1. FILTROS PASIVOS DE PRIMER ORDEN
1. ¿Qué es un filtro?
Un filtro es un circuito eléctrico diseñado para dejar pasar un rango de
frecuencias determinadode la señal a su entrada y suprimirlas componentes
frecuenciales que quedan fuera de dicho rango. Al intervalo frecuencial de paso
se le conoce como ancho de banda del filtro y se expresa en términos de
frecuencia angular wo lineal f, siendo esta última la más utilizada.
Desde un punto de vista matemático, un filtro es un sistema que cumple con las
propiedades de linealidad e invarianza temporal y, por lo tanto,está
caracterizado por su respuesta impulsional .En el ámbito temporal, la señal
de salida se obtiene del resultado de la operación de convolución entre la
señal de entrada y la respuesta impulsional del sistema ,
Generalmente, el estudio de los filtros se realiza en el ámbito frecuencial
porque es más práctico que en el temporal.Es más habitual trabajar con las
transformadas de Fourier (TF) de las señales que con sus expresiones
temporales. La operación equivalente a la operación de convolución en el
ámbito frecuencial es el producto, por lo que la TF de la señal de salida se
obtiene del resultado del producto entre las TFs de las señales de entrada
y la respuesta frecuencial del sistema . La TF de la respuesta impulsional
también recibe el nombre de respuesta frecuencial del filtro.
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2. X(f) Y(f)=X(f)·Hi(f)
x(t) y(t)=x(t)*hi(t)
Idealmente, la respuesta frecuencial de un filtro es una señal
rectangularcentrada a una frecuencia fc y con un ancho de banda BW c. Si el
filtro amplifica (1<Av) o atenúa (0<Av<1) las componentes frecuenciales de la
señal de entrada en la banda de paso recibe el nombre de activo o pasivo
respectivamente.
|Hi(f)|
Banda paso
Av
Banda corte BWc=f2-f1 Banda corte
f
f1 fc f2
En la práctica los filtros no presentan un cambio tan abrupto, con pendiente
infinita, entre la banda de paso y la de corte. Cuanto mayor es el grado del
filtro,mayor es la pendiente de la recta que une estas bandas y más se parece
al filtro ideal, es decir, es más selectivo. El grado del filtro lo determina el grado
del polinomio del denominador de la respuesta frecuencial del filtro en el ámbito
de Laplace como veremos más adelante. La banda entre la banda de corte y
de paso recibe el nombre de banda de transición.
|Hi(f)|
Banda Banda
transición transición
f
f1 fc f2
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3. 2. Estudio teórico del filtro paso bajo pasivo RC de primer orden
Los filtros pasivos están formados por componentes pasivos como las
resistencias, los condensadores y las bobinas. Un filtro pasivo paso bajo
sencillo está formado por una resistencia y un condensador en serie como
muestra la figura.
+ R +
X(f) C Y(f)=X(f)·Hi(f)
- -
La impedancia del condensador, a diferencia de la resistencia, depende de la
frecuencia de la señal en sus bornes y su valor es siendo C la capacitancia
del condensador y s la variable de Laplace que representa dicha dependencia
y cuyo valor es , donde j es el número imaginario y f la frecuencia
lineal (hz). La siguiente imagen muestra esta relación.
|Zc(f)|
1
f
1/
Podemos encontrar la señal de salida como un divisor de tensión
sustituyendo la impedancia del condensador por su función equivalente de
Laplace.
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4. Es un filtro de primer orden porque el grado del polinomio del denominador es
uno y pasivo porque la ganancia del filtro en la banda de paso no es superior a
uno. Sustituyendo s por su valor,
donde representan el módulo y el término de fase de la
respuesta frecuencial del filtro para cada componente frecuencial de la señal
de entrada. El módulo determina la relación entre la amplitud de la señal de
salida y de entrada (apartado 1); y el término de fase determina el retardo entre
la señal de salida y entrada.
Analicemos el módulo de la respuesta frecuencial del filtro paso bajo RC de
primer orden:
 presenta un máximo para f=0, =1
 es una función monótona decreciente, >
 la frecuencia a la que se reduce la respuesta máxima del filtro, 1,
recibe el nombre de frecuencia de corte a -3dB, fc.
 el |=0
Para obtener una representación gráfica compacta del módulo de la respuesta
frecuencial representamos el , es decir la respuesta frecuencial
expresada en términos de potencia.
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5. 20log(|Hi(f)|) dB
0
-3
Banda de Banda de Banda de
paso transición corte
fc=1/ f
La siguiente imagen muestra la representación gráfica de la fase de la
respuesta frecuencial .
Imagine que la señal de entrada a un filtro paso bajo,como el estudiado, con un
frecuencia de corte de fc =4000/ hzes y que desea
saber cómo obtener la señal de salida, ¿qué debe hacer?. La señal de entrada
está formada por una única componente frecuencial y por lo tanto debe calcular
la respuesta del filtro en términos de módulo y fase para esa única frecuencia:
 La señal de entrada al filtro en el ámbito temporal es
 La señal de entrada al filtro en el ámbito frecuencial es
 La potencia de la señal de entrada es
 La respuesta del módulo en amplitud para (atenuación)
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6.  La respuesta de la fase para (retraso aplicado por el filtro)
 La señal de salida del filtro es
 La potencia de la señal de salida es
La señal de salida será una señal sinusoidal igual que la de entrada retrasada
(un octavo del periodo T[s]) y con la mitad de la potencia que ésta, que en
términos de amplitud (voltaje) representa aproximadamente un 30% menos de
la amplitud de la señal de entrada.
3. Estudio en el laboratorio del filtro paso bajo pasivo RC de primer orden
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7. 1. Implemente un filtro paso bajo RC con una frecuencia de corte fc
cercana a los 100khz en la placa protoboard. Seleccione los valores de
la resistencia y el condensador más adecuados disponibles en el
laboratorio.
R[ ]
C[F]
fc[hz]
2. Calibre tanto la amplitud como el tiempo en sendos canales del
osciloscopio; utilice para ello la fuente de alimentación y el generador de
funciones respectivamente. Detalle el procedimiento especificando la
función de los botones del osciloscopio utilizados.
3. Conecte el generador de funciones al circuito, esta será su señal de
entrada x(t) o X(f). Configure una señal triangular de amplitud pico a pico
10V. El valor DC-offset debe ser nulo. ¿Cuál es la función de este botón
del generador de funciones?
4. Conecte el osciloscopio al circuito para visualizar las señales x(t) e y(t).
Haga un dibujo del circuito con el generador de funciones y el
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8. osciloscopio conectados. Detalle la configuración realizada en el
osciloscopio.
5. Rellene la siguiente tabla modificando los valores de la frecuencia de la
señal de entrada y evaluando para cada frecuencia su respuesta.
Frec. Amp. Atenuación Atenuación Desfase Desfase Desfase
x(t) y(t) |Hi(f)| 20log(|Hi(f)|)
khz V adimensional adimensional ms % rad
0.1
0.5
1
10
40
70
100
110
140
170
200
240
270
300
500
1000
6. Implemente un filtro paso bajo RL con una frecuencia de corte fc
cercana a los 100khz en la placa protoboard. Seleccione los valores de
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9. la resistencia y de la bobina más adecuados disponibles en el
laboratorio. ¿Cuál es la fórmula para la frecuencia de corte en este tipo
de filtros?. Haga un dibujo del circuito especificando dónde se conecta el
generador y el osciloscopio.
R[ ]
L[H]
fc[hz]
7. Repita la tabla del aparatado 5 y dibuje la representación gráfica de
20log(|Hi(f)|) y . Compare los resultados con los obtenidos en el
apartado 5. ¿Qué tiene que decir al respecto?
Frec. Amp. Atenuación Atenuación Desfase Desfase Desfase
x(t) y(t) |Hi(f)| 20log(|Hi(f)|)
khz V adimensional adimensional ms % rad
0.1
0.5
1
10
40
70
100
110
140
170
200
240
270
300
500
1000
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