Topicos em con_problemas

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Topicos em con_problemas

  1. 1. Facultad de IngenieríaInstituto de Ciencias BásicasTTÓÓPPIICCOOSS DDEE““EELLEECCTTRRIICCIIDDAADD YY MMAAGGNNEETTIISSMMOO””(Primera Versión)((IInncclluuyyee 111100 pprroobblleemmaass rreessuueellttooss))Julio Pozo Pérez y Rosa María Chorbadjian2006
  2. 2. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.INDICECAPÍTULO I: FUERZA ELECTRICA Y CAMPO ELÉCTRICO…………………...…031.1. Carga eléctrica……………………………………………………...………….…………031.2. Conductores y aisladores………………………………………………………………...041.3. Fuerza eléctrica (Ley de Coulomb)...……………………………………………………041.4. Densidad de carga eléctrica……………………………………………………………...051.5. Campo Eléctrico…………………………………………………………………………071.6. Líneas de fuerza………………………………………………………………………….091.7. Problemas Resueltos…………………………………………………..…………..……...11CAPÍTULO II: LEY DE GAUSS………………………………………….……………....282.2. Ley de Gauss…………………………………………………………………………....282.1. Flujo eléctrico……………………………………………………………………...........282.3 Problemas Resueltos……………………………………………………………………29CAPÍTULO III: EL POTENCIAL ELÉCTRICO………………………..……………...473.1. Definición de diferencia de potencial………………………………………..…………473.2. Cálculo del potencial eléctrico a partir del campo eléctrico…………………….……...483.3. Potencial de una carga puntual…………………………………………………….…...483.4. Potencial debido a una distribución de carga……………………………………..........493.5. Determinación del campo eléctrico a partir del potencial……………………….….….513.6. Problemas Resueltos ……………………………………………………………….….55CAPÍTULO IV: CONDENSADORES Y DIELECRICOSCAPÍTULO V: CIRCUITOS ELÉCTRICOSCAPÍTULO VI: EL CAMPO MAGNÉTICOCAPÍTULO VII: LEY DE AMPERE - LEY DE BIOT-SAVARTCAPÍTULO VIII: LEY DE FARADAYCAPÍTULO IX: INDUCTANCIACAPÍTULO X: PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIACAPÍTULO XI: ECUACIONES DE MAXWELL2
  3. 3. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.CAPÍTULO IFUERZA ELECTRICA Y CAMPO ELÉCTRICO1.1. Carga eléctricaLa carga eléctrica en sí durante el proceso de frotamiento no se crea, sólo existe unatransferencia de carga negativa (electrones), de la lana a la ebonita. Por consiguiente, laebonita queda cargada negativamente y la lana positivamente.Una observación experimental es que cuerpos con cargas de igual signo se repelen y concargas de signos distintos se atraen (Ley de polaridad).La materia se compone de átomos y éstos a su vez de electrones, protones, neutrones y otraspartículas que son de menor importancia en electrostática. Los átomos son eléctricamenteneutros. Los electrones son partículas cargadas negativamente, los protones son partículas concargas positivas. El átomo tiene igual número de electrones que de protones. Cuando decimosque un objeto está cargado, lo que queremos decir es que tiene un exceso de carga; que puedeser positiva (deficiencia de electrones) o negativa (exceso de electrones).Experimentalmente se observa que "la carga neta en un sistema cerrado se conserva", estoes el enunciado del principio de la conservación de la carga.En el siglo pasado se creía que la carga eléctrica era un fluido continuo, pero a principios deeste siglo, se descubrió que la carga eléctrica está dada en unidades o paquetes de cargasseparadas, y esta propiedad de la carga eléctrica se conoce como "cuantización de la carga".Esta carga básica es la carga del electrón que se representa simbólicamente por , y su valorestá dado e [Coulomb].e-19101.60206×=Notación: las cargas macroscópicas se representan por o Q y equivalen a donde esun número entero.q eN N3
  4. 4. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.1.2. Conductores y aisladoresRespecto al comportamiento eléctrico, los materiales pueden clasificarse en general en dosclases: conductores y aisladores (dieléctricos) de la electricidad. Los conductores sonsubstancias metálicas, como el cobre, plata, fierro, etc., que contienen un gran número deportadores de carga libre. Estos portadores de carga (generalmente electrones) se muevenlibremente en el conductor. Los dieléctricos, son materiales en los que las partículas cargadasno se mueven debido a que están fuertemente ligadas a las moléculas de las que forman parte,por ejemplo, vidrio, plástico, porcelana, etc.1.3. Fuerza eléctrica (Ley de Coulomb)Uno de los primeros científicos que realizó experimentos para el estudio cuantitativo de lafuerza de atracción o repulsión entre dos cargas puntuales, fue el científico francés CharlesAugustin Coulomb (l736 - 1806). Utilizando una balanza de torsión, similar a la que utilizóposteriormente Cavendish para medir las atracciones gravitacionales. El experimento querealizó Coulomb fue diseñado con el propósito de analizar cómo la fuerza entre dos cargaspuntuales varía con el producto de la magnitud de las cargas e inversamente a su separaciónelevada al cuadrado. Las cargas son representadas por y , y la separación entre las cargaspor1q 2qr . Coulomb encontró que la fuerza que ejercía una carga sobre la otra, estaba descrita por:221rqqKF = (1.1)Donde K representa una constante de proporcionalidad cuyo valor dependerá del sistema deunidades que se utilice.Esta expresión recibe el nombre de Ley de Coulomb. La ecuación (1.1) se puede escribir enforma vectorial comorerqqKF ˆ221=r; 1ˆˆ =⇒= rr errer(1.2)donde es el vector unitario a lo largo dereˆ r como se indica en la siguiente Fig.; el signoalgebraico de y , son los que nos entregan el sentido de la fuerza, si y , son1q 2q 1q 2q4
  5. 5. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.positivos, el sentido de la fuerza en q es en el sentido de ; si es negativa y espositiva, el sentido de2 reˆ 1q 2qFres contraria a .reˆFr=08.85415]10επEn el sistema SI la ley de Coulomb se puede escribir en la forma siguiente:rerqqˆ412210επ(1.3)donde041πε=K y ε , es una constante que se conoce como la permitividad del vacío o delespacio libre y su valor está dado por:mN10 2212-0 ×=CεPara simplificar los cálculos se puede considerar:/Cm[1094229NK ×≡=Cuando se considera la interacción de un conjunto discreto formado por varias cargaspuntuales y se desea saber la fuerza resultante sobre una carga específica, se encuentra que lafuerza total resultante es simplemente la suma vectorial de las fuerzas debidas a cada una delas cargas. Esto se conoce como el Principio de Superposición.1.4. Densidad de carga eléctricaDensidad de carga volumétrica. Cuando una carga eléctrica es distribuida en toda una regióndel espacio, podemos definir la densidad de carga eléctrica promedio como la carga total en laregión dividida por el volumen de la región. La densidad de la carga eléctrica se simboliza por5
  6. 6. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.“ ρ ” y tiene las unidades de [C/m3], cuando el volumen υ contiene la carga total q, entoncesla densidad de carga promedio es:υρqprom = (1.4)La carga total se puede encontrar a partir del volumen y la densidad de carga promedio, esdecir:υρ promq =Estas relaciones son similares a la definición de la densidad de la masa.En la interacción entre cargas, supongamos que lleguen a un arreglo equilibrado en el cuál lafuerza neta actuando en cada carga sea cero; por lo tanto, es frecuente encontrar distribucionesde carga que no son uniformes. Podemos definir la densidad de la carga variable en función dela posición, esto es:)~(rqq = donde kzjyixr ˆˆˆ ++=rque describe la presencia de cargas infinitesimales (dq en cada región infinitesimal) delespacio con volumen dv; es decir que podemos expresar la densidad de la carga como:υυρddqqlímrV=∆∆=→∆ 0)( (1.5)Si la densidad de la carga no es función de la posición, entonces es constante; si se asume queel límite existe y es independiente de los detalles de la subdivisión se puede escribir:∫∫∫= υρ drq )( (1.6)El diferencial de volumen υd puede expresarse en diferentes sistemas de coordenadasdependiendo del problema en cuestión (cartesianas, esféricas y cilíndricas).Densidad de carga lineal y superficial. Si la región cargada eléctricamente es muy delgadacomparada con su longitud y distante de otros cuerpos, entonces se puede representar por unalínea matemática (ideal), con una distribución de carga unidimensional λ , definida mediante6
  7. 7. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.dldqlqlímll=∆∆=→∆ 0)(λ (1.7)de donde se tiene que∫= dllq )(λ (1.8)si λ es independiente de o constante, entonces:lLdtqLλλ == ∫0La densidad de carga lineal está expresada en unidades de [C/m].Si la carga se encuentra distribuida sobre una superficie en una región del espacio distante deotros cuerpos se puede representar matemáticamente por la siguiente expresión:dsdqsqlímrS=∆∆=→∆ 0)(σ (1.9)de donde se obtiene∫∫= dsrq )(σ (1.10)El diferencial de superficie se debe expresar en sus coordenadas apropiadas. La densidad decarga superficial está dada en unidades de [C/m2].1.5. Campo Eléctrico ( Er)Cuando una carga eléctrica experimenta una fuerza de atracción o repulsión (en ausencia decampos gravitacionales y magnéticos) en una región del espacio, existe un campo eléctrico enesa región. La magnitud del campo eléctrico dependerá de la magnitud de la fuerza eléctrica yde la magnitud de la carga prueba (carga que experimenta la fuerza). La fuerza eléctrica puedeser generada por cargas aisladas o bien por una distribución de carga.Supongamos que la fuerza se debe a una carga aislada, entonces se observa experimentalmenteque la atracción o repulsión sobre la carga de prueba es radial y se puede dibujar líneasradiales a la carga que representen gráficamente la dirección de repulsión o atracción, estas7
  8. 8. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.líneas radiales se conocen como líneas de campo (las cuales son imaginarias) que salen de lascargas positivas y entran a las cargas negativas como se muestran en la figura.El campo eléctrico se define como la razón de la fuerza eléctrica Fr(que experimenta la cargaprueba), por unidad de carga prueba ( q ) que por definición se considera positiva. Esto es:00qFErr=De la Fig. anterior se observa que la dirección de la fuerza está en la dirección del campo.Si se tiene una carga punto , y a una distancia r se encuentra una carga prueba , se puedeemplear la ley de Coulomb, ecuación (1.3). Para obtener que:1q 0qrerqqF ˆ412010επ=rSi se divide ambos lados de la ecuación por se obtendrá una expresión del campo eléctricopara cargas aisladas.0qrerqqFE ˆ412100 επ==rr(1.12)8
  9. 9. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Para determinar el campo eléctrico en el punto P, debido a la presencia de un conjuntodiscreto de cargas puntuales se utiliza el principio de superposición el cual consiste en lasuma vectorial de los campos en el punto P, dado porini iiniierqqFE ˆ411201 0∑∑ ====επrr(1.13)Donde representa la carga de cada una, y r la distancia de las cargas al punto donde sedesea calcular el campo.iq iDeterminación del campo eléctrico para distribuciones continuasTomando el límite continuo de la ecuacion (1.13) que consiste en escribir:∫∑ →=212rdqrqni ii(1.14)Se obtiene que el campo para una distribución continua de carga, está dado porrerdqE ˆ4120∫=επr(1.15)donde=)()sup()(avolumétricóndistribuciderficialóndistribucidslinealóndistribucidldqυρσλdq es una diferencial de carga, r es la distancia entre el diferencial de carga y el punto dondese desea calcular el campo y e es el vector unitario que nos indica la dirección del campo,siguiendo la trayectoria de r.rˆ1.6. Líneas de fuerzaLas líneas de fuerza o líneas de campo son líneas imaginarias trazadas de tal forma, que latangente en un punto coincide con la dirección del campo eléctrico en dicho punto.9
  10. 10. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.a) Dos cargas iguales.b) Dipolo eléctrico.c) Placa cargada.d) Dos placas paralelas con la misma densidad de carga, y signo contrario.10
  11. 11. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.e) Cascarones cilíndricos concéntricos con la misma carga total, de signos contrarios.Al analizar los diagramas de la Fig. anteriores para diferentes distribuciones de carga, seobserva que:1. Las líneas de Fuerza comienzan en las cargas positivas y terminan en las cargas negativas.2. La tangente a la línea de fuerza en cualquier punto es paralela a la dirección del campoeléctrico en ese punto.3. El número de líneas de fuerza por unidad de área en una región del espacio está enrelación directa a la magnitud del campo eléctrico. A mayor número de líneas de fuerzapor unidad de área, mayor la magnitud del campo.4. Las líneas de fuerza nunca se cruzan.1.7. Problemas resueltosProblema 1.1En cada uno de los vértices de un triángulo equilátero de lado 1=a m se tienen las siguientescargas ¿Cuál es la fuerza resultante sobre?C.101q,l01q,l02-q -636-2-61 ×=×=×= CC1q11
  12. 12. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Solución:De acuerdo con el principio de superposición:jFiFF yxRˆˆ +=rDel diagrama vectorial de la Fig. anterior:°+= 60cos21 FFFx°= 602 senFFyde la aplicación de la Ley de Coulomb, se puede escribir que :°+= 60cos414122102310 aqqaqqFxεπεπdado que , se tiene que32 qq =( )°+= 60cos1412210 aqqFxεπ°= 60412210senaqqFyεπTeniendo presente que . Sustituyendo los datos se tiene:]/[109)4/(1 2290 CNmK ×== πε)5.01(1102109 2212229+ ×−×=−mCCNmFx][1027 3NFx−×−=12
  13. 13. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.][1058.15231102109 32212229NmCCNmFy−−×−= ×−×=La fuerza resultante escrita en forma vectorial es:][)ˆ1058.15ˆ1027( 33NeeF yxR−−×+×=rProblema 1.2Para el sistema de la figura formado por dos péndulos idénticos, cargados con cargas igualesy de masas iguales .q mDetermine:a) El valor del Anguloθ para que el sistema se encuentre en equilibrio.b) La distancia de separación x , entres las cargas para ángulos pequeños.θθ lrqqlrsen2/=θSolución:a) Del DCL de la carga del lado derecho de la figura anterior, se tienemgFG =θ22rqKFE =qDe la figura anterior θtanGE FF =13
  14. 14. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Sustituyendo los valores de las fuerzas respectivas y sabiendo a partir de la primera figura queθlsenr 2= , se obtieneθθtan)2( 22mgsenlqK =de donde se encuentra quemglKqsen 2224tan =θθb) Para ángulos pequeños se tiene:lxsen2/tan =≈ θθ . Entonces, reemplazando en laecuación anterior , se encuentramglKqxmglKqlx 232233248=⇒= ;041πε=Kluego3/1022 =mglqxπεProblema 1.3Dos partículas de igual masa m, están suspendidas por cuerdas de longitud l de puntosseparados, una distancia d como se muestra en la figura. Calcule la magnitud de cada carga sila distancia horizontal que separa las partículas es r.14
  15. 15. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Solución:Siguiendo el mismo procedimiento que el empleado en el problema anterior (1.2), también sepuede escribirθtanGE FF =Sustituyendo los valores de las fuerzas respectivasθθθπε costan41220senmgmgrq≡=de donde se encuentraθθπεcos4 20senmgrq =por otro lado, de la figura anterior, se tiene quedrlsen =+θ2 ⇒  −=lrdsen2θexpresando θθ 21cos sen−= , después de sustituir, se obtiene2/12220}]2/)[({]2/)[(4rdlrdmgrq−−−=πεProblema 1.4Si se tiene una esfera dieléctrica de radio R con una densidad de carga volumétrica ρ = A[C/m3]; donde A es constante. Calcule la carga total encerrada en la esfera.Solución:Utilizando la ecuación (1.6) tenemos que ρ = A entonces:∫∫∫∫∫∫ == υυ dAdAqDado que el volumen de una esfera es , entonces33/4 RπARq 33/4 π= .15
  16. 16. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Problema 1.5Una esfera maciza, no conductora, de radio a, con una cavidad esférica de radio b, como semuestra en la figura, tiene una distribución de carga volumétrica donde A es unaconstante. Calcule la carga que se encuentra en la esfera.3/ rA=ρSolución:Utilizando la ecuación (1.6), se tiene que:∫∫∫= υρ dqEn coordenadas esféricas , entoncesφθθυ dddrsenrd 2=∫∫∫∫∫∫ ==π πφθθυρ20 023dddrsenrrAdqabLuego∫=abrdrAq π4De donde se encuentra que la carga en la esfera es:baLnAq π4=16
  17. 17. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Problema 1.6Una semiesfera hueca dieléctrica tiene una distribución de carga eléctrica ( ) θσθσ sen0= ,donde 0σ está expresada en [C/m2]. Calcule la carga total que se encuentra en la semiesferahueca.Solución:Para una distribución superficial de carga se tiene que:∫∫= dsq )(θσen esta caso . Sustituyendo, se obtieneφθθ ddsenrds 2=∫ ∫=ππφθθσ202/020 )( ddsenrsenq∫ ∫=π πθθφσ202/0220 dsendrq[ ] 2/02120 cos2πθθθπσ senrq −=evaluando:].[22021Crq πσ=Esta expresión nos muestra que la carga total que no está distribuida uniformemente.17
  18. 18. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Problema 1.7Dipolo eléctrico. Se tienen dos cargas iguales de signo contrario separadas por una distanciapequeña, como se muestra en la figura, esta configuración se conoce como Dipolo eléctrico.Suponiendo que ar >> , calcule el campo eléctrico debido a estas cargas en un puntolocalizado a una distancia r del centro del dipolo, según la perpendicular bisectriz de la líneaque une las cargas. (donde 22raR += )Solución:De acuerdo con el principio de superposición:21 EEErrr+=Según la ecuación 1.12:20214||||RqEEεπ==rrDe la Fig.θcos2 1EE =dondeRa=θcos .Sustituyendo los valores de , R y de1E θcos , se obtiene:2321)(241)()(4222022220 raqaraaraqE+=++=επεπPara el caso en que ra , entonces, se puede omitir el a del denominador y la magnitud delcampo eléctrico para el dipolo está dada por:<<30241rqaEεπ=18
  19. 19. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.El producto 2aq se conoce como momento del dipolo eléctrico P, y en general para el cálculodel campo eléctrico nunca se trabaja con los factores q y 2a separados, sino siempre con elproducto que se sustituye por P. Para el caso en, el cual ar >> el campo del dipolo se puedeescribir como:3041rPEεπ=Problema 1.8Se tiene un anillo de radio a, cargado positivamente con una distribución de carga uniformelinealλ . Calcular E a una distancia x sobre el eje del anillo a partir de su centro. (ver Fig.).Solución:De la definición de densidad lineal de carga, se tiene quedldq λ=lo cual producirá un diferencial de campo eléctrico en el punto en cuestión, que de acuerdocon la ecuación (1.14), resulta:)(144122020 xadlrdqdE+==επλεπde la Fig. se puede ver que al integrar, la componente perpendicular al eje se anula quedandosolamente la componente colineal, de aquí que:∫= θcosdEEdonde:21)(cos 22axx+=θ19
  20. 20. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.entonces:∫∫ +=+=adlxaxxaxdlEπεπλεπλ202202202323)(4)(4Integrando y evaluando23)(241220 xaxaE+=λπεπPara ax >> , se tiene que20241xaEλπεπ=donde λπ a2 representa la carga total del anillo. Del resultado anterior se puede concluir quepara grandes distancias, el anillo se comporta como una carga puntual.Problema 1.9Considere un arco semicircular como el de la figura, cargado uniformemente con unadensidad lineal λ . Determine el campo eléctrico en el centro de curvatura del arco.θcosdEEdrθdlar =Solución:De la figura se tieneθcosdEdEy =por simetría =0xEPor otro lado, de la definición de campo eléctrico se obtiene que2041rdqdEπε=20
  21. 21. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.sustituyendo en la ecuación anterior, se puede escribirθπεcos4120 rdqdEy =para este caso dldq λ= , donde, θaddl = y ar = , entoncesθθλπεθλπεcos41cos412020 adardldEy ==IntegrandoadaEy02/2/0 2cos4 πελθθπελ ππ∫−==En forma vectorial)ˆ(2 0yy eaE −=πελrProblema 1.10La mitad de un cascarón esférico, no conductor de radio interior r, tiene una carga total Qdistribuida uniformemente en su superficie interior. Calcular el campo eléctrico en el centro decurvatura.Solución:De la figura se ve que por simetría 0=yE , (ver problema anterior), entonces se puede escribirθcosdEdEx =21
  22. 22. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.De la ecuación (1.15), se tiene que2041rdqdEεπ=θεπθ cos41cos 20 rdqdEdEx ==Sabiendo que dq dsσ= e integrando se obtieneθσεπcos4120∫∫=rdsExdado que , se tieneφθθ ddsenrds 2=∫ ∫∫∫ ==ππφθθθεπσθσεπ202/0020cos4cos41ddsenrdsEx∫=2/00cos2πθθθεσdsenExcomo21cos2/0=∫πθθθ dsen , se tiene04εσ=xEdado que 22 rQπσ = , sustituyendo se encuentra208 rQExεπ=Problema 1.11Para un anillo circular de radio a con una distribución de carga lineal )cos1(0 θλλ += como elde la Fig. Calcule la carga total del anillo.22
  23. 23. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Solución:Para esta caso la carga eléctrica se determina a partir de∫= dlq λdonde )cos1(0 θλλ += y de la figura se tiene que θaddl =Reemplazando se encuentraθθλπadq ∫ +=200 )cos1(de donde se obtiene que02 λπaq =Problema 1.12Una esferita no conductora con una carga q, cuelga de un hilo de longitud l dentro de uncampo eléctrico E. Calcule la masa de la esferita si el ángulo entre la vertical y el hilo es θSolución:qθmgFG =qEFE =a) Del DCL de la carga se tiene23
  24. 24. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.De la figura anterior θtanGE FF =Sustituyendo lo valores de las fuerzas, se tieneθtanmgqE =de donde se encuentraθtangqEm =Problema 1.13Determine la carga en el volumen definido por 1 2≤≤ r [m] en coordenadas esféricas si:]/[cos5 342mCrφρ =Solución:La carga en un volumen está dada por∫∫∫= υρ dqdonde =υd (en coordenadas esféricas), luego∫∫∫∫∫∫ ==π πφθθφυρ20 021242cos5ddsendrrrdq∫ ∫ ∫−=π πθθφφ20 02122cos5 drrdsendqDado que )2cos(2121cos2φφ += , se tiene( ) ][521)2(5))2cos(2121(520 0212Cdrrdsendq ππθθφφπ π==+= ∫ ∫ ∫−24
  25. 25. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Problema 1.14Demuestre que la magnitud máxima del campo eléctrico a lo largo del eje de un anillocargado uniformemente ocurre cuando 2/ax = y tiene un valor de 20 36 aQEεπ=Solución:El campo eléctrico para este caso es2/3220 )(41xaxQE+=πεDerivando con respecto a x e igualando a cero se obtiene2/ax =Evaluando el valor del campo en 2/ax = , se encuentra20 36 aQEεπ=Problema 1.15Una varilla de longitud no conductora tiene una distribución de carga lineal uniformaL λ .Determine el campo eléctrico en el punto P a una distancia b sobre la perpendicular bisectriz.θcosdEdEy =dxx2/Lx =0rbθsendEdEx =θ. PdE2/Lx −=25
  26. 26. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Solución:De la figura se tiene queθθdEsendEdEdExy== cosla componente por simetría0=xEcomo 2041rqEπε= , se tiene que2041rdqdEπε=θπεθ cos41cos 20 rdqdEdEy ==Para esta caso dxdq λ= , y rb /cos =θ , luego sustituyendo se tiene3020 441rdxbrbrdxdEyπελλπε==como se obtiene2/122)( bxr +=2/3220 )(4 bxdxbdEy+=πελIntegrando∫− +=2/2/2/3220 )(4LLybxdxbEπελDado que 2/12222/322)()( bxbxbxdx+=+∫ , se encuentra2/1220 )4/(4 bLLbEy+=πελTambién se puede escribir2/1220 )4(2 bLLbEy+=πελ26
  27. 27. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.27Problema 1.16Determine el campo eléctrico en un punto P ubicado a una distancia b del extremo izquierdode la barra del problema anterior.dxbLx +=bx =LP .Solución:Teniendo presente el problema anterior, se puede escribir2020 4141xdxrdqdEλπεπε==Integrando se encuentra−+−=== ∫−bbLxdxEbLb1144 020 πελπελ
  28. 28. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.CAPÍTULO IILEY DE GAUSSLa Ley de Gauss permite determinar el campo eléctrico cuando las distribuciones de cargaspresentan simetría, en caso contrario se debe recurrir a la Ley de Coulomb.2.1. Flujo eléctricoEl flujo eléctrico se define como el número de líneas de campo que atraviesa a una superficiedada y que depende unicamente de la carga encerrada, el cual está representado por lasiguiente ecuación:∫∫=Φ dsE θcos (2.1)Donde θ es el ángulo entre el vector campo eléctrico Ery el vector área , luegosdr∫∫ ⋅=Φ sdErr(2.2)El flujo eléctrico para una superficie cerrada se expresa como:∫∫ ⋅=Φ sdErr(2.3)2.2. Ley de GaussEl flujo eléctrico producido por una carga puntual en una superficie imaginaria cerrada(superficie gaussiana) de radio r, se puede calcular con la ecuación (2.3) obteniéndose:0εq=Φ0εencqsdE ≡Φ=⋅∫∫rrLa ley de Gauss establece que el flujo eléctrico que cruza la superficie gaussiana es igual a lacarga neta encerrada ( ) por la superficie por unidad de la constante de permitividad (encq 0ε ).28
  29. 29. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.La ley de Gauss puede ser expresada de forma más general de acuerdo con la siguienteecuación:∫∫∫ =⋅ dqsdE01εrrdonde υρ ddq = (para la carga en el volumen υ ), luego∫∫∫∫∫ =⋅υυρεdsdE01rrTambién se puede escribir:∫∫∫∫ =⋅sdssdE σε01rr(para la carga en una superficie dsdq σ= )∫∫∫ =⋅ dlsdE λε01rr(para la carga en una línea dldq λ= )2.2. Problemas resueltosProblema 2.1Escriba la Ley de Gauss (eléctrica) en forma diferencial.Solución:La ley de Gauss escrita en forma integral está dada por∫∫∫∫∫∫∫∫ ==⋅υυυερυρεddsdE )/(100rrUtilizando el teorema de la divergenciaυdEsdE∫∫ ∫∫∫ ⋅∇=⋅ )(rrrrComparando las dos últimas ecuaciones, se encuentra0ερ=⋅∇ Err29
  30. 30. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.La expresión anterior, se conoce con el nombre de forma diferencial de la ley de Gausseléctrica, y forma parte de una de las ecuaciones de Maxwell, que a su vez corresponde a unade las cuatro ecuaciones fundamentales del electromagnetismo.Problema 2.2Determine el campo eléctrico en la vecindad de un conductor de forma arbitraria.Solución:Consideremos un conductor de forma arbitraria como el de la siguiente figura a), sobre el cualqueremos calcular el campo en un punto muy cercano a su superficie.a) b)Si se considera una superficie gaussiana de la forma mostrada en la anterior b) se tiene que lacarga encerrada es dsσ y aplicando la Ley de Gauss:0εdqsdE =⋅rrdondedsdq σ=sustituyendo se tiene:dssdE0εσ=⋅rr;30
  31. 31. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.como el campo es paralelo al diferencial de superficie en la vecindad del conductorobtendremos:0εσ=EObserve que el campo eléctrico para puntos cercanos a la superficie es constante.Problema 2.3Una esfera maciza no conductora de radio b, con una cavidad esférica de radio a, tiene unadistribución uniforme de carga y su carga total es Q; Determinar el campo eléctrico en lasregiones que se indican:a) r < a b) a < r < b c) r > b.Solución:a) Para r < a:Primeramente se escoge una superficie gaussiana esférica de radio r, y aplicando la Ley deGauss, ecuación (2.6) se tiene que la carga neta encerrada es cero, entonces, E = 0.b) Para a < r < b:Igual que en (a), se elige una superficie gaussiana esférica de radio r y de la Ley de Gauss:∫∫∫∫∫ ==⋅υυρεεdqsdE enc001rrComo la distribución de carga es uniforme, entonces:)(3411 3300ardsdE −==⋅ ∫∫∫∫∫ πρευρε υrrDado que))(3/4( 33abQ−=πρReemplazando este valor se obtiene)()(33330 abarQsdE−−=⋅∫∫ εrr31
  32. 32. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Además como se tiene quesdErr↑↑ dsEsdE =⋅rry como el modulo del campo eléctrico esconstante en toda la superficie gaussiana, luego)()()4( 333302abarQrE−−=επde donde se encuentra)()(41333320 abarrQE−−=επEn notación vectorial:reabarrQE ˆ)()(41333320 −−=επrc) Para r > b:Se elige también una superficie gaussiana de radio r, la carga neta encerrada es Q, entonces:0εQsdE =⋅∫rrIntegrando y despejando E obtenemos que2041rQEεπ=Problema 2.4Línea de carga. En la siguiente figura, se tiene una línea de carga de longitud infinita conuna densidad lineal de carga λ uniforme. ¿Cuál es el campo eléctrico E, a una distancia r de lalínea?32
  33. 33. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Solución:Una superficie gaussiana conveniente es un cilindro circular de radio r y una longitud l, comose muestra en la figura anterior. Aplicando la Ley de Gauss:∫∫∫ ==⋅ dlqsdE λεε 001rrque se puede desarrollar en este caso para las tres partes del cilindro de la siguiente forma:∫∫∫∫∫ =⋅+⋅ dlsdEsdEcilíndricacircularestapasλε0.sup1rrrrpara el primer término se puede ver que el producto punto es cero tapassdE )(rr⊥ , entonces:ldlsdElcilíndricaλλε==⋅ ∫∫∫ 00.sup1rrDado que el campo eléctrico es constante en la superficie y )||( sdErr, se encuentra0)2(ελπllrE =de donderEλεπ 021=En notación vectorial:rerE ˆ210λεπ=rProblema 2.5Lámina de carga. Se tiene una lámina delgada no conductora de dimensiones infinitas conuna densidad de carga superficial σ (ver figura). Calcúlese el campo eléctrico E, a unadistancia r del plano.33
  34. 34. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Solución:Para este problema, podemos escoger como superficie gaussiana un cilindro circular desección transversal A y largo 2r, colocado como se muestra en la figura anterior. Aplicando laLey de Gauss:∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ==⋅+⋅+⋅=⋅ dsqsdEsdEsdEsdEderechaTapaMantoIzqTapaσεε 00...1rrrrrrrrSabiendo que , entonces,MantosdE )(rr⊥ 0)( =⋅ MantosdErr, luego:∫∫∫∫∫∫∫∫ =⋅+⋅=⋅ dssdEsdEsdEderechaTapaIzqTapaσε0..1rrrrrrcomo TapassdE )(rr↑↑ , se tiene que dsEsdE Tapas =⋅ )(rr, además que EEr≡ y σ sonconstantes, entonces:∫∫∫∫∫∫∫∫ =+=⋅AAAdsdsEdsEsdE0.εσrrLuego00 εσεAqEAEA ==+ CteE ==⇒02εσProblema 2.6Determine el campo eléctrico en las vecindades de una lámina metálica delgada conductora,de dimensiones infinitas, cargada con cte=σSoluciónPor tratarse una placa metálica pero que es delgada, ésta se comporta igual que la láminadelgada del problema anterior, debiéndose realizar el mismo cálculo para obtenerCteE ==02εσ34
  35. 35. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Problema 2.7 (Placa o lámina de carga gruesa)Se tiene una placa gruesa conductora de dimensiones infinitas con una densidad de cargasuperficial σ (ver figura). Calcúlese el campo eléctrico E, a una distancia r del borde.Ersdr0=ErSolución:Aplicando la Ley de Gauss a la superficie cilíndrica de la figura, se tiene que0εqsdEsdEsdEsdEDerechaTapaMantoIzquierdaTapa=⋅+⋅+⋅≡⋅ ∫∫∫∫∫∫∫∫rrrrrrrrDado que: 0=IzquierdaTapaEr(la tapa está dentro del material conductor)0)( =⋅⇒⊥ MantoManto sdEsdErrrrEntonces, sólo queda el campo en la tapa circulare derecha0εqsdEderechaTapa=⋅∫∫rrDado que el campo y el vector de área, son paralelos y además el campo es constante, seobtiene:00 εσεAqEA ==En notación vectorial:reE ˆ0εσ=r35
  36. 36. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Problema 2.8Una esfera metálica maciza de radio exterior a, con una cavidad esférica de radio b, tiene unacarga puntual q en su centro como se muestra en la siguiente figura, calcule el flujo eléctricopara:a) r < b b) b < r < a c) r > a.Solución:a) De la Ley de Gauss se tiene que∫∫ ≡⋅=Φ0εEncerradaqsdErrqqqbra encerrada ==<<Φ ;)(0εb) 0;0)( ==<Φ encerradaqarc) qqqbr encerrada ==>Φ ;)(0εProblema 2.9Dentro de una esfera maciza no conductora de radio a, hay un campo eléctrico ( ) radial demagnitud constante. Demuestre que la distribución de carga está dada por:0ErE002ερ = para ar <<0Solución:Utilizando la Ley de Gauss escrita en la forma diferencial,0ερ=⋅∇ Err,Expresando la divergencia en coordenadas esféricas36
  37. 37. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.( ) ( ) )(111 22 φθφθθθθEsenrsenEsenrErrrE r∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇rrDado que el campo sólo tiene una componente radial, CteEEr == 0 , se obtiene( )00221ερ=∂∂=⋅∇ ErrrErrLuego002ερ=rE⇒rEr 002)(ερ =Problema 2.10Considere el caso de un cilindro de longitud infinita, de radio R, uniformemente cargadocon densidad volumétrica de carga ρ . Determinea) ; ()( RrE < r es la distancia de un punto cualquiera al eje del cilindro)b) )( RrE >Solución:a) De la Ley de Gauss∫∫∫∫∫ =⋅υυρεdsdE01rrse tiene quehrrhE 20)2( περπ =De donde se encuentra querRrE02)(ερ=<b) En este caso, de la Ley de Gauss se obtiene∫∫∫∫∫ =⋅υυρεdsdE01rrhRrhE 20)2( περπ =rRRrE12)(02ερ=>37
  38. 38. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Problema 2.11Considere el caso de un cilindro macizo muy largo, de radio R, cargado con densidadvolumétrica de carga variable dada por r0ρρ = . Determinea) ; ()( RrE < r es la distancia de un punto cualquiera al eje del cilindro)b) )( RrE >Solución:a) De la Ley de Gauss∫∫∫∫∫ =⋅υυρεdsdE01rrse tiene quedzrdrdrrhEh rφρεππ∫ ∫∫=020 0001)2(De donde se encuentra que32)2(300 rhrhE περπ =2003)( rRrEερ=<b) En este caso, de la Ley de Gauss se obtiene∫∫∫∫∫ =⋅υυρεdsdE01rrEn coordenadas cilíndricas se tiene dzdrdrd φυ = , entoncesdzrdrdrrhEh Rφρεππ∫ ∫∫=020 0001)2(De donde se encuentra que32)2(300 RhrhE περπ =rRRrE13)(030ερ=>38
  39. 39. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Problema 2.12Dos láminas paralelas conductoras con una distribución de carga uniforme σ , cargadaspositivamente, están separadas una distancia como se muestra en la siguiente figura. Encuentrea) el campo entre las láminas b) Fuera de las láminas. Considere la distancia entre las láminasmuy pequeñas, comparada con las dimensiones de las láminas.Solución:a) Aplicando la Ley de Gauss y teniendo presente el problema (2.6), se tiene que el campoeléctrico producido por una lámina conductora es sus cercanías (vecindades) es:02εσ=EEntonces del principio de superposición para un punto ubicado entre las placas conductoras, setiene21 EEErrr+=donde 1Eres el campo producido por la placa del lado izquierdo en el punto considerado, endonde se asume ubicada una carga de prueba que es positiva por definición). Luego teniendopresente la ley de polaridad, se tiene)ˆ(2 01 iEεσ=r39
  40. 40. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Por otro lado, si 2Eres el campo producido por la placa del lado derecho en el puntoconsiderado, de igual forma al caso anterior se encuentra)ˆ(2 02 iE −=εσrSustituyendo en 21 EEErrr+= los valores de los campos respectivos se obtiene0)ˆ(2)ˆ(2 00=−+= iiEεσεσrb) De igual forma que para el caso anterior, para un punto fuera de las láminas se tiene21 EEErrr+=Supongamos que el punto donde estamos determinado el campo está fuera (lado derecho, verfigura)1Er2Er1 2Donde:)ˆ(2 01 iEεσ=ry )ˆ(2 02 iEεσ=r⇒ 21 EErr=Entonces)ˆ(201 iEEεσ==rr(lado exterior derecho))ˆ(201 iEEεσ−==rr(lado exterior izquierdo)De donde se obtiene que la magnitud del campo para cualquier punto (cercano) fuera de lasplacas es0εσ=E40
  41. 41. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Problema 2.13Dos cascarones esféricos de radios a y b concéntricos tienen cargas 4Q y -2Q respectivamente.Encuentre el campo eléctrico para a) r < a, b) a < r < b, c) r> b (ver figura).Solución:En todos los casos considerados, los cascarones se comportan como cargas puntales, luego elcampo eléctrico después de aplicar la Ley de Gauss se puede expresar en la forma:2041rqE Encerradaπε=Luego0)() =< arEa ( 0=Encerradaq )201)()rQbraEbπε=<< ( QqEncerrada 4= )2021)()rQbrEcπε=> ( QQQqEncerrada 224 =−= )Problema 2.14Dos placas metálicas paralelas de dimensiones grandes comparadas con su separaciónque es de 0.01 m, tienen una densidad de carga uniforme C/m510−=σ 2. Calcule la fuerza porunidad de área que ejerce una placa sobre la otra.Solución:De la Ley de Coulomb, la fuerza ejercida sobre una carga (placa cargada) está dada por:EqF placa=41
  42. 42. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.En este caso Aqplaca σ= y el campo obtenido a partir de la Ley de Gauss es 0/εσ=E (verproblema 2.5), entonces0εσσ AF =de donde se encuentra02εσ=AFReemplazando los valores respectivos, se obtiene⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 23.11mNAFProblema 2.15Una esfera de 10 g de masa y con una carga de C, se encuentra suspendida de un hilo queforma un ángulo de 30° con una superficie conductora muy grande que tiene unadistribución de carga610−σ constante y de la cual pende la esfera (ver figura). Encuentre el valorde σ .Solución:A partir de la aplicación de la Ley de Gauss para una superficie conductora muy grande (verproblema 2.5), se encuentra que el campo eléctrico en sus vecindades está dado por:0εσ=EDel DCL en la carga positiva:qEFE =mgFG =q42
  43. 43. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Se tieneθtanGE FF =Sustituyendo los valores de las fuerzasθtanmgqE =reemplazando el valor del campo se tieneθεσtan0mgq =de donde se encuentraθεσ tan0mgq=Sustituyendo los valores respectivos, se obtiene]/[100.5 27mC−×=σProblema 2.16Una esfera no conductora de radio a con una densidad de carga uniforme ρ tiene unacavidad esférica como se muestra en la siguiente figura, calcule el campo eléctrico en el puntoA.Solución:Utilizando el principio de superposición, se tiene queCavidadEsferaA EEE +=Aplicando la ley de Gauss43
  44. 44. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.∫∫ =⋅0.εencqsdErrpara la esfera no conductora, como sdErr↑↑ se tiene∫∫ =0εEsferaqEdsdado que CteEE ==rsobre todos los puntos de la superficie Gaussiana, entonces∫∫ =≡024επEsferaqrEdsEde donde:2041rqE EsferaEsferaπε=3/4 3aq EsferaEsfera πρρυ ==3/)2/(4 3aq CavidadaCavidad πρρυ −=−=Entonces:23031raEEsferaρε=Trabajando en forma análoga, para la cavidad se obtiene230 )2/(241araECavidad−−=ρεSustituyendo ambos campos (esfera y cavidad) en , se encuentraAE⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−= 2203)2/(8113 arraEAερ44
  45. 45. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Problema 2.17Una esfera de radio , que está cargada con densidad de carga uniforme1R ρ , tiene una cavidadesférica de radio no concéntrica con la esfera. Calcular el campo eléctrico en el interior dela cavidad.2RSolución:Se aplica el principio de superposición. La esfera con la cavidad se puede considerar como lasuperposición de una esfera de radio , uniformemente cargada con densidad cúbica de carga1Rρ+ y otra esfera de radio , uniformemente cargada con densidad cúbica de carga2R ρ− . Elcampo eléctrico en un punto cualquiera del interior de la cavidad será la suma de los camposcreados por las dos esferas en dicho punto.El campo eléctrico en un punto interior de una esfera cargada uniformemente con densidad decarga ρ se calcula aplicando el teorema de Gauss a una superficie esférica de radio Rr < ,concéntrica con la esfera cargada. Debido a la simetría el campo es radial y tiene el mismomódulo en todos los puntos de la superficie gaussiana032344επρπrrE = ,45
  46. 46. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.de donde se obtiene el campo eléctricorE03ερ=Superponiendo los campos de las dos esferas, cargadas con cargas ρ+ y ρ− , en el punto Pque dista y , de los centros y de las esferas, se obtiene el campo en el punto P de lacavidad1r 2r 1O 2O)(333210201021 rrrrEEE −=−=+=ερερερsiendo 2121 OOrr =− , resulta2103OOEερ=El campo eléctrico en el interior de la cavidad es uniforme y tiene la dirección de la recta queune los centros de las esferas.hRrhE 20)2( περπ =luegorRRrE12)(02ερ=>46
  47. 47. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.CAPÍTULO IIIEL POTENCIAL ELÉCTRICO3.1. Definición de diferencia de potencialEl trabajo que se realiza al llevar la carga prueba positiva del punto A al punto B, lorepresentamos por . La diferencia de potencial entre A y B, está definida por la ecuación:0qABW0qWVV ABAB =− (3.1)La diferencia de potencial entre dos puntos es igual al trabajo realizado al llevar la cargaprueba entre dichos puntos por un agente externo, dividida por la magnitud de la carga prueba.Suponiendo que el potencial en el punto B es mayor que en A; al llevar una carga positiva, alpunto B, tendrá un potencial mayor que en A.La unidad de potencial eléctrico es CoulombJouleVolt /≡ también se puede escribir que1[V] =1[J/C]Generalmente cuando se habla de potencial eléctrico se refiere a diferencias de potencial. Paraproblemas donde se desea calcular el potencial eléctrico de cargas aisladas o de unadistribución eléctrica, ordinariamente se toma como potencial de referencia el de un puntosituado en el infinito, donde el valor del potencial es cero. Para algunos circuitos eléctricosse toma como referencia de potencial a la tierra y se le da el valor de cero, esto se verá másdetalladamente en el capítulo siguiente.47
  48. 48. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.3.2. Cálculo del potencial eléctrico a partir del campo eléctricoEl trabajo que se efectúa para llevar una carga prueba del punto A al punto B en la figuraanterior, está dado por:∫ ⋅=BAAB ldFWrrAl moverse la carga lentamente del punto A al punto B, se tiene que el campo ejerce unafuerza sobre la carga prueba. Para evitar que la carga prueba se acelere, hay que aplicaruna fuerza exactamente igual a , con lo anterior se puede escribirEqoEqo−∫ ⋅−=BAAB ldEqWrr0La integral sobre la trayectoria de A a B, también se conoce como integral de línea.Sustituyendo la expresión anterior en la Ec. 3.1, se tiene∫ ⋅−==−BAABAB ldEqWVVrr0(3.2)Si se considera el punto A en el infinito, cuyo potencial es cero, se obtiene el valor delpotencial V en el punto B, dado por:∫ ⋅−=BAldEVrr(3.3)La expresión anterior permite determinar el potencial a partir del campo eléctrico.3.3. Potencial de una carga puntualLa diferencia de potencial entre los puntos A y B, que se encuentran separados de la carga adistancias y , respectivamente, se puede encontrar calculando primero el campo eléctricoen la vecindad de la carga puntual, el cual está dado porAr BrrerqE ˆ4120πε=r48
  49. 49. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Sustituyendo en la ecuación para el potencial, se obtiene∫⋅−=−BArrrABrldeqVV 20ˆ4rεπDe la siguiente figura se aprecia que ldrestá en dirección opuesta a .reˆAdemás , luegodrdl −=∫−=−BAABrdrqVV 204 επde donde se encuentra:⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−ABABrrqVV114 0επ(3.4)De esta ecuación vemos que cuando ∞→Ar , ; entonces el potencial V en el punto Bestá dado por:0→AVrqV04 επ= (3.5)3.4. Potencial debido a una distribución de cargaPara calcular el potencial de una distribución de carga, vamos a considerar que está compuestade N cargas discretas , entonces, el potencial en un punto P, se obtiene sumandoalgebraicamente los potenciales producidos por cada una de las cargas en el punto P; usandonqqqq ,...,,, 32149
  50. 50. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.la Ec. (3.5) para una carga puntual, tenemos que para un conjunto de cargas discretas tal comose muestra en la siguiente figura, el potencial está expresado por:∑∑ ====ni iiniirqVV101 41επ(3.6)donde es el potencial debido a la carga q¡ que se encuentra a una distancia del punto P.Esta suma es algebraica y de aquí su facilidad para encontrar el campo eléctrico usando elpotencial como veremos en la siguiente sección.iV irDistribución de cargas puntuales en el espacioCuando la distribución de carga es continua, se puede tomar el límite continuo de laecuación anterior en forma siguiente:∫∑∫∑ →→== rdqrqdVVni iinii11; (3.7)Obteniéndose para el potencial debido a la distribución continua la siguiente expresión∫=rdqV041επ(3.8)donde⎪⎩⎪⎨⎧=)()sup()(avolumétricóndistribuciderficialóndistribucidslinealóndistribucidldqυρσλ50
  51. 51. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.3.5. Determinación del campo eléctrico a partir del potencialA partir de la expresión ∫ ⋅−=BAldEVrr, se puede escribirldEdVrr⋅−= (3.9)Si ocurre que (coordenadas cartesianas), entonces se puede escribirrdldrr≡rVEr∂∂−= (3.10)Luego las componentes del campo Erestán dadas por:⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂−=xzyxVEx),,(; ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂−=yzyxVEy),,(; ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂−=zzyxVEz),,(En forma vectorialVkzjyixkzVjyVixVE ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂−= ˆˆˆˆˆˆrTambién se puede escribirVE ∇−=rr(3.11)Donde es la representación simbólica del operador gradiente. YV∇rkzjyixˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂≡∇r; ( ∇rse conoce como nabla.)Algunas aplicaciones:El tubo de rayos catódicosEn un tubo de rayos catódicos simple como el mostrado en la siguiente figura, los electronesson acelerados por una diferencia de potencial entre dos placas denominadas cátodo (placanegativa) y ánodo (placa positiva). El flujo de electrones pasa a través de una abertura en elánodo donde adquieren su mayor energía cinética para después chocar con una pantallafluorescente.51
  52. 52. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Cuando se tiene una diferencia de potencial V entre las placas, se sabe que la energía cinéticamáxima ( )2/2υm corresponde a la energía potencial inicial ( ) esto esVeVem =221υLuego la velocidad con la que los electrones chocan en la pantalla fluorescente, está dada pormeV2=υDesviación de un haz de electrones por un campo eléctricoEn la siguiente figura se tienen dos placas paralelas de longitud l y separadas una distancia d,entre las cuales hay una diferencia de potencial V, que produce un campo eléctrico que es elque desvía el haz de electrones.Para calcular la desviación “y” del haz de electrones cuando entra a las placas, la fuerza queejerce el campo en el eje de las “ x ” es cero y en el eje de las “ y ” está dada por:EeFy =52
  53. 53. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.dado que y que la fuerza se puede expresar comodVE /= yy amF = . Sustituyendo ydespejando la aceleración obtenemos:dmeVmdeVay ==/De cinemática, se tiene que:221tay y=tx=0υ ⇒0υxt =Sustituyendo la aceleración y el tiempo2021⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=υxmdeVySe encuentra2022 υmdxeVy = (parábola)El electrón-VoltLa cantidad de trabajo necesaria para mover la carga de un electrón ( [C]), através de una diferencia de potencial de 1 [Volt], recibe el nombre de electrón-Volt.1910602.1 −×=e1 electrón-Volt = [C ]1910602.1 −× ×1 [V]][106.1][1 19JeV −×= .Algunos múltiplos del electrón volt son:1 kiloelectrón Volt = ][10][1 3eVkeV =1 Megaelectrón Volt = ][10][1 6eVMeV =1 Gigaelectrón Volt = ][10][1 9eVGeV =53
  54. 54. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Energía de un dipoloCuando un dipolo eléctrico está inmerso en un campo eléctrico, las fuerzas que experimentanlas cargas son iguales en magnitud pero opuestas en dirección, por consiguiente la fuerza netaes cero, pero existe un momento sobre el dipolo que tiende a alinearlo con el campo y que estádado por:)(2 θτ senaF= (3.13)Dado y , se tieneqEF = aqP 2=θτ senEaq2= (3.14)θτ senEP=En forma vectorialEPrrr×=τ (3.15)Suponiendo que el dipolo tiene una orientación inicial de θ , con el campo y cambia suorientación a 0θ , el trabajo realizado está dado por:∫ ∫===θθθτ0ddWPotencialEnergíaUSustituyendo θτ senEP= , obtenemos:∫=θθθθ0dsenEPUPara el caso en que P y E sean constantes:∫= θθ dsenEPU[ ]θθθ 0cos−= PE54
  55. 55. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Así para 2/0 πθ = obtenemos:θcosPEU −= (3.16)En forma vectorialEPUrv⋅−= (3.17)Tarea: Explique el funcionamiento del Microondas3.6. Problemas resueltosProblema 3.1En un par de placas paralelas se tiene un campo eléctrico uniforme E, calcule la diferencia depotencial entre el punto A y el punto B al recorrer la trayectoria señalada en la figura.Solución:De la ecuación para el potencial∫∫∫ ⋅−⋅−=⋅−=−BABAAB ldEldEldEVV00 rrrrrrAquí vemos que el último sumando es cero porque la trayectoria de C a B es perpendicular alcampo, entonces:dEldEldEVVdCAAB =°−=⋅−=− ∫∫ 0180cosrrrdEVV AB =−55
  56. 56. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Problema 3. 2Dos gotas de agua idénticas están cargadas al mismo potencial , encuentre el nuevopotencial si las dos gotas colapsan en una sola gota.1V2VSolución:Sean110141rqVπε= (potencial de cada gota por separada)220241rqVπε= (potencial de las dos gotas juntas))1(2)2( gotaVolumengotasVolumen =13/123132 234234rrrr =⇒= ππPor otro lado, dado que las densidades deben ser las mismas, se puede escribir12 ρρ = ⇒3/43/4 311322rqrqππ=de donde se encuentra13122 qrrq ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=Sustituyendo en2q220241rqVπε= ,se obtiene212110241⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=rrrqVπεReemplazando 13/12 2 rr =13/23/21102 2241VrqV ≡=πε56
  57. 57. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Problema 3.3Una esfera metálica maciza de radio a, tiene una carga total Q.a) Calcule el campo eléctrico. Para r < a y r > a.b) El potencial eléctrico para puntos dentro y fuera de la esfera.c) Haga una gráfica cualitativa del campo eléctrico versus el radio, y otra del potencial versusel radio.Solución:a) Para r < a:Por la Ley de Gauss vemos que E = 0 (no hay carga encerrada). Para r > a:rerQE ˆ4120επ=rb) Para r < a: (ver problema 3.15)aQV04 επ=Para r > a: (ver problema 3.15)rQV04 επ=c)57
  58. 58. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Problema 3.4Línea de carga finitaSe tiene una línea de carga de longitud L con una distribución de carga λ uniforme. Calcularel potencial eléctrico V a una distancia R de la línea sobre la perpendicular bisectriz.Solución:Sustituyendo en la Ec. (3.8) dzdq λ= y 21)( 22zRr += obtenemos:∫∫ +== 21)(41412200zRdzrdqVλεπεπintegrando[ ] 222102200220)(42)(42 LLzRzLnzRdzV ++=+= ∫ επλεπλy evaluando⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ ++=RRLLLnV2204/2/42επλProblema 3.5Utilizando el resultado del problema anterior (con R = r), calcule el campo eléctrico en elmismo punto p a una distancia r de la línea de carga.Solución:Tenernos que:⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ ++=rrLLLnV2204/2/42επλ58
  59. 59. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.y de acuerdo con la ecuaciónVE ∇−=rrdonde en coordenadas cilíndricas (V∇rzr ,,φ ) es:VezerderV zr ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂+∂∂=∇ ˆˆˆ φφrSe puede ver que en esta ecuación que los últimos dos términos valen cero ya que no existevariación del potencial con respecto a φ ni con respecto a z; entonces:rerVE ˆ∂∂−=rresultando:rerrLrLLrE ˆ14/)4/2/(4222220⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++−=επλrPara una línea de carga infinita, ∞→L obtenemos de la expresión anterior:rerE ˆ2 0επλ=rProblema 3.6a) Grafique la energía almacenada de un dipolo como función del ángulo.b) Calcule cuál es la máxima energía almacenada.Solución:a) Esta gráfica es la de la Ec. (3.16), que es la siguiente:59
  60. 60. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.b) De la misma ecuación (3.16), se aprecia que la energía almacenada es máxima cuando1cos −=θ entonces:PEUmáx =Se observa que este resultado está de acuerdo con la gráfica anterior.Problema 3.7Un disco de plástico de radio R tiene una carga Q repartida uniformemente en su superficiecon densidad superficial de carga σ . Calcule el potencial y el campo eléctrico en un punto deleje del disco que dista x de su centro.Solución:Se divide el disco en elementos de área drrπ2 que se puede consider como anilloselementales de radio r, cuya carga por unidad de longitud es drσλ = . Se empieza calculandoel campo creado por un anillo. Un elemento de anillo de longitud ϕrd crea un campoelemental)(4 220*xrrddE+=πεϕλIntegrando para todo el anillo elemental de radio r, y teniendo en cuenta que la suma de lascomponentes del campo en la dirección perpendicular al eje x se anula, el campo *E tiene ladirección del eje x:∫ ∫ ++==ππεϕλα20 2/122220**)()(4cosxrxxrrddEE2/3220 )(2 xrxr+=ελ60
  61. 61. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Ahora bien, teniendo en cuenta que drσλ = , *E es el campo creado por un elemento dedisco y, por tanto, un campo elemental dE . El campo creado por todo el disco es∫ ∫ +== 2/32200 )(2 xrxdrrdEERεσ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=xxRxxrxER11212 2200220 εσεσ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=22012 xRxEεσdonde se ha considerado positiva la raíz cuadrada del denominador para , es decir0=rxx112= ,lo que está de acuerdo para . Si se pasa al límite para , a la derecha y a laizquierda del disco, se obtiene el campo eléctrico de un plano indefinido ( ) con cargasuperficial0>x 0→xRx <<σ .xxuxE0)0( 2)(limεσ=+→xxuxE0)0( 2)(limεσ−=−→Este resultado significa que, al atravesar un plano cargado, el campo eléctrico sufre unadiscontinuidad EΔ .xxx uuuE000 22 εσεσεσ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=ΔPara calcular el potencial en un punto P del eje que dista x del centro se divide la superficie deldisco en anillos elementales de carga ϕσφλ drdrdrdq == que distan del puntoP. El potencial creado en el punto P por la carga de un anillo elemental es( 2/122xr + )2/1220 )(4 xrdrdrdV+=πεϕσ61
  62. 62. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.El potencial debido a todo el disco cargado será=+=−∫∫ drrxrdxVR 2/1022200)(4)(πϕπεσy siendo 2RQ πσ=( )xxRRQxV −+= 22202)(πεEl potencial es máximo para ,0=xRQV02)0(πε=Si , el potencial se puede expresar0>x⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+= 112)(2/1220 xRRQxxVπεPara puntos alejados222/122222111xRxRxR+≈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⇒<<se tiene el potencial de Coulomb (carga puntual)xQxV04)(πε=Problema 3.8Un disco de material aislante de radio R tiene una carga Q repartida en su superficie, de modoque la densidad superficial de carga, σ , varía proporcionalmente con la distancia r al centrodel disco. Calcule el potencial y el campo eléctrico en un punto del eje del disco que dista x desu centro.62
  63. 63. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Solución:Tomando kr=σ , la carga Q del disco es32 3020RkdrrdkrdsQR πϕσπ=== ∫∫ ∫ ∫de donde323RQkπ=Para calcular el potencial en un punto P del eje que dista x del centro se divide la superficie deldisco en elementos de superficie de área drdrds ϕ= en coordenadas polares y que distandel punto P. El potencial creado en el punto P por la carga de un elemento deldisco es( 2/122xr + )2/1220 )(4 xrdrdrkrdV+=πεϕEl potencial debido a todo el disco cargado serádrrxrdkVR22/1022200)(4−∫∫ +=πϕπεresolviendo la integral y sustituyendo el valor de k, se obtiene⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ ++−+=xxRRaxRRRQV2/12222/12230)(ln22)(43πεPara calcular el campo eléctrico se procede de modo análogo, teniendo en cuenta que, debido ala simetría del problema, las componentes del campo perpendiculares al eje del disco seanulan. El campo en el punto P sólo tiene componente en la dirección del eje, y su valor seobtiene integrando las componentes en la dirección del eje de los campos generados por cadaelemento de área)(4 220 xrdrdrkrdE+=πεϕ2/122220 )()(4cosxrxxrdrdrkrdEE++== ∫∫ ∫∫ πεϕα63
  64. 64. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Integrando para todo el disco, es decir, entre 0 y π2 para ϕ y entre 0 y R para r, se tiene⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ ++= 2/1222/12230 )()(ln43xRRxxRRRQxVπεProblema 3.9Una carga q está distribuida en el volumen de una esfera de radio R con una densidad cúbicade carga no uniforme )( rRA −=ρ , siendo r la distancia al centro de la esfera y A unaconstante. Calcule:a) El valor de la constante A en función de q y de R.b) El campo eléctrico y el potencial de la esfera en puntos interiores y exteriores.c) Los valores del potencial en el centro y en la superficie de la esfera.Solución:a) La carga total de la distribución es34)(402 ARdrrrRAdqR ππυρυ=−== ∫∫ ,de donde43RqAπ=b) Los campos tienen simetría esférica y sus direcciones son radiales. Aplicando el teoremade Gauss a una superficie esférica de radio Rr < , se tienedrrrRAddsEri ∫∫∫∫∫∫ −==02004)(11πευρε64
  65. 65. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.como el módulo de E tiene el mismo valor en todos los puntos de la superficie gaussiana severifica∫∫∫∫∫∫ ===⋅ 24 rEdsEdsEsdE iiii πrr,por tanto⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=4434144302 rRArRArEi ππεπ( )240344rrRRqEi −=επEl campo en un punto exterior se obtiene aplicando el teorema de Gauss a una superficieesférica de radio Rr > ,2000 411rqEqddsE eeεπευρε=== ∫∫∫∫∫El potencial se calcula a partir de la circulación del campo(para Rr < )( )drrrRRqdrEVVrRrRiRr ∫∫ −−=⋅−=− 240344 επ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+= 43320214 RrRrRqVV Rrπε(para Rr > )rqdrrqdrEVVrrer020 44 επεπ=−=⋅−=− ∫∫ ∞∞∞Para Rr =RqVR04 επ=De donde⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=< 43320224 RrRrRqV Rrπε(1)RqV Rr04 επ=> (2)65
  66. 66. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.c) El potencial en el centro de la esfera se obtiene sustituyendo en la expresión (1) el valor de.0=rRqV002 επ=El potencial en la superficie de la esfera, ya calculado, se obtiene sustituyendo en cualquierade las expresiones (1) ó (2)RqVr04 επ=Problema 3.10El espacio comprendido entre dos cilindros coaxiales indefinidos de radios a y b (a < b) estácargado eléctricamente con una densidad cúbica de carga no uniforme, , siendo r ladistancia al eje de los cilindros y A una constante. Calcúlese:2Ar=ρa) El campo eléctrico en las distintas regiones del espacio.b) La diferencia de potencial entre los puntos 1Rr = , y 2Rr = , siendo y .bRa << 1 bR >2Solución:a) En la región 0=< EarEn la región el campo eléctrico tiene simetría cilíndrica y su dirección es la radial delas coordenadas cilíndricas. Aplicando el teorema de Gauss a una superficie cilíndrica de radior y altura h, y teniendo en cuenta que el flujo del campo eléctrico a través de las bases es cero,se tienebra <<∫=radrrAhrhrE 201 212 πεπ ,66
  67. 67. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.de donde se obtiene⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ −=rarAE44014εDel mismo modo, para br >∫=badrrAhrhrE 202 212 πεπobteniéndose⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ −=rabAE44024εb) Se calcula , a partir de la circulación del campo eléctrico21 RR VV −∫∫ −−=−1221 12RbbRRR drEdrEVV∫∫ ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ −−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ −−=−1221440440 44RbbRRR drrarAdrrabAVVεε⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++−−=−bRbRRaRbAVV RR242144140lnln4421εProblema 3.11Una esfera conductora (1) de radio se carga a un potencial V y después se aísla. Acontinuación la esfera (1) se rodea por otra esfera conductora hueca (2), concéntrica con ella,de radios y , y se desea calcular los potenciales de las esferas en lassituaciones sucesivas siguientes:1R2R )( 323 RRR <a) La esfera (2) está aislada y descargada.b) La esfera (2) se une a tierra.c) La esfera (2) se desconecta de tierra y después la esfera (1) se conecta a tierra.67
  68. 68. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Solución:Inicialmente la esfera (1) se conecta al potencial V adquiriendo una carga VRq 101 4 επ= . Acontinuación se aísla, manteniendo su carga constante.a) La esfera (1) tiene una carga VRq 101 4 επ= y la esfera (2) por inducción adquiere unacarga en la superficie interior y1q− 1q+ en la superficie exterior. Aplicando el principiode superposición, se tienen los potenciales de las dos esferas⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=+−=31213012011011 1444 RRRRVRqRqRqVεπεπεπ313013013012444 RRVRqRqRqV =+−=επεπεπb) Al conectar a tierra la esfera (2), su potencial es 02 =V y la carga de la esfera (2) es, colocada en la superficie interior. Como sólo hay campo en el espacio entre lasdos esferas, el potencial de la esfera (1) es12 qq −==−=⋅−= ∫∫121230114RRRRdrRqdrEVεπ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=2121011114 RRVRRqεπc) Al desconectar de tierra la esfera (2) se mantiene su carga 12 qq −= . Al conectar a tierra laesfera (1), su potencial es 01 =V y su carga cambiará a 1q′, para que sea cero. Los valoresde los campos son2011214)(rqERrRεπ′=′<<2011234)(rqqERrεπ−′=′>y los potenciales se calculan a partir de la circulación de los campos20112243rqqdrEVRεπ−′=′−=′ ∫∞68
  69. 69. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−′=′=′−=′−′ ∫ 2101201221114412 RRqdrrqVVVRR επεπDe estas dos ecuaciones se obtienen la carga de la esfera (1), 1q′ y el potencial de la esfera(2), :2V ′⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=′3212103212111114111RRRRVRRRRRqqπε3132212112)(RRRRRRRRRVV−+−=′Problema 3.12Tres láminas metálicas paralelas de área S están dispuestas como se indica en la figura: lalámina central, aislada, tiene una carga Q y las otras están unidas eléctricamente y separadasde la lámina central distancias d y 3d, respectivamente. Si a la lámina izquierda se le da unacarga igual a , determinar:Q3−a) Las distribuciones de carga en las superficies de las tres láminas.b) La fuerza que actúa sobre la lámina central.Se desprecian efectos de bordes )( Sd << .69
  70. 70. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Solución:a) Como las láminas A y C están unidas eléctricamente, la carga de la lámina A se reparteentre las caras de ambas láminas. Denominando las densidades de carga de las tres láminascon los subíndices que se indican en la figura y teniendo en cuenta la conservación de la cargaeléctrica, se obtiene:Láminas A y C:SQ36521 −=+++ σσσσ (1)Lámina B:SQ=+ 43 σσ (2)Aplicando el teorema de Gauss a las superficies punteadas indicadas en la figura, como elcampo en el interior de los conductores es cero, también es cero la carga encerrada por lagaussiana (elementos correspondientes)032 =+σσ (3)054 =+σσ (4)Las placas A y C están al mismo potencial 0=− CA VV , es decir, la circulación del campoentre ellas es igual a cero:030402=+ ddεσεσPor tanto03 42 =+ σσPor último, utilizando argumentos de simetría61 σσ =Resolviendo el sistema de las seis ecuaciones se obtienen los valoresSQSQSQ43433261 =−=−== σσσσSQSQ4454 −== σσ70
  71. 71. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.b) El módulo de la fuerza por unidad de área (o presión electrostática) sobre la lámina centralesSQSQSQdSdF02020202302443293222 εεεεσεσ−=−=−=su dirección es normal a la placa y el signo negativo indica que está dirigida hacia la izquierda.La fuerza total sobre la lámina central es024εQF −=Problema 3.13Una esfera conductora de radio R está conectada a una fuente de potencial . Si la esfera serodea de una capa esférica dieléctrica, concéntrica con la esfera, de radios interior y exterior Ry 9R, respectivamente, ¿qué permitividad relativa0Vrε deberá tener el dieléctrico para que elcampo eléctrico en la zona vacía sea 1,5 veces mayor que el que había antes decolocar el dieléctrico?)9( Rr >Solución:Antes de poner el dieléctrico, la carga de la esfera es000000 4,4VRQRQV πεεπ==Después de poner el dieléctrico la carga libre de la esfera es Q, que se obtiene de la condiciónde que el potencial de la esfera se mantiene igual a .0V∫∫ −−=∞RRrRdrrQdrrQV9 20920044 εεπεπ71
  72. 72. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=RRQRQVr 911494 000εεπεπDe donde se encuentra que836 00+=rr RVQεεπεComo el campo en la zona vacía debe ser 1,5 veces mayor después de poner el dieléctrico,para se verificaRr 9>20020 45,14 rQrQεπεπ=es decir05,1 QQ =)4(5,18360000RVRVrrπεεεπε=+de donde se despeja el valor de la permitividad relativa del dieléctrico, obteniéndose6,1=rεProblema 3.14Considere una esfera sólida aislante de radio R cargada en forma uniforme con una carga Q.Determine el potencial eléctrico en las regiones que se indican:a) Rr > y b) Rr <Solución:a) El potencial en este caso está dado por∫∫ ∞∞>−=⋅−=>rrdrRrErdERrV )()(rrSustituyendo el valor del campo fuera por: 2041)(rQRrEπε=>Se obtiene72
  73. 73. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.∫∞−=>rrdrQRrV 204)(πεIntegrando se encuentrarQRrV041)(πε=>b) El potencial está dado por ∫∫∫ <−>−=⋅−=<∞∞rRRrdrRrEdrRrErdErrV )()()(rrSabiendo que , 2041)(rQRrEπε=> , y que rRQRrE 3041)(πε=< , se obtiene∫∫ −−=<∞rRRrdrRQrdrQRrV 3020 44)(πεπε)(21414)( 22300RrRQRQRrV −−=<πεπεOrdenando términos se encuentra⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=< 2203214)(RrRQRrVπεProblema 3.15Considere una esfera conductora aislada de radio R con carga total Q. Determine elpotencial eléctrico en las regiones que se indican:a) Rr > y b) Rr ≤Solución:a) El potencial al igual que en problema anterior está dado por∫∫ ∞∞>−=⋅−=>rrdrRrErdERrV )()(rr73
  74. 74. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Sustituyendo el valor del campo 2041)(rQRrEπε=> y luego integrando se encuentrarQRrV041)(πε=>b) El potencial está dado por∫∫∫ <−>−=⋅−=≤∞∞rRRrdrRrEdrRrErdERrV )()()(rrSabiendo que , 2041)(rQRrEπε=> , y que 0)( =< RrE , se obtiene∫∞−=≤RrdrQRrV 204)(πεLuegoRQRrV041)(πε=≤74
  75. 75. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.CAPÍTULO IVCORRIENTE ELECTRICA Y CIRCUITOS4.1. Corriente eléctricaEn los conductores los electrones libres se encuentran moviéndose al azar es decir, que sipasamos un plano a través del conductor el número de electrones que cruzan de izquierda aderecha este plano, es igual al número de electrones que lo cruzan de derecha a izquierda.Supongamos que se tiene como conductor a un alambre metálico y le aplica una diferencia depotencial en sus extremos, por lo tanto se tendrá un campo eléctrico uniforme dentro delalambre y todos los electrones que se movían al azar, se mueven ahora en la direccióncontraria a la del campo. Si cruza el alambre conductor por un plano como se muestra en lafigura se ve que un número de electrones pasan por la sección transversal (área rayada) porunidad de tiempo establecen una corriente de electrones en el conductor, la que se denominacorriente eléctrica y se representa por la letra I (que se asume constante), y está definidacomo:tqI = (4.1)La unidad de corriente eléctrica I es el Ampere siempre que la unidad de carga sea elCoulomb y la unidad de tiempo sea el segundo.][11 AsCI ≡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=73
  76. 76. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.En este capítulo sólo se van a considerar sólo corrientes constantes. Para los casos en donde lacorriente eléctrica varía con el tiempo, ésta se expresa en la forma siguiente:dtdqI = (4.2)Se va a convenir en que la dirección de la corriente va a ser la direcci6n de la carga eléctricapositiva (o portadores de carga positivos). Cuando un conductor está sujeto a un campoeléctrico externo, los portadores de carga se mueven lentamente en la dirección del campo conuna velocidad que se conoce como velocidad de desplazamiento o de arrastre.Un campo eléctrico externo en un alambre conductor.Para encontrar una relación entre la corriente de un conductor y su carga, consideramos unconductor cilíndrico como el de la anterior, en donde vamos a suponer que la velocidad dedesplazamiento es υ y por consiguiente en un tΔ de tiempo, los portadores de carga sedesplazan un , entonces, el número de portadores de carga, en este caso electronesconductores, esLΔLAn Δ donde n es el número de electrones por unidad de volumen y A lasección transversal, por lo tanto, LAΔ es el volumen La cantidad de carga en es:LAΔeLAnq )( Δ=Δdonde e es la carga de cada electrón conductor. Para un tΔ se tiene que la corriente:etLAntqIΔΔ=ΔΔ=74
  77. 77. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.la velocidad de desplazamiento de los electrones dentro del conductor es tL ΔΔ / ; porconsiguiente.eAnI υ=Ahora se introducirá un nuevo término que se va a definir como densidad de corrienteeléctrica que se simboliza por J, y que corresponde a la corriente por unidad de área.enAIJ υ== (4.3)la densidad de corriente es un vector y está orientado en la dirección del movimiento de losportadores de carga positivos o sea la dirección de la velocidad de desplazamiento.Como es común que la densidad de corriente varíe en función del radio y la corriente dependede la sección transversal, entonces para estos casos la corriente está dada por:∫∫ ⋅= sdJIrr(4.4)4.2. Ley de OhmSi se tienen diferentes materiales en forma de conductores cilíndricos idénticos y se les aplicala misma diferencia de potencial en sus extremos se puede observar experimentalmente quesus corrientes eléctricas son diferentes. Si se supone que el campo eléctrico dentro de cadaconductor cilíndrico es constante, se puede concluir que los portadores de carga se estánmoviendo con una velocidad de desplazamiento, es decir, que tienen una cierta movilidadmov en presencia del campo eléctrico, que es una propiedad del material. Se observa que a unmayor campo aplicado al conductor, se tiene mayor corriente y por consiguiente una velocidadde desplazamiento mayor por lo tanto, existe una relación directa entre velocidad dedesplazamiento y el campo, dependiendo de la movilidad ( ) de cada material, esto es:movEmovrr=υ75
  78. 78. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Sustituyendo la velocidad de desplazamiento en la Ec. (4.3) tenemos:EEmovenJrrrσ== (4.10)La ecuación anterior se conoce con el nombre de forma microscópica de la Ley de Ohm,donde moven se llama conductividad σ del conductor y su recíproco, se conoce comoresistividad y se representa por ρ . La ecuación (4.3) se puede escribir como:EAIJρ1==Dado que potencial está relacionado con el campo eléctrico a través de∫ ⋅−= ldEVrrEntonces se tiene que∫ =⋅−= LEldEVrr(4.5)Sustituyendo el campo en la ecuación anterior obtenemos:IALV ρ= (4.6)esta relación se escribe más comúnmente como:IRV = (4.7)La ecuación anterior se conoce con el nombre de forma macroscópica de la Ley de Ohm,donde R se conoce como la resistencia del conductor cilíndrico y está dada por:76
  79. 79. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.ALR ρ= (4.8)como se puede ver en la ecuación (4.8) la resistencia de un conductor depende de laresistividad que es una propiedad intrínseca de cada material, de la longitud del conductor y susección transversal.La resistencia se representa simbólicamente por y su unidad es:][11 Ω=⎥⎦⎤⎢⎣⎡≡=AVIVRDe la ecuación (4.7) se puede conocer la resistencia de cualquier material, sin importar suforma geométrica, determinando el voltaje que se le aplica y la corriente que pasa por él.43. Conversión de energía en una resistenciaSi conecta un artefacto que nos mantenga una diferencia de potencial a través de unaresistencia como se muestra. en la figura, (este artefacto se representa por un rectángulorayado) para que un diferencial de carga dq se mueva a través de la resistencia en un tiempodt, es necesario que el artefacto proporcione una cantidad de energía , esto es:dUdW =abVdqdW =donde dq = I dt de la ecuación (4.2) y reemplazándolo en la expresión anterior tenemos que77
  80. 80. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.abVdtIdW =La razón de energía por unidad de tiempo es la potencia P que nos está dando el artefacto.abVIdtdWP == (4.9)La unidad de potencia es el Watt que corresponde a:][11 WsJtWP =⎥⎦⎤⎢⎣⎡==En las resistencias la energía aparece como calor, este proceso es termodinámicamenteirreversible y se conoce como calentamiento por efecto Joule. Como las resistencias obedecenla ley de Ohm, sustituyendo, la Ec. (4.7), se obtiene la potencia en función de la resistencia yla corriente.RIP 2= (4.10)donde I es la corriente que pasa por la resistencia, en función del potencial y la resistencia.RVP /2= (4.11)donde V es el voltaje a través de la resistencia.4.4. Fuerza electromotrizAlgunas secciones anteriores se han referido a diferencias de potencial y campos eléctricosuniformes para poner cargas en movimientos; para lo cual se requieren fuentes de energía, quepueden ser dispositivos que conviertan energía química o mecánica, en eléctrica, como lasbaterías y generadores, que son fuentes de fuerza electromotriz fem y que se representa por ε .78
  81. 81. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Las fem más conocidas son las baterías, de automóviles y las pilas secas que conviertenenergía química en eléctrica, mientras que los generadores convierten energía mecánica enenergía eléctrica; cuando se convierte energía eléctrica a mecánica entonces se tiene un motor.En la siguiente figura la fem ε , está conectada a una resistencia por alambres ideales(conductores perfectos) que mantiene una corriente a través de ésta, La energía que se disipaen forma de calor en la resistencia es suministrada por la fuente.Si se analiza los portadores de carga en el circuito de la figura anterior, se ve que al pasar deun potencial menor (terminal negativa) a uno mayor (terminal positiva) adquieren una energíaque es equivalente el trabajo que hace la fuente para llevarlos del terminal negativo al terminalpositivo, esto esdqdW ε= (4.12)4.6. Circuitos eléctricosEn el circuito de la figura anterior, se concluye que la caída de voltaje en la resistencia es igualal voltaje de la fuente de fem ε ; utilizando la Ec. (4.7) de la ley de Ohm se puede determinarla corriente que pasa por la resistencia.RIε=79
  82. 82. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.aplicando el principio de conservación de la energía podemos llegar á mismo resultado, estoes:Trabajo realizado por la femε en un dt = Energía disipada en R en un dt.Dado que abV≡ε , entonces dedtdqVIdtdWP ab ε=== , se tieneεε dtIdqdW ==y que:dtRIdtI 2=εde donde obtenemos:RIε=Al considerar una fuente de fem real en un circuito eléctrico simple (de una malla) vemos quetiene una resistencia interna r como se muestra en la figuraen la figura anterior, la corriente que pasa por los elementos componentes del circuito es lamisma (corriente en la malla). Para calcular la corriente se puede utilizar el principio deconservación de la energía: Energía suministrada por la fem en un dt = Energía disipada porR en un dt.80
  83. 83. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.dtRIdtrIdq 22=−εo bien:dtRIdtrIdtI 22=−εSimplificando IRrI =−εy despejandorRI+=εdebido a que existen circuitos eléctricos más complicados, como el circuito de la siguientefigura que tiene dos mallas y dos nodos (un nodo es el punto en el circuito donde seinterseccionan tres o más ramas de él)Circuito de dos Malla y dos nodos a y b.Para resolver estos circuitos, es necesario utilizar métodos apropiados como los que se veránen la sección siguiente.4.7. Leyes de KirchhoffEl principio de conservación de la energía y el de la conservación de la carga se puedenformular en forma práctica para la solución de circuitos complicados. Las dos leyes deKirchhoff se basan en estos principios y se pueden enunciar de la manera siguiente:81
  84. 84. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Primera ley de Kirchhoff (teorema de los nodos). Para cualquier nodo de un circuito lasuma algebraica de las corrientes debe ser cero.∑==NnnI10 (4.13)Esta ley se basa en el principio de conservación de la carga, ya que en ningún punto delcircuito puede existir creación o aniquilación de ésta.Segunda ley de Kirchhoff (teorema de la trayectoria). La suma algebraica de los cambios apotencial en el recorrido de cualquier malla de un circuito es cero.∑==NnnV10 (4.14)Esta ley es una consecuencia del principio de conservación de la energía, ya que de no ser así,una resistencia podría disipar cantidades de energías indeterminadas que la fem no podríasuministrarla.Para una aplicación práctica de las leyes de Kirchhoff tomarán las siguientes convencionespara facilitar la solución de circuitos eléctricos.a) Cuando se recorre una malla en un circuito y se atraviesa una resistencia en la dirección dela corriente, hay una diferencia de potencial igual a – IR (caída de voltaje); en la direcciónopuesta, es + IR (elevación de voltaje).b) Si una fuente de fem es atravesada en la dirección de la fem (de la terminal negativa a laterminal positiva) la diferencia de potencial es (+); en sentido contrario es (-).c) Las corrientes que entran a un nodo se toman como positivas y las que salen comonegativas.82
  85. 85. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Problemas resueltosProblema 4.1Determine ¿ cuál es la velocidad de desplazamiento (de arrastre) para una corrienteen un conductor de cobre de diámetro 0.163[cm]?. Suponga que existe un soloelectrón libre por átomo, encuentre primero que coincide con la densidad numérica de losátomos de Cu. Y está dado por .][1 AI =en]/[105.8 328melectronesne ×≈Solución:Se tiene que: uCuCAe PANn ρ=Donde][10022.6 123 −×= molNA (Número de Avogadro)]/[1095.8 33mkguC ×=ρ]/[5.63 molgPA uC =Sustituyendo estos valores, se encuentra:][105.8 328 −×≈ mnePara determinar la velocidad de desplazamiento utilizamos la relaciónaeenAIJ υ=≡luegoeAnIea =υSabiendo que , después de reemplazar los valores respectivo se encuentra][106.1 19Ce −×=]/[1056.3]/[1056.3 53smscma−−×=×≈υEl resultado anterior, muestra que las velocidades de desplazamiento típicas son muypequeñas83
  86. 86. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Problema 4.2A una esfera maciza de hierro de radio b, con una cavidad esférica de radio a, se le aplica unadiferencia de potencial V entre el interior y el exterior, de tal forma que fluye una corrienteradial uniforme como se muestra en la figura, determine la potencia que se disipa.Solución:Aplicando la ecuación (4.8):AlR ρ=en forma diferencial para un cascarón esférico de radio r con un espesor dr como se muestraen la figura se tiene que el diferencial de resistencia es:24 rdrdRπρ=e integrado se obtiene la resistencia total:baab rrdrR ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−== ∫144 2πρπρevaluando:⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=baR114πρsustituyendo el valor obtenido de R, en la siguiente ecuación, se obtiene la potencia que sedisipa, esto es:84
  87. 87. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==abbaVRVPρπ 224Problema 4.3Resistencias en serie. Se dice que dos o más resistencias están en serie cuando se conectan deforma tal que sólo hay una trayectoria de conducción entre ellas, es decir que la corriente quepasa por ellas es la misma. Demuestre que la resistencia equivalente del circuito es321 RRRR ++=SoluciónAplicando la segunda ley de Kirchhoff y siguiendo el circuito en el sentido de la corrienteempezando en el punto a, se tiene:0321 =−−− iRiRiRεde donde:321 RRRi++=εPara la resistencia equivalente:RiiRεε =⇒=e igualando las expresiones se encuentra:321 RRRR ++=85
  88. 88. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Problema 4.4Resistencias en paralelo. Cuando varias resistencias se conectan de forma tal, que ladiferencia de potencial que se les aplica es la misma para todas, se tiene una combinación enparalelo. Demuestre que una expresión para la resistencia equivalente del circuito de la Fig.es:3211111RRRR++=Solución:Aplicando la primera ley de Kirchhoff en el nodo B se tiene:032 =−− iiiabentonces:32 iiiab +=y en el nodo A:3211 iiiiii ab ++=+=Aplicando la ley de Ohm a cada resistencia:332211 ,,RiRiRiεεε===y sustituyendo en la ecuación de la corriente:86
  89. 89. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=321111RRRi εPara la resistencia equivalente:⎟⎠⎞⎜⎝⎛==RRi1εεy combinando las ecuaciones:3211111RRRR++=Las ecuaciones para las resistencias equivalentes en los ejemplos anteriores se puedengeneralizar; quedando, para n resistencias en serie:∑==++=niin RRRRR121 Ky para n resistencias en paralelo:∑==+++=ni in RRRRR 12111111KProblema 4.5Encontrar la resistencia equivalente entre los puntos A y B del arreglo de la figura a). Tómenselos siguientes valores:Ω== 121 RR Ω== 163 RR Ω== 454 RRSoluciónPara encontrar la resistencia equivalente se ve primero cuáles están en serie y cuáles enparalelo para poder combinarlas y para facilitar esto se puede poner el circuito en la formamostrada en. la Fig. b). Ahora, se observa claramente que y , están en serie, luego.2R 3R3223 RRR +=87
  90. 90. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.como muestra la figura c) donde podemos ver que , y están en paralelo; entonces23R 4R 5R5432542323451111111RRRRRRRR+++=++=quedando esto como se muestra en la Fig. d) y como todas las resistencias quedan en serie:6543211111RRRRRRR ++++==y sustituyendo valores: Ω= 3R88
  91. 91. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Problema 4.6Del circuito mostrado en la figura encontrar la corriente que pasa por cada resistencia;tómense los siguientes valores: 151 =ε [V]; 52 =ε [V]; ][21 Ω=R ; ;][42 Ω=R ][23 Ω=RSolución:El primer paso para la solución de circuitos es siempre, escoger arbitrariamente el sentido delas corrientes en cada rama. En este problema se han seleccionado las corrientes de la forma enque se muestra en la figura sabiendo que en caso de que la corriente real sea en sentidocontrario, los resultados matemáticos nos lo indicarán..El nodo A está conectado a tierra y el valor del potencial es cero.Al aplicar la segunda ley de Kirchhoff, siguiendo la trayectoria en la malla 1 del circuito apartir del punto A (que está conectado a tierra y el valor del potencial en A es cero), en elsentido de las manecillas del reloj y siguiendo las convenciones tomadas, se tiene:0222111 =−−− εε RiRiDe la misma forma, para la trayectoria de la malla 2033222 =−+ RiRiε89
  92. 92. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.Aplicando la primera ley de Kirchhoff en el nodo A se tiene que321 iii +=Hasta aquí, se puede ver que en estas 3 ecuaciones tienen 3 incógnitas que se pueden ordenarde la siguiente forma:)0(3221121 iiRiRi ++=− εε332212 )0( RiRii +−=ε3210 iii −−=En este sistema de 3 ecuaciones al sustituir valores y multiplicar por las dos primerasecuaciones nos queda:)1(−)0()4()2(10 321 iii +−+−=−)2()4()0( 3212 −++= iiiε)1()1()1(0 321 −+−+= iiique se puede resolver por determinantes:][4208048820204011124004211024504101 Ai ==++++=−−−−−−−−+−−−=][41 Ai =Sustituyendo en la segunda y tercera ecuación, se tiene :524 32 −=− ii 432 =+ ii90
  93. 93. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.luego][5.02 Ai = , ][5.33 Ai =Problema 4.7Para el circuito de la figura considere los siguientes valores ][3/101 Ω=R ,12 2RR = ][5 FC μ= , ][101V=ε , ][1.0 Ω=r . Determine (en estado estacionario)a) La corriente que circula por el circuitoCrε1R2RABb) ABVc) La carga del del condensadorqSolución:a) En estado estacionario no circula corriente por el condensador. Utilizando la ley de latrayectoria de Kirchhoff:0=∑ NVse tiene021 =−−− IrIRIRεluego][103 1ArRI ≡+=εb) De la ley de Ohm: ABAB IRV =dado que las residencias conectadas en serie se suman, se tiene][103 121 Ω=≡+= RRRRABReemplazando, se encuentra][100 VIRV ABAB ==c) De la definición de capacidad, se puede escribir91
  94. 94. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.ABVqC =Luego][500 CCVq AB μ==Problema 4.8Para el circuito de la figura considere los siguientes valores ][101 Ω=R , ][202 Ω=R ,,][303 Ω=R ][41 V=ε y ][12 V=ε . Determine (en estado estacionario)a) Las corrientes que circulan por las resistenciasb) ABVM2ε1R2RABC1ε3RSolución:a) En estado estacionario no circula corrientepor el condensador.Supongamos lo siguiente:En el nodo M: III =+ 21En la malla superior02132 =−− RIIRεEn la malla inferior021121 =+− RIRIεCombinando estas ecuaciones se encuentra:][1.0 AI = (corriente que circula por )3R][1.01 AI −= (corriente que circula por )2R][2.02 AI = (corriente que circula por )1R92
  95. 95. “Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.CAPÍTULO VCONDENSADORES Y DIELECRICOS5.1. Definición de capacidad o capacitanciaSi dos conductores aislados se conectan a una fem como se muestra en la Fig., se produce unadiferencia de potencial entre ellos; para producir esta diferencia de potencial se requiere llevarcarga de un conductor al otro y por consiguiente realizar un trabajo, el cual es hecho por lafem. Todo el sistema tiene una carga neta cero ya que los conductores tienen igual carga perosigno contrario. La carga que tienen los conductores depende de la fem que los conecta y deotros factores tales como la distancia entre ellos, su tamaño y su forma geométrica. Es decir,que si todos estos factores permanecen constantes excepto la fem, entonces la carga esdirectamente proporcional a la diferencia de potencial producida por la fem entre losconductores, esto es:VCq = (5.1)donde q es la magnitud de la carga en cada uno de los conductores, V es el potencial entre ellosy C es la constante de proporcionalidad que se define como la capacitancia; este hecho lopodemos comprobar experimentalmente. El arreglo de los conductores que se muestra en lasiguiente figura se conoce como condensador.La Ec. (5.1) define la capacidad o capacitancia de un condensador. Por otro lado, cuando sehabla de carga en un condensador, se hace referencia a la carga en la placa positiva y no a lacarga neta del condensador que es cero.90

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