Resultados previos.Analiticidad de armónicas.               ReferenciasUn teorema de funciones armónicas.                 ...
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Analiticidad de funciones armónicas

  1. 1. Resultados previos.Analiticidad de armónicas. ReferenciasUn teorema de funciones armónicas. Franco Milanese Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Universidad de Concepción Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  2. 2. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. ReferenciasContenido 1 Resultados previos. Desigualdad de aproximación de Stirling. Teorema multinomial y un corolario. Teorema de estimas de las derivadas. 2 Analiticidad de armónicas. 3 Referencias Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  3. 3. Resultados previos. Desigualdad de aproximación de Stirling. Analiticidad de armónicas. Teorema multinomial y un corolario. Referencias Teorema de estimas de las derivadas.Primera desigualdad. ∀n ∈ N : nn e−n < n! ⇔ ∀n ∈ N : nln(n) − n < ln(n!).. (1) Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  4. 4. Resultados previos. Desigualdad de aproximación de Stirling. Analiticidad de armónicas. Teorema multinomial y un corolario. Referencias Teorema de estimas de las derivadas.Primera desigualdad. ∀n ∈ N : nn e−n < n! ⇔ ∀n ∈ N : nln(n) − n < ln(n!).. (1) nln(n!) = ln(i) i=1 Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  5. 5. Resultados previos. Desigualdad de aproximación de Stirling. Analiticidad de armónicas. Teorema multinomial y un corolario. Referencias Teorema de estimas de las derivadas.Primera desigualdad. ∀n ∈ N : nn e−n < n! ⇔ ∀n ∈ N : nln(n) − n < ln(n!).. (1) nln(n!) = ln(i) i=1 n n ln(i) > ln(s)ds,i=1 0 Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  6. 6. Resultados previos. Desigualdad de aproximación de Stirling. Analiticidad de armónicas. Teorema multinomial y un corolario. Referencias Teorema de estimas de las derivadas.Primera desigualdad. ∀n ∈ N : nn e−n < n! ⇔ ∀n ∈ N : nln(n) − n < ln(n!).. (1) nln(n!) = ln(i) i=1 n n ln(i) > ln(s)ds,i=1 0 nln(n!) > ln(s)ds = nln(n) − n, 0 Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  7. 7. Resultados previos. Desigualdad de aproximación de Stirling. Analiticidad de armónicas. Teorema multinomial y un corolario. Referencias Teorema de estimas de las derivadas.Primera desigualdad. ∀n ∈ N : nn e−n < n! ⇔ ∀n ∈ N : nln(n) − n < ln(n!).. (1) nln(n!) = ln(i) i=1 n n ln(i) > ln(s)ds,i=1 0 nln(n!) > ln(s)ds = nln(n) − n, 0 Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  8. 8. Resultados previos. Desigualdad de aproximación de Stirling. Analiticidad de armónicas. Teorema multinomial y un corolario. Referencias Teorema de estimas de las derivadas.Teorema multinomial:Dados n, m ∈ N, {xi }m ⊂ R es válido que: i=1 n (x1 + · · · + xm )n = α xα1 · xαm , 1 m |α|=mdonde: α ∈ son multíndices y α = . n Nm 0 n! α1 !···αm !Corolario [3]:Para todo multíndice α ∈ Nn se tiene que: 0 |α|! ≤ n|α| α!. (2) Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  9. 9. Resultados previos. Desigualdad de aproximación de Stirling. Analiticidad de armónicas. Teorema multinomial y un corolario. Referencias Teorema de estimas de las derivadas.Teorema multinomial:Dados n, m ∈ N, {xi }m ⊂ R es válido que: i=1 n (x1 + · · · + xm )n = α xα1 · xαm , 1 m |α|=mdonde: α ∈ son multíndices y α = . n Nm 0 n! α1 !···αm !Corolario [3]:Para todo multíndice α ∈ Nn se tiene que: 0 |α|! ≤ n|α| α!. (2) Demostración: En efecto, tenemos que: |α|! 1 n|α| = (1 + 1 + · · · + 1)|α| = (1, · · · , 1)β > |α|! . β! α! β=|α| Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  10. 10. Resultados previos. Desigualdad de aproximación de Stirling. Analiticidad de armónicas. Teorema multinomial y un corolario. Referencias Teorema de estimas de las derivadas.Teorema multinomial:Dados n, m ∈ N, {xi }m ⊂ R es válido que: i=1 n (x1 + · · · + xm )n = α xα1 · xαm , 1 m |α|=mdonde: α ∈ son multíndices y α = . n Nm 0 n! α1 !···αm !Corolario [3]:Para todo multíndice α ∈ Nn se tiene que: 0 |α|! ≤ n|α| α!. (2) Demostración: En efecto, tenemos que: |α|! 1 n|α| = (1 + 1 + · · · + 1)|α| = (1, · · · , 1)β > |α|! . β! α! β=|α| Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  11. 11. Resultados previos. Desigualdad de aproximación de Stirling. Analiticidad de armónicas. Teorema multinomial y un corolario. Referencias Teorema de estimas de las derivadas.Teorema 7 [2]:Estima de las derivadas. Si u es armónica en U entonces: 1 |Dα u(x0 )| ≤ Ck ||u||L1 (B(x0 ,r)) , (3) rn+kpara cualquier bola B(x0 , r) ⊂ U y para cualquier multíndice de orden k.Donde: 1 (2n+1 nk)k C0 = , Ck = . α(n) α(n) Demostración: [2], [1]. Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  12. 12. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. ReferenciasEnunciado. Teorema 10 [2]: Si u es armónica en U , entonces es análitica en U . Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  13. 13. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. ReferenciasDemostración. Sea u : U ⊂ Rn → R armónica, dado x0 ∈ U , deno r := dist(x0 , ∂U) 0, puesto U es abierto. Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  14. 14. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. ReferenciasDemostración. Sea u : U ⊂ Rn → R armónica, dado x0 ∈ U , deno r := dist(x0 , ∂U) 0, puesto U es abierto. Ahora, dado x ∈ B(x0 , r/4) ⊂ B(x0 , r) ⊂ U deno: gx (t) : [0, 1] → R, por gx (t) = u(x0 + t(x − x0 )) = u(wx (t)). Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  15. 15. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. ReferenciasDemostración. Sea u : U ⊂ Rn → R armónica, dado x0 ∈ U , deno r := dist(x0 , ∂U) 0, puesto U es abierto. Ahora, dado x ∈ B(x0 , r/4) ⊂ B(x0 , r) ⊂ U deno: gx (t) : [0, 1] → R, por gx (t) = u(x0 + t(x − x0 )) = u(wx (t)). Evidentemente wx (t) := x0 + t(x − x0 ) ∈ B(x0 , r), de esta manera gx está bien denida y además es suave. Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  16. 16. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. ReferenciasDemostración. Sea u : U ⊂ Rn → R armónica, dado x0 ∈ U , deno r := dist(x0 , ∂U) 0, puesto U es abierto. Ahora, dado x ∈ B(x0 , r/4) ⊂ B(x0 , r) ⊂ U deno: gx (t) : [0, 1] → R, por gx (t) = u(x0 + t(x − x0 )) = u(wx (t)). Evidentemente wx (t) := x0 + t(x − x0 ) ∈ B(x0 , r), de esta manera gx está bien denida y además es suave. Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  17. 17. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. ReferenciasConsidero la serie de Taylor de gx entorno a t = 0: N (i) gx (0) i gx (t) = t + RN (gx , t) i=0 i! N 1 i di = t gx (t)|t=0 + RN (gx , t) i=0 i! dti Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  18. 18. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. ReferenciasConsidero la serie de Taylor de gx entorno a t = 0: N (i) gx (0) i gx (t) = t + RN (gx , t) i=0 i! N 1 i di = t gx (t)|t=0 + RN (gx , t) i=0 i! dti N 1 i di = t (u ◦ wx )(t)|t=0 + RN (gx , t) i=0 i! dti Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  19. 19. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. ReferenciasConsidero la serie de Taylor de gx entorno a t = 0: N (i) gx (0) i gx (t) = t + RN (gx , t) i=0 i! N 1 i di = t gx (t)|t=0 + RN (gx , t) i=0 i! dti N 1 i di = t (u ◦ wx )(t)|t=0 + RN (gx , t) i=0 i! dti N 1 i = t Dα u(wx (0))wx (0)α + RN (gx , t) i=0 i! |α|=i Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  20. 20. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. ReferenciasConsidero la serie de Taylor de gx entorno a t = 0: N (i) gx (0) i gx (t) = t + RN (gx , t) i=0 i! N 1 i di = t gx (t)|t=0 + RN (gx , t) i=0 i! dti N 1 i di = t (u ◦ wx )(t)|t=0 + RN (gx , t) i=0 i! dti N 1 i = t Dα u(wx (0))wx (0)α + RN (gx , t) i=0 i! |α|=i N 1 i = t Dα u(x0 )(x − x0 )α + RN (gx , t). i=0 i! |α|=i Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  21. 21. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. ReferenciasConsidero la serie de Taylor de gx entorno a t = 0: N (i) gx (0) i gx (t) = t + RN (gx , t) i=0 i! N 1 i di = t gx (t)|t=0 + RN (gx , t) i=0 i! dti N 1 i di = t (u ◦ wx )(t)|t=0 + RN (gx , t) i=0 i! dti N 1 i = t Dα u(wx (0))wx (0)α + RN (gx , t) i=0 i! |α|=i N 1 i = t Dα u(x0 )(x − x0 )α + RN (gx , t). i=0 i! |α|=i Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  22. 22. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. ReferenciasSe observa que gx (1) = u(x), entonces: N 1 u(x) − Dα u(x0 )(x − x0 )α = RN (gx , 1). i=0 i! |α|=k Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  23. 23. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. ReferenciasSe observa que gx (1) = u(x), entonces: N 1 u(x) − Dα u(x0 )(x − x0 )α = RN (gx , 1). i=0 i! |α|=kConsiderando el resto de Lagrange para al expansión en serie de Taylor degx , tenemos que ∃ξ ∈ [0, 1] : Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  24. 24. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. ReferenciasSe observa que gx (1) = u(x), entonces: N 1 u(x) − Dα u(x0 )(x − x0 )α = RN (gx , 1). i=0 i! |α|=kConsiderando el resto de Lagrange para al expansión en serie de Taylor degx , tenemos que ∃ξ ∈ [0, 1] : (N ) gx (ξ) N dN 1RN (gx , 1) = 1 = N gx (ξ) = Dα (x0 +ξ(x−x0 ))(x−x0 )α . N! dt |α|! |α|=N Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  25. 25. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. ReferenciasSe observa que gx (1) = u(x), entonces: N 1 u(x) − Dα u(x0 )(x − x0 )α = RN (gx , 1). i=0 i! |α|=kConsiderando el resto de Lagrange para al expansión en serie de Taylor degx , tenemos que ∃ξ ∈ [0, 1] : (N ) gx (ξ) N dN 1RN (gx , 1) = 1 = N gx (ξ) = Dα (x0 +ξ(x−x0 ))(x−x0 )α . N! dt |α|! |α|=N Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  26. 26. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. ReferenciasVeamos que este resto cae cuando N → ∞, en efecto considerando quex ∈ B(x0 , 2n+2 n3 e ) tenemos que: r |Dβ u(x0 )| |RN (gx , 1)| ≤ |x − x0 ||β| , des. triangular |β|! |β|=N Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  27. 27. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. ReferenciasVeamos que este resto cae cuando N → ∞, en efecto considerando quex ∈ B(x0 , 2n+2 n3 e ) tenemos que: r |Dβ u(x0 )| |RN (gx , 1)| ≤ |x − x0 ||β| , des. triangular |β|! |β|=N 1 (2n+1 n|β|)|β| ||u||L1 (B(x0 ,2r)) ≤ |x − x0 ||β| , gracias a 3 β! α(n) rn+|β| |β|=N Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  28. 28. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. ReferenciasVeamos que este resto cae cuando N → ∞, en efecto considerando quex ∈ B(x0 , 2n+2 n3 e ) tenemos que: r |Dβ u(x0 )| |RN (gx , 1)| ≤ |x − x0 ||β| , des. triangular |β|! |β|=N 1 (2n+1 n|β|)|β| ||u||L1 (B(x0 ,2r)) ≤ |x − x0 ||β| , gracias a 3 β! α(n) rn+|β| |β|=N ||u||L1 (B(x ,2r) 2(n+1)|β| n|β| |β||β| = α(n)r n 0 |x − x0 ||β| , reordenando r|β| β! |β|=N Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  29. 29. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. ReferenciasVeamos que este resto cae cuando N → ∞, en efecto considerando quex ∈ B(x0 , 2n+2 n3 e ) tenemos que: r |Dβ u(x0 )| |RN (gx , 1)| ≤ |x − x0 ||β| , des. triangular |β|! |β|=N 1 (2n+1 n|β|)|β| ||u||L1 (B(x0 ,2r)) ≤ |x − x0 ||β| , gracias a 3 β! α(n) rn+|β| |β|=N ||u||L1 (B(x ,2r) 2(n+1)|β| n|β| |β||β| = α(n)r n 0 |x − x0 ||β| , reordenando r|β| β! |β|=N 2(n+1)|β| n|β| |β||β| =: M (u, r, n) |x − x0 ||β| , deno M r|β| β! |β|=N Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  30. 30. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. ReferenciasVeamos que este resto cae cuando N → ∞, en efecto considerando quex ∈ B(x0 , 2n+2 n3 e ) tenemos que: r |Dβ u(x0 )| |RN (gx , 1)| ≤ |x − x0 ||β| , des. triangular |β|! |β|=N 1 (2n+1 n|β|)|β| ||u||L1 (B(x0 ,2r)) ≤ |x − x0 ||β| , gracias a 3 β! α(n) rn+|β| |β|=N ||u||L1 (B(x ,2r) 2(n+1)|β| n|β| |β||β| = α(n)r n 0 |x − x0 ||β| , reordenando r|β| β! |β|=N 2(n+1)|β| n|β| |β||β| =: M (u, r, n) |x − x0 ||β| , deno M r|β| β! |β|=N 2(n+1)|β| n|β| e|β| |β|! ≤ M (u, r, n) |x − x0 ||β| , gracias a 1 r|β| β! |β|=N Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  31. 31. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. ReferenciasVeamos que este resto cae cuando N → ∞, en efecto considerando quex ∈ B(x0 , 2n+2 n3 e ) tenemos que: r |Dβ u(x0 )| |RN (gx , 1)| ≤ |x − x0 ||β| , des. triangular |β|! |β|=N 1 (2n+1 n|β|)|β| ||u||L1 (B(x0 ,2r)) ≤ |x − x0 ||β| , gracias a 3 β! α(n) rn+|β| |β|=N ||u||L1 (B(x ,2r) 2(n+1)|β| n|β| |β||β| = α(n)r n 0 |x − x0 ||β| , reordenando r|β| β! |β|=N 2(n+1)|β| n|β| |β||β| =: M (u, r, n) |x − x0 ||β| , deno M r|β| β! |β|=N 2(n+1)|β| n|β| e|β| |β|! ≤ M (u, r, n) |x − x0 ||β| , gracias a 1 r|β| β! |β|=N Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  32. 32. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. Referencias 2(n+1)|β| n|β| e|β| n|β| β!≤ M (u, r, n) |x − x0 ||β| , gracias a 2 r|β| β! |β|=N Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  33. 33. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. Referencias 2(n+1)|β| n|β| e|β| n|β| β!≤ M (u, r, n) |x − x0 ||β| , gracias a 2 r|β| β! |β|=N |β| 2(n+1) n2 e= M (u, r, n) |x − x0 ||β| , simplicando r |β|=N Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  34. 34. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. Referencias 2(n+1)|β| n|β| e|β| n|β| β!≤ M (u, r, n) |x − x0 ||β| , gracias a 2 r|β| β! |β|=N |β| 2(n+1) n2 e= M (u, r, n) |x − x0 ||β| , simplicando r |β|=N |β| 2(n+1) n2 e r |β|≤ M (u, r, n) , restricción sobre |x − x0 | r 2n+2 n3 e |β|=N Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  35. 35. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. Referencias 2(n+1)|β| n|β| e|β| n|β| β!≤ M (u, r, n) |x − x0 ||β| , gracias a 2 r|β| β! |β|=N |β| 2(n+1) n2 e= M (u, r, n) |x − x0 ||β| , simplicando r |β|=N |β| 2(n+1) n2 e r |β|≤ M (u, r, n) , restricción sobre |x − x0 | r 2n+2 n3 e |β|=N= M (u, r, n) |β|=N 1 |β| 2n , simplicando Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  36. 36. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. Referencias 2(n+1)|β| n|β| e|β| n|β| β!≤ M (u, r, n) |x − x0 ||β| , gracias a 2 r|β| β! |β|=N |β| 2(n+1) n2 e= M (u, r, n) |x − x0 ||β| , simplicando r |β|=N |β| 2(n+1) n2 e r |β|≤ M (u, r, n) , restricción sobre |x − x0 | r 2n+2 n3 e |β|=N= M (u, r, n) |β|=N 1 |β| 2n , simplicando= M (u, r, n) 1 N 2n |β|=N 1, factorizando Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  37. 37. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. Referencias 2(n+1)|β| n|β| e|β| n|β| β!≤ M (u, r, n) |x − x0 ||β| , gracias a 2 r|β| β! |β|=N |β| 2(n+1) n2 e= M (u, r, n) |x − x0 ||β| , simplicando r |β|=N |β| 2(n+1) n2 e r |β|≤ M (u, r, n) , restricción sobre |x − x0 | r 2n+2 n3 e |β|=N= M (u, r, n) |β|=N 1 |β| 2n , simplicando= M (u, r, n) 1 N 2n |β|=N 1, factorizando≤ M (u, r, n) 1 N 2n nN , cardinalidad del conjunto Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  38. 38. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. Referencias 2(n+1)|β| n|β| e|β| n|β| β!≤ M (u, r, n) |x − x0 ||β| , gracias a 2 r|β| β! |β|=N |β| 2(n+1) n2 e= M (u, r, n) |x − x0 ||β| , simplicando r |β|=N |β| 2(n+1) n2 e r |β|≤ M (u, r, n) , restricción sobre |x − x0 | r 2n+2 n3 e |β|=N= M (u, r, n) |β|=N 1 |β| 2n , simplicando= M (u, r, n) 1 N 2n |β|=N 1, factorizando≤ M (u, r, n) 1 N 2n nN , cardinalidad del conjunto= M (u, r, n) 21 −→ 0. N Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  39. 39. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. Referencias 2(n+1)|β| n|β| e|β| n|β| β!≤ M (u, r, n) |x − x0 ||β| , gracias a 2 r|β| β! |β|=N |β| 2(n+1) n2 e= M (u, r, n) |x − x0 ||β| , simplicando r |β|=N |β| 2(n+1) n2 e r |β|≤ M (u, r, n) , restricción sobre |x − x0 | r 2n+2 n3 e |β|=N= M (u, r, n) |β|=N 1 |β| 2n , simplicando= M (u, r, n) 1 N 2n |β|=N 1, factorizando≤ M (u, r, n) 1 N 2n nN , cardinalidad del conjunto= M (u, r, n) 21 −→ 0. N Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .
  40. 40. Resultados previos. Analiticidad de armónicas. ReferenciasReferencias Equazioni a derivate parzialli. Metodi, modelli e applicazioni. Salsa S. . Springer-Verlarg Italia 2010. Partial Dierential Equations. Evan L.. Graduate studies in mathemathics AMS 1997. Partial Dierential Equations. Mikhailov V.P. MIR Publishers, Moscow 1978. Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

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