Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

SISTEMAS DE
ECUACIONES E
INECUACIONES

TRABAJO PRACTICO SISTEMAS DE ECUACIONES E
INECUACIONES
1) José los días lunes, martes y miércoles, fotocopió varias páginas
en tres fotocopiadoras diferentes. El jueves, pensó cuál de las tres
cobraba el menor precio por unidad y no pudo recordarlo. Después de
mucho pensar, volcó lo que recordaba en tres matrices :
gasto
F1 F2 F3 15 20 40
Lunes 2,80
Lunes 15 20 40 la matriz A 0 25 50
Martes 2,75
Martes 0 25 50
26 40 8 Miércoles 2,56
Miércoles 26 40 8

precio
x 2,80
Fotocopiadora 1 x
Fotocopiadora 2 Y la matriz X y la matriz B 2,75
Fotocopiadora 3 z z 2,56

a) Efectúe el producto A X
b) Con el producto A X efectuado, componga la ecuación matricial A X = B
c) Halle los precios unitarios.

2) RESOLVER EN R, SI ES POSIBLE, LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES, APLICANDO: A). TEOREMA DE CRAMER Y B)
REGLA DE CRAMER
x 5y 4z w 0
x y z 0
x 3y 2z w 1
a) 2x y 2z 2 b)
z w
2z 2x 4 y
3x y w 5z 1

x y z 1
3) Dados los sistemas lineales :
x y z 2t 10
a) 2x y 2z 8
x z 6
5x 3y 2z 3
b) 3x 4y 25 c) 2x y 3z 3t 3

4y 3z 13 3x 2y 4z t 7 x y 3z 5u 2t 3
d)
2x 2y 6z 10u 4t 4
a) Clasificarlos
b) Analizarlos aplicando el Teorema de Rouché Frobenius y,
si es posible, determinar el conjunto solución de cada
uno de ellos.

4) RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES

HOMOGÉNEOS :

2x y z 0 x 3z 2y

a) 3x 2y z 0 b) 4x 5y 6z 0

x y 2z 0 7x 8y 9z

5) Determinar, si existen los valores de m R, tales que el sistema
x y z 1 Sea: a) compatible determinado
b)Incompatible
x y mz 1
c) Compatible indeterminado
mx y z 0

6) Un grupo de 32 estudiantes está formado por personas de 18, 19 y
20 años de edad. El promedio de sus edades es 18,5. ¿ Cuántas
personas de cada edad hay en la clase si la cantidad de personas de
18 años es mas que el número combinado de las de 19 y 20 años ?

7) a) ¿ Cuántas soluciones tiene un sistema cuyo número de
ecuaciones es menor que el de incógnitas ? ¿ Porqué ?.
b) ¿ Qué puede decir de un sistema como el mencionado en
a), si es homogéneo ?
c) Un sistema normal compatible, ¿ es siempre compatible
determinado ? ¿Porqué ?

y x y 5 x
8) Resolver en R2 los y x x 4
siguientes sistemas a) x 0 b) y x 3 c) x
de inecuaciones : y 2
2
y 3 y 1
3x1 2x2 3

d) 6x1 4x 2 8

7 x1 14

1 2a 2b 3a 3b 3c 3d

4a 4b 5 6 7a 7b

PRODUCTO DE MATRICES

Matriz Inversa Determinantes
Operaciones elementales por
Gauss - Jordan
Repasemos en el trabajo Práctico Nº 7

Teorema de Rouché Frobenius

1) PARA MULTIPLICAR A X X, PRIMERO CONSIDERAMOS DE QUÉ
CLASE ES CADA UNA DE LAS MATRICES;
LA MATRIZ A QUE TIENE 3 FILAS Y 3 COLUMNAS ES CLASE 3X3
LA MATRIZ X QUE TIENE 3 FILAS Y 1 COLUMNA ES CLASE 3X1

Coinciden el número de columnas
A(3x3) x X(3x1) = B(3x1) de A con las filas de X

15 20 40 x x
A 0 25 50 X y AxX y
26 40 8 z z

15 20 40 15x + 20y + 40z
0 25 50 0x + 25y + 50z
15x 20y 40z
26 40 8 26x + 40y + 8z
A X 0x 25y 50z

26x 40y 8z

15x 20y 40z 2,80

A X 0x 25y 50z B 2,75

26x 40y 8z 2,56

SI A X = B
A X = B se puede
15x 20y 40z 2,80 A X es una matriz de 3 filas y 1 escribir como un
columna, igual que B sistema de 3 ecuaciones
0x 25y 50z 2,75
con 3 incógnitas
26x 40y 8z 2,56 15x 20y 40z 2,80

0x 25y 50z 2,75

26x 40y 8z 2,56
para hallar los precios unitarios debemos resolver el sistema de
ecuaciones por cualquiera de los métodos conocidos.

Vamos a usar el método de los determinantes
y z
x x y z

Es el determinante
15x 20y 40z 2,80
principal, conformado por
0x 25y 50z 2,75 los coeficientes de las
incógnitas ordenados en
26x 40y 8z 2,56 filas y columnas

15 20 40
i son los determinantes que resultan de
reemplazar los coeficientes de la variable i por 0 25 50
la columna de los resultados del sistema en el
determinante 26 40 8

2,80 20 40 15 2,80 40 15 20 2,80

x 2,75 25 50 y 0 2,75 50 z 0 25 2,75

2,56 40 8 26 2,56 8 26 40 2,56

Con todos los valores de conocidos buscaremos

y z
x x y z

RESOLVEMOS CADA UNO DE LOS
DETERMINANTES
Agregamos las Y sumamos los A esto le restamos
dos primeras filas productos de la suma del producto de
las diagonales las contradiagonales
15 20 40

0 25 50 ( 15 25 8 0 40 40 26 20 50) ( 26 25 40 15 40 50 0 20 8)

26 40 8 ( 3000 0 26000) ( 26000 30000 0)
15 20 40 29000 56000 27000
0 25 50 Y sumamos los A esto le restamos
Agregamos las productos de la suma del producto de
dos primeras filas las diagonales las contradiagonales
2,80 20 40

x 2,75 25 50 ( 2,80 25 8 2,75 40 40 2,56 20 50)
2,56 40 8 ( 2,56 25 40 2,80 40 50 2,75 20 8)
2,80 20 40 ( 560 4400 2560) ( 2560 5600 440)
2,75 25 50 7520 8600 1080

Misma técnica para resolver y y z
15 2,80 40

y 0 2,75 50 ( 15 2,75 8 0 2,56 40 26 2,80 50)

26 2,56 8 ( 26 2,75 40 15 2,56 50 0 2,80 8)

15 2,80 40 ( 330 0 3640) ( 2860 1920 0)
0 2,75 50
3970 4780 810

15 20 2,80

z 0 25 2,75 ( 15 25 2,56 0 40 2,80 26 20 2,75)
26 40 2,56 ( 26 25 2,80 15 40 2,75 0 20 2,56)

15 20 2,80 ( 960 0 1430) ( 1820 1650 0)

0 25 2,75 2390 3470 1080

1080 y 810 La fotocopiadora 1 cobra $ 0,04
x x
0,04 y 0,03
27000 27000 La fotocopiadora 2 cobra $ 0,03
La fotocopiadora 3 cobra $ 0,04
z 1080
z 27000
0,04

3a 3b 3c 3d 4a 4b 5 6 7a 7b
TEOREMA DE ROUCHÉ
FROBENIUS
En un sistema de m ecuaciones con n incógnitas
Para operaciones
a11 x 1 a12 x 2 .......... a1n 1 x n 1 a1n x n b1 elementales y determinantes
ver TP Nº 7
a21x 1 a22x 2 .......... a2n 1 x n 1 a2n x n b2
Definimos como matriz de
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... coeficientes (A), a la
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... . matriz conformada por
am todos los coeficientes de
11 x 1 am 12 x 2 .......... am 1n 1 xn 1 am 1n xn bm 1
las variables del sistema,
am 1 x 1 am 2 x 2 .......... amn 1 xn 1 amn x n bm ordenados según el mismo
orden del sistema
a11 a12 ..... a1n a11 a12 ...... a1n b1
a12 a22 ..... a2n a12 a22 ...... a2n b2
A ... .... ..... .... A´ .... .... ...... .... ....
... .... ..... .... .... .... ...... .... ....
am 1 am 2 ..... amn am 1 am 2 ...... amn bm
Si a la matriz de coeficientes (A) le agregamos la columna
de los resultados de l sistema como última columna, tenemos
la matriz ampliada (A´)

3a 3b 3c 3d 4a 4b 5 6 7a 7b

La matriz A es de clase (m x n) La matriz A´ es de clase m x (n+1)

A (mxn )
A´(mx (n 1))
a11 a12 ..... a1n a11 a12 ...... a1n b1
a12 a22 ..... a2n a12 a22 ...... a2n b2
A ... .... ..... .... A´ .... .... ...... .... ....
... .... ..... .... .... .... ...... .... ....
am 1 am 2 ..... amn am 1 am 2 ...... amn bm

Encontradas las matrices de coeficientes (A) y ampliada (A´), debemos
hallar el rango de cada una de ellas (por cualquier método apropiado, ver TP7)

r(A ) r(A´) El sistema tiene solución si además

El sistema es Compatible determinado
r(A) r(A´) n º de incógnitas admite solución única
El sistema es Compatible indeterminado
r(A) r(A´) n º de incógnitas
admite infinitas soluciones
r(A ) r(A´) El sistema es Incompatible
NO tiene solución

2 A) EL TEOREMA DE CRAMER SE APLICA EN EL SIGUIENTE
RAZONAMIENTO

Si A X B A 1
A X A 1
B I X A 1
B

X A 1
B de manera que en el sistema de ecuaciones ordenado resulta

x y z 0 x y z 0 1 1 1
donde la matriz de
2x y 2z 2 2x y 2z 2 A 2 1 2
coeficientes es
2z 2x 4 y 2x y 2z 4 2 1 2

Las x y la columna de 0
incógnitas términos Buscamos ahora
conforman X y independientes B 2 la inversa de la
la matriz conforma la matriz matriz A
z 4

Para transformar aplicaremos el método de Gauss Jordan

2 b

Conformamos un esquema con la matriz A a la izquierda y una
matriz unidad de igual clase que A al la derecha

Luego de sucesivas operaciones elementales en ambas matrices
cuando tengamos a la izquierda una matriz unidad, a la derecha
habrá quedado la matriz inversa de A A-1

A I 2 1
2 1 1 1
1 3
1 1 1 1 0 0 1 1
2 1 2 1
2 1 2 0 1 0 2 4 2 0
1 1
I A-1 2 1 2 0 0 1 2 1 0
2 1
2
0 2
1 1
1 1 1 1 0 0
2 0 2 0
1 1 0 0
0 -3 -4 -2 1 0 1 1

0 1 0 2 0 1 2 0 2 0
0 0 1 1
1 1

2 b

1 4 1 1
1 1 1 1 3 3 1 1 1
3 3 0
4 3 4 3 12 4
3 3 3
3 3
1
1 1
0 3
1 0 1 1 1 0 4 4
3 3 3
3
0 1 4 2 1 0
3 3 3
4 4 1 4 4
0 0 1 2 2 4 6
3 3 3 3 3 2
3 4 3 3 3
1 0 0 0 1 1 3
4 4
I= 0 1 0 2 0 1 = A-1
3 4 1
0 0 1 1 1
4 4 1 3 3 1 1
0
3 4 3 3
1 1 3
0
4 4 4
1 1
A 2 0 1 0 3 0 1 1
4
1 1 3
4 4 3
2 b

1 ( 4) 4 1 1 ( 2) 2 1
1 1 1 1
3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 0
0 0 0
3 3 3
1 1 1 1 0 0
1 ( 4) 4
0 3 4 2 1 0 0
3 3
0 1 0 2 0 1
1 ( 2) 2 4
1 1 1 2 2
1 0 3 3 3 0 3 3 3

0 1 4 2 1 0
3 3 3 1 1 1 1 0
0 1 1
0 0 4 4 1 1 3 3 3
3 3 3

2 b

CONOCIDA A-1 EFECTUAMOS EL 1
PRODUCTO
A B X

0
1
A B X 2

4 1 1 1 1
0 0 ( 2) ( ) ( 4) 0 1
4 4 2 2
0 1 1 1 2 0 0 ( 2) 1 ( 4) 0 0 4 4
4 4 2
2 0 1 4 1 3 1 7
1 0 ( ) ( 2) ( ) ( 4) 0 3
1 1 3 7 4 4 2 2
4 4 2
x
La matriz X es X y De los resultado obtenidos tenemos que

z
x 1 y 4 z 7
2 2

Te propongo que verifiques en la consigna que estos
resultados son correctos. 2 b

2 B) LA REGLA DE CRAMER ES LA APLICACIÓN GENERALIZADA
PARA N INCÓGNITAS DEL MÉTODO DE LOS DETERMINANTES

Para resolver ordenamos el sistema y lo clasificamos

x 5y 4z w 0 x 5y 4z w 0
Sistema de 4
x 3y 2z w 1 x 3y 2z w 1 ecuaciones con
4 incógnitas
z w 0x 0y z w 0
conformamos cada uno
3x y w 5z 1 3x y 5z w 1 de los determinantes

1 5 4 1 0 5 4 1 1 0 4 1

1 3 2 1 1 3 2 1 1 1 2 1
x
y
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

3 1 5 1 1 1 5 1 3 1 5 1
1 5 0 1 1 5 4 0
1 3 1 1 1 3 2 1
z w
0 0 0 1 0 0 1 0
3 1 1 1 3 1 5 1

Y RESOLVEMOS CADA UNO DE LOS
DETERMINANTES
Aplicando el método del desarrollo por los elementos de una línea

1 5 4 1 Vamos a desarrollar por los elementos de la
tercera fila (porque tendrá dos factores nulos)
1 3 2 1
Elevamos (-1) a la suma del orden fila y columna del
0 0 1 1 elemento que reemplazamos multiplicamos por el elemento
que reemplzamos (0 en el primer caso) y luego por el
3 1 5 1 determinante que resulta de suprimir la fila y la columna
que contiene el elemento “elegido”

5 4 1 1 4 1 1 5 1

( 1) 3 1
0 3 2 1 ( 1) 3 2
0 1 2 1 ( 1) 3 3
1 1 3 1

1 5 1 3 5 1 3 1 1
Los dos primeros términos son factores por 0, por lo que no
1 5 4 es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0

( 1) 3 4
1 1 3 2 0 0 1 1 ( 4) ( 1) 1 28
3 1 5
32

RESOLVEMOS X POR EL DESARROLLO DE LOS ELEMENTOS DE
UN LÍNEA

Vamos a desarrollar por los elementos de la
0 5 4 1 tercera fila (porque tendrá dos factores nulos)

1 3 2 1
x
Los dos primeros términos son factores por 0, por lo que
0 0 1 1 no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0

1 1 5 1

5 4 1 0 4 1 0 5 1

( 1) 3 1
0 3 2 1 ( 1) 3 2
0 1 2 1 ( 1) 3 3
1 1 3 1

1 5 1 1 5 1 1 1 1

0 5 4

( 1) 3 4
1 1 3 2 0 0 1 1 ( 4) ( 1) 1 19
1 1 5
x 23

RESOLVEMOS Y POR EL DESARROLLO DE LOS ELEMENTOS DE
UN LÍNEA

1 1 2 1
y Los dos primeros términos son factores por 0, por lo que
0 0 1 1 no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0
3 1 5 1

0 4 1 1 4 1 1 0 1

( 1) 3 1
0 1 2 1 ( 1) 3 2
0 1 2 1 ( 1) 3 3
1 1 1 1

1 5 1 3 5 1 1 1 1

1 0 4

( 1) 3 4
1 1 1 2 0 0 1 1 ( 1) ( 1) 1 1
3 1 5
y 1

RESOLVEMOS Z POR EL DESARROLLO DE LOS ELEMENTOS DE
UN LÍNEA

1 5 0 1
tercera fila (porque tendrá dos factores nulos)
1 3 1 1
z Los tres primeros términos son factores por 0, por lo que
0 0 0 1
no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0
3 1 1 1

5 0 1 1 0 1 1 5 1

( 1) 3 1
0 3 1 1 ( 1) 3 2
0 1 1 1 ( 1) 3 3
0 1 3 1

1 1 1 3 1 1 3 1 1

1 5 0

( 1) 3 4
1 1 3 1 0 0 0 ( 1) 1 ( 6)

3 1 1
z 6

RESOLVEMOS Z POR EL DESARROLLO DE LOS ELEMENTOS DE UN
LÍNEA

1 3 2 1
w Los dos primeros términos y el último son factores por 0,
0 0 1 0 por lo que no es necesario operar, sabemos que esos
resultados son 0
3 1 5 1

5 4 0 1 4 0 1 5 0

( 1) 3 1
0 3 2 1 ( 1) 3 2
0 1 2 1 ( 1) 3 3
1 1 3 1

1 5 1 3 5 1 3 1 1

1 5 4

( 1) 3 4
1 1 3 2 0 0 ( 1) 1 ( 6) 0

3 1 5 z 6

23 23 1 1
x x
y
y
32 32 32 32

6 6 6 6
z z
w w
32 32 32 32

Verificamos los resultados
23 1 6 6
x 5y 4z w 0 5 ( ) 4 ( ) 0
32 32 32 32
x 3y 2z w 1 23 1 6 6
3 ( ) 2( ) 1
32 32 32 32
0x 0y z w 0
23 1 6 6
0 ( ) 0 ( ) ( ) 0
3x y 5z w 1 32 32 32 32
23 1 6 6
3 ( ) 5 ( ) 1
32 32 32 32

x y z 1

3 A) PARA RESOLVER 2x y 2z 8

5x 3y 2z 3
sistema de tres ecuaciones con
tres incógnitas para aplicar las operaciones
elementales, conformamos
1 1 1 1 primero la matriz de coeficientes

2 1 2 8 y le agregamos la columna de resultados
para conformar la matriz ampliada
5 3 2 3
2 1 2 1 2 ( 1)
1 3 2 4 8 10
1 1 1 1 1 1 1
3 4 10 5 1 5 1 5 ( 1)
0 3 2 2 3 3 8
1 1 1
0 2 3 8
1 ( 4) 4 1 1 10 10 7
1 1 1 1
1 0 1 7 3 3 3 3 3 3
3 3
2 ( 4) 8 1
0 1 4 10 3 3
3 3 3 3 3
0 0 1 4 2 10 20 4
3 3 8 8
3 3 3
3 b 3 c 3 d

1 7 4
1 0 3 3 3 4
0 1 4 10 1
3 3
3
0 0 1 4
3 3
1 4
1 0 0 1 7 3 3 7 4 3
1
3 1 3 3 3
0 1 0 2 3
0 0 1 4 4 4
10 3 3 10 16 6
1 2
3 3 3 3
El rango de la matriz 3
coeficientes es 3
Y el rango de la matriz ampliada también es 3
r( A ) r( A´) el número de incógnitas es igual al rango de ambas matrices

r( A ) r( A´) nº incógnitas Sistema compatible determinado
(admite un solo conjunto solución)
x 1 y 2 z 4
Te sugerimos que verifiques estos resultados . . .

3 b 3 c 3 d

x z 6 x 0y z 6
3 B) PARA RESOLVER
3x 4y 25 3x 4y 0z 25

4y 3z 13 0x 4y 3z 13
sistema de tres ecuaciones
con tres incógnitas escribimos el sistema completo y ordenado
1 0 1 6 Para aplicar las operaciones
3 4 0 25 primero la matriz de coeficientes
0 4 3 13 Y le agregamos la columna de resultados
1 0 1 6
3 0 3 1 3 6
0 3 4 4 0 3 25 7
4 7 1 1 1
0 4 3 13 0 1 0 6
0 0 3 3 13 13
4 4 1
1 1
1 0 1 6
0 ( 3) 0 7
7 1 1 6 6
0 1 3 1 1
4 4
4 ( 3) 4 7
0 0 3 0 13 20
0 20 4
4
3 c 3 d

1 0 1 6 El próximo pivote debe
3 7 elegirse en la 3º fila 3º
0 1
4 4 columna, pero ese elemento
0 0 0 20 es 0 (no puede ser pivote)

Significa que las operaciones elementales posibles concluyeron

r( A ) 2 Y quedan evidenciadas en la matriz de coeficientes dos filas linealmente
independientes (a menos uno de sus elementos es distinto de 0)

r( A´) 3 pero en la matriz ampliada hay tres filas linealmente independientes
(al menos uno de sus elementos es distinto de 0)

r( A ) r( A´) Sistema incompatible

Este sistema no tiene solución

3 c 3 d

x y z 2t 10
3 C) PARA RESOLVER 2x y 3z 3t 3

sistema de tres ecuaciones 3x 2y 4z t 7
con cuatro incógnitas
Para aplicar las operaciones
primero la matriz de coeficientes
1 1 1 2 10 Y le agregamos la columna de resultados
2 1 3 3 3
2 ( 1) 2 1
3 2 4 1 7 1 1 3 1
1 1
1 1 1 2 10 2 2 2 10
3 7 3 23
0 1 1 7 23 1 1

0 1 1 7 23 3 ( 1) 3 1
2 1 4 1
1 1
3 2 3 10
1 7 7 23
1 1

3 d

1 1 1 2 10 1 1
1 2
1
0 1 1 7 23
1 ( 7)
0 1 1 7 23 2 5
1
1 0 2 5 13 1 ( 23)
10 13 1 1
0 1 1 7 23 1 1 0
1
0 0 0 0 0 1 ( 7) 1 ( 23)
7 0 23 0
1 1
El próximo pivote debe elegirse en la 3ra fila 3ra ó Significa que las operaciones
4ta columna, pero esos elementos son 0
elementales posibles concluyeron
(no pueden ser pivote)

r( A ) 2 quedan evidenciadas en la matriz de coeficientes dos filas
linealmente independientes (sus elementos son distintos de 0)

r( A´) 2 y en la matriz ampliada también hay dos filas linealmente
independientes (sus elementos son distintos de 0)

3 d

SI r( A ) 2 r( A´) 2

r( A ) r( A´) Sistema compatible
Sistema compatible
pero r( A ) r( A´) nº de incógnitas indeterminado
Este sistema admite infinitas soluciones
1 0 2 5 13
Para resolver el sistema “recomponemos” un sistema de
0 1 1 7 23
ecuaciones con las matrices coeficiente y ampliadas
0 0 0 0 0 halladas
confeccionamos una
tabla de valores para
x 2z 5t 13 despejamos x x 13 2z 5t encontrar diferentes

y 23 z 7t soluciones,
y z 7t 23 despejamos y asignándole valores a
z y t, encontramos
x y z t x e y

S1 -13 -23 0 0
S2 -10 -17 1 1
S3 -8 -16 0 1
3 d

3 D) PARA x y 3z 5u 2t 3
RESOLVER
2x 2y 6z 10u 4t 4
sistema de tres
ecuaciones con cuatro Para aplicar las operaciones elementales,
incógnitas conformamos primero la matriz de coeficientes
y la matriz ampliada
1 1 3 5 2 3
2 ( 1) 2 3
2 2 6 10 4 4 2 0 6 0
1 1
1 1 3 5 2 3 2 3
2 ( 5) 2 2 4 2
10 0 4 0 1
0 0 0 2 1 1
0 0
El próximo pivote debe elegirse en la 2da
fila 2da, 3ra, 4ta ó 5ta columna, pero esos
Significa que las operaciones elementos son 0 (no pueden ser pivote)
elementales posibles concluyeron
r( A ) 1 Y queda evidenciada en la matriz de coeficientes una fila linealmente
independiente (al menos uno de sus elementos es distinto de 0)
r( A´) 2
pero en la matriz ampliada hay dos filas linealmente independientes (al
menos uno de sus elementos es distinto de 0)
r( A ) r( A´) Sistema incompatible

Este sistema no tiene solución

2x y z 0
4 A) PARA RESOLVER UN SISTEMA
HOMOGÉNEO, TRABAJAMOS COMO SI FUERA 3x 2y z 0
UN SISTEMA NORMAL
x y 2z 0
Solo nos queda analizar si
Sabiendo que el sistema admite soluciones diferentes sistema de tres
homogéneo será siempre de la trivial (todas las ecuaciones con tres
compatible variables igual a cero) incógnitas
Analizaremos en este caso la matriz coeficiente y la ampliada solamente para
visualizar mejor el rango de ellas

2 1 1 0 2 ( 1) 2 1 2 0
1 1 1 1 0 0
1 1 1
3 2 1 0

1 1 2 0 3 ( 1) 3 2 3 0
2 5 1 1 0 0
1 1 1
0 1 1 0

0 5 1 0

1 1 2 0

4 b

0 1 1 0 5 ( 1) 5 0
1 4 0 0
0 5 1 0 1 1

1 1 2 0 ( 1) ( 1) ( 1) 0
2 1 0 0
1 1
0 1 1 0
4 0 ( 1) 0 1 0
0 0 0 0 0 0
4 4
1 0 1 0
El rango de la matriz de coeficientes es 3
0 1 0 0
Por ser el sistema homogéneo no
0 0 1 0 r(A ) 3 nos interesa analizar la matriz
1 0 0 0 ampliada (r(A) = r(A´) siempre)

r( A ) nº de incógnitas

Este sistema homogéneo admite solamente solución trivial

x y z 0
4 b

4 B) PARA RESOLVER UN SISTEMA x 3z 2y
HOMOGÉNEO, TRABAJAMOS COMO SI FUERA
UN SISTEMA NORMAL 4x 5y 6z 0
ordenamos el sistema x 2y 3z 0 7x 8y 9z
1 2 3 0 4x 5y 6z 0

4 5 6 0 7x 8y 9z 0

7 8 9 0 4 2 4 3 4 0
5 3 6 6 0 0
0 1 1 1
1 2 3
3 6 0 7 2 7 3 7 0
0 8 6 9 12 0 0
1 1 1
0 6 12 0
2 ( 6) 2 0 6 0
3 1 0 0 0 0
1 0 0 3 3 3
1
12 las operaciones
0 1 2 0 ( 6) ( 6) 36 0
12 12 elementales
3 3
0 0 0 0 posibles
concluyeron
El próximo pivote debe elegirse en la 3ra
fila 3ra columna, pero esos elementos son 0
(no pueden ser pivote)

1 0 1 0 El rango de la matriz de coeficientes es 2

0 1 2 0 por ser el sistema homogéneo no
r( A ) 2 nos interesa analizar la matriz
0 0 0 0 ampliada (r(A) = r(A´) siempre)

r( A ) nº de incógnitas
Este sistema homogéneo admite soluciones diferentes de la trivial
Este sistema admite infinitas soluciones x z 0
Recomponemos el sistema de ecuaciones,
proponiendo un sistema de ecuaciones y 2z 0
equivalente del “nuevo” sistema podemos despejar x en función de z e y en función de z

Y confeccionamos una tabla de valores para encontrar diferentes x z
soluciones; asignándole valores a z , encontramos x e y
y 2z
x y z
S1 1 -2 1
S2 -1 2 -1
S3 0 0 0

5) PARA DETERMINAR, SI EXISTEN LOS VALORES DE M R, TALES
QUE EL SISTEMA SEA : A) COMPATIBLE DETERMINADO,
B)INCOMPATIBLE Y C) COMPATIBLE INDETERMINADO
x y z 1 Efectuamos
1 1 1 1 transformaciones
x y mz 1
elementales por
1 1 m 1 Gauss-Jordan
mx y z 0
m 1 1 0
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 0 m m 1 1 2
1 1 1
0 0 m 1 2
m 1 m 1 m 1
1 1 m 1 1 m 0 m
0 1 m 1 m m 1 1 1
1 (1 m ) 1 m 1 1 m m 1
1 0 0 1 0 1
1 m 1 m 1 m 1 m 1 m
0 1 m 0 2 m
m (1 m ) (m 1)
0 1 1 0 1 m
1 m (1 m )

m (m 1) m (1 m )
2 2 2 m
(1 m ) (1 m )

TRANSCRIBIMOS EL RESULTADO DE LA ÚLTIMA
TRANSFORMACIÓN
1
1 0 0 1 m Podemos apreciar claramente que:

2 m
0 1 m 0
m Si m = 1, el elemento de la 2º fila, 2º columna de
0 1 1 1 m la matriz de coeficientes es 0, con ese elemento
se hace 0 toda la 2º fila de la matriz de
coeficientes

Pero m = 1 no hace cero el elemento de la 4º columna (matriz ampliada) y 2º fila

Por lo que si m = 1 r(A ) r(A´) Sistema incompatible

Para cualquier otro valor de m r(A ) r(A´) n º de incógnitas

Sistema compatible determinado

6) Un grupo de 32 estudiantes está formado por personas de
18, 19 y 20 años de edad. El promedio de sus edades es 18,5.
¿ Cuántas personas de cada edad hay en la clase si la cantidad
de personas de 18 años es 6 mas que el número combinado de
las de 19 y 20 años ?
Tengo tres informaciones que relacionan los datos conocidos
Si la cantidad de
estudiantes que 1) Hay 32 estudiantes cuyas edades son 18, 19 y 20 años
tiene x y z 32 multiplicamos cada una de las
18 años es x 2) El promedio de sus edades es 18,5. edades por la cantidad de
estudiantes que tienen esas
19 años es y 18x 19y 20z edades y sumamos los productos
18,5 y dividimos por el total de estudiantes para
32
20 años es z hallar el promedio de las edades
3) la cantidad de personas de 18 años es 6 mas que el número combinado
de las de 19 y 20 años
Con las tres ecuaciones planteadas,
x y z 6 puedo conformar un sistema de tres
ecuaciones con tres incógnitas
que ordenado queda :
x y z 32
18x 19y 20z x y z 32
18,5
32 18x 19y 20z 592
x y z 6
x y z 6

1 1 1 32 x y z 32

18 19 20 592 18x 19y 20z 592

1 1 1 6 x y z 6

1 1 1 32 18 1
19 1
1
0 1 2 16
18 1 18 32
20 2 592 16
0 2 2 26 1 1
1 1 1 1
1 0 1 16 1 2 1 2
1 1
0 1 2 16 1 32
6 26
2 6 1
0 0
1 2 1 16
19 1 1 32 16
1 0 0 1 1
0 1 0 10 2 2 2 16
2 2 26 6
3 1 1
0 0 1

1 6 2 6
16 19 16 10
2 2

LAS MATRICES COEFICIENTES Y AMPLIADA EQUIVALENTES
LUEGO DE LAS TRANSFORMACIONES ELEMENTALES
RESULTAN:

1 0 0 19 El rango de la matriz de coeficientes es 3

0 1 0 10 r( A ) 3 r( A´) 3
0 0 1 3 El rango de la matriz ampliada también es 3

r( A ) r( A´) el número de incógnitas es igual al rango de ambas matrices

r( A ) r( A´) nº incógnitas Sistema compatible determinado
(admite un solo conjunto solución)

Resolvemos el sistema de ecuaciones, recomponiendo un sistema equivalente con la matriz
de coeficientes y ampliada encontradas luego de las transformaciones elementales

x 0y 0z 19 x 19 Te sugerimos que
verifiques estos
0x y 0z 10 y 10 resultados . . .
0x 0y z 3
z 3

7) a) ¿ Cuántas soluciones tiene un sistema cuyo número de
ecuaciones es menor que el de incógnitas ? ¿ Porqué ?.
b) ¿ Qué puede decir de un sistema como el mencionado en
a), si es homogéneo ?
c) Un sistema normal compatible, ¿ es siempre compatible
determinado ? ¿Porqué ?

Al analizar los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz amplidas de
cualquier sistema, en principio, pueden suceder dos cosas :

que sean iguales r( A ) r( A´) que no sean iguales r(A ) r(A´)

Si los rangos no son iguales, lo que puede El sistema es incompatible
suceder en un sistema cuyo número de
no tiene solución
ecuaciones es menor que el de incógnitas

Si los rangos son iguales, con seguridad, al
ser menor el número de ecuaciones que el
r(A ) r(A´) n º de incógnitas
número de incógnitas

El sistema es compatible indeterminado
tiene múltiples soluciones

7 b

7 B) SI EL SISTEMA TIENE MENOS ECUACIONES QUE
INCÓGNITAS Y ADEMÁS ES HOMOGÉNEO

Por ser homogéneo, sabemos que los
rangos no pueden ser diferentes, r(A ) r(A´)
luego los rangos son iguales

Por la condición de la consigna, al ser el número de ecuaciones menor que
el número de incógnitas, necesariamente el rango es menor que el número
de incógnitas

r(A) r(A´) n º de incógnitas

Entonces el sistema es compatible determinado, al ser
homogéneo, admite múltiples soluciones diferentes de la trivial

8 A) PARA RESOLVER INECUACIONES, EN GENERAL, LAS TRATAMOS
A CADA INECUACIÓN COMO UNA ECUACIÓN Y LA REPRESENTAMOS
GRÁFICAMENTE
Trazamos primero un par de ejes coordenados
Luego analizamos la inecuación y > x como si se tratar de y = x
y x Pero con trazos punteados
x 0 porque no están incluidos los
valores de y = x entre los que
y 3 buscamos sino los de y > x
sombreamos el semiplano que verifica y>x

luego graficamos la región que verifica x>0

Se aprecian cuatro regiones con diferentes
sombras:
El sombreado verde representa la primera
inecuación
El sombreado claro representa la segunda
inecuación

Se verifican ambas No se verifican ninguna de las condiciones
condiciones donde hay donde no hay sombreado
sombreado doble
8 b 8 c 8 d

FINALMENTE REPRESENTAMOS LA TERCERA INECUACIÓN Y <
3
Queda determinada una región con triple sombreado, y es
precisamente esa la zona del conjunto solución del sistema
Tengamos presente que esta es una
región “abierta” porque las líneas que
delimitan la región no están incluidas en
el conjunto solución
Por ejemplo el punto (1; 2) es una solución del sistema

y x 2 1 6 2

x 0 1 0 2 0

y 3 2 3 6 3

Pero (2 ; 6) no es solución porque verifica solo dos
de las condiciones pero no la tercera

Te queda para practicar proponer la ubicación
de los puntos que verifiquen dos de las
inecuaciones ó solo una ó ninguna
como también encontrar otros
puntos que verifiquen el
sistema de inecuaciones 8 b 8 c 8 d

8 B) PARA RESOLVER INECUACIONES, EN GENERAL, LAS TRATAMOS A
CADA INECUACIÓN COMO UNA ECUACIÓN Y LA REPRESENTAMOS
GRÁFICAMENTE
Luego analizamos la inecuación y < 5 - x como si se tratara de
y=5-x
con trazos punteados
y 5 x porque no están incluidos
y x 3 los valores de y = 5 - x
entre los que buscamos
y 1 sino los de y < 5 - x
sombreamos el semiplano que verifica y < 5 - x
luego graficamos la región que verifica y x+3
Se aprecian cuatro regiones con diferentes
sombras:
El sombreado verde representa la primera
inecuación
El sombreado marrón representa la
segunda inecuación
Se verifican ambas No se verifican ninguna de las condiciones
condiciones donde hay donde no hay sombreado
sombreado doble
8 c 8 d

FINALMENTE REPRESENTAMOS LA TERCERA INECUACIÓN Y 1

Queda determinada una región con triple sombreado, y es
precisamente esa la zona del conjunto solución del sistema

esta es una región “abierta” en la línea
verde pero “cerrada” en las otras dos

Por ejemplo el punto (1; 3) es una solución del sistema
y 5 x 3 5 1 6 5 2

y x 3 3 1 3 6 2 3

y 1 3 1 6 1

Pero (2 ; 6) no es solución porque verifica solo la
tercera condición pero no las otras dos

Te queda para practicar proponer la ubicación
de los puntos que verifiquen dos de las
inecuaciones ó solo una ó ninguna
como también encontrar otros
puntos que verifiquen el
sistema de inecuaciones
8 c 8 d

8 C) TENEMOS UN SISTEMA FORMADO POR UNA
INECUACIÓN Y UNA ECUACIÓN
y x x 4 y 2x 4
que ordenada queda x x
y 2 y 2
2 2
Trazamos primero un par de ejes
coordenados
Luego analizamos la inecuación y 2x - 4 como
si se tratara de y = 2x - 4
sombreamos todo el semiplano que verifica la
condición y 2x - 4
x
Representamos gráficamente y 2
2
Las soluciones de este sistema deben verificar
ambas condiciones:
Pertenecer al semiplano sombreado
Pertenecer a la recta
Verifican ambas condiciones los puntos de la recta que
están en la región del semiplano
Por ejemplo el punto (6, 5)
8 d

8 D) TENEMOS UN SISTEMA FORMADO POR DOS
ECUACIONES Y UNA INECUACIÓN
3x1 2x 2 3 3 3
que ordenada queda x2 x
2 1 2
6x1 4x 2 8 3
x2 x 2
2 1
7 x1 14
x1 7

3 3
Representamos gráficamente x2 x1
2 2
3
Representamos gráficamente x2 x 2
2 1
Luego analizamos la inecuación x1 7 como si
se tratara de x1 = 7
sombreamos todo el semiplano que verifica la
condición x1 7
Las soluciones de este sistema deben verificar
las tres condiciones

Pero las rectas paralelas no tienen puntos en común,
luego este sistema NO TIENE SOLUCION

Yo creo bastante en la suerte. He constatado que
cuanto más trabajo, mas suerte tengo.
Thomas Jefferson

Lograremos
cosas
importantes

Algún día en cualquier parte, en cualquier lugar
indefectiblemente te encontrarás a ti mismo, y esa, sólo
esa, puede ser la más feliz ó la mas amarga de tus horas.
Pablo Neruda

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