Cálculo Vectorial
PRIMERA EDICIÓN
Claudio Pita Ruiz
Universidad Panamericana
Escuela de Ingeniería
PRENTICE
HALL
MÉXICO' N...
EDITOR:
SUPERVISOR DE TRADUCCIÓN:
SUPERVISIÓN PRODUCCIÓN:
Pita: Cálculo Vectoriall/Ed.
Todos los derechos reservados
Luis ...
It seems to be one of the fundamental features of nature
that fundamental physics laws are described in terms of a
mathema...
Prólogo
The values [of mathematicsJ are there, values at least as great
as any human creation can offer. Ifall are not rea...
Vlll Prólogo
de la función implícita y de la función inversa que se estudian en el capítulo 3), y la justificación
de esta...
Prólogo ix
final del libro. El papel que juega la resolución de estos ejercicios en la comprensión del material
expuesto e...
Contenido
Prólogo .
Capítulo l. Introducción al espacio IRn y al álgebra lineal .
1.1 El espacio IRn . . . . . . . . .
1.2...
xii Contenido
3.6 Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
* 3.7 Un interludio numérico: e...
Contenido xiii
Capítulo 7. Integrales de línea . . . . . . . . . . . . . . 671
7.1 Curvas en el espacio: resumen de hechos...
xiv Contenido
Capítulo 10. Formas diferenciales . . . . . . . .
10.1 Definiciones preliminares. Suma y producto de formas
...
________________Capítulo
ducción al espacio
al ál eh lineal
En este primer capítulo expondremos los preliminares necesario...
2 Capítulo 1 Introducción al espacio IRn
y al álgebra lineal
el conjunto de parejas ordenadas de números reales que podemo...
1.1 El espacio IR" 3
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
por O(o cuando no haya peligro de confusión, simplemente po...
4 Capítulo l Introducción al espacio JR" y al álgebra lineal
y z
y ................ (x, y)
(x, y, z)
---------1""---------...
l. 1 El espacio IR" 5
u+v
u
Figura 2. La suma de vectores en IR2
y ]R.'.
consideraciones geométricas que veremos a continu...
6 Capítulo I Introducción al espacio ]Rn y al álgebra lineal
y
-y
_ _ x
-----
x-y
y
x-y
L_-----~x
Figura 3. La resta de ve...
1.1 El espacio IR" 7
AY (A > 1)
Y
A'I' (O < A < 1)
o
AY (A<O)
Figura 5. El producto del vector '1' por el escalar A.
Que e...
8 Capítulo I Introducción al espacio IR" y al álgebra lineal
donde al, a2, ... , all son números reales dados yt es un rea...
1.1 El espacio JRn 9
Es claro que los vectores (2, 1) Y(1, 1) tienen una propiedad importante que no tienen los vectores
(...
10 Capítulo I Introducción al espacio IR" y al álgebra lineal
Cuando se tiene una base del espacio IR", digamos formada po...
l.l El espacio ]R." 11
El ejemplo más importante de base en el espacio IR" es el conjunto {el, e2, ... , e,,} donde
e¡ = (...
12 Capítulo I Introducción al espacio ]R" y al álgebra lineal
Ejemplo 5. Sea S = {(x, y)lx = y}. Ya se vió que S es un sub...
1.1 El espacio]Rn 13
g. el vector suma de (8,9,3,5) con el inverso aditivo de (2, 7, 5, 4) en R,4.
h. el vector suma de (a...
14 Capítulo l Introducción al espacio]R" y al álgebra lineal
donde x, y y son números reales arbitrarios dados. Concluya q...
1.1 El espacio lRn
15
15. Diga si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes o dependientes,
just...
16 Capítulo l Introducción al espacio ]R" y al álgebra lineal
c. {(2, S, 4), (l, 3, 2), (2, 6, 4)}.
d. {(l, 1,5), (l, 1, S...
1.2 Producto punto. Proyecciones 17
f. ¿Existe un vector inverso multiplicativo asociado a todo vector no nulo (es decir, ...
18 Capítulo 1 Introducción al espacio IR" y al álgebra lineal
donde U;, Vj son vectores de]R" y e¡, dj son escalares.
En e...
1.2 Producto punto. Proyecciones 19
y
x
Figura 1. Dos vectores perpendiculares en el plano.
o sea
XIYI +X2Y2 = O
El lado i...
20 Capítulo 1 Introducción al espacio ]R." y al álgebra lineal
y
----~::.-._+_--L---~_3>x
Figura 2. La recta y = mx +b.
Ej...
1,2 Producto punto, Proyecciones 21
donde se usó la linealidad del producto punto y el hecho de que Vj . v¡ = Opara toda j...
22 Capítulo 1 Introducción al espacio ]R" y al álgebra lineal
x
~-------+---------..~-------
ti x¡c¡
Figura 4. La proyecci...
1.2 Producto punto. Proyecciones 23
que se cumple automáticamente la desigualdad de Cauchy-Schwarz (de hecho, se cumple la...
(-4,1,1),
24 Capítulo l Introducción al espacio JR" y al álgebra lineal
11. Sean VI y Vz dos vectores en IRz linealmente i...
1J Norma y distancia 25
25. Use el concepto de proyección de un vector sobre otro para calcular el área del triángulo cuyo...
26 Capítulo 1 Introducción al espacio iRn
y al álgebra lineal
si v= (x, y) E ]R2, se tiene Ilvll = Jx2 + y2, que no es más...
1.3 Norma y distancia 27
Ilx + yll :::; IIxll + Ilyll
Figura 1. La desigualdad triangular.
Ejemplo 1. Verifiquemos la desi...
28 Capítulo 1 Introducci6n al espacio lR" y al álgebra lineal
x
Figura 2. El ángulo fJ entre los vectores x, y.
y
Nótese t...
1.3 Norma y distancia 29
Ejemplo 2. El ángulo entre los vectores x = O. -2.3,2), Y= (3,4. 0.8) es
X· y 11 11
e= arccos IIx...
30 Capítulo 1 Introducción al espacio ]R;" y al álgebra lineal
Haciendo explícitas las coordenadas de los vectores x y y, ...
1.3 Norma y distancia 31
una métrica en IFt" es una función d:'IFt" x IFt" ........ IFt, que asocia a cada par de vectores...
32 Capítulo 1 Introducción al espacio IR" y al álgebra lineal
6. Verifique la desigualdad triangular con los vectores
a. x...
1.3 Norma y distancia 33
21. ¿Vale el resultado del ejercicio anterior si los vectores ti y V no son unitarios?
22. Sean u...
34 Capítulo I Introducción al espacio JR" y al álgebra lineal
a. X = (2,5), Y = (8, 15)
b. x = (3, 6, 9), Y = (3, 3, -7)
c...
1.3 Norma y distancia 35
e. Sea d una diagonal del cubo e (en ]Rn). Demuestre que si n es impar, no existen otras
diagonal...
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