obte­ne­mos la amplia­ción de 13 cm • 18 cm), la razón entre largo y ancho no es la misma que en la foto­gra­fía de 10 cm • 15 cm, y enton­ces ambos tama­ños no son pro­por­cio­na­les. Variaciones pro­por­cio­na­les y no pro­por­cio­na­les Lucas ha selec­cio­na­do una de sus foto­gra­fí­as para enviar­la a un con­cur­so. Las bases dicen que las dimen­sio­nes de la foto­gra­fía deben ser 10 cm • 15 cm, y ade­más se debe ­enviar una copia amplia­da a un tama­ño pro­por­cio­nal a este. El soft­wa­re que Lucas usará para ­ampliar su foto­gra­fía trae los siguien­tes tama­ños pre­ de­ter­mi­na­dos: Tamaño 1 10 cm • 15 cm Tamaño 4 20 cm • 25 cm Tamaño 2 13 cm • 18 cm Tamaño 5 20 cm • 30 cm Tamaño 3 15 cm • 20 cm ¿Qué tamaño satisface las condiciones del concurso? Para que la foto cumpla con los requisitos del concurso debe ser proporcional a la fotografía original. La siguiente tabla muestra la razón entre el largo y el ancho de las distintas alternativas: Tamaño 2 13 18 18 13 Tamaño 3 15 20 20 15 = 4 3 Tamaño 4 20 25 25 20 = 5 4
  4. 4. | 177 | Santillana - Duoc UC Resumen Si la razón entre dos cantidades variables se mantiene constante (no cambia) estas variables son proporcionales. Si la razón entre ambas variables cambia, las cantidades son no proporcionales. Aplicaciones de las pro­por­cio­nes Escalas Los mapas y los pla­nos son repre­sen­ta­cio­nes grá­fi­cas redu­ci­das de terri­to­rios o cons­truc­cio­nes, para ela­bo­rar­los es nece­sa­rio usar una esca­la. El plano mues­tra las dimen­sio­nes de un depar­ta­men­to. Escala 1:100 hall 0,85 cm 2,4 cm cocina área de servicio baño baño dormitorio 3 dormitorio 1 dormitorio 2 comedor sala de estar terraza El siguiente mapa de Chile está hecho a escala 3,5 : 40.000.000; es decir, si La Serena y Santiago están a 4 cm de distancia aproximadamente en el mapa, la distancia real entre ambas ciudades es: 3,5 40.000.000 = 4 x x = 45.714.285 cm Por tanto, entre La Serena y Santiago hay 457,1 km, aproximadamente.
  5. 5. Sesión 10 | 178 |Duoc UC - Santillana Está ela­bo­ra­do en una esca­la de 1:100 ó 100 1 . Es decir, un cen­tí­me­tro en el plano represen­ta 100 cm en la rea­li­dad. Con estos datos se pueden cal­cu­lar las medi­das rea­ les del depar­ta­men­to sin nece­si­dad de medir direc­ta­men­te. Por ejem­plo, en el plano, las medi­das de la terra­za son 2,4 cm y 0,85 cm; enton­ces, las medi­das rea­les se cal­cu­lan de la siguien­te mane­ra: Por tanto, las medi­das rea­les de la terra­za son 240 cm y 85 cm o bien 2,4 m y 0,85 m. Resumen Una esca­la es la razón entre una lon­gi­tud en un plano o mapa y su corres­ pon­dien­te lon­gi­tud real, expre­sa­das en la misma uni­dad de medi­da. • 2,4 • 2,4 1 100 = 2,4 240 2,4 cm del plano equivalen a 240 cm de la realidad. 1 100 = 0,85 85 • 0,85 • 0,85 0,85 cm del plano equivalen a 85 cm de la realidad.
  6. 6. | 179 | Santillana - Duoc UC Ecuaciones y pro­por­cio­na­li­dad Don José tiene un terre­no rec­tan­gu­lar en el que deci­dió plan­tar 3 tipos dife­ren­tes de árbo­les: pino (P), euca­lip­to (E) y roble (R). Todavía no sabe cuán­tos plan­tar de cada uno pero sí sabe que ­dichas can­ti­da­des deben ser pro­por­cio­nales a la super­fi­cie des­ ti­na­da para cada tipo de árbol. Veamos un esque­ma del pro­ble­ma y los datos que tiene don José. Total de semi­llas: 2.470 Recuerda que la fórmula para encontrar el área de un rectángulo de lados p y q es: Área = p · q Recuerda 20 m P E R 16 m 12 m 10 m A partir de nuestros conocimientos de geometría, sabemos que la superficie destinada para cada tipo de árbol es: 320 m2 , 240 m2 y 200 m2 , respectivamente. Como don José desea que las cantidades sean proporcionales a los m2 de cada terreno, se tiene: P 320 = E 240 = R 200 = k o bien P = 320 k E = 240 k R = 200 k Donde k corresponde a la cantidad de árboles de cada tipo en cada metro cuadrado. Así, podemos expresar la siguiente ecuación para resolver el problema: P + E + R = 2.470 320 k + 240 k + 200 k = 2.470 760 k = 2.470 k = 3,25 Luego, P = 320 • 3,25 = 1.040 árboles de pino. E = 240 • 3,25 = 780 árboles de eucalipto. R = 200 • 3,25 = 650 árboles de roble. Con estos valores, podemos decir que la cantidad de árboles plantados de cada especie es proporcional al terreno destinado para cada una.
  7. 7. Sesión 10 | 180 |Duoc UC - Santillana Proporcionalidad direc­ta En un perió­di­co se publi­ca el siguien­te grá­fi­co para ilus­trar el gasto men­sual dependiendo del con­su­mo eléc­tri­co de una fami­lia. Como pue­des ver, el grá­fi­co tiene la forma de una línea recta ascen­den­te. Podríamos afir­mar que “a medi­da que aumen­ta el con­su­mo, aumen­ta el can­ti­dad a pagar”. Obser­va ade­más que exis­te una regu­la­ri­dad en la rela­ción de estas varia­bles. Por ejem­plo, por 20 kWh se deben can­ce­lar $ 2.160, ¿qué ocu­rri­rá si se aumen­ta al tri­ple el con­su­mo? Del grá­fi­co sabe­mos que 60 kWh cues­tan $ 6.480, es decir, 20 • 3 = 60 2.160 • 3 = 6.480 Cuando la varia­ción entre dos varia­bles es cons­tan­te, es decir, una aumen­ta o dis­mi­nu­ye la misma can­ti­dad de veces que la otra, se dice que las varia­bles son direc­ta­men­te pro­por­cio­na­les. Consumo (kWh) Precio($) Así, si P es el precio y C es el consumo eléctrico, podemos decir que: • Si P disminuye a la mitad, C también disminuye a la mitad. • Si C se duplica, P también se duplica. • Si P se multiplica por 5 1 , C también se multiplica por 5 1 . Esto ocurre puesto que el cociente entre P y C es constante. En términos algebraicos: P C = k constante de proporcionalidad directa.
  8. 8. | 181 | Santillana - Duoc UC Plano cartesiano: está formado por dos rectas perpendiculares. El punto en donde se intersectan corresponden al origen y al par ordenado (0,0). El eje vertical es el eje de las ordenadas, comúnmente llamado y, el eje horizontal es el eje de las abcisas, llamado x. Estos ejes forman la base del sistema de coordenadas cartesianas, en donde se pueden graficar todos los pares ordenados de la forma (x,y). Recuerda La rapidez es la relación entre la distancia recorrida y el tiempo que tomó recorrerla. Para hablar de velocidad debemos mencionar un sentido y una dirección, ya que es una magnitud vectorial. Recuerda Dos variables P y Q forman una proporcionalidad directa si P Q = k Si se invierten las variables, su constante también se invertirá: Q P = 1 k Recuerda Proporcionalidad direc­ta: mode­lo mate­má­ti­co El papá de Ignacio tuvo que viajar de Rancagua a Zapallar. Ignacio quiere saber cuánto se va a demorar, pero solo sabe que viajará a 90 km/h en promedio. ¿Qué infor­ma­ción pode­mos obte­ner con lo que sabe Ignacio? Veamos. Si lla­ma­mos D a la dis­tan­cia que ha reco­rri­do el papá (en km), T al tiem­po que lleva mane­jan­do el auto (en horas) y la rapi­dez es de 90 km/h, es posi­ble plan­te­ar la siguien­te expre­sión que las rela­cio­na: D = 90T Con este mode­lo mate­má­ti­co es posi­ble obte­ner bas­tan­te infor­ma­ción; por ejem­plo, pode­mos saber la dis­tan­cia reco­rri­da en dis­tin­tos momen­tos del viaje. Luego de 1,5 horas, ¿cuán­tos km ha reco­rri­do? Reemplazamos T por 1,5 en la expre­sión y se obtie­ne: D = 90 • 1,5 = 135 Por tanto, el papá lleva reco­rri­dos 135 km. si su cociente es constante. Algebraicamente, A B = k (k: constante) Resumen Dos variables A y B se relacionan de manera directamente proporcional, si su cociente es constante. Algebraicamente, B A = k (k: constante) En su gráfica, siempre se apreciará una línea recta ascendente que pasa por el origen del plano cartesiano. Completa la siguiente tabla para verificarlo. P 1.080 2.160 4.320 7.560 8.640 C 10 30 50 60 P C 108 ¿Qué representa la constante de proporcionalidad en este caso?
  9. 9. Sesión 10 | 182 |Duoc UC - Santillana También pode­mos saber el tiem­po que lleva viajando según la dis­tan­cia reco­rri­da hasta el momen­to. A los 225 km, ¿cuán­to tiem­po ha trans­cu­rri­do? Reemplazamos D por 225 en la expre­sión y se obtie­ne: 225 = 90T 225 90 = T 2,5 = T Por tanto, el papá ha mane­ja­do duran­te 2,5 horas. Resumen El modelo matemático de la proporcionalidad directa se puede escribir como: A B = k o equivalentemente A = B • k Donde k es la constante de proporcionalidad entre las variables A y B. El cociente entre ambas variables es constante. Su gráfico asociado es una recta. Observa que el modelo matemático anterior corresponde a una proporcionalidad directa, pues: Así, Ignacio solo debe conocer la distancia entre Rancagua y Zapallar (265 km). Al hacer el cálculo, obtiene que se demorará 2,9 horas. D = 90 • T + D T = 90 Tiempo Distancia
  10. 10. | 183 | Santillana - Duoc UC Proporcionalidad inversa Una profesora pidió a sus alumnos(as) que construyeran rectángulos en cartulina, con una condición: todos deberían tener un área igual 24 cm2 . Luego de unos minutos, se anotó en una tabla las distintas dimensiones obtenidas. Solo se consideraron valores enteros. Veamos algunas conclusiones que podemos obtener de la tabla. 1. Si uno de los lados del rectángulo se duplica, ¿qué deberías hacer con la medida del otro lado para que la condición del problema se mantenga (tener área igual a 24 cm2 )? De la tabla tomemos, por ejemplo, el primer y segundo rectángulo. El lado 1 se duplicó y el lado 2 se redujo a la mitad. 2. Si uno de los lados del rectángulo se triplica, ¿qué sucede con la medida del otro lado para que el área se mantenga igual a 24 cm2 ? Si observas el segundo y quinto rectángulo te darás cuenta de que mientras una de las medidas se triplicó, la otra se redujo a la tercera parte. Al construir un gráfico, usando la tabla, obtenemos una línea curva, que por su forma recibe el nombre de hipérbola. 24 cm 12 cm 1 cm 2 cm 12 cm 4 cm 6 cm2 cm Lado 1 Lado2 Lado 1 Lado 2 1 cm 24 cm 2 cm 12 cm 3 cm 8 cm 4 cm 6 cm 6 cm 4 cm
  11. 11. Sesión 10 | 184 |Duoc UC - Santillana Ya sabe­mos que en nues­tro pro­ble­ma el pro­duc­to se man­tie­ne cons­tan­te. Si lla­ma­ mos x e y a las medi­das de los lados del rec­tán­gu­lo, ten­dre­mos que: x • y = 24 Así, x e y for­man una rela­ción de pro­por­cio­na­li­dad inver­sa, pues el pro­duc­to de sus mag­ni­tu­des es siem­pre cons­tan­te. Por ejem­plo, si x aumen­ta al doble, y se redu­ce a la mitad. Resumen Dos variables M y N forman una relación de proporcionalidad inversa si el producto de sus magnitudes permanece constante. Algebraicamente, M • N = k donde k es la constante de proporcionalidad inversa. El gráfico correspondiente a este tipo de proporcionalidad es una curva llamada hipérbola. Proporcionalidad inver­sa: mode­lo mate­má­ti­co Pilar y su abue­li­ta tie­nen una mini empre­sa de venta de bufan­das: la abue­li­ta las con­ fec­cio­na y Pilar las vende. Ellas pre­ten­den obte­ner como venta total $ 20.000. Como ­podrás adi­vi­nar, si el pre­cio de cada bufan­da es muy caro lo más pro­ba­ble es que no les vaya muy bien o, si son muy bara­tas, ten­drán que ven­der ­muchas bufan­das para lle­gar a la meta. Si lla­ma­mos B a la can­ti­dad de bufan­das que se fabri­can y P al pre­cio que ten­drá cada una de ellas, es posi­ble plan­te­ar la siguien­te expre­sión que las rela­cio­na: B • P = 20.000
  12. 12. | 185 | Santillana - Duoc UC Observa que el modelo matemático anterior corresponde a una relación de proporcionalidad inversa, pues: B • P = 20.000 Es decir, el producto entre ambas magnitudes es constante. Su gráfico asociado es una curva llamada hipérbola. La hipérbola es una curva que resulta de la intersección de una superficie cónica con un plano. Recuerda Bufandas Precio Con este mode­lo mate­má­ti­co es posi­ble saber, por ejem­plo, la can­ti­dad de bufan­das que se nece­si­tan si se fija un pre­cio deter­mi­na­do para ellas. También pode­mos saber el pre­cio de cada bufan­da, si cono­ce­mos la can­ti­dad que se han con­fec­cio­na­do. Si cada bufan­da se vende en $ 2.500, ¿cuán­tas bufan­das nece­si­ta ven­der? Reemplazamos P por 2.500 y se obtie­ne: B • 2.500 = 20.000 B = 20.000 2.500 B = 8 Por tanto, Pilar nece­si­ta ven­der 8 bufan­das. Si se quie­re ven­der solo 5 bufan­das, ¿en cuán­to se debe ven­der cada una? Reemplazamos B por 5 y se obtie­ne: 5 • P = 20.000 B = 20.000 5 B = 4.000 Por tanto, Pilar debe ­cobrar $4.000 por cada bufan­da.
  13. 13. Sesión 10 | 186 |Duoc UC - Santillana Resumen El modelo matemático de la proporcionalidad inversa se puede escribir como M • N = q o equivalentemente M = q N Donde q es la constante de proporcionalidad inversa entre las variables M y N. Variaciones proporcionales y no proporcionales En las páginas anteriores, ya has visto cómo relacionar dos o más variables a través de expresiones algebraicas o ecuaciones y los tipos de relaciones de proporcionalidad que se pueden establecer entre ellas. Analicemos ahora distintas situaciones para distinguir cuándo estamos en presencia de una relación de proporcionalidad o no. Situación 1 La empre­sa A de tele­fo­nía celu­lar tiene un plan con un costo fijo de $ 3.000 y $ 100 por cada minu­to de lla­ma­da. La empre­sa B, en cam­bio, solo cobra $ 200 por cada minu­to y no tiene costo fijo. Por ejem­plo, si una per­so­na habla 10 minu­tos usan­do la empre­sa A su cuen­ta sería de: Empresa A: $ 3.000 + 10 min x $ 100 = $ 4.000 Estos mis­mos 10 minu­tos en la empre­sa B serí­an: Empresa B: 10 min x $ 200 = $ 2.000 Observa el grá­fi­co que ilus­tra esta situa­ción. Las relaciones de proporcionalidad entre dos variables pueden ser directas o inversas. En ocasiones, si hay más de dos variables relacionadas entre sí, se habla de proporcionalidad compuesta. Recuerda Minutos Empresa A Empresa B Costo $
  14. 14. | 187 | Santillana - Duoc UC Tabla 1: Empresa A Tabla 2: Empresa B Empresa A Empresa B Considera los minu­tos usa­dos (M) y la cuen­ta total a pagar (C) en cada empre­sa de tele­fo­nía. ¿Se rela­cio­nan de mane­ra pro­por­cio­nal estas can­ti­da­des? A sim­ple vista podrí­a­mos pen­sar que sí for­man una pro­por­cio­na­li­dad direc­ta, pues en ambos casos, al aumen­tar los minu­tos de lla­ma­das, aumen­ta el pre­cio que se debe pagar. Pero recuer­da que dos varia­bles se rela­cio­nan en pro­por­cio­na­li­dad direc­ta solo sí el cocien­te entre sus mag­ni­tu­des es cons­tan­te. Completa las ­tablas para exa­mi­nar esta con­di­ción. Como pue­des obser­var, las varia­bles deter­mi­nan una varia­ción pro­por­cio­nal en la tabla 2, pero no en la tabla 1. Esto se debe al monto fijo que se debe pagar ini­cial­men­te. Observa los mode­los mate­má­ti­cos que están ­detrás de cada caso: C = 3.000 + 100 • M C = 200 • M Sigamos con el aná­li­sis de estas empre­sas, ¿cuál ele­gi­rí­as tú? Observando la tabla, la res­pues­ta pare­ce obvia: la empre­sa B es la más bara­ta. Si embar­go, al aumen­tar la can­ti­dad de minu­tos pue­des lle­var­te una sor­pre­sa. Completa el grá­fi­co y seña­la cuán­do es más con­ve­nien­te una empre­sa en rela­ción a la otra. No corresponde al modelo de proporcionalidad directa Sí corresponde al modelo de proporcionalidad directa C 3.100 3.200 3.500 4.000 C 200 400 1.000 2.000 M 1 2 5 10 M 1 2 5 10 C M C M Minutos Costo $
  15. 15. Sesión 10 | 188 |Duoc UC - Santillana Situación 2 En Física es común uti­li­zar expre­sio­nes mate­má­ti­cas para sim­bo­li­zar la rela­ción entre varia­ bles. Una de estas corres­pon­de a la rela­ción entre las varia­bles velo­ci­dad (v), dis­tan­cia (d) y tiem­po (t) de un recorrido en automóvil: v = d t De esta expre­sión pode­mos dedu­cir lo siguien­te: a. Si deja­mos d como cons­tan­te, la velo­ci­dad y el tiem­po deter­mi­nan una rela­ción pro­por­cio­nal inver­sa. vt = d Por ejem­plo, si la dis­tan­cia a reco­rrer por un automóvil es 100 km, a mayor velo­ci­dad obten­drá menor tiem­po y, por el con­tra­rio, si su velo­ci­dad es muy peque­ña demo­ra­rá mucho más tiem­po en reco­rrer estos 100 km. El siguiente gráfico ilustra la situación. ¿Qué valor tiene la velocidad para un tiempo igual a 10 horas? Completa el gráfico con este valor. b. Si la velo­ci­dad es cons­tan­te, enton­ces las varia­ bles d y t deter­mi­nan una rela­ción pro­por­cio­nal direc­ta de cons­tan­te v. Por ejem­plo, si la velo­ci­dad de un automóvil es siem­pre 50 km/h, a mayor dis­tan­cia a reco­rrer mayor tiem­po se va a demo­rar, y vice­ver­sa. t (horas) v(km/h) t (horas) v(km/h) Resumen Para deter­mi­nar si dos varia­bles se rela­cio­nan pro­por­cio­nal­men­te hay que com­pro­bar que cum­plan con el mode­lo mate­má­ti­co que corres­pon­da. Es decir, en el caso de pro­por­cio­na­li­dad direc­ta, que el cocien­te sea cons­tan­te; y en el caso de pro­por­cio­na­li­dad inver­sa, que el pro­duc­to sea cons­tan­te.
  16. 16. | 189 | Santillana - Duoc UC Ejercicios resueltos 1. Camila, Marta y Andrea se asociaron y abrieron un negocio en su barrio. Camila invirtió $ 300.000, Marta $ 700.000 y Andrea $ 500.000. Al tercer año de funcionamiento se obtuvo una ganancia de $ 1.200.000, la que fue dividida en tres partes, directamente proporcionales al capital que cada una invirtió. Se calcula el valor de la razón entre el capital ganado y el capital invertido. El valor de la razón se puede interpretar como la ganancia (en pesos) por cada peso invertido. Es decir, por cada peso invertido, se ganaron 0,8 pesos. Para calcular la ganancia correspondiente a cada una, se puede multiplicar 0,8 por la cantidad invertida. 300.000 + 700.000 + 500.000 = 1.500.00 Dinero invertido en total. 1.200.000 1.500.000 = 0, 8 300.000 • 0,8 = 240.000 700.000 • 0,8 = 560.000 500.000 • 0,8 = 400.000 Comprobando los resultados: Camila: 240.000 300.000 = 4 5 Marta: 560.000 700.000 = 4 5 Andrea: 400.000 500.000 = 4 5 Respuesta: Camila debe recibir $ 240.000, Marta $ 560.000 y Andrea $ 400.000. Se comprueba el resultado y se escribe la respuesta. Valor de la razón del dinero ganado y el dinero invertido. Camila invirtió $ 300.000, entonces le corresponde una ganancia de $ 240.000. Marta invirtió $ 700.000, entonces le corresponde una ganancia de $ 560.000. Andrea invirtió $ 500.000, entonces le corresponde una ganancia de $ 400.000. Para las tres, la razón entre lo ganado y lo invertido es igual, por tanto, son directamente proporcionales.
  17. 17. Sesión 10 | 190 |Duoc UC - Santillana 2. Un condominio está formado por tres edificios: El Roble, El Olmo y El Arce. Toda la comunidad se está organizando para plantar arbustos nuevos en el jardín, con un costo de $ 77.000. ¿Qué cantidad de dinero es la que debe aportar cada edificio, si sus habitantes son 54, 68 y 32, respectivamente, y el aporte será proporcional al nº de habitantes de cada uno? Se plantea la ecuación del reparto proporcional, donde x es el factor de reparto. El ejercicio se resuelve mediante un reparto proporcional. 54x + 68x + 32x = 77.000 154x = 77.000 x = 77.000 154 x = 500 Así, cada edificio debe aportar: El Roble 54 • 500 = $ 27.000 El Olmo 68 • 500 = $ 34.000 El Arce 32 • 500 = $ 16.000{ Se plantea la ecuación del reparto proporcional, donde x es el factor de reparto. Se calcula el aporte de cada edificio, multiplicando el factor de reparto por la cantidad de habitantes de cada uno. a. Si D es constante (k), por la fórmula nos quedaría 150 = V • T Es decir, el producto de las variables es constante. Así, la velocidad y el tiempo son inversamente proporcionales. b. Si V es constante (k), obtenemos D T = 100 Luego, el cociente es constante y, por ende, la distancia y el tiempo son directamente proporcionales. 3. Una de las fórmulas más usadas y sencillas en Física es la del movimiento rectilíneo uniforme (MRU): D = V · T, donde D es la distancia, V la velocidad y T el tiempo. a. Si la distancia por recorrer es 150 km, ¿qué relación se establece entre V y T? b. Si la velocidad permanece constante a 100 km/h, ¿qué relación se establece entre D y T? Se analiza la expresión y se verifica que el modelo matemático resultante es de proporcionalidad directa. Se analiza la expresión y se verifica que el modelo matemático resultante es de proporcionalidad inversa.
  18. 18. | 191 | Santillana - Duoc UC Organizamos los datos en una tabla. Identificamos el tipo de proporcionalidad. Resolvemos la ecuación. Resolvemos la ecuación. Identificamos el tipo de proporcionalidad. Organizamos los datos en una tabla. Aplicando una estrategia (ordenar los datos en una tabla) Observa atentamente la estrategia usada para resolver el siguiente problema. Una llave de agua demora 20 minutos en llenar un estanque a razón de 15 litros por minuto. a. ¿Cuántos minutos demora si lo hace a razón de 5 litros por minuto? b. ¿Cuántos minutos demora si lo hace a razón de 25 litros por minuto? Velocidad 15 5 Tiempo 20 x a. La velocidad y el tiempo son cantidades inversamente proporcionales (a mayor velocidad, menor tiempo), tenemos que: 15 • 20 = 5 • x 15 • 20 5 = x 15 • 4 = x 60 = x Por tanto, se necesitan 60 minutos para llenar el estanque. Velocidad 15 25 Tiempo 20 x b. Nuevamente se trata de cantidades inversamente proporcionales, entonces, 15 • 20 = 25 • x 15 • 20 25 = x 3 • 4 = x 12 = x Por tanto, se necesitan 12 minutos para llenar el estanque.
  19. 19. Sesión 10 | 192 |Duoc UC - Santillana Soy capaz de utilizar datos numéricos para establecer proporciones. Respondo y analizo la pertinencia de las soluciones. Analizando una pregunta Observa la resolución del siguiente ejercicio y compárala con los métodos que tú usarías para resolverlo. Presta especial atención a lo que te indican las etiquetas. Se sabe que 3 tarros de pintura alcanzan para pintar 12 m2 de pared. Si se necesita pintar una pared de 44 m2 , y cada tarro de pintura cuesta $ 7.500, ¿cuánto dinero costarán todos los tarros necesarios para pintar la pared? Observa que: Tarros de pintura Superficie a pintar 3 12 m2 de pared x 44 m2 de pared Como las variables tarros de pintura y m2 de pared están en proporción directa, calculamos el término que falta en la proporción: 3 x = 12 44 44 • 3 = 12 • x 132 = 12 • x 132 12 = x 11 = x Entonces, se necesitan 11 tarros para pintar 44 m2 de pared. Ahora bien, si el tarro cuesta $ 7.500, entonces: 7.500 • 11 = 82.500 El costo de 11 tarros de pintura es de $ 82.500. Puedo aplicar la propiedad fundamental de las proporciones.
  20. 20. | 193 | Santillana - Duoc UC Ejercicios 1. Teresa trabajó tres horas y ganó $8.100. ¿Cuántas horas debe trabajar en el mismo lugar y bajo las mismas condiciones para ganar $32.400? 2. En condiciones óptimas un alumno del taller de teatro necesita 25 minutos para aprender 15 líneas del texto, ¿cuántos minutos necesitará bajo las mismas condiciones para memorizar 180 líneas?, ¿cuántas horas se demora en memorizar este texto? 3. El arriendo de una cancha de tenis cuesta $5.500 la media hora. Si Juan y su hermano la arrendarán por 3 horas 15 minutos, ¿cuánto dinero deben pagar? 4. Un estudio determinó que 100 gramos de naranjas aportan al organismo 34 ml de agua, ¿cuántos ml de agua aportarán al organismo 2 kilos de naranjas? 5. El siguiente gráfico presenta la relación entre los metros cúbicos consumidos de agua y el valor a pagar en pesos por tal consumo. De acuerdo a la información entregada en el gráfico, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cuánto se debe cancelar si se consumen 7.552 metros cúbicos de agua? –1 0 10 20 30 40 50 60 70 X Y 60 50 40 30 20 10 0 $ Pesos metros cúbicos de agua 6. El siguiente gráfico presenta la distancia recorrida por un bus de pasajeros en relación a los litros de combustible consumidos durante el viaje, si mantiene una velocidad constante. De acuerdo a los datos de gráfico, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cuántos litros de combustible gastará el bus si realiza un viaje de 375km? –1 0 20 40 60 80 100 120 140 160 X Y 12 10 8 6 4 2 0 Litros de combustible Km recorridos 7. Un acuario puede llenarse con 12 bidones de 15 litros cada uno, ¿cuántos bidones de 4,5 litros se necesitan para llenar el mismo acuario? 8. Una constructora sabe que para construir un edificio de 8 pisos se necesitan 72 trabajadores, los cuales se demoran 12 meses en terminarlo. ¿Cuántos trabajadores extra se deben contratar para terminar el mismo edificio en 9 meses? 9. En una parcela hay 50 animales y el alimento les alcanza para 18 días. Si se compran 10 animales más, ¿para cuántos días alcanzaría la misma cantidad de alimento? 10. Un bus demora 7,5 horas entre Valparaíso y Talca a una velocidad promedio de 84 km/h. ¿A qué velocidad promedio se desplazó otro vehículo que hizo el mismo recorrido en 6 horas?
  21. 21. Sesión 10 | 194 |Duoc UC - Santillana 11. El siguiente gráfico presenta el valor en miles de pesos de la cuota que debe pagar cada integrante de un grupo familiar al adquirir un producto tecnológico. De acuerdo al gráfico, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cuál sería la cuota que se debería pagar cada integrante, si el grupo familiar estuviera compuesto por 12 personas? 0 10 20 30 40 50 60 X Y 40 30 20 10 0 ValorcuotaMiles$ Nº personas 12. En el siguiente gráfico se presenta información que relaciona el tiempo de espera de los clientes en ser atendidos en una sucursal de telefonía celular, con respecto a la cantidad de trabajadores que están atendiendo. Si trabajan 12 personas en la sucursal, ¿cuántos minutos tendrá que esperar una persona para ser atendida? 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 X Y 30 25 20 15 10 5 0 Tiempoesperaminutos Nº Trabajadores 13. Una moto recorre 120 metros en 4 segundos. ¿Qué distancia recorre en 1 minuto 12 segundos, si mantiene su rapidez constante? 14. Una inversión de $350.000 produce un rendimiento (ganancia) de $4.200 en un año. ¿Qué rendimiento producirá una inversión de $450.000 a la misma tasa de interés y durante el mismo tiempo? 15. El siguiente gráfico presenta la relación entre la cantidad de productos comprados (todos de las mismas características) y el valor a pagar. De acuerdo a la información, ¿cuál es el valor que se debe cancelar si se compran 15 productos iguales? 0 2 4 6 8 X Y 30000 25000 20000 15000 10000 5000 0 Valor a pagar Cantidad de productos 16. La rapidez de un automóvil es de 70 km/h y demora 5 horas en recorrer una cierta distancia. ¿Cuántas horas demorará en recorrer la misma distancia, otro automóvil, con una rapidez de 80 km/h? Utilice FIX1 17. Cuando una llave arroja 32 litros por minuto de cierto líquido, demora 3,5 horas en llenar un estanque. ¿Cuánto demora en llenarse este estanque, si ahora la llave arroja 24 litros por minuto? Utilice FIX1 18. Un estudio realizado sobre la salinidad del agua de mar determinó que 2 litros de agua de mar contienen 1,5 gramos de sal. Si se tiene una muestra que contiene 9,375 gramos de sal, ¿cuántos litros de agua de mar se extrajeron? 19. Para pavimentar una calle de 800 metros de largo y 12 metros de ancho, se han utilizado 18.000 pastelones. ¿Cuántos pastelones se necesitan para pavimentar una calle de 1.000 metros de largo y 15 metros de ancho?
  22. 22. | 195 | Santillana - Duoc UC 20. El siguiente gráfico presenta la relación entre la cantidad de máquinas que se tienen para realizar un determinado trabajo y el tiempo que demoran en realizarlo. ¿Cuántas horas demorarán en hacer el mismo trabajo si se cuenta con 25 máquinas? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X Y 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 Tiempo de demora (horas) Nº Máquinas 21. Una persona establece la relación entre el número de grifos necesarios y las horas que tardan en llenar una piscina. Si se sabe que 5 grifos demoran 1,6 horas en llenarla, ¿cuál de los siguientes gráficos representa la situación planteada? a. 0 1 2 3 4 5 6 X Y 6 4 2 0 Nºhoras Nº grifos b. 0 1 2 3 4 5 6 X Y 6 4 2 0 Nºhoras Nº grifos c. 0 1 2 3 4 5 6 X Y 6 4 2 0 Nºhoras Nº grifos 22. Un instituto confecciona un gráfico donde se representa la relación entre la cantidad de alumnos matriculados y el dinero recaudado por este concepto. Se sabe que se si matriculan 15 alumnos la recaudación es de $750.000, ¿cuál de los siguientes gráficos establece la relación entre las variables? a. 0 1 2 3 4 5 6 X Y 40 30 20 10 0 Recaudación miles $ Nº matrículas b. 0 1 2 3 4 5 6 X Y 180 120 60 0 Recaudación miles $ Nº matrículas c. 0 1 2 3 4 5 6 X Y 150 100 50 0 Recaudación miles $ Nº matrículas Selección Múltiple: 23. Un árbol de 1,8 metros de altura proyecta una sombra hacia el frente de 2,2 metros. ¿Cuánto mide la sombra de otro árbol de 1,5 metros que se encuentra al lado del primero a la misma hora? Utilizar FIX2 a. 0,54 m b. 1,83 m c. 2,06 m d. 2,64 m e. 5,94 m 24. Una máquina puede etiquetar 4.096 envases en cuatro días de trabajo. ¿Cuántos días son necesarios para etiquetar 9.216 envases iguales a los anteriores? a. 1 b. 2 c. 9 d. 10 e. 13
  23. 23. Sesión 10 | 196 |Duoc UC - Santillana 25. Una casa se pinta en 20 días con 60 hombres trabajando. Por problemas de presupuesto, al mes siguiente la empresa debe contratar a 45 personas menos bajo las mismas condiciones. ¿Cuántos días se demorarán en pintar una casa de iguales características? a. 5 b. 15 c. 26 d. 60 e. 80 26. Si 25 telares producen cierta cantidad de tela en 120 horas de trabajo, ¿cuántas horas demoran 60 telares iguales en producir la misma cantidad de tela? a. 7,2 b. 12,5 c. 25,0 d. 50,0 e. 288,0 27. Para pintar una pared de 96 m 2 se ocupan 8 tarros de pintura. ¿Cuántos tarros del mismo tipo de pintura se necesitan para pintar una pared de 28,8 metros de largo por 2,5 metros de ancho? a. 3 b. 5 c. 6 d. 11 e. 17 28. El pago por el consumo de la electricidad es proporcional a la electricidad que se consume mensualmente. Esta situación se refleja en el siguiente gráfico. Si una familia consume 1.550KW de electricidad en el mes, ¿cuánto es lo que debe cancelar? a. $258 b. $7.750 c. $9.000 0 1 2 3 4 5 6 7 X Y 30 24 18 12 6 0 Valor (en pesos) Cant KW d. $9.300 e. $9.360 29. Un jefe de obra construye el siguiente gráfico donde se relaciona la cantidad de operarios trabajando bajo las mismas condiciones, y el tiempo en horas que se demoran en realizar un determinado trabajo. ¿Cuánto tiempo se demorarán en realizar el mismo trabajo 16 operarios? a. 9 ,37 b. 6 ,25 0 1 2 3 4 5 6 7 X Y 150 100 50 0 Nº horas Nº operarios c. 12 ,5 d. 100 e. 800 30. En una parcela hay 12 caballos que consumen 720 kg. de alfalfa durante el mes de “Abril”. El dueño de la parcela compró 3 caballos más, si tiene la misma cantidad de alfalfa, ¿para cuántos días le alcanzará? a. 7,5 b. 14 c. 24 d. 37,5 e. 38,75 31. La cantidad de mg de medicamento en el organismo se relaciona en forma proporcional a las horas transcurridas desde que se ingiere. Pasadas 1,6 horas de haber sido ingerido quedan en el organismo 125mg, ¿cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas? I. Pasada1horahayenelorganismo200mgdelmedicamento II. La constante de proporcionalidad es 50 III. El siguiente gráfico modela la situación 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X Y 200 150 100 50 0 Mg de medicamento Horas transcurridas a. Sólo I b. Sólo II c. Sólo I y II d. Sólo I y III e. I, II y III
  24. 24. | 197 | Santillana - Duoc UC Sesión 9 32. Laura quiere comenzar a andar en bicicleta y diseña un plan de acción que se ve representado en el siguiente gráfico, donde se relacionan en forma proporcional los minutos dedicados a andar en bicicleta y la distancia recorrida en kilómetros. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas? 0 30 60 X Y 30 25 20 15 10 5 0 KM recorridos Minutos I. Si hace ejercicio por media hora, recorre 5 km en bicicleta II. La constante de proporcionalidad es 0,16 III. Si Laura se dedica 1 hora y 24 minutos a andar en bicicleta, recorre 14 kilómetros. a. Sólo I b. Sólo III c. Sólo I y III d. Sólo II y III e. I, II y III 33. Un nutricionista le indica a un paciente que una porción de yogurt tiene 6,3 proteínas. Si el médico le indica a su paciente que debe consumir diariamente 5 porciones de yogurt con las mismas características, ¿cuántas proteínas debe consumir el paciente a la semana? a. 8,82 b. 31,5 c. 157,5 d. 126 e. 220,5 34. Eugenia se quiere comprar una estufa a parafina que gasta 2 litros del combustible en 5 horas. Si el consumo de parafina es proporcional al tiempo de uso, ¿cuántos litros de parafina se gastarán en 8 horas? a. 1,25 b. 2 c. 3,2 d. 11 e. 15 35. Una cuenta se dividirá en forma proporcional a la cantidad de personas que la compartirán, la situación se ve reflejada en el siguiente gráfico. ¿Cuál es la cuota que debe cancelar cada uno, si el grupo tiene en total 16 personas? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 X Y 300.000 250.000 200.000 150.000 100.000 50.000 0 $ Nº personas a. $17.500 b. $18.750 c. $21.875 d. $50.000 e. $114.286 36. Un jardinero utiliza 74,4 metros cuadrados de pasto para colocar la misma cantidad en 6 casas, ¿Cuántos metros cuadrados de pasto necesitará el jardinero para colocar en 14 casas iguales a las anteriores? a. 31,9 m 2 b. 94,4 m 2 c. 173,6 m 2 d. 297,6 m 2 e. 520,8 m 2 37. Jaime ahorra mensualmente la misma cantidad de dinero. Al consultar su saldo después de 15 meses, observa un total de $354.000. Si Jaime sigue ahorrando de la misma manera, ¿cuánto dinero tendrá ahorrado después de 32 meses? a. $165.938 b. $377.600 c. $708.000 d. $755.200 e. $826.000
  25. 25. Sesión 10 | 198 |Duoc UC - Santillana 38. Para construir un edifico el capataz de una obra determina que si tiene 70 trabajadores trabajando bajo las mismas condiciones demorarán 24 meses en terminarlo. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas? I. La constante de proporcionalidad es 1.680 II. Si el capataz contratara 14 trabajadores más, trabajando bajo las mismas condiciones, demorarían 20 meses en terminar el mismo edificio. III. Si se contratan más trabajadores, trabajando bajo las mismas condiciones, se demorarán más en terminar el mismo edificio. a. Sólo I b. Sólo III c. Sólo I y II d. Sólo I y III e. I, II y III 39. El siguiente gráfico presenta la relación proporcional entre los litros de pintura utilizados para pintar un muro y la superficie que se puede cubrir al pintar. ¿Cuántos litros de la misma pintura se deben comprar para pintar un muro de 68 metros cuadrados de superficie? a. 0,6 L b. 6 L c. 6,8 L 0 2 4 6 8 10 X Y 120 100 80 60 40 20 0 Superficie (metros cuadrados) Litros de pintura d. 7 L e. 10 L 40. Gonzalo necesita dejar su auto en un estacionamiento. Un letrero le indica que el costo por estacionar 30 minutos es de $800. Si el cobro del estacionamiento es proporcional al tiempo, ¿cuánto debe cancelar Gonzalo si permanece estacionado por 1 hora y 24 minutos? a. $640 b. $1.600 c. $1.720 d. $2.240 e. $3.040
  26. 26. | 199 | Santillana - Duoc UC Solucionario Sesión de ejercicios Nº 10 | 199 |Duoc UC - Santillana 1. Debe trabajar 12 horas 2. Se demora 300 minutos = 5 horas 3. Debe pagar $35.750 4. Aportan al organismo 680ml de agua 5. La contante de proporcionalidad es 2. Se deben cancelar $15.104 6. La constante de proporcionalidad es 0,05. Se necesitan 18,75 litros de combustible. 7. Se necesitan 40 bidones 8. Se necesitan 24 trabajadores extra 9. Les alcanza para 15 días 10. Viaja a 105 km/h 11. La constante de proporcionalidad es 600.000. Cada uno debe pagar $50.000 12. El tiempo de espera es de 12,5 minutos 13. La moto recorre 2.160 metros 14. Produce una ganancia de $5.400 15. Por 15 productos cancela $75.000 16. Se demorará 4,4 horas 17. Se demorará 4,7 horas 18. Se extrajeron 12,5 litros de agua de mar 19. Se necesitan 28.125 pastelones 20. Se demoran 16 horas 21. Gráfico B 22. Gráfico C Selección Múltiple: Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta 23 B 32 E 24 C 33 E 25 E 34 C 26 D 35 C 27 C 36 C 28 D 37 D 29 C 38 C 30 C 39 C 31 D 40 D

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