Las Matrices       Curso: PRE-CÁLCULO       Frances R Meléndez         José Maldonado  Dr. Juan J. Maunez Pimentel       4...
¿Qué es una matriz?• Arreglo rectangular de números usando filas y  columnas.• Ejemplo:• A cada número de una matriz se le...
Cont.• Si una matriz tiene m renglones y n columnas,  se llama matriz m x n. Esta expresión se  conoce como tamaño de la m...
Tipos de matrices• Matriz de fila: solo tiene una fila.                    B= [4 -5 9]• Matriz columna: matriz con solo un...
Cont• Matriz cuadrada: tiene el mismo número de  columnas y el mismo número de filas, es decir  su dimensión es m x m o m....
Cont.Triangular superior: si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos.                   1 7    ...
Cont.• Matriz diagonal: cuando es triangular superior  y triangular inferior a la vez. Solo tiene  elementos en diagonal p...
Notación de la posición de los       elementos en la matriz• Es el renglón y la columna que contiene al  elemento.• Se obs...
Cont• Nota: a12 se lee “a subíndice uno, dos” los  elementos a11=2 y a22=0 esto es la diagonal  principal de A. La misma c...
Matriz aumentada• Una matriz aumentada se crea mediante la  unión de dos matrices. Sea que A y BEntonces, la matriz aument...
Renglón equivalente• Dos matrices aumentadas.• Se utiliza este simbolo ~ entre dos matrices si  son aumentadas de sistema ...
Teorema 3• Operaciones de renglón que realizan matrices  de renglón equivalente.• Para obtener una matriz de renglón  equi...
Para los números reales m, n, p: p = 0• Modelo 1: una solución única (Consistentes e  independientes). 1 0 m              ...
Solución de sistemas lineales  mediante matrices aumentadas• Para llevar acabo este proceso se necesita  seguir una sería ...
Cont.2. En la esquina inferior izquierda debes tener    un cero, se multiplica R1 por -3 y se le suma a    R2 cambiando a ...
Cont3.Para obtener un 1 en el segundo renglón                                        1(segunda columna) se multiplica R2 p...
Cont.4. Para obtener un 0 en el primer renglón,  segunda columna, se multiplica R2 por 2 y se  suma el resultado a R1. Est...
Cont.• La última matriz es la matriz aumentada para  el sistema.• Siguiendo estos pasos obtenemos:                  x1 = 3...
Problemas para resolverBasadas en las siguientes matrices, resuelve losejercicios 15, 17, 19, 21, 23
Cont.15) ¿Cuál es el tamaño de A? ¿ y de C? El tamaño de la matriz A es 2x3 y la C 1x3.17) Identifique a todas las matric...
Cont.19) Identifique a todas las matrices cuadradas. La matriz cuadrada el la B ya que la misma  tiene el mismo número de...
Cont.23) Encuentre los elementos en la diagonal  principal de la matriz B. Los elementos en la diagonal principal de la  ...
Resuelve el ejercicio mediante      métodos de matriz aumentada45) 2x1 + 2x2 = 6    x1 x2 = -3  2       16                ...
Cont.    1   1 3    1                 R₂      R₂~              3    0   312  1     13~  0     14    0   1 4  1     13~    ...
ComprobaciónEjercicio original   Resultado obtenido2x₁ + x₂ = 6           x₁ = 1x₁ x₂ = 3             x₂ = 42(1) + 4= 6   ...
Opinión personal• Este trabajo fue uno de suma dificultad para  mi debido a la poca familiaridad que poseo  con la elabora...
Opinión personal• Mi opinión sobre el trabajo es que fue un  poco, no díficil, pero dificultoso de entender.  No me veo us...
Referencia• PRE-CALCULO FUNCIONES Y GRAFICAS  Autores: Barnett, Ziegler y Byleen  (cuarta edición).
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  1. 1. Las Matrices Curso: PRE-CÁLCULO Frances R Meléndez José Maldonado Dr. Juan J. Maunez Pimentel 4 de mayo de 2012 Sr. Pomales
  2. 2. ¿Qué es una matriz?• Arreglo rectangular de números usando filas y columnas.• Ejemplo:• A cada número de una matriz se le denomina como elemento.
  3. 3. Cont.• Si una matriz tiene m renglones y n columnas, se llama matriz m x n. Esta expresión se conoce como tamaño de la matriz. Los números m y n se conocen como dimensiones de la matriz. Una matriz con renglón y columna n se denomina matriz cuadrada de orden n.• Nota: Siempre se escribe primero el número de renglones.
  4. 4. Tipos de matrices• Matriz de fila: solo tiene una fila. B= [4 -5 9]• Matriz columna: matriz con solo una columna.• Matriz nula: matriz en la cual todos los elementos son cero. 0 0 Z= 0 0
  5. 5. Cont• Matriz cuadrada: tiene el mismo número de columnas y el mismo número de filas, es decir su dimensión es m x m o m. C= 3 2 7 4• Matriz triangular: es una matriz dentro de los matrices cuadradas. Dentro de ésta existen dos tipos y son los siguientes:
  6. 6. Cont.Triangular superior: si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos. 1 7 2 B= 0 3 4 0 0 2Triangular inferior: si todos los elemtos por encima de la diagonal principal son nulos. 5 0 0 7 8 0 D= 3 1 2
  7. 7. Cont.• Matriz diagonal: cuando es triangular superior y triangular inferior a la vez. Solo tiene elementos en diagonal principal. A= 5 0 0 0 8 0 0 0 2• Matriz unidad o identidad: es una matriz diagonal que tiene en su diagonal principal elementos igual a uno. Suelen estar representado por In donde n es el tamaño de la matriz. I2= 1 0 0 1
  8. 8. Notación de la posición de los elementos en la matriz• Es el renglón y la columna que contiene al elemento.• Se observa o se utiliza notación con doble subíndice aij donde i es el renglón y j es la columna la cual contiene el elemento aij. 2 6 -3 A= aij= 2, a12=6,a13=-3 3 8 -4 a21=3,a22=8,a23=-4
  9. 9. Cont• Nota: a12 se lee “a subíndice uno, dos” los elementos a11=2 y a22=0 esto es la diagonal principal de A. La misma consta de los elementos a11, a22, a33 …..
  10. 10. Matriz aumentada• Una matriz aumentada se crea mediante la unión de dos matrices. Sea que A y BEntonces, la matriz aumentada (A B) quedaría:
  11. 11. Renglón equivalente• Dos matrices aumentadas.• Se utiliza este simbolo ~ entre dos matrices si son aumentadas de sistema de ecuación equivalente.• Se utiliza el teorema 3 para transformar matrices aumentadas en matrices de renglón equivalente.
  12. 12. Teorema 3• Operaciones de renglón que realizan matrices de renglón equivalente.• Para obtener una matriz de renglón equivalente se utiliza uno de los siguientes paso: 1. Dos renglones se intercambian (Ri Rj ). 2. Se multiplica un renglón por una constante diferente a cero (kRi Ri). 3. Se suma el múltiplo constante de un renglón con el de otro renglón. (kRj + Ri Ri)
  13. 13. Para los números reales m, n, p: p = 0• Modelo 1: una solución única (Consistentes e independientes). 1 0 m 0 1n• Modelo 2: muchas soluciones infinitas (consistentes y dependientes). 1 m n 0 00• Modelo 3: no hay soluciones (incocnsistentes). 1 mn 0 0 p
  14. 14. Solución de sistemas lineales mediante matrices aumentadas• Para llevar acabo este proceso se necesita seguir una sería pasos cuyos son los siguientes.1. Debes tener un número uno en la esquina superior izquierda; se intercambian los renglones 1 y 2. 3 4 1 1 27 1 27 R1 R2 3 4 1
  15. 15. Cont.2. En la esquina inferior izquierda debes tener un cero, se multiplica R1 por -3 y se le suma a R2 cambiando a R2 pero no a R1. 1 27 1 2 7 3 41 (-3)R1+ R2 R2 0 10 20 -3 6 -21
  16. 16. Cont3.Para obtener un 1 en el segundo renglón 1(segunda columna) se multiplica R2 por 10 1 2 7 1 R2 R2 1 27 10 0 10 20 0 12
  17. 17. Cont.4. Para obtener un 0 en el primer renglón, segunda columna, se multiplica R2 por 2 y se suma el resultado a R1. Esto cambia a R1 pero no a R20 2 -41 27 1 03 2R2 + R1 R1 0 120 12
  18. 18. Cont.• La última matriz es la matriz aumentada para el sistema.• Siguiendo estos pasos obtenemos: x1 = 3 x2= -2
  19. 19. Problemas para resolverBasadas en las siguientes matrices, resuelve losejercicios 15, 17, 19, 21, 23
  20. 20. Cont.15) ¿Cuál es el tamaño de A? ¿ y de C? El tamaño de la matriz A es 2x3 y la C 1x3.17) Identifique a todas las matrices renglón. La matriz C es la única matriz renglón ya que es la única que está compuesta de una sola fila.
  21. 21. Cont.19) Identifique a todas las matrices cuadradas. La matriz cuadrada el la B ya que la misma tiene el mismo número de filas y columnas es 3x3.21) Para la matriz A, encuentre a12 y a23. Para la matriz A, a12 = -2 y a23= -6.
  22. 22. Cont.23) Encuentre los elementos en la diagonal principal de la matriz B. Los elementos en la diagonal principal de la matriz B son -2, 6 , 0.
  23. 23. Resuelve el ejercicio mediante métodos de matriz aumentada45) 2x1 + 2x2 = 6 x1 x2 = -3 2 16 1 13 R1 R2 1 13 2 16 1 13 (-2)R₁ + R₂ R₂~ 2 16 -2 2 6
  24. 24. Cont. 1 1 3 1 R₂ R₂~ 3 0 312 1 13~ 0 14 0 1 4 1 13~ 1R₂ + R₁ R₁ 0 14 1 01~ 0 14
  25. 25. ComprobaciónEjercicio original Resultado obtenido2x₁ + x₂ = 6 x₁ = 1x₁ x₂ = 3 x₂ = 42(1) + 4= 6 (1) (4)= 32 + 4= 6 -3=3 Cierto6=6 Cierto
  26. 26. Opinión personal• Este trabajo fue uno de suma dificultad para mi debido a la poca familiaridad que poseo con la elaboración de ecuaciones y matrices en el Programa Microsoft Office Power Point. Me parece que este trabajo me permitió ampliar y adquirir conocimiento en la solución de problemas de matrices lo cual me será de utilidad en cursos futuros. Frances R Meléendez
  27. 27. Opinión personal• Mi opinión sobre el trabajo es que fue un poco, no díficil, pero dificultoso de entender. No me veo usando estos conceptos en mi diario vivir pero, si algún día necesitara de ellos pues, ya tendré el conocimiento. Al principio estaba medio perdido ya que me había acostumbrado a llamar a los "renglones" como "filas". Aparte de todo fue bastante interesante y, pues aprender más nunca esta demás. José Maldonado
  28. 28. Referencia• PRE-CALCULO FUNCIONES Y GRAFICAS Autores: Barnett, Ziegler y Byleen (cuarta edición).

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