Analiticidad de funciones armónicas con cotas de derivadas

1. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
Un teorema de funciones armónicas.
Franco Milanese
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Universidad de Concepción
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

2. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
Contenido
1 Resultados previos.
Desigualdad de aproximación de Stirling.
Teorema multinomial y un corolario.
Teorema de estimas de las derivadas.
2 Analiticidad de armónicas.
3 Referencias
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

3. Resultados previos. Desigualdad de aproximación de Stirling.
Analiticidad de armónicas. Teorema multinomial y un corolario.
Referencias Teorema de estimas de las derivadas.
Primera desigualdad.
∀n ∈ N : nn e−n < n! ⇔ ∀n ∈ N : nln(n) − n < ln(n!).. (1)
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

4. Resultados previos. Desigualdad de aproximación de Stirling.
Analiticidad de armónicas. Teorema multinomial y un corolario.
Referencias Teorema de estimas de las derivadas.
Primera desigualdad.
∀n ∈ N : nn e−n < n! ⇔ ∀n ∈ N : nln(n) − n < ln(n!).. (1)
n
ln(n!) = ln(i)
i=1
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

5. Resultados previos. Desigualdad de aproximación de Stirling.
Analiticidad de armónicas. Teorema multinomial y un corolario.
Referencias Teorema de estimas de las derivadas.
Primera desigualdad.
∀n ∈ N : nn e−n < n! ⇔ ∀n ∈ N : nln(n) − n < ln(n!).. (1)
n
ln(n!) = ln(i)
i=1
n n
ln(i) > ln(s)ds,
i=1 0
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

6. Resultados previos. Desigualdad de aproximación de Stirling.
Analiticidad de armónicas. Teorema multinomial y un corolario.
Referencias Teorema de estimas de las derivadas.
Primera desigualdad.
∀n ∈ N : nn e−n < n! ⇔ ∀n ∈ N : nln(n) − n < ln(n!).. (1)
n
ln(n!) = ln(i)
i=1
n n
ln(i) > ln(s)ds,
i=1 0
n
ln(n!) > ln(s)ds = nln(n) − n,
0
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

7. Resultados previos. Desigualdad de aproximación de Stirling.
Analiticidad de armónicas. Teorema multinomial y un corolario.
Referencias Teorema de estimas de las derivadas.
Primera desigualdad.
∀n ∈ N : nn e−n < n! ⇔ ∀n ∈ N : nln(n) − n < ln(n!).. (1)
n
ln(n!) = ln(i)
i=1
n n
ln(i) > ln(s)ds,
i=1 0
n
ln(n!) > ln(s)ds = nln(n) − n,
0
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

8. Resultados previos. Desigualdad de aproximación de Stirling.
Analiticidad de armónicas. Teorema multinomial y un corolario.
Referencias Teorema de estimas de las derivadas.
Teorema multinomial:
Dados n, m ∈ N, {xi }m ⊂ R es válido que:
i=1
n
(x1 + · · · + xm )n = α xα1 · xαm ,
1 m
|α|=m
donde: α ∈ son multíndices y α = .
n
Nm
0
n!
α1 !···αm !
Corolario [3]:
Para todo multíndice α ∈ Nn se tiene que:
0
|α|! ≤ n|α| α!. (2)
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9. Resultados previos. Desigualdad de aproximación de Stirling.
Analiticidad de armónicas. Teorema multinomial y un corolario.
Referencias Teorema de estimas de las derivadas.
Teorema multinomial:
Dados n, m ∈ N, {xi }m ⊂ R es válido que:
i=1
n
(x1 + · · · + xm )n = α xα1 · xαm ,
1 m
|α|=m
donde: α ∈ son multíndices y α = .
n
Nm
0
n!
α1 !···αm !
Corolario [3]:
Para todo multíndice α ∈ Nn se tiene que:
0
|α|! ≤ n|α| α!. (2)
Demostración: En efecto, tenemos que:
|α|! 1
n|α| = (1 + 1 + · · · + 1)|α| = (1, · · · , 1)β > |α|! .
β! α!
β=|α|
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10. Resultados previos. Desigualdad de aproximación de Stirling.
Analiticidad de armónicas. Teorema multinomial y un corolario.
Referencias Teorema de estimas de las derivadas.
Teorema multinomial:
Dados n, m ∈ N, {xi }m ⊂ R es válido que:
i=1
n
(x1 + · · · + xm )n = α xα1 · xαm ,
1 m
|α|=m
donde: α ∈ son multíndices y α = .
n
Nm
0
n!
α1 !···αm !
Corolario [3]:
Para todo multíndice α ∈ Nn se tiene que:
0
|α|! ≤ n|α| α!. (2)
Demostración: En efecto, tenemos que:
|α|! 1
n|α| = (1 + 1 + · · · + 1)|α| = (1, · · · , 1)β > |α|! .
β! α!
β=|α|
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11. Resultados previos. Desigualdad de aproximación de Stirling.
Analiticidad de armónicas. Teorema multinomial y un corolario.
Referencias Teorema de estimas de las derivadas.
Teorema 7 [2]:
Estima de las derivadas. Si u es armónica en U entonces:
1
|Dα u(x0 )| ≤ Ck ||u||L1 (B(x0 ,r)) , (3)
rn+k
para cualquier bola B(x0 , r) ⊂ U y para cualquier multíndice de orden k.
Donde:
1 (2n+1 nk)k
C0 = , Ck = .
α(n) α(n)
Demostración: [2], [1].
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12. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
Enunciado.
Teorema 10 [2]:
Si u es armónica en U , entonces es análitica en U .
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13. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
Demostración.
Sea u : U ⊂ Rn → R armónica, dado x0 ∈ U , deno r := dist(x0 , ∂U) 0,
puesto U es abierto.
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

14. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
Demostración.
Sea u : U ⊂ Rn → R armónica, dado x0 ∈ U , deno r := dist(x0 , ∂U) 0,
puesto U es abierto.
Ahora, dado x ∈ B(x0 , r/4) ⊂ B(x0 , r) ⊂ U deno:
gx (t) : [0, 1] → R, por gx (t) = u(x0 + t(x − x0 )) = u(wx (t)).
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

15. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
Demostración.
Sea u : U ⊂ Rn → R armónica, dado x0 ∈ U , deno r := dist(x0 , ∂U) 0,
puesto U es abierto.
Ahora, dado x ∈ B(x0 , r/4) ⊂ B(x0 , r) ⊂ U deno:
gx (t) : [0, 1] → R, por gx (t) = u(x0 + t(x − x0 )) = u(wx (t)).
Evidentemente wx (t) := x0 + t(x − x0 ) ∈ B(x0 , r), de esta manera gx
está bien denida y además es suave.
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

16. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
Demostración.
Sea u : U ⊂ Rn → R armónica, dado x0 ∈ U , deno r := dist(x0 , ∂U) 0,
puesto U es abierto.
Ahora, dado x ∈ B(x0 , r/4) ⊂ B(x0 , r) ⊂ U deno:
gx (t) : [0, 1] → R, por gx (t) = u(x0 + t(x − x0 )) = u(wx (t)).
Evidentemente wx (t) := x0 + t(x − x0 ) ∈ B(x0 , r), de esta manera gx
está bien denida y además es suave.
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

17. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
Considero la serie de Taylor de gx entorno a t = 0:
N (i)
gx (0) i
gx (t) = t + RN (gx , t)
i=0
i!
N
1 i di
= t gx (t)|t=0 + RN (gx , t)
i=0
i! dti
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

18. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
Considero la serie de Taylor de gx entorno a t = 0:
N (i)
gx (0) i
gx (t) = t + RN (gx , t)
i=0
i!
N
1 i di
= t gx (t)|t=0 + RN (gx , t)
i=0
i! dti
N
1 i di
= t (u ◦ wx )(t)|t=0 + RN (gx , t)
i=0
i! dti
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

19. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
Considero la serie de Taylor de gx entorno a t = 0:
N (i)
gx (0) i
gx (t) = t + RN (gx , t)
i=0
i!
N
1 i di
= t gx (t)|t=0 + RN (gx , t)
i=0
i! dti
N
1 i di
= t (u ◦ wx )(t)|t=0 + RN (gx , t)
i=0
i! dti
N
1 i
= t Dα u(wx (0))wx (0)α + RN (gx , t)
i=0
i!
|α|=i
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

20. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
Considero la serie de Taylor de gx entorno a t = 0:
N (i)
gx (0) i
gx (t) = t + RN (gx , t)
i=0
i!
N
1 i di
= t gx (t)|t=0 + RN (gx , t)
i=0
i! dti
N
1 i di
= t (u ◦ wx )(t)|t=0 + RN (gx , t)
i=0
i! dti
N
1 i
= t Dα u(wx (0))wx (0)α + RN (gx , t)
i=0
i!
|α|=i
N
1 i
= t Dα u(x0 )(x − x0 )α + RN (gx , t).
i=0
i!
|α|=i
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

21. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
Considero la serie de Taylor de gx entorno a t = 0:
N (i)
gx (0) i
gx (t) = t + RN (gx , t)
i=0
i!
N
1 i di
= t gx (t)|t=0 + RN (gx , t)
i=0
i! dti
N
1 i di
= t (u ◦ wx )(t)|t=0 + RN (gx , t)
i=0
i! dti
N
1 i
= t Dα u(wx (0))wx (0)α + RN (gx , t)
i=0
i!
|α|=i
N
1 i
= t Dα u(x0 )(x − x0 )α + RN (gx , t).
i=0
i!
|α|=i
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

22. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
Se observa que gx (1) = u(x), entonces:
N
1
u(x) − Dα u(x0 )(x − x0 )α = RN (gx , 1).
i=0
i!
|α|=k
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

23. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
Se observa que gx (1) = u(x), entonces:
N
1
u(x) − Dα u(x0 )(x − x0 )α = RN (gx , 1).
i=0
i!
|α|=k
Considerando el resto de Lagrange para al expansión en serie de Taylor de
gx , tenemos que ∃ξ ∈ [0, 1] :
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

24. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
Se observa que gx (1) = u(x), entonces:
N
1
u(x) − Dα u(x0 )(x − x0 )α = RN (gx , 1).
i=0
i!
|α|=k
Considerando el resto de Lagrange para al expansión en serie de Taylor de
gx , tenemos que ∃ξ ∈ [0, 1] :
(N )
gx (ξ) N dN 1
RN (gx , 1) = 1 = N gx (ξ) = Dα (x0 +ξ(x−x0 ))(x−x0 )α .
N! dt |α|!
|α|=N
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

25. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
Se observa que gx (1) = u(x), entonces:
N
1
u(x) − Dα u(x0 )(x − x0 )α = RN (gx , 1).
i=0
i!
|α|=k
Considerando el resto de Lagrange para al expansión en serie de Taylor de
gx , tenemos que ∃ξ ∈ [0, 1] :
(N )
gx (ξ) N dN 1
RN (gx , 1) = 1 = N gx (ξ) = Dα (x0 +ξ(x−x0 ))(x−x0 )α .
N! dt |α|!
|α|=N
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

26. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
Veamos que este resto cae cuando N → ∞, en efecto considerando que
x ∈ B(x0 , 2n+2 n3 e ) tenemos que:
r
|Dβ u(x0 )|
|RN (gx , 1)| ≤ |x − x0 ||β| , des. triangular
|β|!
|β|=N
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

27. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
Veamos que este resto cae cuando N → ∞, en efecto considerando que
x ∈ B(x0 , 2n+2 n3 e ) tenemos que:
r
|Dβ u(x0 )|
|RN (gx , 1)| ≤ |x − x0 ||β| , des. triangular
|β|!
|β|=N
1 (2n+1 n|β|)|β| ||u||L1 (B(x0 ,2r))
≤ |x − x0 ||β| , gracias a 3
β! α(n) rn+|β|
|β|=N
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

28. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
Veamos que este resto cae cuando N → ∞, en efecto considerando que
x ∈ B(x0 , 2n+2 n3 e ) tenemos que:
r
|Dβ u(x0 )|
|RN (gx , 1)| ≤ |x − x0 ||β| , des. triangular
|β|!
|β|=N
1 (2n+1 n|β|)|β| ||u||L1 (B(x0 ,2r))
≤ |x − x0 ||β| , gracias a 3
β! α(n) rn+|β|
|β|=N
||u||L1 (B(x ,2r) 2(n+1)|β| n|β| |β||β|
= α(n)r n
0
|x − x0 ||β| , reordenando
r|β| β!
|β|=N
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

29. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
Veamos que este resto cae cuando N → ∞, en efecto considerando que
x ∈ B(x0 , 2n+2 n3 e ) tenemos que:
r
|Dβ u(x0 )|
|RN (gx , 1)| ≤ |x − x0 ||β| , des. triangular
|β|!
|β|=N
1 (2n+1 n|β|)|β| ||u||L1 (B(x0 ,2r))
≤ |x − x0 ||β| , gracias a 3
β! α(n) rn+|β|
|β|=N
||u||L1 (B(x ,2r) 2(n+1)|β| n|β| |β||β|
= α(n)r n
0
|x − x0 ||β| , reordenando
r|β| β!
|β|=N
2(n+1)|β| n|β| |β||β|
=: M (u, r, n) |x − x0 ||β| , deno M
r|β| β!
|β|=N
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

30. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
Veamos que este resto cae cuando N → ∞, en efecto considerando que
x ∈ B(x0 , 2n+2 n3 e ) tenemos que:
r
|Dβ u(x0 )|
|RN (gx , 1)| ≤ |x − x0 ||β| , des. triangular
|β|!
|β|=N
1 (2n+1 n|β|)|β| ||u||L1 (B(x0 ,2r))
≤ |x − x0 ||β| , gracias a 3
β! α(n) rn+|β|
|β|=N
||u||L1 (B(x ,2r) 2(n+1)|β| n|β| |β||β|
= α(n)r n
0
|x − x0 ||β| , reordenando
r|β| β!
|β|=N
2(n+1)|β| n|β| |β||β|
=: M (u, r, n) |x − x0 ||β| , deno M
r|β| β!
|β|=N
2(n+1)|β| n|β| e|β| |β|!
≤ M (u, r, n) |x − x0 ||β| , gracias a 1
r|β| β!
|β|=N
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

31. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
Veamos que este resto cae cuando N → ∞, en efecto considerando que
x ∈ B(x0 , 2n+2 n3 e ) tenemos que:
r
|Dβ u(x0 )|
|RN (gx , 1)| ≤ |x − x0 ||β| , des. triangular
|β|!
|β|=N
1 (2n+1 n|β|)|β| ||u||L1 (B(x0 ,2r))
≤ |x − x0 ||β| , gracias a 3
β! α(n) rn+|β|
|β|=N
||u||L1 (B(x ,2r) 2(n+1)|β| n|β| |β||β|
= α(n)r n
0
|x − x0 ||β| , reordenando
r|β| β!
|β|=N
2(n+1)|β| n|β| |β||β|
=: M (u, r, n) |x − x0 ||β| , deno M
r|β| β!
|β|=N
2(n+1)|β| n|β| e|β| |β|!
≤ M (u, r, n) |x − x0 ||β| , gracias a 1
r|β| β!
|β|=N
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

32. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
2(n+1)|β| n|β| e|β| n|β| β!
≤ M (u, r, n) |x − x0 ||β| , gracias a 2
r|β| β!
|β|=N
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

33. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
2(n+1)|β| n|β| e|β| n|β| β!
≤ M (u, r, n) |x − x0 ||β| , gracias a 2
r|β| β!
|β|=N
|β|
2(n+1) n2 e
= M (u, r, n) |x − x0 ||β| , simplicando
r
|β|=N
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

34. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
2(n+1)|β| n|β| e|β| n|β| β!
≤ M (u, r, n) |x − x0 ||β| , gracias a 2
r|β| β!
|β|=N
|β|
2(n+1) n2 e
= M (u, r, n) |x − x0 ||β| , simplicando
r
|β|=N
|β|
2(n+1) n2 e r |β|
≤ M (u, r, n) , restricción sobre |x − x0 |
r 2n+2 n3 e
|β|=N
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

35. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
2(n+1)|β| n|β| e|β| n|β| β!
≤ M (u, r, n) |x − x0 ||β| , gracias a 2
r|β| β!
|β|=N
|β|
2(n+1) n2 e
= M (u, r, n) |x − x0 ||β| , simplicando
r
|β|=N
|β|
2(n+1) n2 e r |β|
≤ M (u, r, n) , restricción sobre |x − x0 |
r 2n+2 n3 e
|β|=N
= M (u, r, n) |β|=N
1 |β|
2n
, simplicando
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

36. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
2(n+1)|β| n|β| e|β| n|β| β!
≤ M (u, r, n) |x − x0 ||β| , gracias a 2
r|β| β!
|β|=N
|β|
2(n+1) n2 e
= M (u, r, n) |x − x0 ||β| , simplicando
r
|β|=N
|β|
2(n+1) n2 e r |β|
≤ M (u, r, n) , restricción sobre |x − x0 |
r 2n+2 n3 e
|β|=N
= M (u, r, n) |β|=N
1 |β|
2n
, simplicando
= M (u, r, n) 1 N
2n |β|=N 1, factorizando
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

37. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
2(n+1)|β| n|β| e|β| n|β| β!
≤ M (u, r, n) |x − x0 ||β| , gracias a 2
r|β| β!
|β|=N
|β|
2(n+1) n2 e
= M (u, r, n) |x − x0 ||β| , simplicando
r
|β|=N
|β|
2(n+1) n2 e r |β|
≤ M (u, r, n) , restricción sobre |x − x0 |
r 2n+2 n3 e
|β|=N
= M (u, r, n) |β|=N
1 |β|
2n
, simplicando
= M (u, r, n) 1 N
2n |β|=N 1, factorizando
≤ M (u, r, n) 1 N
2n
nN , cardinalidad del conjunto
Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

38. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
2(n+1)|β| n|β| e|β| n|β| β!
≤ M (u, r, n) |x − x0 ||β| , gracias a 2
r|β| β!
|β|=N
|β|
2(n+1) n2 e
= M (u, r, n) |x − x0 ||β| , simplicando
r
|β|=N
|β|
2(n+1) n2 e r |β|
≤ M (u, r, n) , restricción sobre |x − x0 |
r 2n+2 n3 e
|β|=N
= M (u, r, n) |β|=N
1 |β|
2n
, simplicando
= M (u, r, n) 1 N
2n |β|=N 1, factorizando
≤ M (u, r, n) 1 N
2n
nN , cardinalidad del conjunto
= M (u, r, n) 21 −→ 0.
N
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39. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
2(n+1)|β| n|β| e|β| n|β| β!
≤ M (u, r, n) |x − x0 ||β| , gracias a 2
r|β| β!
|β|=N
|β|
2(n+1) n2 e
= M (u, r, n) |x − x0 ||β| , simplicando
r
|β|=N
|β|
2(n+1) n2 e r |β|
≤ M (u, r, n) , restricción sobre |x − x0 |
r 2n+2 n3 e
|β|=N
= M (u, r, n) |β|=N
1 |β|
2n
, simplicando
= M (u, r, n) 1 N
2n |β|=N 1, factorizando
≤ M (u, r, n) 1 N
2n
nN , cardinalidad del conjunto
= M (u, r, n) 21 −→ 0.
N
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40. Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias
Referencias
Equazioni a derivate parzialli. Metodi, modelli e applicazioni. Salsa S. .
Springer-Verlarg Italia 2010.
Partial Dierential Equations. Evan L.. Graduate studies in
mathemathics AMS 1997.
Partial Dierential Equations. Mikhailov V.P. MIR Publishers,
Moscow 1978.
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